- Trang Chủ
- Khoa học tự nhiên
- Tóm tắt Luận án tiến sĩ ngành Khoa học vật chất: Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích dao động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều
Xem mẫu
- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
TRẦN THỊ THƠM
MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM
CÓ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU
Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số : 9440107
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ
NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT
Hà nội – 2019
- Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ -
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên
Người hướng dẫn khoa học 2: PGS.TS. Nguyễn Xuân Thành
Phản biện 1: GS.TS. Hoàng Xuân Lượng
Phản biện 2: GS.TS. Phạm Chí Vĩnh
Phản biện 3: PGS.TS. Phan Bùi Khôi
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp
Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ..’, ngày … tháng
… năm 2019
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- 1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của luận án
Phần lớn các công bố về dao động của dầm liên quan tới dầm có cơ
tính biến đổi theo một chiều, chiều cao hoặc chiều dài dầm. Trong nhiều
tình huống thực tế, kết cấu FGM nói chung và dầm FGM nói riêng có thể
chịu các tải trọng cơ, nhiệt thay đổi theo nhiều phương khác nhau. Tối ưu
hóa độ bền và trọng lượng kết cấu bằng cách thay đổi tỷ phần thể tích các
vật liệu thành phần của FGM theo nhiều hướng không gian khác nhau là
vấn đề có ý nghĩa thực tế, được các nhà khoa học trên thế giới, đặc biệt
ở Nhật Bản thực hiện trong những năm gần đây. Phân tích kết cấu có cơ
tính thay đổi theo nhiều phương khác nhau nói chung và dao động của
dầm FGM có cơ tính biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm (dầm
2D-FGM) nói riêng, vì thế có ý nghĩa khoa học, được đặt ra từ nhu cầu
thực tế. Khi tính chất cơ-lý của dầm 2D-FGM thay đổi theo chiều dài, các
hệ số trong phương trình vi phân chuyển động của dầm là hàm của tọa độ
không gian dọc theo trục dầm. Vì thế các phương pháp giải tích thường
gặp khó khăn trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Phương pháp
phần tử hữu hạn (PTHH) với nhiều thế mạnh trong phân tích kết cấu, là
lựa chọn hàng đầu để thay thế các phương pháp giải tích truyền thống
trong nghiên cứu bài toán này. Phát triển các mô hình PTHH, tức là xây
dựng các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng, dùng trong phân tích
dao động của dầm 2D-FGM là vấn đề có ý nghĩa khoa học, góp phần thúc
đẩy ứng dụng của vật liệu FGM vào thực tế. Từ những phân tích nêu trên,
tác giả đã lựa chọn đề tài "Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích dao
động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều" làm đề tài nghiên cứu
cho Luận án của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án
Luận án nhằm phát triển một số mô hình PTHH dùng trong phân tích
dao động của dầm 2D-FGM. Các mô hình này cần có độ tin cậy cao, tốc
độ hội tụ tốt và đánh giá được ảnh hưởng của tham số vật liệu, tham số
hình học cũng như có khả năng mô phỏng được ảnh hưởng của biến dạng
trượt tới các đặc trưng dao động và các đáp ứng động lực học của dầm
2D-FGM.
3. Các nội dung nghiên cứu chính của luận án
Bốn nội dung nghiên cứu chính được trình bày trong bốn chương của
- 2
Luận án. Cụ thể, Chương 1 trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu
trong và ngoài nước về kết cấu dầm 1D và 2D-FGM. Chương 2 trình
bày mô hình toán học và các đặc trưng cơ học cho dầm 2D-FGM. Các
phương trình cho mô hình toán học được xây dựng dựa trên hai lý thuyết
biến dạng trượt là lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và lý thuyết biến
dạng trượt bậc ba cải tiến. Chương 3 trình bày việc xây dựng các mô
hình PTHH trên cơ sở các lý thuyết dầm và các hàm nội suy khác nhau.
Chương 4 trình bày các kết quả số nhận được từ việc phân tích các bài
toán cụ thể.
Chương 1. TỔNG QUAN
Chương này trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu về phân tích
dầm FGM trên thế giới và trong nước. Các kết quả phân tích được thảo
luận trên cơ sở hai phương pháp nghiên cứu là phương pháp giải tích và
phương pháp số. Phần phân tích tổng quan cho thấy phương pháp số trong
đó có phương pháp PTHH là lựa chọn cần thiết để thay thế các phương
pháp giải tích truyền thống trong việc phân tích kết cấu 2D-FGM nói
chung và dao động của dầm 2D-FGM nói riêng. Trên cơ sở đánh giá tổng
quan, Luận án đã lựa chọn đề tài nghiên cứu và đề ra các vấn đề nghiên
cứu cụ thể.
Chương 2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Chương này trình bày mô hình toán học và các đặc trưng cơ học cho
dầm 2D-FGM. Các phương trình cơ bản của dầm được xây dựng dựa trên
hai lý thuyết biến dạng trượt là lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT)
và lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến (ITSDT) do Shi [40] đề nghị.
Đặc biệt, theo ITSDT, các phương trình cơ bản được xây dựng dựa trên
hai cách biểu diễn, sử dụng góc quay của thiết diện ngang θ hoặc góc
trượt ngang γ0 làm hàm độc lập. Ảnh hưởng của nhiệt và sự thay đổi của
thiết diện ngang cũng được xét tới trong các phương trình.
