Xem mẫu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
……..….***…………
TRẦN ĐÌNH HÙNG
PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG
MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH
TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – 2016
Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Đặng Quang Á
Phản biện 1: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn
Phản biện 2: PGS. TS. Hoàng Văn Lai
Phản biện 3: TS. Nguyễn Công Điều
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại Học
viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam vào hồi … giờ …, ngày … tháng … năm 201….
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
MỞ ĐẦU
Nhiều bài toán vật lý, cơ học, môi trường, . . . được đặt ra trong các miền không
giới nội (hay còn gọi là các miền vô hạn), chẳng hạn, bài toán truyền nhiệt trong
thanh dài vô hạn hoặc nửa vô hạn, bài toán lan truyền khí thải trong khí quyển,
bài toán thăm dò địa chất bằng điện trường, bài toán lan truyền sóng trong các
lĩnh vực: âm học, khí động học, địa vật lý chất rắn, hải dương học, khí tượng học,
điện từ, ... Để giải quyết các bài toán này, người ta thường hạn chế xét bài toán
trong miền giới nội và sử dụng nhiều phương pháp đã có để tìm nghiệm chính xác
hoặc nghiệm gần đúng trong miền hữu hạn này. Khi đó một loạt vấn đề đặt ra là
xét miền rộng bao nhiêu là đủ và đặt điều kiện trên biên ảo như thế nào để thu
được nghiệm gần đúng xấp xỉ tốt nghiệm của bài toán trong miền không giới nội.
Cách làm đơn giản nhất là chuyển nguyên điều kiện biên tại vô cùng vào biên ảo.
Cách làm thô thiển này tất nhiên có thể dẫn đến sự sai khác lớn của nghiệm bài
toán gốc. Vì thế, thay cho việc chuyển nguyên điều kiện biên người ta tìm cách
đặt điều kiện biên thích hợp trên biên ảo. Những điều kiện biên này được gọi là
điều kiện biên nhân tạo hay điều kiện biên hấp thụ (ABC) (artificial or absorbing
boundary condition) khi một số "năng lượng" bị hấp thụ trên biên. Hiện nay, hầu
hết các kỹ thuật được áp dụng để thiết lập ABC có thể chia thành hai cách thực
hiện: Cách thứ nhất (ABC toàn cục), ABC thường được cho dưới dạng các biểu
thức tích phân trên biên ảo. ABC toàn cục thường đạt được độ chính xác cao và
thuật toán số tin cậy nhưng lại khá phức tạp và khó thực hiện tính toán. Cách
thứ hai (ABC địa phương), ABC thường được cho dưới dạng một phương trình
trên biên ảo. ABC địa phương có thuật toán đơn giản, dễ dàng thực hiện giải
số tuy nhiên chúng lại có độ chính xác không cao bằng. Tsynkov đã thực hiện
so sánh một số bài toán đánh giá sự khác biệt của hai cách thực hiện trên. Nếu
nghiệm xấp xỉ hạn chế trên miền giới nội trùng với nghiệm chính xác trên miền
không giới nội thì các ABC này được gọi là các ABC chính xác hay điều kiện biên
trong suốt (transparent boundary condition).
Trong các bài toán về phương trình sóng (điện từ, âm thanh, địa chấn,...),
ABC thường được đề cập đến như các điều kiện biên không phản xạ (NRBC)
(non-reflecting boundary condition). Chúng được xây dựng với mục đích xấp xỉ
nghiệm chính xác của bài toán trong miền không giới nội giới hạn trong miền giới
nội. Sử dụng NRBC, miền không giới nội được chia thành hai phần, miền hữu
hạn tính toán và miền vô hạn còn lại. Điều kiện biên đặc biệt được thiết lập trên
ABC đảm bảo nghiệm trong miền hữu hạn là duy nhất và không có (hoặc rất
ít) sự phản xạ của sóng ảo xảy ra từ ABC. Đây là hướng nghiên cứu được rất
1
nhiều nhà toán học, cơ học, vật lý quan tâm. Các ABC chính xác được nghiên
cứu cho phương trình truyền nhiệt, phương trình khuếch tán-truyền tải, phương
trình Schrodinger, ...
