Xem mẫu
- 1
TI U LU N THUY T TƯƠNG Đ I T NG QUÁT
Nguy n Đình Hiên
Trong ti u lu n này tôi trình bày v hai ph n, đó là: Các b m t hai chi u và
phép đo đ cong. c a m c Đ Cong Không Gian. Trong hai ph n này tôi tóm
t t l i, đưa ra các ý chính và ch ng minh, làm rõ t t c các công th c có liên quan.
- 2
THUY T TƯƠNG Đ I T NG QUÁT
4.1 M đu
4.2 Nguyên lý tương đương
4.3 Đ cong không gian
• 4.3.1 Gi i thi u v các khái ni m cơ b n c a đ cong d a vào các thí d 2-chi u.
• 4.3.2. Gi i thi u v phương pháp đ đo đ cong.
• 4.3.3. Các vectơ c c b (local vectors) và cách đ so sánh các vectơ này t i các v
trí khác nhau trong không gian cong.
• 4.3.4. Các h th c gi a đ cong và phương trình metric.
• 4.3.5 Nói v không gian đ i x ng c u 3 chi u, nó chu n b cho phương th c kh o
sát sau này v đ cong không-th i gian trong các m u vũ tr đ ng nh t.
4.3.1 Các b m t hai chi u
Khi nói v đ cong trong th gi i 3 chi u b ng vi c xem xét m t sinh v t hai chi u
đang s ng trong m t b m t cong hai chi u. M t sinh v t hai chi u, v th c t là ch quan
sát đư c các hư ng ch a trong b m t hai chi u. Nhưng sinh v t này tin r ng nó có th quan
sát và đo đư c theo t t c các hư ng. Sinh v t này s nh n đư c các tín hi u sáng hai chi u
nhưng không nh n bi t đư c b t kỳ đ cong nào. Trong ba chi u, chúng ta có th nh n bi t
r t rõ đ cong mà sinh v t đó không nh n bi t đư c.
Các không gian hai chi u thì d hình dung. Vì v y ngư i ta dùng nó đ gi i thi u các
khái ni m v đ cong không - th i gian (ba chi u không gian và m t chi u th i gian).
Hình 4.6 Hình 4.7
Hình 4.6 bi u di n m t b m t hai chi u là m t c u.
Hình 4.7 bi u di n m t b m t hai chi u là m t tr .
M c dù c hai đ u là cong nhưng có s khác nhau gi a chúng. B m t tr có th
đư c x d c theo chi u dài c a nó (AA’) và đư c tr i ra trên m t m t ph ng, nhưng m t
c u thì không th .
M t tính ch t c a m t tr là n u các đư ng ng n nh t gi a các c p đi m, ví d như
- 3
BC, đư c v trên b m t thì chúng s tr thành đư ng th ng khi m t tr b r c và tr i ra
trên m t ph ng. Do đó m t tr đư c g i là th c s ph ng, m c dù không ph i ph ng hai
chi u, và m t c u thì th c s cong.
Gi thi t r ng các t a đ tr c giao Descartes đư c v trên m t t gi y hình ch nh t
và r i nó đư c cu n l i thành m t m t tr . Các kho ng cách s đo đư c trên b m t gi a
m t c p đi m mà hi u t a đ c a chúng là x và y đư c tính theo đ nh lý Pythagore
s2 = x2 + y 2.
Nhưng, vi c xây d ng m t h t a đ tr c giao Descartes đ có th bao ph h t m t
c u thì không th đư c. (xem thêm ví d trong sách) M c dù v y, h t a đ Descartes v n
có th bao ph t t n u ta chia m t c u thành các mi n có kích thư c đ nh so v i bán kính
thì ta có th xem như là ph ng. Khi đó ta nói m t cách c c b r ng b m t đã đư c Euclid
hóa và các kho ng cách đư c cho b i phương trình Pythagore d ng vi phân:
ds2 = dx2 + dy 2,
trong đó dx, và dy là kho ng cách t a đ c a hai đi m g n k nhau trên b m t.
M t h t a đ có th đư c dùng đ bao ph toàn b m t c u là các góc c c (θ, ϕ).
