Xem mẫu
- Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh
L iM u
“S h c hi n i” là m t nghành khoa h c t nhiên ra i cùng v i
s ra i c a nghành toán h c.S H c ra ơi tư r t s m trong l ch s phát
triên nghành toán và có vai trò quan tr ng trong các nghành khoa h c khác
cũng như trong cu c s ng th c t .Trong n n toán h c hi n i S h c có vai
trò quan tr ng,là n n t ng cho các nghanh toán ó.
Tuy v y khi ti p c n v i S h c hi n i ngư i h c s g p r t nhi u
khó khăn vì tính tr u tương và tư duy r t cao c a nghành h c. kh c
ph c v n ó tôi ưa ra m t s ít nh ng gì mình ã h c trong chương I và
III c a giáo trình “S h c hi n i” c a th y Nguy n Thành Quang.Thông
qua m t s k t qu và m t s ví d minh h a cho s quan tr ng ó và s
tương t trong các nghiên c u ó. T nh lý Mason, ngư i ta d dàng thu
ưc nh lý cu i cùng Fermat i v i a th c trên h th c gi a các a th c.
Ch ng h n m t trong nh ng h qu ó là nh lý Davenport mà kh ng nh
tương t c a nó i v i s nguyên là gi thuy t Hall ho c Gi thuy t “ABC”
v n còn chưa ư c ch ng minh.S nguyên t và s gi nguyên t cùng
nh ng ng d ng c a nó trong khoa h c và trong th c ti n c a cu c s ng.
Cu i cùng tôi xin cám ơn Th y giáo Nguy n Thành Quang ã t n tình
d y b o va giúp tôi trong quá trình h c t p.Vì kh năng còn nhiêu h n
ch ch c ch n s còn r t nhi u h n ch và thi u sót,vì v y r t mong ư c s
góp ý ch d n c a các th y,cô và các b n
Tôi Xin Chân Thành Cám Ơn!
Vinh,tháng 5 năm 2010
H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 1
- Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh
I.Trư ng nh chu n
I.1 nh nghĩa: Môt trư ng nh chu n n u trên K ã xác nh m t ánh x : ϕ : K → R ,
th a mãn các i u ki n sau:
i. ϕ (a ) là s th c , ∀a ∈ K ,
ii. ϕ (0) = 0; ϕ (a ) > 0; v i 0 ≠ a ∈ K ,
iii. ϕ (ab) = ϕ (a ) ϕ (b) ,
iv. ϕ (a + b ) ≤ max(ϕ (a ), ϕ (b )) ; ∀a, b ∈ K .
I.2 Ví d : V trư ng nh chu n (K , ϕ )
Gi s Q là trư ng các s h u t , p là m t s nguyên t c nh nào ó. Khi ó
s
v i m i 0 ≠ a ∈ Q , ta có th vi t m t cách duy nh t a = p n , (n ∈ Ζ )
t
Trong ó các s nguyên s,t không chia h t cho p.Ta t ϕ p (0 ) = 0; ϕ p (a ) = p − n .Khi ó
trên Q s xác nh cho ta m t s nh chu n.Chu n này ư c g i là chu n p_adic .
s s
V i a = p n ⇒ a p = p n = p − n .(a ∈ Q; n ∈ Z ).
t t p
1 11 1
= ⋅ 7 −1 = 7.
C h ng h n: =⋅
35 7 5 7 7 5 7
1 1 10
⋅ 2 = 2 0 = 1.
⋅1 =
=
35 2 35 2 35
Nh n xét: V i p,q là hai s nguyên t phân bi t thì chu n p_adic va chu n q_adic không
tương ương nhau trên trư ng các s h u t Q.
I.3 nh chu n không Ácsimet.
M t chu n ϕ trên trư ng K là m t nh chu n không Ácsimet n u
ϕ (a + b ) ≤ Max(ϕ (a ), ϕ (b )); ∀a, b ∈ K .
