Xem mẫu
- Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu
nhiên
§1: Đại lượng ngẫu nhiên
• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu
nhiên nhận một số giá trị với xác suất tương ứng xác định.
• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là
hữu hạn hoặc vô hạn đếm được
• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá
trị có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số.
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 1
@Copyright 2010
- §2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên
1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)
Ρ ( Χ = xi ) = pi , i = 1, 2,3,...k
Định nghĩa 2.1: (…) vô hạn
( ...)
x1 x2 ... xk
Χ
⇔
( ...)
Ρx p1 p2 ... pk
∑p =1
Chú ý: i
i
• Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác
suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng.
Hãy lập bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn ra cho
đến khi dừng lại Χ 1 2 3 ... k ...
... q k −1 p...
Ρx p qp q 2 p
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 2
@Copyright 2010
- Ví dụ 2.2: đề bài giống bài trên điều kiện ngừng là bắn trúng thì
ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng
Χ 1 2 3. . . 19 20
Ρx pq 2 .. . pq18 q19
p pq
2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):
• Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu
FX ( x ) = F ( x ) = Ρ ( X < x )
nhiên X là:
Tính chất: 1.F(x) là hàm không giảm các t/c đặc trưng
2. F ( − ∞ ) = 0, F ( + ∞ ) = 1
3. Ρ( a ≤ X < b ) = FX ( b ) − FX ( a )
( x)
Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì FX
liên tục trên toàn trục số
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 3
@Copyright 2010
- Ρ( X = x0 ) = 0, ∀x0
• Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì
Chú ý: Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm
không có ý nghĩa
Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như
trên.Khi ấy
FX ( x ) = ∑ pi
xi < x
Χ 2x57
• Ví dụ 2.3:
Ρ 0,1 0,5 0, 4
x≤ 2
0 nếu
0,1 2< x≤ 5
nếu
⇒ FX ( x ) =
5< x≤ 7
0,6 nếu
1 7< x
nếu
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 4
@Copyright 2010
- Chú ý: Hàm phân phối FX ( x ) = 0 bên trái miền giá trị của X
và FX ( x ) = 1 bên phải miền giá trị của X.
• 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu
nhiên liên tục)
• Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng
ngẫu nhiên X liên tục là: f X ( x ) = f ( x ) = FX ( x ) x
/
x
• Định lý 2.1:
FX ( x ) = ∫ f X ( t ) dt
−∞
( 1) f ( x) ≥ 0
• Tính chất:
+∞
t/c đặc trưng
( 2 ) ∫ f ( x) dx = 1
−∞ b
(3) P ( a < X < b) = ∫ f X ( x ).dx
a
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 5
@Copyright 2010
- Chú ý: Hàm mật độ f X ( x ) = 0 bên ngoài mi ền giá tr ị
của X.
a cos 2 x, x ∈ [ 0, π / 2]
• Ví dụ 2.4:
X : f ( x) =
x ∉ [ 0, π / 2]
0,
• 1.Xác định a
• π /2 π /2
+∞
a
∫ ( 1 + cos2x ) d x
1 = ∫ f (x )d x = ∫ a cos xd x = 2
→ 2
−∞ 0 0
a sin2x π /2 a π 4
= x + = . ⇒a=
÷
π
2 2 0 22
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 6
@Copyright 2010
- 2. Hãy tìm hàm phân phối FX ( x )
0 , neá x < 0
u
x
2 sin 2x
x
π
4 2
() ()
FX x = ∫ f t d t = ∫ cos td t = x + ÷ , neá 0 ≤ x ≤
u
0π π 2 2
−∞
1 , neá x > π / 2
u
3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng:
( −π / 4, π / 4 )
Ρ ( −π / 4 < X < π / 4 ) = F ( π / 4 ) − F ( −π / 4 )
π /4 π /4
Ρ ( −π / 4 < X < π / 4 ) = f ( x ) dx =
∫ ∫ (4 / π ) cos 2 xdx
− π /4 0
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 7
@Copyright 2010
- • Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ
cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi. Lập dãy
phân phối của số lần ném của mỗi người và tổng số
bóng của cả 2 người nếu xác suất lọt rổ của người thứ
nhất, thứ hai là p1, p2 .
• Giải: Gọi q1 , q2 là xác suất ném trượt bóng của người 1,2
• X là số bóng của người thứ 1
• Y là số bóng của người thứ 2
• Z là tông số bong cua cả 2 người
̉ ́ ̉
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 8
@Copyright 2010
- 1 2 ... k .. .
X
q1q2 ( p1 + q1 p2 ) ..... q1k −1q2 −1 ( p1 + q1 p2 )
p1 + q1 p2 k
...
Ρ X
Y 0 1 2 ... k ...
q1q2 q1 ( p2 + q2 p1 ) . . . q1k −1q2 −1 [ ....] . . .
q1 ( p2 + q2 p1 ) k
ΡY p1
2k − 1 2k
Z
q1k −1q2 −1 p1 q1k q2 −1 p2 k = 1, 2,...
k k
,
Ρ Z
Xác Suất Thống Kê. Chương 2
Khoa Khoa Học và Máy Tính 9
@Copyright 2010
- §3: Véc tơ ngẫu nhiên
I. Vectơ ngẫu nhiên
Giả sử X 1 , X 2 ,..., X n là các đ ại l ượng ng ẫu nhiên đ ược xác
định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấyX = ( X 1 , X 2 ,..., X n )
được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều
II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).