V i g c t a đ t i tâm Trái Đ t, góc θ bi n thiên t 00 C c B c đ n 1800 C c Nam,
và có liên h v i vĩ đ . ϕ liên quan v i kinh đ và ch y t −1800 đ n +1800 . M t cách c c
b , nghĩa là nói đ n thang đo nh so v i bán kính cong r c a b m t, kho ng cách gi a hai
đi m (θ, ϕ) và (θ + dθ, ϕ + dϕ) là r dθ theo vĩ đ và r sinθ dϕ theo kinh đ . Khi đó kho ng
cách toàn ph n đư c cho b i phương trình b c hai
ds2 = r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2 .
Phương trình này đư c g i là phương trình metric.Phương trình metric là m t tính ch t cơ
b n c a m t b m t.
Vì v y, đ bao ph toàn b b m t cong hay không gian cong thì c n ph i dùng h
t a đ Gauss ( h t a đ đã đư c t ng quát hóa ). Các kho ng cách c c b đư c cho b i
m t phương trình metric theo các kho ng cách c a t a đ Gauss.
Các không gian mà chúng ta quan tâm đây đ u thu c không gian Riemann, chúng
đư c phân bi t v i các không gian khác b i các phương trình metric toàn phương theo
kho ng cách t a đ .
Tính ch t ch ch t c a các không gian Riemann: Luôn luôn có th làm trùng kh p
m t mi n b t kỳ c a không gian Riemann v i m t không gian ph ng đư c l y trong m t
mi n đ nh . Hay ta có th nói r ng, ta luôn có th v đư c m t đư ng ti p tuy n, ti p xúc
v i m t đư ng cong t i m t đi m b t kỳ.
Ta xét m t b m t Riemann hai chi u v i phương trình metric
ds2 = g11 dv 2 + 2g12 dv dw + g22dw2 (4.1)
trong đó (v, w) là các t a đ Gauss nào đó, g11 , g12 và g22 là các hàm c a v trí. Ch n m t
đi m P v i t a đ (x, y) trên b m t và Euclide hóa phương trình metric m t cách c c b
bao quanh đi m P.
Lúc này ta có th đ nh nghĩa l i các t a đ m i (v, w) như sau: Ta có:
∂v ∂v
dv = dx + dy (4.2)
∂x ∂y
- 4
∂w ∂w
dw = dx + dy (4.3)
∂x ∂y
Ch ng minh công th c ds2 = dx2 + dy 2
Đt
∂v ∂v ∂w ∂w
A(x, y ) = , B (x, y ) = , C (x, y ) = , D(x, y ) = . (4.4)
∂x ∂y ∂x ∂y
Thay (4.4) vào (4.2) và (4.3) ta đư c
dv = A(x, y )dx + B (x, y )dy
(4.5)
dw = C (x, y )dx + D(x, y )dy,
Ti p t c ta tính dv 2 và dw2 t (4.5) r i thay vào (4.1), nhóm các s h ng l i và đ t
A2 g11 + 2ACg12 + C 2g22 ,
g11 =
g12 = ABg11 + ADg12 + BCg12 + CDg22 ,
B 2g11 + 2BDg12 + D2 g22 .
g22 =
ta thu đư c
ds2 = g11 dx2 + 2g12 dx dy + g22 dy 2 (4.6)
Chúng ta có th ch n nh ng giá tr c a A, B, C, D và các giá tr đ o hàm c a chúng
t i P sao cho:
g11 = g22 = +1, g12 = 0;
và thêm vào đó các đ o hàm b c nh t c a các thành ph n tri t tiêu
∂g11 ∂g ∂g ∂g ∂g ∂g
= 12 = 22 = 11 = 12 = 22 = 0.
∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y
T đây ta có đư c m t b m t Euclide v i phương trình metric
ds2 = dx2 + dy 2
Vì v y, m t m t ph ng luôn có th đư c v t i m t đi m b t kỳ trên b m t hai
chi u Riemann sao cho nó ti p xúc c c b v i b m t t i đi m đó. Ta có th làm tương t
như trên đ suy ra cho các không gian nhi u chi u hơn. B ng phép bi n đ i t a đ ta có th
chuy n các phương trình metric v phương trình có d ng t ng c a các bình phương.