2.1. Mô hình dầm 2D-FGM
Giả sử dầm được tạo bởi bốn vật liệu thành phần khác nhau, hai gốm
- ký hiệu là C1 và C2 và hai loại kim loại - ký hiệu là M1 và M2. Dầm
được đặt trong hệ tọa độ Đề-các (Oxyz) như được minh họa trên Hình
2.1.
- 3
Z
z
C1 C2
0 h
X y
M1 M2
b
L, b, h
Hình 2.1. Mô hình dầm 2D-FGM
Tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần được giả định thay đổi
theo chiều cao và chiều dài dầm như sau:
z 1 nz h
x nx i
VC1 = + 1−
h 2 L
nz
z 1 x nx
VC2 = +
h 2 L
nz h x nx i (2.1)
z 1
VM1 = 1 − + 1−
h 2 L
nz
z 1 x n x
VM2 = 1 − +
h 2 L
Các tính chất hiệu dụng P (chẳng hạn mô-đun đàn hồi, mô-đun trượt,
mật độ khối,...) của dầm 2D-FGM trong Luận án được đánh giá theo mô
hình Voigt:
P = VC1 PC1 +VC2 PC2 +VM1 PM1 +VM2 PM2 (2.2)
Khi dầm đặt trong môi trường nhiệt độ, các tính chất hiệu dụng của
dầm không chỉ phụ thuộc vào tính chất của các vật liệu thành phần mà
còn phụ thuộc vào nhiệt độ môi trường. Khi đó, ta viết được biểu thức
- 4
cho các tính chất hiệu dụng của dầm dưới dạng chính xác như sau:
h i z 1 nz h x nx i
P(x, z, T ) = PC1 (T ) − PM1 (T ) + + PM1 (T ) 1 −
h 2 L
h i z 1 nz
x nx
+ PC2 (T ) − PM2 (T ) + + PM2 (T )
h 2 L
(2.4)
Với một số trường hợp riêng, chẳng hạn nx = 0 hoặc nz = 0, hoặc hai
gốm giống nhau và hai kim loại giống nhau, mô hình dầm trong Luận án
quay về mô hình dầm 1D-FGM, và như vậy cho phép ta kiểm nghiệm mô
hình PTHH của Luận án bằng cách so sánh với kết quả phân tích dầm
1D-FGM khi không có kết quả số của dầm 2D-FGM. Lưu ý rằng mật độ
khối ít bị thay đổi bởi nhiệt độ và có thể giả thiết đại lượng này không
phụ thuộc vào nhiệt độ [41].
Tính chất của các vật liệu thành phần phụ thuộc vào nhiệt độ dưới
dạng hàm phi tuyến của nhiệt độ [125]:
P = P0 (P−1 T −1 + 1 + P1 T + P2 T 2 + P3 T 3 ) (2.7)
Luận án này nghiên cứu dầm 2D-FGM với chiều rộng và chiều cao
thay đổi tuyến tính theo trục dầm, tức là các dầm thon, với ba dạng thon
dưới đây [138]:
x x
Dạng thon A : A(x) = A0 1 − c , I(x) = I0 1 − c
L L
x x 3
Dạng thon B : A(x) = A0 1 − c , I(x) = I0 1 − c (2.9)
L L
x 2
x 4
Dạng thon C : A(x) = A0 1 − c , I(x) = I0 1 − c
L L
2.2. Lý thuyết dầm
Dựa trên các ưu, nhược điểm của các lý thuyết dầm, Luận án sẽ sử
dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT) của Timoshenko [127]
và lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến do Shi đề nghị (ITSDT) [40]
để xây dựng các mô hình PTHH.
2.3. Phương trình dựa trên FSDT
Việc xây dựng các phương trình cơ bản cũng như các biểu thức năng
lượng dựa trên lý thuyết FSDT và ITSDT là tương tự nhau. Mục 2.4 sẽ
trình bày chi tiết quá trình thiết lập các phương trình dựa trên ITSDT.
- 5
2.4. Phương trình dựa trên ITSDT
2.4.1. Phương trình biểu diễn theo θ
Từ trường chuyển vị Luận án nhận được các biểu thức cho biến dạng,
ứng suất. Khi đó năng lượng biến dạng đàn hồi cho dầm, UB nhận được
là:
ZL
"
1
UB = A11 εm2 + 2A12 εm εb + A22 εb2 − 2A34 εm εhs − 2A44 εb εhs
2
0
#
1 1 1
+ A66 εhs + 25
2
B11 − 2 B22 + 4 B44 γ0 dx 2
16 2h h
(2.27)
Các đại lượng A11 , A12 , A22 , A34 , A44 , A66 và B11 , B22 , B44 trong phương
trình trên là các độ cứng của dầm, được định nghĩa như sau:
Z
(A11 , A12 , A22 , A34 , A44 , A66 )(x, T ) = E(x, z, T )(1, z, z2 , z3 , z4 , z6 )dA
A(x)
Z
(B11 , B22 , B44 )(x, T ) = G(x, z, T )(1, z2 , z4 )dA
A(x)
(2.28)
Động năng của dầm
ZL
"
1 1 1
T = I11 (u˙20 + w˙ 20 ) + I12 u˙0 (w˙ 0,x + 5θ˙ ) + I22 (w˙ 0,x + 5θ˙ )2
2 2 16
0
#
10 5 25
− 2 I34 u˙0 (w˙ 0,x + θ˙ ) − 2 I44 (w˙ 0 + θ˙ )(w˙ 0 + 5θ˙ ) + 4 I66 (w˙ 0,x + θ˙ ) dx
2
3h 6h 9h
(2.29)
trong đó
Z
(I11 , I12 , I22 , I34 , I44 , I66 )(x) = ρ (x, z) 1, z, z2 , z3 , z4 , z6 dA
A(x)
(2.30)
là các mô-men khối lượng.
