Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hệ thức lượng giác và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRỊNH THỊ XUÂN TRANG

HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2016

Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Phản biện 2: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng
08 năm 2016.

Có thể tìm Luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lượng giác là một trong những lĩnh vực cơ bản của toán học,
đã tồn tại , phát triển trong hàng ngàn năm qua, và có nhiều ứng
dụng trong khoa học và thực tiễn. Trong khuôn khổ chương trình
toán phổ thông hiện hành, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm
lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: công thức
lượng giác, phương trình lượng giác và hệ thức lượng giác. Tuy
nhiên, chủ đề hệ thức lượng giác và đặc biệt là phần ứng dụng của nó
được đề cập đến với một thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức
độ nhất định. Hệ thức lượng giác là một chuyên đề tương đối khó đối
với học sinh phổ thông. Đồng thời, trong các đề thi tuyển sinh Đại
học và cao đẳng, thi học sinh giỏi toán quốc gia, quốc tế hằng năm
thường gặp những bài toán có liên quan đến các hệ thức lượng giác
cùng những ứng dụng của nó.
Là một giáo viên đang giảng dạy môn Toán ở trường phổ
thông, với mục đích tìm hiểu các ứng dụng của lượng giác trong
chương trình trung học phổ thông, nên tôi chọn đề tài cho luận văn
thạc sĩ của mình là : “Hệ thức lượng giác và ứng dụng”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các kiến thức cơ bản về lượng giác, đặc biệt là các hệ
thức lượng giác.
Hệ thống và phân loại một số lớp bài toán có thể giải được
bằng các hệ thức lượng giác.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Các hệ thức lượng giác.

2

Các ứng dụng của hệ thức lượng giác trong tam giác và
tứ giác.
Các bài toán thuộc chương trình phổ thông có thể giải được
bằng cách sử dụng các hệ thức lượng giác.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội
dung đề tài luận văn.
Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn.
Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn,
của các chuyên gia và của các đồng nghiệp.
5. Nội dung của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham
khảo, luận văn được chia thành 3 chương
Chương 1. Trình bày sơ lược các hệ thức lượng giác và một số
bất đẳng thức đại số hay sử dụng trong các chương sau.
Chương 2. Trình bày các bài toán về hệ thức lượng giác trong
tam giác.
Chương 3. Trình bày các bài toán về hệ thức lượng giác trong
tứ giác.
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này nhắc lại những hệ thức lượng giác cơ bản và một
số bất đẳng thức đại số nhằm làm cơ sở cho các chương sau.
1.1. CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
1.1.1. Đẳng thức lƣợng giác
a. Độ dài đường trung tuyến của tam giác

3

m 
2
a

2  b2  c2   a 2
4

; m 
2
b

2  a 2  c2   b2

; m 
2
c

4

2  a 2  b2   c2
4

b. Độ dài đường cao của tam giác

2S
2S
2S
; hb 
;
hc 
a
b
c
c. Độ dài đường phân giác trong của tam giác
ha 

2bc
2ac
cos A ; lb 
cos B
bc
ac
d. Diện tích tam giác
la 

;

lc 

2ab
cos C
ab

1
1
1
1
1
1
S  aha  bhb  chc S  ab sin C  bc sin A  ac sin B
2
2
2
2
2
2
S

abc
; S  pr ; S  p  p  a  p  b  p  c 
4R
S  ra  p  a   rb  p  b   rc  p  c 

e. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

a
b
c
abc



2sin A 2sin B 2sin C 4S
f. Bán kính đường tròn nội tiếp
R

r

S
p

; r   p  a  tan

A
B
C
  p  b  tan   p  c  tan
2
2
2

g. Bán kính đường tròn bàng tiếp các góc của tam giác
ra 

S
pa

;

rb 

S
p b

;

rc 

S
pc

h. Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác

A
B
C
sin A  sin B  sin C  4cos .cos .cos
2
2
2
sin2 A  sin2B  sin2C  4sin A.sin B.sin C