Các t a đ Descartes rút ra t phép bi n đ i này mô t m t không gian ti p tuy n
v i không gian cong t i đi m quan sát. Vì m t không gian ti p tuy n ph ng luôn luôn có
th đư c rút ra m t cách c c b đ i v i m i đi m b t kỳ trong không gian Riemann, các
không gian Riemann đư c g i là ph ng c c b (hay Euclide hóa c c b ).
Ta có th bi n đ i phương trình metric (4.1) như sau:
2
2
g12 dw g12
1/2
ds2 = dw2
g11 dv + + g22 −
1/2 g11
g11
Đt
1/2
2
g12 dw g12
1/2
dx = g11 dv + và dy = g22 − dw
1/2 g11
g11
- 86
Ta đư c
ds2 = dx2 + dy 2,
2 2
v i gi thi t r ng (g11 g22 − g12) > 0. N u (g11 g22 − g12 ) < 0 thì phương trình metric có d ng
ds2 = dx2 − dy 2 .
Đây là phương trình metric rút v d ng hi u các bình phương. Vì v y không gian
này v n còn ph ng c c b . Không gian ti p tuy n c a nó đư c g i là gi -Riemann (pseudo-
Riemann).
S phân bi t gi a không gian gi -Riemann và không gian Riemann thư ng đư c b
qua và đư c qui chung v không gian Riemann. Nhìn l i thuy t tương đ i h p (SR), ta th y
r ng không gian c a SR là không gian gi -Euclide. Đây là m t trong nh ng lý do mà chúng
ta quan tâm đ n nh ng không gian này.
Hình 4.8
Hình 4.8 a: M t đư ng vĩ tuy n và m t đư ng tr c đ a (vòng tròn l n) ti p tuy n v i nhau
trên m t m t c u t i đi m P.
Hình 4.8 b: M t ti t di n đi qua tâm O và đi qua c c B c N c a m t c u (D là tâm cong
c a m t đư ng vĩ tuy n t i P).
• Đ nh nghĩa đư ng tr c đ a: Đư ng tr c đ a (geodesics) là các đư ng ng n nh t n i
li n các đi m cách nhau m t kho ng h u h n trên m t cong.
T t nhiên là trên m t m t ph ng, đư ng tr c đ a là m t đư ng th ng.
Các đư ng tr c đ a trên m t m t c u là các đư ng tròn l n.
4.3.2 Phép đo đ cong
Phép đo đ cong Gauss
Đây là m t phép đo đơn gi n, đ xác đ nh m t cách đ nh lư ng đ cong c c b c a
b m t hai chi u b t kỳ và t đó có th t ng quát hóa cho các trư ng h p nhi u chi u hơn.
Phép đo này ngoài vi c phát hi n b m t hai chi u có b cong hay không còn giúp ta xác
đ nh d u c a đ cong.
• Cách đo:
M t quan sát viên g n m t đ u s i dây có chi u dài r vào m t đi m O r i v m t
vòng tròn tâm O sao cho toàn b s i dây luôn đư c kéo căng trong su t quá trình v , r i đo
chu vi C c a vòng tròn đó.
- 87
Hình 4.9: Ba b m t hai chi u: P có d ng mái vòm, N có d ng yên ng a và F là m t ph ng. Trong m i
trư ng h p, đư ng đ t nét đánh d u ranh gi i v trí mà m t đư ng cong v n còn đúng là kho ng cách r t
O.
• K t qu :
+ Trên b m t ph ng F là CF = 2πr.
+ Trên b m t có d ng mái vòm như b m t P là CP < 2πr.
+ Trên b m t có d ng yên ng a như b m t N là CN > 2πr.
+ Đ i lư ng 2πr − C cho phép xác đ nh d u c a đ cong.
• Xét m t m t c u mà ti t di n c a nó đư c v trong hình 4.10 v i C là tâm và R
là bán kính c a m t cong.
Hình 4.10: M t ti t di n c t ngang m t c u có ch a tâm C , bán kính R.
Góc c a cung tròn có chi u dài r nhìn t tâm c a m t c u là θ
r
θ= .
R
M t khác ta có CP = 2πRsinθ
Hay
r2
CP = 2πr 1 − + ... .