- 6
Các độ cứng và mô-men khối lượng cho dầm có thể biểu diễn dưới
dạng:
x nx
Ai j = AiC1M1
j − A C1M1
ij − A C2M2
ij
L
x nx (2.31)
C1M1 C1M1 C2M2
Bi j = Bi j − Bi j − Bi j
L
với AiC1M1
j , BiC1M1
j là các độ cứng của dầm 1D-FGM tạo bởi C1 và M1;
C2M2 C2M2
Ai j , Bi j là các độ cứng của dầm 1D-FGM tạo bởi C2 và M2. Các
độ cứng của dầm 1D chỉ là hàm của z do đó có thể thu được dưới dạng
tường minh.
2.4.2. Phương trình biểu diễn theo γ0
Bằng cách sử dụng góc trượt ngang (hay còn gọi là biến dạng trượt cổ
điển), γ0 = w0,x + θ , như là hàm độc lập, ta có thể viết chuyển vị dọc trục
và chuyển vị ngang trong (2.13) dưới dạng:
1 5
u(x, z,t) = u0 (x,t) + z 5γ0 − 4w0,x − 2 z3 γ0
4 3h (2.35)
w(x, z,t) = w0 (x,t)
Tương tự cách xây dựng các phương trình cơ bản theo cách biểu diễn
theo θ , Luận án cũng nhận được các phương trình cơ bản biểu diễn theo
γ0 .
2.5. Ứng suất nhiệt
Giả sử dầm không có ứng suất nhiệt khi nhiệt độ bằng nhiệt độ quy
chiếu T0 và chịu ứng suất nhiệt do sự thay đổi nhiệt độ. Ứng suất nhiệt
sinh ra do tăng một lượng nhiệt ∆T cho bởi [18, 70]:
T
σxx = −E(x, z, T )α (x, z, T )∆T (2.41)
trong đó mô-đun đàn hồi E(x, z, T ) và hệ số giãn nở nhiệt α (x, z, T ) được
tính từ phương trình (2.4).
Năng lượng biến dạng sinh ra do σxx T có dạng [18, 65]:
ZL
1
UT = NT w20,x dx (2.42)
2
0
- 7
trong đó NT là tổng lực dọc trục, sinh ra do ứng suất nhiệt σxx
T
:
Z Z
T
NT = σxx dA = − E(x, z, T )α (x, z, T )∆T dA
(2.43)
A(x) A(x)
Năng lượng biến dạng tổng thể là tổng của năng lượng biến dạng đàn
hồi UB và năng lượng sinh ra do sự tăng của nhiệt độ UT [70].
2.6. Thế năng của lực ngoài
Trường hợp dầm chịu tác động của một lực P không đổi (lực được giả
sử chỉ gây uốn cho dầm), di động với vận tốc không đổi v như xét trong
Luận án, thế năng của lực di động, V , cho bởi:
h i
V = −Pw0 (x,t)δ x − s(t) (2.44)
trong đó δ (.) là hàm delta Dirac; x là hoành độ tính từ đầu trái dầm đến
vị trí lực; t là thời gian tính từ thời điểm lực P đi vào nút trái của dầm, và
s(t) = vt là quãng đường lực P đi được.
2.7. Phương trình chuyển động
Việc xây dựng phương trình chuyển động được thực hiện cho trường
hợp ITSDT với γ0 là hàm độc lập. Phương trình chuyển động cho dầm
dựa trên FSDT và ITSDT với θ là hàm độc lập có thể nhận được bằng
cách tương tự. Áp dụng nguyên lý biến phân Hamilton cho các biểu thức
năng lượng, ta thu được hệ phương trình chuyển động cho dầm 2D-FGM
đặt trong trường nhiệt độ chịu một lực di động như sau:
"
1 5
I11 u¨0 + 5γ¨0 −4w¨ 0,x I12 − 2 I34 γ¨0 − A11 u0,x
4 3h
# (2.51)
1 5
+ A12 5γ0,x − 4w0,xx − 2 A34 γ0,x = 0
4 3h
,x
" # "
1 5
5γ¨0 − 4w¨ 0,x I22 − 2 I44 γ¨0 − A12 u0,x
I11 w¨ 0 + I12 u¨0 +
4 3h
,x
#
1 5 h i
+ A22 5γ0,x − 4w0,xx − 2 A44 γ0,x = NT w0,x − Pδ x − s(t)
4 3h ,x
,xx
(2.52)
- 8
1 1 1 1 5
I12 u¨0 + I22 5γ¨0 − 4w¨ 0,x − 2 I34 u¨0 − 2 I44 γ¨0 − w¨ 0,x
4 16 " 3h 3h 2
5 1 1 1
+ 4 I66 γ¨0 − A12 u0,x + A22 5γ0,x − 4w0,xx − 2 A34 u0,x
9h 4 16 3h
#
1 5 5 1 1 1
− 2 A44 γ0,x − w0,xx − 4 A66 γ0,x + 5 B11 − 2 B22 + 4 B44 γ0 = 0
3h 2 9h 16 2h h
,x
(2.53)
Để ý thấy rằng các hệ số trong hệ phương trình vi phân chuyển động
là các độ cứng và mô-men khối lượng của dầm, các đại lượng này là hàm
của biến không gian theo chiều dài dầm và nhiệt độ, do đó việc giải hệ
bằng phương pháp giải tích gặp nhiều khó khăn. Phương pháp PTHH
được Luận án lựa chọn để tính toán các đặc trưng dao động của dầm.