Trong các bài toán trong miền không giới nội sử dụng ABC, có một nhận xét
rằng trong các giả thiết của bài toán gốc, hàm vế phải và các điều kiện biên ban
đầu thông thường được giả thiết có giá compact trong không gian. Đây là điều
kiện quan trọng trong việc chia miền không giới nội thành hai miền tính toán con
giới nội và không giới nội trong các phương pháp sử dụng ABC.
Gần đây một số nhà toán học Nga đã đề xuất một cách xử lý mới các bài toán
trong miền vô hạn, đó là sử dụng lưới tính toán tựa đều. Phương pháp này dựa
trên việc biến đổi tọa độ, ánh xạ miền không giới nội tới miền giới nội. Một lưới
đều trong miền bị chặn ánh xạ tới một lưới không đều được gọi là lưới tựa đều
trong miền vô hạn. Theo lưới tựa đều, điều kiện biên tại vô cùng được xử lý một
cách dễ dàng. Ý tưởng của phương pháp này xuất hiện từ những năm bảy mươi
của thế kỷ trước nhưng việc sử dụng nó để giải các bài toán trong miền không
giới nội chỉ mới cách đây hơn một thập kỷ.
Khác với các cách làm trên, chúng tôi tiếp cận tới các bài toán biên tuyến tính
trong miền không giới nội bởi hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Nói
chính xác hơn là chúng tôi xây dựng lược đồ sai phân của bài toán trong toàn
miền không giới nội và giải hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính thu được
thông qua việc chặt cụt hệ phương trình vô hạn, thu được nghiệm của bài toán sai
phân với sai số cho trước. Một số kết quả đối với các bài toán ô nhiễm khí quyển
dừng và một số bài toán không dừng một chiều không gian đã được công bố. Gần
đây, chúng tôi đã phát triển thành công phương pháp cho một bài toán elliptic
trong nửa dải. Cụ thể là, sau khi rời rạc hóa bài toán bởi phương pháp sai phân,
sử dụng ý tưởng của Polozhii trong phương pháp biểu diễn tổng chúng tôi đã đưa
được hệ vô hạn phương trình véc tơ ba điểm về các hệ phương trình sai phân vô
hướng ba điểm và thu nhận được nghiệm gần đúng của bài toán với sai số cho
trước. Cần nhấn mạnh ở đây rằng, trong phương pháp này các hàm vế phải và
các điều kiện ban đầu không cần giả thiết có giá compact - điều kiện tiên quyết
trong các phương pháp sử dụng ABC. Có thể nói đây là một phương pháp mới,
áp dụng có hiệu quả đối với các bài toán trong miền không giới nội mà phương
trình cuối được đưa về dạng hệ phương trình vô hạn ba điểm. Phương pháp này
cũng có thể được sử dụng một cách linh hoạt khi kết hợp với các phương pháp
khác như phương pháp chia miền giải các bài toán biên hỗn hợp mạnh trong miền
không giới nội. Hơn nữa, thuật toán số có thể dễ dàng lập trình tính toán trên
máy tính điện tử. Tuy nhiên chúng tôi mới chỉ áp dụng thành công phương pháp
này cho các bài toán biên tuyến tính trong miền không giới nội.
Những đóng góp mới của luận án:
- Đề xuất phương pháp hệ vô hạn giải một số bài toán một chiều trong nửa trục.
- So sánh phương pháp hệ vô hạn trên lưới không đều có cấu trúc và phương pháp
lưới tựa đều.
- Thiết lập sự ổn định và hội tụ của một phương trình elliptic trong nửa dải, đề
xuất phương pháp đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm về hệ phương trình vô
hướng ba điểm.