6R2
Khi r → 0 ta tó
1 3 2πr − CP
= lim .
R2 r3
π r→0
Đi u này giúp ta xác đ nh bán kính c a b m t c u. T đó xác đ nh đư c đ cong
K c a b t kỳ b m t hai chi u nào.
+ Đ i v i m t c u thì K = 1/R2 .
+ Xây d ng công th c tính đ cong t ng quát cho b t kỳ m t b m t hai chi u nào.
- 88
Hình 4.11: G1 OG1 và G2OG2 là các đư ng tr c đ a trên b m t hai chi u giao nhau phía các góc ph i.
ON là pháp tuy n c c b v i b m t này t i O.
• Xét m t ph n c a b m t hai chi u t ng quát như hình 3.11. G1 OG1 và G2 OG2
là các đư ng tr c đ a đi ngang qua b m t c t phía các góc ph i; ON là pháp tuy n c c
b v i b m t này.
Các t a đ Descartes có th đư c v t i O có các tr c là các đư ng ti p tuy n v i
G1 OG1 và G2 OG2 và c tr c ON n a.
Các tr c này theo th t đư c g i là các tr c v , w và z . Đ i v i đi m (w, v, z ) trên
b m t lân c n đi m O , đó c hai t a đ w và z là bé, thì m t bi u th c cho z có th thu
đư c b i phép khai tri n chu i Taylor:
∂ 2z 2 ∂ 2z ∂ 2z 2
∂z ∂z 1
z= v+ w+ v +2 vw + w + ... (4.7)
∂v 2 ∂w2
∂v ∂w 2 ∂v∂w
Vì m t ph ng v, w song song v i b m t O nên hai s h ng đ u (4.7) tri t tiêu. Vì v y
ta thu đư c
1
Lv 2 + 2Mvw + Nw2 .
z= (4.8)
2
Ta th c hi n phép quay h t a đ Descartes quanh tr c ON m t góc
1 2M
tan−1 .
2 L−N
đ bi n đ i (4.8) thành t ng các bình phương.
Trong h t a đ Descartes m i v i các t a đ (x, y, z ), b m t có phương trình
1
K1 x 2 + K2 y 2 .
z= (4.9)
2
Bây gi , xét d c theo đư ng giao tuy n c a m t này v i m t ph ng xOz , ta có phương trình
x2
z = K1 (4.10)
2
Ngoài ra bán kính congR1 c a nó đư c cho b i công th c liên k t đư ng tên c a cung v i
chi u dài dây cung 2x cho m t cung tròn:
2R1 z = x2. (4.11)
T (4.10) và (4.11) ta thu đư c đ cong c a giao tuy n là
1
= K1 . (4.12)
R1
- 89
Tương t , d c theo đư ng giao tuy n c a m t này v i m t ph ng yOz thì đ cong
c a giao tuy n là K2 .
K1 và K2 đư c g i là các đ cong chính c a b m t t i O. Tích c a chúng là m t b t
bi n đ i v i b m t O và đư c g i là đ cong Gauss K
K = K1 K2 . (4.13)
+ Như ta đã tính trên, m t m t c u có đ cong Gauss K = R−2 t i m t đi m b t
kỳ trên b m t c a nó.
+ Đ i v i trư ng h p c a m t m t tr , m t m t ph ng chính c t đôi chi u dài c a
nó d c theo m t đư ng th ng; do đó đ cong chính b ng không và đ cong Gauss cũng b ng
không.
+ Đ i v i b m t d ng yên ng a, m t trong các m t ph ng chính n m d c theo chi u
dài c a yên ng a theo hư ng c a gáy ng a, và các m t ph ng chính khác n m ngang theo
hư ng các xương sư n ng a. Đ cong c a m t c t th nh t n m trên yên ng a và đ cong
c a m t c t th hai n m dư i yên ng a. Do đó, K1 và K2 trái d u nhau. Vì v y đ cong
Gauss âm.
Phương pháp đã đư c mô t đ đo đ cong c a m t c u đư c khái quát hóa lên cho
b t kỳ m t b m t hai chi u nào đư c cho b i
3 2πr − C
K= lim . (4.14)
r3
π r→0
======================= The end ========================
nguon tai.lieu . vn