Kết luận Chương 2
Chương 2 đã xây dựng các phương trình cơ bản cho dầm 2D-FGM.
Các phương trình được thiết lập trên cơ sở hai lý thuyết biến dạng trượt
là FSDT và ITSDT. Ảnh hưởng của nhiệt độ và sự thay đổi của thiết diện
ngang được xem xét trong việc thiết lập các phương trình cơ bản. Các biểu
thức năng lượng được trình bày chi tiết cho cả FSDT và ITSDT trong
Chương 2. Đặc biệt, với ITSDT, các phương trình cơ bản và biểu thức
năng lượng được xây dựng trên cơ sở coi góc quay của thiết diện ngang
hoặc góc trượt ngang là các hàm độc lập. Biểu thức cho năng lượng biến
dạng sinh ra do sự tăng nhiệt độ và biểu thức thế năng của lực di động
cũng được đề cập trong Chương 2. Hệ phương trình chuyển động cho
dầm 2D-FGM cũng được xây dựng cho trường hợp ITSDT với γ0 là hàm
độc lập. Các biểu thức năng lượng này được sử dụng để thiết lập các ma
trận độ cứng và ma trận khối lượng dùng trong phân tích dao động của
dầm 2D-FGM ở Chương 3.
Chương 3. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
Chương này xây dựng các mô hình PTHH, tức là thiết lập biểu thức
cho ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho một phần tử đặc trưng
của dầm 2D-FGM. Mô hình PTHH được xây dựng từ các biểu thức năng
lượng nhận được sử dụng hai lý thuyết dầm trong Chương 2. Các hàm
dạng khác nhau được lựa chọn thích hợp để phần tử dầm nhận được có
độ tin cậy cao và tốc độ hội tụ tốt. Véc-tơ lực nút và thuật toán số dùng
trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM được đề cập ở cuối chương.
- 9
3.1. Mô hình phần tử dầm FSDT
Mô hình PTHH xây dựng từ các đa thức Kosmatka, trong Luận án gọi
là mô hình FBKo tránh được hiện tượng nghẽn trượt. Thêm vào đó, mô
hình này có tốc độ hội tụ và độ tin cậy cao trong tính toán tần số dao động
riêng của dầm. Tuy nhiên, mô hình FBKo với 6 bậc tự do có nhược điểm
là các đa thức Kosmatka phải tính toán lại mỗi khi thay đổi lưới phần tử,
vì thế tốn thời gian tính toán. Mô hình PTHH sử dụng các hàm dạng thứ
bậc, trong Luận án gọi là mô hình FBHi, là một trong các lựa chọn để
khắc phục nhược điểm trên. Các hàm dạng thứ bậc gần đây được sử dụng
để phát triển mô hình PTHH trong phân tích dầm 1D-FGM (chẳng hạn
Luận án của Bùi Văn Tuyển). Dựa trên các biểu thức năng lượng nhận
được trong Chương 2, sử dụng hàm dạng Kosmatka Luận án xây dựng
được mô hình FBKo, sử dụng các hàm nội suy thứ bậc Luận án xây dựng
được mô hình phần tử FBHi cho phân tích dao động của dầm 2D-FGM.
Việc xây dựng các mô hình dựa trên các lý thuyết và các hàm dạng là
tương tự nhau, mục 3.2 sẽ trình bày chi tiết việc xây dựng các ma trận độ
cứng và khối lượng cho một phần tử đặc trưng dựa trên ITSDT.
3.2. Mô hình phần tử dầm ITSDT
Với hai cách biểu diễn của trường chuyển vị, hai mô hình PTHH tương
ứng với hai cách biểu diễn này sẽ được xây dựng dưới đây. Để tiện lợi,
mô hình PTHH sử dụng góc quay θ là hàm độc lập, trong Luận án gọi là
mô hình TBSθ , mô hình PTHH sử dụng γ0 là hàm độc lập trong Luận án
gọi là mô hình TBSγ .