II. nh lý Mason.
II.1 nh lý: Cho K la m t trư ng óng i s c s không.Gi s a(t),b(t),c(t) là các a
th c khác h ng s v i h s trong K, nguyên t cùng nhau sao cho a + b = c .Khi ó n u
kí hi u n0 ( f ) là s nghi m phân bi t c a a th c f thì ta có:
Max(deg(a) ,deg(b), deg(c)) ≤ n0 (abc ) − 1 .
II.2 nh lý Fermat
T nh lí trên ta suy ra ư c h qu sau: (Tương t c a nh lí cu i cùng c a
Fermat trên a th c) : Không t n t i các a th c a,b,c v i h t trong m t trư ng óng
is c s không, khác h ng s , nguyên t cùng nhau và thõa mãn phương trình:
a n + b n = c n , v i n ≥ 3.
Ch ng minh:
H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 2
- Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh
Gi s các a th c a, b, c tho mãn phương trình nói trên. Rõ ràng s nghi m phân
bi t c a a th c anbncn không vư t quá deg(a) + deg(b) + deg(c). Áp d ng nh lý
Mason, ta có:
deg(an) = ndega ≤ no(anbncn) – 1
≤ no(abc) – 1
≤ deg(abc) – 1
= deg(a) + deg(b) + deg(c) - 1.
Nên
deg(an) = ndega ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1
deg(bn) = ndegb ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1
deg(cn) = ndegc ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1
C ng t ng v các b t phương trìng trên, ta có
n(dega + degb + degc) ≤ 3(dega + degb + degc) – 3.
Ta có mâu thu n vì n ≥ 3.
II.3 nh lý Davenport
c bi t m t trong nh ng h qu c a nh lí Mason là nh lý sau ây. nh lý
Davenport:
Gi s f,g là các a th c trên trư ng K, nguyên t cùng nhau sao cho
1
f 3 ≠ g 2 .Khi ó ta có: deg ( f 3 − g 2 ) ≥ deg f + 1 .
2
Ch ng minh: Ta dùng nh lý Mason v i.
a = g2, b = f3 – g2, c = g=f3.
Khi ó a, b, c nguyên t cùng nhau và tho mãn phương trình a + b = c. Theo nh lý
Mason ta có dega ≤ no(abc) – 1
≤ no(g2(f3 – g2)f3) – 1
≤ no(g(f3 - g4)f) – 1
= deg(g(f3 - g4)f) – 1
= degg + deg(f3 – g2) + degf – 1
⇒ 2degg ≤ degg + deg(f3 – g2) +deg(f) – 1 (1)
Tương t :
⇒ 3degf ≤ degg + deg(f3 – g2) +deg(f) – 1 (2)
C ng t ng v các b t phương trìng (1) và (2) trên, ta có:
H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 3
- Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh
2degg + 3degf ≤ 2degg + 2deg(f3 – g2) + 2deg(f) – 2.
⇒ deg(f) ≤ 2deg(f3 – g2) - 2.
1
⇒ deg(f3 – g2) ≥ deg(f) + 1. Suy ra pcm
2
II.4.H qu :
II.4.1.H qu 1. (Tưong t nh lý Davenport)
Gi s f, g là các a th c khác h ng s trên trư ng óng is , c s không K,
5
nguyên t cùng nhau, sao cho f3 ≠ g4. Khi ó ta có: deg(f3 – g4) ≥ degf + 1 (*)
4
Ch ng minh:
+) N u 3deg(f) > 4deg(g) ⇒ deg(f3 - g4) = deg(f3) = 3deg(f). Khi ó hi n nhiên ta có
(*),v i chú ý r ng deg(f) ≥ 1.
+) N u 3deg(f) < 4deg(g) ⇒ deg(f3 - g4) = deg(g4) = 4deg(g) khi ó ta cũng có (*), vì:
5
deg(f3 - g4) = 4deg(g) > 3deg(f) > degf + 1
4
+) N u 3deg(f) = 4deg(g)
nh lý Mason v i: a = f3, b = g4 - f3, c = g4.
S d ng
Khi ó a, b, c nguyên t cùng nhau và tho mãn phương trình a + b = c. Theo nh lý
Mason ta có dega ≤ no(abc) – 1
Hay: 3deg(f) ≤ no(g4(f3 - g4)f3) – 1.
