Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Định lý bốn điểm đối với hàm phân hình và tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến

1 M— †U 1. Lþ do chån • t i N«m 1925, R. Nevanlinna cæng bŁ b i b¡o v• sü ph¥n bŁ gi¡ trà cıa h m ph¥n h…nh tr¶n m°t phflng phøc. Sau â, nâ nhanh châng ÷æc mð rºng sang tr÷íng hæp h m ph¥n h…nh nhi•u bi‚n phøc v ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh v o khæng gian x⁄ £nh phøc, l“p n¶n lþ thuy‚t m sau n y mang t¶n Nevanlinna (hay cÆn ÷æc gåi l Lþ thuy‚t ph¥n bŁ gi¡ trà). Nhi•u øng döng µp ‡ cıa lþ thuy‚t n y ¢ ÷æc ch¿ ra trong vi»c nghi¶n cøu ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh, ph¥n h…nh nh÷: B i to¡n x¡c ành duy nh§t ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh, ph¥n h…nh; B i to¡n v• t‰nh Hyperbolic cıa a t⁄p ⁄i sŁ x⁄ £nh; B i to¡n hå chu`n t›c c¡c ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh, ph¥n h…nh; B i to¡n th¡c tri”n ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh. Ph¡t tri”n lþ thuy‚t công nh÷ nghi¶n cøu øng döng cıa Lþ thuy‚t Nevan-linna trong nhœng l¾nh vüc kh¡c nhau ¢ li¶n töc thu hót ÷æc sü quan t¥m cıa nhi•u nh to¡n håc trong suŁt gƒn 100 n«m qua. Trong bŁi c£nh â, chóng tæi chån • t i nghi¶n cøu: "ành lþ bŁn i”m Łi vîi h m ph¥n h…nh v t‰nh chu`n t›c cıa hå c¡c ¡nh x⁄ ph¥n h…nh nhi•u bi‚n". 2. Möc ‰ch nghi¶n cøu 1. N«m 1926, R. Nevanlinna ¢ chøng minh r‹ng vîi hai h m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng f v g tr¶n m°t phflng phøc, n‚u chóng câ còng £nh ng÷æc khæng k” bºi cıa n«m i”m ph¥n bi»t th… f = g (ành lþ n«m i”m) v g l mºt bi”u di„n ph¥n tuy‚n t‰nh cıa f n‚u chóng câ còng sŁ £nh ng÷æc (t‰nh c£ bºi) cıa bŁn i”m ph¥n bi»t (ành lþ bŁn i”m). SŁ i”m cƒn thi‚t trong c¡c k‚t qu£ nâi tr¶n cıa R. Nevanlinna ¢ ð møc ‰t nh§t câ th”. Tuy v“y, tł hai k‚t qu£ â, ta s‡ xu§t hi»n c¥u häi tü nhi¶n l : Li»u ành lþ bŁn i”m câ ÷æc mð rºng ‚n tr÷íng hæp khæng t‰nh bºi hay bºi ÷æc ng›t bði mºt møc n o â hay khæng? V§n • n y thu hót sü quan t¥m cıa H. Cartan, G. Gundersen, N. Steinmetz, H. Fujimoto, M. Shirosaki, Trƒn V«n T§n v nhi•u t¡c gi£ kh¡c. Ti‚p töc h÷îng nghi¶n cøu n y, chóng tæi xem x†t v§n • sau: Mð rºng ành lþ bŁn i”m nâi tr¶n tîi tr÷íng hæp bºi ÷æc ng›t vîi møc th§p v bŁn i”m ÷æc thay bði bŁn h m ph¥n h…nh nhä (so vîi c¡c h m f;g ang x†t). 