3.2.1. Mô hình phần tử TBSθ
Khác với mô hình PTHH dựa trên FSDT, véc-tơ chuyển vị nút cho
phần tử dầm hai nút, (i, j), sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc ba nói
chung và ITSDT nói riêng gồm tám thành phần:
dSθ = {ui wi wi,x θi u j w j w j,x θ j }T (3.28)
Các chuyển vị u0 , w0 và góc quay θ được nội suy từ các chuyển vị nút
qua các hàm dạng theo phương trình:
u 0 = Nu d S θ , w 0 = Nw d S θ , θ = Nθ d S θ (3.29)
trong đó Nu , Nw và Nθ tương ứng là các ma trận hàm dạng cho u0 , w0 và
θ . Ở đây, các hàm dạng tuyến tính được sử dụng để nội suy cho chuyển
- 10
vị dọc trục u0 (x,t) và góc quay của thiết diện ngang θ (x,t), các đa thức
Hermite được sử dụng để nội suy cho chuyển vị ngang w0 (x,t).
Với phép nội suy ta có thể viết được biểu thức cho các thành phần biến
dạng dưới dạng ma trận thông qua véc-tơ chuyển vị nút (3.28) như sau:
εmSθ = u0,x = Bm
Sθ Sθ
d
1
εbSθ = (5θ,x + w0,xx ) = BSbθ dSθ
4 (3.33)
Sθ 5 Sθ Sθ
εhs = 2 (θ,x + w0,xx ) = Bhs d
3h
εsSθ = θ + w0,x = Bm
Sθ Sθ
d
Trong (3.33), các ma trận biến dạng-chuyển vị BSmθ , BSbθ , BhsSθ
và BsSθ có
dạng sau:
n 1 1
BSmθ = −
o
0 0 0 0 0 0
l l
1 6 12x 4 6x 5 6 12x 2 6x 5 o
BbSθ =
n
0 − 2+ 3 − + 2 − 0 2− 3 − + 2
4 l l l l l l l l l l
Sθ 5 n 6 12x 4 6x 1 6 12x 2 6x 1 o
Bhs = 2 0 − 2 + 3 − + 2 − 0 2− 3 − + 2
3h l l l l l l l l l l
6x 6x 2 4x 3x l − x2 6x 6x 2 2x 3x x o 2
BSs θ = 0 − 2 + 3 1 − + 2
n
0 2− 3 − + 2
l l l l l l l l l l
(3.34)
Biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi UB trong phương trình (2.27)
được viết dưới dạng:
1 nE Sθ T Sθ Sθ
2∑
UB = (d ) k d (3.9)
với ma trận độ cứng phần tử kSθ được định nghĩa như sau:
kSθ = kSmθ + kbSθ + ksSθ + khs
Sθ
+ kSc θ (3.35)
- 11
trong đó:
Zl T Zl T
kSmθ = Sθ
Bm Sθ
A11 Bm dx ; kSbθ = BSbθ A22 BSbθ dx
0 0
Zl T 1 1 1
kSs θ = 25 BSs θ B11 − 2 B22 + 4 B44 BSs θ dx
16 2h h
0
Zl T
Sθ Sθ Sθ
khs = Bhs A66 Bhs dx
0
Zl
" #
T T T
kSc θ BSmθ A12 BSbθ Sθ Sθ Sθ Sθ
= − Bm A34 Bhs − Bb A44 Bhs dx
0
(3.36)
tương ứng là ma trận độ cứng sinh ra từ biến dạng dọc trục, biến dạng
uốn, biến dạng trượt, biến dạng trượt ngang bậc cao và các biến dạng
tương hỗ.
Khác với ma trận độ cứng phần tử trong FSDT, ma trận độ cứng phần
tử trong lý thuyết biến dạng trượt bậc ba còn có thêm các thừa số sinh
ra từ biến dạng trượt bậc cao. Tất nhiên, biểu thức cho ma trận độ cứng
tương hỗ trong (3.36) cũng khác với trường hợp mô hình FBKo và mô
hình FBHi.
Động năng của dầm cũng có thể viết dưới dạng:
1 nE ˙ K T ˙ K
2∑
T = (d ) m d (3.13)
với ma trận khối lượng phần tử nhất quán cho bởi:
uu + muθ + mθ θ + muγ + mθ γ + mγγ + mww
m = m11 12 22 34 44 66 11
(3.37)
- 12
trong đó
Zl Zl
1
m11
uu = NTu I11 Nu dx ; m12
uθ = NTu I12 (Nw,x + 5Nθ )dx
4
0 0
Zl Zl
1 T 5
m22
θθ = (N + 5NTθ )I22 (Nw,x + 5Nθ )dx ; m34
uγ = − NTu I34 (Nw,x + Nθ )dx
16 w,x 3h2
0 0
Zl
5
m44
θγ = − (NTw,x + 5NTθ )I44 (Nw,x + Nθ )dx
12h2
0
Zl Zl
25
mγγ
66
= (NTw,x + NθT )I66 (Nw,x + Nθ )dx ; m11
ww = NTw I11 Nw dx
9h4
0 0
(3.38)
là các ma trận khối lượng phần tử nhất quán thành phần.
3.2.2. Mô hình phần tử TBSγ
Với γ0 là hàm độc lập, véc-tơ chuyển vị nút cho phần tử hai nút điển
hình, (i, j), gồm các thành phần:
dSγ = {ui wi wi,x γi u j w j w j,x γ j }T (3.39)
Chuyển vị dọc trục, chuyển vị ngang và góc trượt ngang được nội suy
từ các chuyển vị nút bởi:
u0 = Nu dSγ , w0 = Nw dSγ , γ0 = Nγ dSγ (3.40)
với Nu , Nw và Nγ tương ứng là các ma trận hàm dạng cho u0 , w0 và γ0 .