2
- Đề xuất phương pháp lặp giải bài toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh
trong nửa dải.
- Đề xuất một phương pháp số giải một bài toán song điều hòa trong nửa dải.
Nội dung luận án gồm 3 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ bao gồm một
số kiến thức cơ bản về phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình vô hướng ba
điểm, hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính, lưới tựa đều và giới thiệu về thư
viện chương trình giải số bài toán elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp yếu. Các
kiến thức cơ bản và kết quả thu được trong chương 1 sẽ đóng vai trò rất quan
trọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽ được trình bày trong chương 2 và chương
3.
Chương 2 đề xuất phương pháp hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính
và trình bày phương pháp sử dụng lưới tựa đều giải một số bài toán một chiều
trên nửa trục là mô hình của các quá trình vật lý như truyền nhiệt dừng, truyền
nhiệt không dừng, bài toán mô phỏng hiện tượng sóng, so sánh phương pháp hệ
vô hạn trên lưới đều, lưới không đều với các nút lưới tăng dần và phương pháp
lưới tựa đều.
Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về giải gần đúng một số bài toán
hai chiều trong miền không giới nội. Đầu tiên chúng tôi giải một bài toán elliptic
trong nửa dải, trong đó sử dụng ý tưởng của Polozhii trong phương pháp biểu
diễn tổng để đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm về hệ phương trình vô hướng
ba điểm. Tiếp theo chúng tôi giải bài toán biên hỗn hợp mạnh trong nửa dải,
trong đó có một điểm trên biên vô hạn phân cách các loại điều kiện biên, sử dụng
phương pháp chia miền đưa về hai bài toán elliptic trong miền giới nội và miền
không giới nội. Đồng thời trong chương này cũng trình bày phương pháp số giải
bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp yếu trong nửa dải thông qua
việc giải hai bài toán cấp hai trong nửa dải.
Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực nghiệm
tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 7.0 trên máy tính Intel Core
i7-2670QM CPU 2.2GHz.
3
nguon tai.lieu . vn
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
……..….***…………
TRẦN ĐÌNH HÙNG
PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG
MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH
TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – 2016
Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Đặng Quang Á
Phản biện 1: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn
Phản biện 2: PGS. TS. Hoàng Văn Lai
Phản biện 3: TS. Nguyễn Công Điều
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại Học
viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam vào hồi … giờ …, ngày … tháng … năm 201….
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
MỞ ĐẦU
Nhiều bài toán vật lý, cơ học, môi trường, . . . được đặt ra trong các miền không
giới nội (hay còn gọi là các miền vô hạn), chẳng hạn, bài toán truyền nhiệt trong
thanh dài vô hạn hoặc nửa vô hạn, bài toán lan truyền khí thải trong khí quyển,
bài toán thăm dò địa chất bằng điện trường, bài toán lan truyền sóng trong các
lĩnh vực: âm học, khí động học, địa vật lý chất rắn, hải dương học, khí tượng học,
điện từ, ... Để giải quyết các bài toán này, người ta thường hạn chế xét bài toán
trong miền giới nội và sử dụng nhiều phương pháp đã có để tìm nghiệm chính xác
hoặc nghiệm gần đúng trong miền hữu hạn này. Khi đó một loạt vấn đề đặt ra là
xét miền rộng bao nhiêu là đủ và đặt điều kiện trên biên ảo như thế nào để thu
được nghiệm gần đúng xấp xỉ tốt nghiệm của bài toán trong miền không giới nội.
Cách làm đơn giản nhất là chuyển nguyên điều kiện biên tại vô cùng vào biên ảo.