2 2. Mºt trong nhœng øng döng quan trång cıa lþ thuy‚t Nevanlinna l nâ cho ta c¡c ti¶u chu`n v• t‰nh suy bi‚n hay ch°t hìn l t‰nh h‹ng cıa c¡c ÷íng cong (ch¿nh h…nh, ph¥n h…nh). Trong khi â, theo nguy¶n lþ Bloch, mØi ành lþ d⁄ng Picard b† (v• ti¶u chu`n ÷íng cong h‹ng) •u t÷ìng øng vîi mºt ti¶u chu`n hå chu`n t›c c¡c ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh. â ch‰nh l cƒu nŁi giœa lþ thuy‚t Nevanlinna v lþ thuy‚t v• hå chu`n t›c c¡c ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh. Nhi•u ti¶u chu`n chu`n t›c cho hå c¡c ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh, ph¥n h…nh d÷îi i•u ki»n v• £nh ng÷æc cıa c¡c si¶u phflng, si¶u m°t ¢ ÷æc ch¿ ra bði L. Zalcman, H. Fujimoto, W. Bergweiler, Z. Tu, Ph⁄m Ngåc Mai - Ø øc Th¡i - Ph⁄m Nguy„n Thu Trang, S¾ øc Quang - Trƒn V«n T§n, Y. Zhang v nhi•u t¡c gi£ kh¡c. V§n • nghi¶n cøu thø hai cıa lu“n ¡n l : T‰nh chu`n t›c cho hå c¡c ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł mºt mi•n trong khæng gian affine phøc v o khæng gian x⁄ £nh phøc d÷îi i•u ki»n câ còng £nh ng÷æc cıa c¡c si¶u phflng hay si¶u m°t di ºng. 3. ành lþ Picard lîn cŒ i”n ch¿ ra r‹ng: MØi h m ch¿nh h…nh tr¶n mºt ¾a thıng n‚u tr¡nh 2 gi¡ trà ph¥n bi»t th… câ th” th¡c tri”n ch¿nh h…nh qua i”m thıng. K‚t qu£ tr¶n ¢ ÷æc mð rºng sang c¡c tr÷íng hæp ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh v o khæng gian x⁄ £nh phøc d÷îi i•u ki»n v• £nh ng÷æc cıa c¡c si¶u phflng (cŁ ành hay di ºng) v cıa c¡c si¶u m°t cŁ ành bði H. Fujimoto, Z. Tu, Z. Tu - P. Li v nhi•u t¡c gi£ kh¡c. Ti‚p töc h÷îng nghi¶n cøu n y, chóng tæi xem x†t v§n • sau: Thi‚t l“p ành lþ Picard lîn cho ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh v o phƒn bò cıa 2n + 1 si¶u m°t di ºng trong khæng gian x⁄ £nh phøc n chi•u. 3. Łi t÷æng v ph⁄m vi nghi¶n cøu Łi t÷æng nghi¶n cøu cıa lu“n ¡n l Lþ thuy‚t Nevanlinna; Lþ thuy‚t hå chu`n t›c c¡c ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh, ph¥n h…nh; B i to¡n x¡c ành duy nh§t ¡nh x⁄ ph¥n h…nh; B i to¡n th¡c tri”n ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh. 4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu ” gi£i quy‚t nhœng v§n • °t ra trong lu“n ¡n, chóng tæi sß döng c¡c ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu cıa Lþ thuy‚t ph¥n bŁ gi¡ trà, Gi£i t‰ch phøc, H…nh håc phøc; k‚ thła v ph¡t tri”n c¡c kÿ thu“t cıa c¡c t¡c gi£ i tr÷îc v• c¡c chı • li¶n quan. 3 5. C¡c k‚t qu£ ⁄t ÷æc v þ ngh¾a cıa • t i • t i ¢ thu ÷æc c¡c nhâm k‚t qu£ sau: - ành lþ v• mŁi quan h» giœa hai h m ph¥n h…nh tr¶n