Ở đây hàm dạng tuyến tính được dùng để nội suy cho chuyển vị dọc trục
u0 (x,t) và góc trượt ngang γ0 , các hàm Hermite được sử dụng cho chuyển
vị ngang w0 (x,t). Việc xây dựng các ma trận độ cứng và ma trận khối
lượng phần tử nhận được hoàn toàn tương tự như mô hình phần tử TBSθ .
3.3. Ma trận độ cứng do nhiệt độ
Sử dụng các hàm nội suy cho chuyển vị ngang w0 (x,t) ta có thể viết
biểu thức cho năng lượng biến dạng sinh ra do nhiệt độ (2.42) dưới dạng
ma trận như sau:
1 nE
UT = ∑ dT kT d (3.44)
2
- 13
trong đó
Zl
kT = BtT NT Bt dx (3.45)
0
là ma trận độ cứng phần tử sinh ra do sự tăng của nhiệt độ. Với các lý
thuyết dầm khác nhau, ma trận độ cứng phần tử do nhiệt độ đều có dạng
(3.45). Điểm khác nhau duy nhất là sự khác nhau của các hàm dạng Nw
được lựa chọn cho w0 (x,t) dẫn tới sự khác nhau của ma trận biến dạng-
chuyển vị Bt = (Nw ),x trong (3.45).
3.4. Phương trình chuyển động rời rạc
Bỏ qua ảnh hưởng cản của vật liệu dầm, phương trình chuyển động
cho dầm 2D-FGM sau khi rời rác hóa có thể viết dưới dạng ngôn ngữ
PTHH như sau:
MD ¨ + KD = Fex (3.49)
trong đó D, D¨ tương ứng là các véc-tơ chuyển vị và gia tốc tổng thể tại
các điểm nút của dầm, K, M, Fex tương ứng là các ma trận độ cứng, ma
trận khối lượng và véc-tơ tải trọng nút tổng thể. Trong trường hợp dao
động tự do, vế phải của phương trình (3.49) được gán bằng 0:
MD
¨ + KD = 0 (3.52)
3.5. Thuật toán số
Việc giải phương trình (3.52) được đưa về việc giải bài toán giá trị
riêng. Phương trình (3.49) có thể giải bằng phương pháp tích phân trực
tiếp Newmark. Phương pháp gia tốc trung bình không đổi với khả năng
ổn định số không điều kiện được sử dụng trong Luận án này.
Kết luận Chương 3
Chương 3 xây dựng mô hình PTHH cho một phần tử dầm hai nút dựa
trên hai lý thuyết biến dạng trượt. Với phần tử dầm FSDT, mô hình PTHH
được xây dựng dựa trên hai hàm dạng khác nhau, hàm dạng Kosmatka và
hàm dạng thứ bậc. Mô hình PTHH sử dụng ITSDT được xây dựng từ các
hàm tuyến tính và hàm dạng Hermite, trong đó hàm Hermite được dùng
để nội suy chuyển vị ngang. Biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận
khối lượng cho mô hình dựa trên ITSDT được xây dựng trên cơ sở coi góc
quay của thiết diện ngang hoặc góc trượt ngang là các hàm độc lập. Biểu
- 14
thức cho ma trận độ cứng sinh ra do sự tăng nhiệt độ và véc-tơ lực nút
cho trường hợp dầm chịu lực di động cũng được xây dựng trong Chương.
Chương 4. KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN
Kết quả số được trình bày trên cơ sở phân tích ba bài toán: (1) Dao
động tự do của dầm 2D-FGM trong môi trường nhiệt độ; (2) Dao động tự
do của dầm thon 2D-FGM; (3) Dao động cưỡng bức của dầm 2D-FGM
chịu tác động của lực di động. Từ kết quả số nhận được, một số kết luận
liên quan tới ảnh hưởng của tham số vật liệu, tham số thiết diện, nhiệt độ
môi trường và độ mảnh dầm tới tần số dao động riêng và mode dao động
được rút ra. Ứng xử động lực học của dầm 2D-FDM dưới tác dụng của
lực di động cũng được thảo luận trong Chương.
4.1. Sự hội tụ và độ tin cậy của mô hình PTHH
4.1.1. Sự hội tụ của mô hình PTHH
Sự hội tụ của bốn mô hình PTHH phát triển trong Luận án trong đánh
giá tham số tần số dao động cơ bản µ của dầm 2D-FGM tựa giản đơn có
thiết diện ngang không đổi (c = 0), không tính tới ảnh hưởng của nhiệt
độ (∆T = 0K) được kiểm tra trong Luận án. Một số nhận xét có thể rút ra
sau đây:
- Tham số tần số cơ bản của dầm 2D-FGM nhận được từ bốn mô hình
PTHH phát triển trong Luận án rất sát nhau.