Cách làm thô thiển này tất nhiên có thể dẫn đến sự sai khác lớn của nghiệm bài
toán gốc. Vì thế, thay cho việc chuyển nguyên điều kiện biên người ta tìm cách
đặt điều kiện biên thích hợp trên biên ảo. Những điều kiện biên này được gọi là
điều kiện biên nhân tạo hay điều kiện biên hấp thụ (ABC) (artificial or absorbing
boundary condition) khi một số "năng lượng" bị hấp thụ trên biên. Hiện nay, hầu
hết các kỹ thuật được áp dụng để thiết lập ABC có thể chia thành hai cách thực
hiện: Cách thứ nhất (ABC toàn cục), ABC thường được cho dưới dạng các biểu
thức tích phân trên biên ảo. ABC toàn cục thường đạt được độ chính xác cao và
thuật toán số tin cậy nhưng lại khá phức tạp và khó thực hiện tính toán. Cách
thứ hai (ABC địa phương), ABC thường được cho dưới dạng một phương trình
trên biên ảo. ABC địa phương có thuật toán đơn giản, dễ dàng thực hiện giải
số tuy nhiên chúng lại có độ chính xác không cao bằng. Tsynkov đã thực hiện
so sánh một số bài toán đánh giá sự khác biệt của hai cách thực hiện trên. Nếu
nghiệm xấp xỉ hạn chế trên miền giới nội trùng với nghiệm chính xác trên miền
không giới nội thì các ABC này được gọi là các ABC chính xác hay điều kiện biên
trong suốt (transparent boundary condition).
Trong các bài toán về phương trình sóng (điện từ, âm thanh, địa chấn,...),
ABC thường được đề cập đến như các điều kiện biên không phản xạ (NRBC)
(non-reflecting boundary condition). Chúng được xây dựng với mục đích xấp xỉ
nghiệm chính xác của bài toán trong miền không giới nội giới hạn trong miền giới
nội. Sử dụng NRBC, miền không giới nội được chia thành hai phần, miền hữu
hạn tính toán và miền vô hạn còn lại. Điều kiện biên đặc biệt được thiết lập trên
ABC đảm bảo nghiệm trong miền hữu hạn là duy nhất và không có (hoặc rất
ít) sự phản xạ của sóng ảo xảy ra từ ABC. Đây là hướng nghiên cứu được rất
1
nhiều nhà toán học, cơ học, vật lý quan tâm. Các ABC chính xác được nghiên
cứu cho phương trình truyền nhiệt, phương trình khuếch tán-truyền tải, phương
trình Schrodinger, ...
Trong các bài toán trong miền không giới nội sử dụng ABC, có một nhận xét
rằng trong các giả thiết của bài toán gốc, hàm vế phải và các điều kiện biên ban
đầu thông thường được giả thiết có giá compact trong không gian. Đây là điều
kiện quan trọng trong việc chia miền không giới nội thành hai miền tính toán con
giới nội và không giới nội trong các phương pháp sử dụng ABC.
Gần đây một số nhà toán học Nga đã đề xuất một cách xử lý mới các bài toán
trong miền vô hạn, đó là sử dụng lưới tính toán tựa đều. Phương pháp này dựa
trên việc biến đổi tọa độ, ánh xạ miền không giới nội tới miền giới nội. Một lưới
đều trong miền bị chặn ánh xạ tới một lưới không đều được gọi là lưới tựa đều
trong miền vô hạn. Theo lưới tựa đều, điều kiện biên tại vô cùng được xử lý một
cách dễ dàng. Ý tưởng của phương pháp này xuất hiện từ những năm bảy mươi
của thế kỷ trước nhưng việc sử dụng nó để giải các bài toán trong miền không
giới nội chỉ mới cách đây hơn một thập kỷ.