Suy ra 3deg(f) ≤ no(g(f3 - g4)f) – 1.
Do ó ta có 3deg(f) ≤ deg(g) + deg(f3 - g4) + deg(f) – 1.
⇒ deg(f3 - g4) ≥ 2deg(f) – deg(g) + 1
3
⇒ deg(f3 - g4) ≥ 2deg(f) – deg(f) + 1
4
5
⇒ deg(f3 - g4) ≥ deg(g) + 1
4
II.4.2. T ng quát c a nh ký Davenport
Gi s f,g là các a th c khác h ng trên trư ng óng is c s không K,
nguyên t cùng nhau , sao cho fn ≠ gm. Khi ó ta có
nm − n − m
deg(fn - gm) ≥ degf + 1 (**)
m
H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 4
- Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh
Ch ng minh:
+) N u ndeg(f) > mdeg(g) ⇒ deg(fn - gm) = deg(fn)= ndeg(f). Khi ó hi n nhiên ta có
(**),vơi chú ý r ng deg(f) ≥ 1.
+) N u ndeg(f) < mdeg(g) ⇒ deg(fn - gm) = deg(gm)= mdeg(g). Khi ó hi n nhiên ta có
nm − n − m
(**),v i deg(fn - gm) = mdeg(g) > n deg(f) > deg(f) + 1.
m
+) N u ndeg(f) = mdeg(g)
nh lý Mason v i: a = fn, b = gm – fn, c = gm.
S d ng
Khi ó a, b, c nguyên t cùng nhau và tho mãn phương trình a + b = c. Theo nh lý
Mason ta có dega ≤ no(abc) – 1.
Hay: ndeg(f) ≤ no(gm(fn – gm)fn) – 1.
Suy ra ndeg(f) ≤ no(g(fn – gm)f) – 1.
ndeg(f) ≤ deg(g) + deg(fn – gm) + deg(f) – 1.
Do ó ta có
⇒ deg(fn – gm) ≥ (n-1)deg(f) – deg(g) + 1
n
⇒ deg(fn – gm) ≥ (n-1)deg(f) – deg(f) + 1
m
nm − n − m
⇒ deg(fn – gm) ≥ degf + 1.
m
Ngoài nh lí Mason ta còn có các gi thuy t: Hall, ’abc’, Fermat suy r ng, Pilai,
Erdos_Mollon_Walsh.
Ta có s liên h gi a nh lí Mason v i các gi thuy t và các nh lí khác như sau:
Fermat Theorem Hall Conjecture
Mason Theorem
Analog of Fermat Davenport
Theorem (n ≥ 3) Theorem
?
‘abc Fermat Theorem
(n ≥ n0 )
Conjecture
H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 5
- Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh
III. S nguyên t .
nh nghĩa:
III.1.
S nguyên t là s nguyên l n hơn 1.Không chia h t cho s nguyên dương nào
ngoài 1 và chính nó (không có ư c th c s ).M t s nguyên l n hơn 1 không ph i là s
nguyên t ư c g i là h p s .
Vd: 3,5,7,11,13,...... là s nguyên t
III.2.S hoàn ch nh (The perfect number)
S hoàn ch nh là s nguyên dương mà t ng các ư c s dương th c s c a nó b ng
chính nó.
Ta có k t qu sau:”M t s nguyên dương ch n n là s hoàn ch nh n u và ch n u:
( )
n = 2 m −1 2 m − 1 .
Trong ó m ≥ 2 là s nguyên dương sao cho 2 m − 1 là s nguyên t .
Vd:
( ) ( )
28 = 4.7 = 2 2. 2 3 − 1 = 2 3−1. 2 3 − 1 :
( ) ( )
496 = 16.31 = 2 4. 2 5 − 1 = 2 5−1. 2 5 − 1 ;
( ) ( )
6 7 7 −1 7
8128 = 64.127 = 2 . 2 − 1 = 2 . 2 − 1 , là các s hoàn ch nh.
III.3. S nguyên t Mersenner:
Như ta ã th y, ta có m t s hoàn ch nh ch n khi có m t s nguyên t d ng
m
2 − 1 . Các s nguyên t như v y g i là s nguyên t Mersenner.