- Ba trong số bốn mô hình PTHH, cụ thể là mô hình FBKo, mô hình
FBHi và mô hình TBSγ , có tốc độ hội tụ cao. Khi sử dụng ba mô hình
này để tính toán, tham số tần số dao động cơ bản của dầm 2D-FGM hội
tụ tới giá trị không thay đổi chỉ với 16 hoặc 18 phần tử. Mô hình phần tử
TBSθ hội tụ rất chậm, cần tới 70 phần tử để tính toán tần số dao động cơ
bản của dầm.
- Giá trị của cặp tham số vật liệu (nx , nz ) không ảnh hưởng tới tốc độ
hội tụ của các mô hình PTHH.
Từ sự hội tụ của các mô hình PTHH phân tích trên đây, Luận án sẽ chỉ
sử dụng các mô hình có sự hội tụ tốt để tính toán và so sánh kết quả số.
Sự hội tụ của mô hình phần tử FBHi trong đánh giá tham số tần số cơ
bản của dầm thon cũng được Luận án thực hiện. Tốc độ hội tụ của mô
hình PTHH trong tính toán tần số dao động cơ bản của dầm thon chậm
hơn khi tính toán tần số dao động của dầm có thiết diện không đổi. Mô
hình FBHi cần tới 30 phần tử để đạt được tốc độ hội tụ trong đánh giá tần
số của dầm.
- 15
4.1.2. Độ tin cậy của mô hình PTHH
Do chưa có kết quả công bố về dao động của dầm 2D-FGM tạo từ bốn
vật liệu thành phần với tỷ phần thể tích thay đổi theo quy luật hàm số lũy
thừa như nghiên cứu trong Luận án, vì thế việc so sánh sẽ được thực hiện
cho dầm 1D-FGM, trường hợp riêng của dầm 2D-FGM. Các kết quả so
sánh nhận được trong mục này cho thấy các tần số dao động riêng có tính
tới ảnh hưởng của nhiệt độ và sự thay đổi của thiết diện ngang cũng như
đáp ứng động lực học nhận được từ các mô hình PTHH phát triển trong
Luận án là đáng tin cậy. Kết quả này cho phép khẳng định độ tin cậy của
các mô hình PTHH và chương trình tính toán số của Luận án và có thể
dùng để nghiên cứu dao động của dầm 2D-FGM.
4.2. Dao động tự do
4.2.1. Dầm có thiết diện không đổi
4.2.1.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu
Hình 4.1 minh họa ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số
tần số đầu tiên của dầm S-S với ∆T = 50K.
5 20
4
µ1
15
µ2
3
2 10
2 2
1.5 2 1.5 2
1 1.5 1 1.5
nx 0.5 1 1
0.5 nz nx 0.5 0.5 nz
0 0 0 0
40 60
50
30
µ3
µ4
40
20 30
2 2
1.5 2 1.5 2
1 1.5 1 1.5
0.5 1 1
nx
0 0
0.5 nz nx 0.5 0 0
0.5 nz
Hình 4.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên của dầm S-S
với ∆T = 50K
Từ Hình 4.1 ta có thể thấy rằng:
- Với một giá trị cho trước của nx , tham số tần số cơ bản µ1 có xu
hướng giảm khi nz tăng. Đồng thời, sự giảm này rõ nét hơn khi giá trị
của nx lớn. Ảnh hưởng của tham số vật liệu theo chiều dài dầm, nx , tới
- 16
tham số tần số cơ bản của dầm ngược với ảnh hưởng của nz . Cụ thể, khi
nx tăng, tham số tần số cơ bản của dầm cũng tăng. Thêm vào đó, sự tăng
của tham số tần số µ1 nhanh hơn khi giá trị của nz nhỏ hơn.
- Tham số tần số cơ bản của dầm đạt giá trị lớn nhất khi nx = 2 và
nz = 0, trường hợp này ứng với dầm 1D-FGM có cơ tính biến đổi dọc
trục tạo bởi 2 gốm.
- Quy luật phụ thuộc của các tham số tần số cao hơn vào tham số vật
liệu tương tự như quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham
số vật liệu, tức là các tham số tần số tăng lên khi nx tăng và giảm đi khi
nz tăng. Quy luật này không phụ thuộc vào giá trị của ∆T .
4.2.1.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ
Hình 4.2 minh họa sự phụ thuộc của tham số µ1 vào tham số vật liệu
của dầm tựa giản đơn với các giá trị khác nhau của ∆T .
5 5
4 4
µ1
µ1
3 3
2 2
2 2
1.5 2 1.5 2
1 1.5 1 1.5
nx 0.5 1 nx 0.5 1
0.5 nz 0.5 nz
0 0 0 0
(a) ∆T=0 K (a) ∆T=20 K
5
5
4
4
µ1
µ1
3
3
2
2 2
1.5 2 2
1 1.5 1.5 2
nx 0.5 1 1 1.5
0 0 0.5 nz 0.5 1
n 0.5 nz
x 0 0
(c) ∆T=40 K (d) ∆T=80 K
Hình 4.2. Sự phụ thuộc của tham số µ1 vào tham số vật liệu của dầm tựa giản đơn với
các giá trị khác nhau của ∆T
Một số nhận xét rút ra từ Hình 4.2 như sau:
- Quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham số vật liệu
không thay đổi khi giá trị của ∆T tăng lên. Tuy nhiên, sự tăng của tham
số tần số cơ bản khi nx tăng và sự giảm của tham số tần số cơ bản khi nz
- 17
tăng chịu ảnh hưởng bởi sự tăng nhiệt độ. Đặc biệt, khi nz tăng từ 0 đến
2, tham số tần số cơ bản của dầm giảm mạnh hơn rất nhiều, đặc biệt là
khi nx lớn.