Khác với các cách làm trên, chúng tôi tiếp cận tới các bài toán biên tuyến tính
trong miền không giới nội bởi hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Nói
chính xác hơn là chúng tôi xây dựng lược đồ sai phân của bài toán trong toàn
miền không giới nội và giải hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính thu được
thông qua việc chặt cụt hệ phương trình vô hạn, thu được nghiệm của bài toán sai
phân với sai số cho trước. Một số kết quả đối với các bài toán ô nhiễm khí quyển
dừng và một số bài toán không dừng một chiều không gian đã được công bố. Gần
đây, chúng tôi đã phát triển thành công phương pháp cho một bài toán elliptic
trong nửa dải. Cụ thể là, sau khi rời rạc hóa bài toán bởi phương pháp sai phân,
sử dụng ý tưởng của Polozhii trong phương pháp biểu diễn tổng chúng tôi đã đưa
được hệ vô hạn phương trình véc tơ ba điểm về các hệ phương trình sai phân vô
hướng ba điểm và thu nhận được nghiệm gần đúng của bài toán với sai số cho
trước. Cần nhấn mạnh ở đây rằng, trong phương pháp này các hàm vế phải và
các điều kiện ban đầu không cần giả thiết có giá compact - điều kiện tiên quyết
trong các phương pháp sử dụng ABC. Có thể nói đây là một phương pháp mới,
áp dụng có hiệu quả đối với các bài toán trong miền không giới nội mà phương
trình cuối được đưa về dạng hệ phương trình vô hạn ba điểm. Phương pháp này
cũng có thể được sử dụng một cách linh hoạt khi kết hợp với các phương pháp
khác như phương pháp chia miền giải các bài toán biên hỗn hợp mạnh trong miền
không giới nội. Hơn nữa, thuật toán số có thể dễ dàng lập trình tính toán trên
máy tính điện tử. Tuy nhiên chúng tôi mới chỉ áp dụng thành công phương pháp
này cho các bài toán biên tuyến tính trong miền không giới nội.
Những đóng góp mới của luận án:
- Đề xuất phương pháp hệ vô hạn giải một số bài toán một chiều trong nửa trục.
- So sánh phương pháp hệ vô hạn trên lưới không đều có cấu trúc và phương pháp
lưới tựa đều.
- Thiết lập sự ổn định và hội tụ của một phương trình elliptic trong nửa dải, đề
xuất phương pháp đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm về hệ phương trình vô
hướng ba điểm.
2
- Đề xuất phương pháp lặp giải bài toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh
trong nửa dải.
- Đề xuất một phương pháp số giải một bài toán song điều hòa trong nửa dải.
Nội dung luận án gồm 3 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ bao gồm một
số kiến thức cơ bản về phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình vô hướng ba
điểm, hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính, lưới tựa đều và giới thiệu về thư
viện chương trình giải số bài toán elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp yếu. Các
kiến thức cơ bản và kết quả thu được trong chương 1 sẽ đóng vai trò rất quan
trọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽ được trình bày trong chương 2 và chương
3.
Chương 2 đề xuất phương pháp hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính
và trình bày phương pháp sử dụng lưới tựa đều giải một số bài toán một chiều
trên nửa trục là mô hình của các quá trình vật lý như truyền nhiệt dừng, truyền
nhiệt không dừng, bài toán mô phỏng hiện tượng sóng, so sánh phương pháp hệ
vô hạn trên lưới đều, lưới không đều với các nút lưới tăng dần và phương pháp
lưới tựa đều.
Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về giải gần đúng một số bài toán
hai chiều trong miền không giới nội. Đầu tiên chúng tôi giải một bài toán elliptic
trong nửa dải, trong đó sử dụng ý tưởng của Polozhii trong phương pháp biểu
diễn tổng để đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm về hệ phương trình vô hướng
ba điểm. Tiếp theo chúng tôi giải bài toán biên hỗn hợp mạnh trong nửa dải,
trong đó có một điểm trên biên vô hạn phân cách các loại điều kiện biên, sử dụng
phương pháp chia miền đưa về hai bài toán elliptic trong miền giới nội và miền
không giới nội. Đồng thời trong chương này cũng trình bày phương pháp số giải
bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp yếu trong nửa dải thông qua
việc giải hai bài toán cấp hai trong nửa dải.
Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực nghiệm
tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 7.0 trên máy tính Intel Core
i7-2670QM CPU 2.2GHz.
3