1. Bảng phân phối xác suất đồng thời:
Ρ ( Χ = xi , Y = y j ) = pij , i = 1, k ; j = 1, h
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 10
@Copyright 2010
- y
Y y1 y2 … yh Px
X
x1 P11 P12 P1h P1
x2 P21 P22 P2h P2
x …
xk Pk1 Pk2 Pkh Pk
PY q1 q2 qh 1
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 11
@Copyright 2010
- 2. Bảng phân phối xác suất lề của X và Y
h
pi =Ρ( Χ= xi ) =∑ ij , i =1, k
p
j=1
k
q j =Ρ( Y = y j ) =∑ ij , j =1, h
p
i=1
3. Điều kiện độc lập của X và Y
Định lý 3.1: X,Y độc lập ⇔ ∀i, j : pij = pi .q j
4. Các bảng phân phối xác suất có điều kiện.
pij
ΡX = i / Y = j ) = ,i = k
( x y 1,
qj
pij
Ρ =j / X = i) = ,j= h
(Y y x 1,
pi
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 12
@Copyright 2010
- 5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên
tục)
F ( x, y ) = Ρ ( X < x , Y < y )
Định nghĩa 3.1:
Tính chất:
(1) F ( x, y ) là một hàm không giảm theo t ừng bi ến
(2) F (−∞ , −∞ ) = 0, F (+∞ , +∞ ) = 1
(3) Ρ (a ≤ X < b, c ≤ Y < d ) = F (a, c) + F (b, d ) − F (a, d ) − F (b, c )
Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên toàn b ộ
mặt phẳng.
(2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phôi xác suất nh ư
́
F ( x, y ) = ∑ ij
trên, khi ấy ta có:
p
xi
- Ví dụ 3.1: Giả sử x,y có bảng phân phối xác suất sau:
y
Y 3 5
ΡX
X
x 0 0,1 0,2 0,3
2 0,3 0,4 0,7
0,4 0.6 1
Ρ Y
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 14
@Copyright 2010
- .
X 02
(1)Tim bang phân phôi xac suât lề cua X:
̀ ̉ ́ ́ ́ ̉
P X 0,3 0,7
(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y
0,1 ≠ 0,3.0, 4 ⇒ X , Y là phụ thuộc
X 0 2
̀ ̉ ́ ̉
(3)Tim bang phân phôi cua X khi Y=5:
0.2 0.4
̀ ̀ ́
(4)Tim ham phân phôi: P X / Y =5
0.6 0.6
x ≤ 0∨ y ≤ 3
0,
0.1, 0 < x ≤ 2,3 < y ≤ 5
F ( x, y ) = 0.1 + 0.2, 0 < x ≤ 2,5 < y
0.1 + 0.3,
2 < x,3 < y ≤ 5
1,
2 < x,5 < y
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 15
@Copyright 2010
- III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)
1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)
2.Hàm mật độ xác suất đồng thời:
Định nghĩa 3.2:
∂ F ( x, y )
2
f ( x, y ) =
∂∂
xy
Định lý 3.2:
x y
F ( x, y ) = ∫ ∫ f ( u , v ) dudv
1 2 −∞
44 3
−∞
Dxy
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 16
@Copyright 2010
- HÌNH 3.1
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 17
@Copyright 2010
- Tính chất:
(1) f ( x, y ) ≥0
TCDT
(2) ∫ f ( x, y ) dxdy =1
∫
R2
(3) Ρ ( ( x, y ) ∈ D ) = ∫∫ f ( x, y ) dxdy
D
3. Các hàm mật độ xác suất lề.
+∞
( x ) =∫ ∞ ( x, y ) dy
fX f
−
+∞
( y ) =∫ ∞ ( x, y ) dx
fY f
−
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 18
@Copyright 2010
- .Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề:
( x ) = ( x, + )
∞
FX F
( y ) = (+ , y )
∞
F F
Y
4.Điều kiện độc lập của X và Y
X,Y độc lập ⇔ f ( x, y ) = f X ( x ) . fY ( y )
⇔ F ( x, y ) = FX ( x ) .FY ( y )
5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện:
( x , y0 )
f
f X /Y = 0 ( x ) =
f Y ( y0 )
y
f ( x0 , y )
( y) =
fY / X = 0
f X ( x0 )
x
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 19
@Copyright 2010
- Ví dụ 3.2: Cho
6 44 7 4 48
Ω
a .e −x −y , neá 0 ≤ < ∞
f ( x, y ) = u ≤x y +
0 , neá traù laï .
u i i
1.Xác định tham số a.
+∞ +∞
( x, y ) dxdy = a ∫
1 = ∫∫ f dx ∫ −x −y
e dy
0 x
2
R
a
+∞
=a ∫ −x
dx = ⇒a = 2
2
e
2
0
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 20
@Copyright 2010
nguon tai.lieu . vn