- Tham số tần số cơ bản của dầm giảm rõ rệt khi giá trị của ∆T tăng
lên.
4.2.1.3. Dầm với các điều kiện biên khác nhau
Một số nhận xét được rút ra từ mục này như sau:
- Tham số tần số dao động của dầm 2D-FGM với biên C-C là cao
nhất, trong khi dầm với biên C-F có tham số tần số dao động thấp nhất. ở
nhiệt độ phòng (∆T = 0K) quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản
vào tham số vật liệu nhận được cho dầm C-C và C-F tương tự như với
dầm S-S. Ngoài ra tham số tần số cơ bản của dầm C-F rất nhạy cảm với
sự thay đổi của tham số vật liệu theo chiều dài, đặc biệt là khi nz nhỏ.
- Sự phụ thuộc của các tham số tần số lớn hơn, µ2 , µ3 và µ4 của dầm
C-C và C-F vào tham số vật liệu cũng tương tự như của dầm S-S.
- Nhiệt độ môi trường, như trường hợp dầm S-S, cũng làm giảm tham
số tần số cơ bản của dầm C-C và C-F. Tuy nhiên, sự suy giảm này chịu
ảnh hưởng rõ nét bởi tham số vật liệu và điều kiện biên. Cụ thể, dầm C-C
ít bị ảnh hưởng bởi sự tăng nhiệt độ. Ngược lại, dầm C-F rất nhạy cảm
với sự tăng của nhiệt độ.
4.2.1.5. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm
Quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham số vật liệu của
dầm với L/h = 10 và L/h = 30, như ta thấy từ Hình 4.7, là như nhau. Tuy
nhiên khi tỷ số L/h tăng, tham số tần số của dầm giảm đáng kể. Cần lưu
ý rằng, các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng với dầm ở nhiệt độ phòng,
khi độ mảnh của dầm tăng lên thì tham số tần số của dầm cũng tăng. Tuy
nhiên, như thấy từ Hình 4.7, điều này không còn đúng khi ảnh hưởng của
nhiệt độ được xét tới. Điều này có thể giải thích bởi độ cứng của dầm có
độ mảnh lớn giảm mạnh hơn nhiều so với dầm có độ mảnh thấp khi dầm
đặt trong môi trường nhiệt độ cao.
4.2.1.4. Mode dao động
Hình 4.8 minh họa ba mode dao động đầu tiên w0 , u0 và γ0 của dầm S-
S với hai cặp tham số vật liệu (nx , nz ) = (0.0, 0.5) và (nx , nz ) = (0.5, 0.5),
trong môi trường nhiệt độ phòng (∆T = 0).
Như ta thấy từ Hình 4.8, các mode dao động của dầm 2D-FGM, Hình
- 18
4.5 4.5
4 4
3.5 3.5
3
1
3
µ
1
µ
2.5 2.5
2 2
1.5 1.5
2 2
1.5 2 1.5 2
1 1.5 1 1.5
n 1 n 0.5 1
x 0.5 0.5 n x 0.5 n
z z
0 0 0 0
(a) ∆T=50 K, L/h=10 (b) ∆T=50 K, L/h=30
Hình 4.7. Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản của dầm S-S với các giá trị L/h khác
nhau (∆T = 50K)
1.5 1.5
mode 1 w mode 1
0
1 u 1
0
γ
0
0.5 0.5
0 0
n =0, n =0.5 n =0.5, n =0.5
x z x z
−0.5 −0.5
0 0.25 0.5 0.75 1 0 0.25 0.5 0.75 1
1.5 1.5
mode 2 mode 2
1 1
0.5 0.5
0 0
−0.5 −0.5
−1 −1
−1.5 −1.5
0 0.25 0.5 0.75 1 0 0.25 0.5 0.75 1
1.5 1.5
mode 3 mode 3
1 1
0.5 0.5
0 0
−0.5 −0.5
−1 −1
−1.5 −1.5
0 0.25 0.5 0.75 1 0 0.25 0.5 0.75 1
(a) (b)
Hình 4.8. Ba mode dao động đầu tiên cho u0 , w0 và γ0 của dầm S-S với ∆T = 0K: (a)
(nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0.5)
4.8(b), rất khác so với các mode dao động của dầm 1D-FGM trên Hình
4.8(a). Trong khi mode dao động thứ nhất và thứ 3 cho chuyển vị ngang
w0 của dầm 1D-FGM đối xứng qua trục đi qua điểm giữa của dầm thì với
dầm 2D-FGM mode dao động không còn đối xứng. Ta cũng thấy rõ sự
khác nhau trong các mode dao động của u0 và γ0 từ Hình 4.8(a) và Hình
4.8(b). Ở mode dao động thứ hai, với dầm 1D-FGM, mode dao động cho
γ0 đối xứng với trục đi qua điểm giữa của dầm nhưng tính đối xứng này
không còn cho dầm 2D-FGM. Như vậy, sự thay đổi của tính chất vật liệu
nguon tai.lieu . vn