m°t phflng phøc câ còng £nh ng÷æc (vîi bºi ÷æc ng›t bði 1 v bði 2) cıa bŁn h m ph¥n h…nh nhä. K‚t qu£ n y tŒng qu¡t m⁄nh m‡ c¡c ành lþ bŁn i”m cıa R. Nevanlinna v cıa G. Gundersen. - Ti¶u chu`n chu`n t›c cho hå c¡c ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł mºt mi•n trong khæng gian affine v o khæng gian x⁄ £nh vîi i•u ki»n l câ còng £nh ng÷æc (khæng t‰nh bºi) cıa c¡c si¶u phflng hay si¶u m°t di ºng. ¥y l k‚t qu£ ƒu ti¶n v• ti¶u chu`n hå chu`n t›c d÷îi i•u ki»n câ còng £nh ng÷æc (khæng t‰nh bºi) cıa c¡c si¶u phflng hay si¶u m°t (thay v… i•u ki»n ¡nh x⁄ v o phƒn bò cıa c¡c si¶u phflng hay si¶u m°t nh÷ c¡c k‚t qu£ ¢ câ). - ành lþ d⁄ng Picard lîn cho tr÷íng hæp ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh v o phƒn bò cıa 2n + 1 si¶u m°t di ºng trong khæng gian x⁄ £nh phøc. K‚t qu£ n y mð rºng c¡c k‚t qu£ cıa c¡c t¡c gi£ i tr÷îc, tł si¶u m°t cŁ ành, si¶u phflng di ºng sang si¶u m°t di ºng. 6. C§u tróc lu“n ¡n Nºi dung ch‰nh cıa lu“n ¡n gçm 3 ch÷ìng: - Ch÷ìng 1 tr…nh b y tŒng quan v• v§n • nghi¶n cøu. — â, chóng tæi • c“p tîi c¡c k‚t qu£ li¶n quan, ph¥n t‰ch, so s¡nh chóng vîi v§n • nghi¶n cøu cıa lu“n ¡n. - Ch÷ìng 2 d nh cho vi»c nghi¶n cøu t‰nh duy nh§t cıa c¡c h m ph¥n h…nh tr¶n m°t phflng phøc d÷îi i•u ki»n câ còng £nh ng÷æc cıa c¡c h m ph¥n h…nh nhä. - Ch÷ìng 3 d nh cho vi»c nghi¶n cøu ti¶u chu`n hå chu`n t›c c¡c ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł mºt mi•n trong khæng gian affine phøc v o khæng gian x⁄ £nh câ còng £nh ng÷æc cıa c¡c si¶u phflng hay si¶u m°t di ºng v thi‚t l“p ành lþ Picard lîn cho ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh v o phƒn bò cıa 2n+1 si¶u m°t di ºng trong khæng gian x⁄ £nh phøc n chi•u. Ch÷ìng 1 TŒng quan 1.1 V• c¡c h m ph¥n h…nh câ còng £nh ng÷æc cıa bŁn i”m N«m 1926, R.Nevanlinna ¢ chøng minh r‹ng n‚u hai h m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng f v g tr¶n m°t phflng phøc C câ còng £nh ng÷æc (khæng t‰nh bºi) cıa 5 i”m ph¥n bi»t th… f = g (ành lþ n«m i”m) v k‚t qu£ sau, ÷æc gåi l ành lþ bŁn i”m: ành lþ 1.1.1. Cho f v g l hai h m ph¥n h…nh ph¥n bi»t tr¶n m°t phflng phøc C v bŁn i”m ph¥n bi»t a1;a2;a3;a4 2 C[f1g. Gi£ sß f aj = g aj(j = 1;2;3;4); ð ¥y ’ l divisor c¡c khæng i”m cıa h m ph¥n h…nh ’: Khi â, g l mºt bi”u di„n ph¥n tuy‚n t‰nh cıa f (bði mºt cæng thøc ch¿ phö thuºc v o c¡c i”m aj); hai trong bŁn i”m aj l gi¡ trà Picard cıa f (gi£ sß l a3 v a4), t sŁ k†p (a1;a2;a3;a4) b‹ng -1. C¡c k‚t qu£ tr¶n cıa R.Nevanlinna ÷æc mð rºng sang tr÷íng hæp ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh v o khæng gian x⁄ £nh bði H.Fujimoto (n«m 1975) v bði L.Smiley (n«m 1983) theo nhœng c¡ch nh…n nh“n kh¡c nhau v sau n y nâ ti‚p töc ÷æc nghi¶n cøu bði nhi•u t¡c gi£ kh¡c. Łi vîi tr÷íng hæp h m ph¥n h…nh, mºt c¥u häi n£y sinh tü nhi¶n tł c¡c ành lþ bŁn i”m v n«m i”m cıa Nevanlinna l : Li»u ành lþ bŁn i”m câ cÆn óng khi thay i•u ki»n c¡c divisor b‹ng nhau (t‰nh c£ bºi) bði i•u ki»n c¡c h m ph¥n h…nh f aj, g aj câ còng t“p khæng i”m (khæng t‰nh bºi) nh÷ trong ành lþ n«m i”m hay khæng? 4 5 N«m 1983, G. Gundersen ¢ ÷a ra c¡c v‰ dö ” th§y r‹ng i•u tr¶n l khæng ÷æc. Câ l‡ ngay tł n«m 1929, Cartan ¢ th§y ÷æc i•u â khi æng n¶u gi£ thuy‚t y‚u hìn r‹ng: Câ còng l›m hai h m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng câ còng £nh ng÷æc (khæng t‰nh bºi) cıa bŁn i”m cho tr÷îc. Tuy v“y, n«m 1988 H.Fujimoto ¢ ch¿ ra ngay c£ gi£ thuy‚t cıa Cartan công khæng óng. Nh÷ng H.Fujimoto công ¢ chøng minh r‹ng, gi£ thuy‚t cıa Cartan óng cho tr÷íng hæp bºi cıa c¡c khæng i”m ÷æc ng›t bði 2, câ ngh¾a: Cho f l h m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng tr¶n m°t phflng phøc v bŁn i”m a1;a2;a3;a4 tr¶n C \ f1g: Khi â, câ khæng qu¡ hai h m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng g thäa m¢n: minff aj;2g = minfg aj;2g; vîi j = 1;2;3;4 (chó þ r‹ng, ta câ th” çng nh§t mØi divisor = t tat tr¶n C vîi h m : C ! Z cho bði (at) = t; v (z) = 0 vîi nhœng z n‹m ngo i t“p fatg). H m °c tr÷ng Tf(r) cıa h m ph¥n h…nh f ÷æc cho bði cæng thøc: 2 2 Tf(r) := 2 logkf(rei)kd 2 logf(ei)d (r > 1); 0 0 trong â f = (f0 : f1) l bi”u di„n rót gån cıa f v kfk = jf0j2 + jf1j21=2: Ta nâi mºt h m ph¥n h…nh a l nhä Łi vîi f n‚u Ta(r) = o(Tf(r)) khi r ! 1 (ngo i mºt t“p câ º o Lebesgue hœu h⁄n). N«m 2005, T.V. Tan - D.D. Thai ¢ mð rºng k‚t qu£ tr¶n cıa H. Fujimoto sang tr÷íng hæp m ð â fajg l c¡c h m ph¥n h…nh nhä. Trð l⁄i vîi k‚t qu£ cıa Nevanlinna, n«m 1983 (‰nh ch‰nh v bŒ sung n«m 1987), G. Gundersen ¢ mð rºng k‚t qu£ cıa R.Nevanlinna tîi tr÷íng hæp m ð â bºi cıa c¡c khæng i”m ÷æc t‰nh øng vîi hai i”m v khæng t‰nh tîi øng vîi hai i”m cÆn l⁄i: ành lþ 1.1.2. Cho hai h m ph¥n h…nh f v g tr¶n C v bŁn i”m ph¥n bi»t a1;a2;a3;a4 2 C [ f1g. N‚u minff aj;1g = minfg aj;1g vîi j = 1;2; v f aj = g aj vîi j = 3;4: Khi â f;g thäa m¢n gi£ thi‚t cıa ành lþ bŁn i”m cıa Nevanlinna. ... - tailieumienphi.vn