Trong vd v s hoàn ch nh ta th y các s 7,31,127 là các s nguyên t
Mersenner.
S nguyên t Mersenner có vai tro quan tr ng trong c lý thuy t và ng d ng.
Ch ng h n v n tìm ra các s nguyên t l n hơn xây d ng h m t mã công khai.
III.4. S nguyên t Fermat
n
Fermat ã chi ra r ng,các s t nhiên Fn = 2 2 + 1 , n=0,1,2,... là s nguyên t .
Các s nguyên t Fn ư c g i là s nguyên t Fermat.
III.5. nh lý:( nh lý cơ b n c a s h c)
M i s t nhiên lơn hơn 1 u phân tích ư c m t cách duy nh t thành tích các
th a s nguyên t , trong ó các th a s ư c vi t v i th t không gi m.S nguyên t
ư c coi như là “tích” ch g m m t th a s là chính nó.
III.6. S nguyên t sánh ôi.
nh nghĩa: N u 1 là ư c chung l n nh t (ƯCLN) c a các s nguyên
a1 , a 2 ,...., a n thì các s a1 , a 2 ,...., a n ư c g i là nguyên t cùng nhau.N u ta còn có 1 là
ƯCLN c a m i c p s phân bi t a i , a j ,1 ≤ i ≠ j ≤ n, thì các s nguyên a1 , a 2 ,...., a n ư c
g i là nguyên t cùng nhau t ng ôi m t,hay nguyên t sánh ôi.
Ch ng h n dãy s 3,5,17,257,65537,... là dãy s nguyên t Fermat thõa mãn i u
ki n là dãy s nguyên t sánh ôi.
III.7. S gi nguyên t .
Gi s b là m t s nguyên dương cho trư c.N u n là h p s nguyên dương và
n
b ≡ b(mod n ) ,thì n ư c g i là s nguyên t cơ s b.
Trong trư ng h p (n,b)=1, ta thương dùng nh nghĩa tương ương sau:
b n−1 ≡ 1(mod n ) .
Vd: S nguyên 561 là s gi nguyên t cơ s 2.
H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 6
- Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh
Th t v y: Ta có 561=3.11.17 và (3,2)=(11,2)=(17,2)=1,do ó áp d ng nh lý
Fermat, ta có:
280
()
2 260 = 2 2 ≡ 1(mod 3)
10 56
= (2 )
2 560 ≡ 1(mod 11)
16 35
= (2 )
2 560 ≡ 1(mod 17 )
ó suy ra 2 560 ≡ 1(mod 561) hay 2 561 ≡ 2(mod 561) .Do ó 561 là s gi
T
nguyên t cơ s 2.
III.8. S Carmichael.
H p s n th a mãn ng dư th c b n−1 ≡ 1(mod n ) v i m i s nguyên dương b sao
cho (n,b)=1 ư c g i là s Carmichael.
Vd: S nguyên 561 là m t s Carmichael.
Th t v y:
Do 561=3.11.17 nên 561 là h p s
V i m i s nguyên dương n thõa mãn: (b,n)= 1,ta th y (b,3)= (b,11)= (b,17)= 1.
b 560 = b 2 280 ≡ 1(mod 3)
()
b 2 ≡ 1(mod 3)
10 56
()
b ≡ 1(mod 11) ⇔ b 560 ≡ b10 = 1(mod 11)
Theo nh lý Fermat bé, ta có:
b16 ≡ 1(mod 17 ) 560 16 35
() ≡ 1(mod 17)
b = b
⇒ b 560 ≡ 1(mod 561) ⇒ 561 là s carmichael.
M t cách khác ta nh n bi t m t s có ph i là s Carmichael hay không nh vào
nh lý sau:” S t nhiên n là s Carmichael khi và ch khi n = q1 q 2 ...q k , trong ó
q j , ( j = 1,2,...k ) ,là các s nguyên t khác nhau th a mãn q j − 1 là ư c c a n-1.
H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 7
nguon tai.lieu . vn
