Xem mẫu
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
TIỂU LUẬN
Sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm
cực trị đại số và cách khắc phục
1
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
1/ Đặt vấn đề:
Toán học là môn học rất trừu tượng. Tính trừu tượng và logic tăng dần khi các em
càng họ c lên các lớp trê n. Từ năm họ c lớp 8 khó khăn của học sinh đã được bộc lộ
rõ nét hơn, đặc biệt là các bài to án chứng minh bất đẳng thức, các b ài toán tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có q uy tắc
giải tổ ng quát. Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các b ài toán
loại này. Vậy tại sao học sinh thường mắc phả i sai lầm khi giải cá c bà i toán cực
trị? Theo tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do sau:
1. Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị.
2. Chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức.
3. Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại.
4. Khô ng đọ c kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ b ài toán đ ã vộ i đi ngay vào giải toán.
5. Khô ng biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên
cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài to án, không sử d ụng hết
giả thiết b ài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có.
6. Không tự tư duy lại bài toán m ình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng
chưa.
Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là dạng
toán khó nhưng rất thú vị. Mỗi b ài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đò i hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có
tác d ụng rèn luyện tư duy to án họ c mềm dẻo, linh ho ạt và sáng tạo. Chính vì thế,
chú ng ta thấy trong các kì thi họ c sinh giỏ i toán thường có b ài toán về chứng minh
BĐ T hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Từ khó khăn của giáo viên và họ c sinh thường hay mắc sai lầm trong việc giải
các bài toán chứng minh BĐ T hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọ n đề tài
“Sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị đại số và cách khắ c
phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần
2
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong
việc dạy và học kiến thức về chứng minh BĐ T hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Như nhà giáo dục toán học Polya đã nói: ” Con người phả i biết học ngay ở những
sai lầm của mình” .
K hi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi tự thấy kiến thức toán của bản thân
còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán về tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất. Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong cả thầy và trò
lại rất ngại khi đụng đ ến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian đ ể dự đoán kết
quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm. Tôi đã tìm nhiều biện pháp để
hướng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải các b ài toán d ạng này bằng các
phương pháp m à học sinh được trang bị trong cấp học, nhưng đều khô ng thành
công bởi chính thầy cũng phải lần mò mãi mới có lời giải, họ c sinh thì hay mắc sai
lầm. Sau đợt tập huấn cho GV dạy độ i tuyển Toán do Sở GD - ĐT Quảng Ninh tổ
chức, dưới sự chỉ đ ạo trực tiếp của thầy giá o Cầm Thanh Hải – Trưởng phòng khảo
thí và q ua tạp chí Toán tuổ i thơ, tôi đã học tập và tích lũy được cho mình những
kinh nghiệm m à trong quá trình bồ i dưỡng học sinh giỏi, với những b ài toán tìm
cực trị đại số, khi hướng dẫn học sinh tôi đã hoàn to àn tự tin và giữ vai trò chủ đạo
để hướng dẫn học sinh, còn học sinh đ ã khai thác bài to án được bằng nhiều cách,
tránh đ ược những sai lầm cố hữu thường mắc phải khi giải toán cực trị và có hứng
thú thực sự với d ạng to án này. Từ thực tế này tôi xin được trao đổi kinh nghiệm
này cùng các đồ ng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ được m ở rộng và phát triển sâu
rộ ng hơn.
Đối với bài toán tìm cực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu d ựa vào
phân tích - kinh nghiệm của người làm toán. Các tài liệu tham khảo của môn toán
THCS dành cho giáo viên và học sinh có rất nhiều nhưng nội dung thì trùng nhau. Các
sách của Bộ giáo dục vì khuôn khổ chương trình học của cấp học nên phần giải bài
toán tìm cực trị trong chương trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài
bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này
có thể tham khảo. Chính vì những lý do nêu trên, tôi đ ã chọn đ ề tài “Sai lầm
3
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
thường gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắ c phục” trong chương
trình THCS đ ể nghiên cứu và thực hiện.
4. NỘI DUNG CHÍNH
I) C ách trình bày đề tà i: Gồm hai phần
Phần 1: Lý thuyết
Phần 2: Các bà i tập minh họa
Các sai lầm thường mắc được liệt kê ở cùng dạng.
1) Đ ưa ra các b ài tập cụ thể, mỗi b ài tập đều được đ ưa ra lời giải sai.
2) Phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đưa ra lời giải đú ng.
3) Các bài tập áp dụng.
II) Nộ i dung cụ thể.
PHẦN I: LÍ THUYẾT
a) Một số tính chấ t của bấ t đẳng thức
Cho a, b, c là các số thực
abba
Tính chất 1
a b
a=b
Tính chất 2
ba
Tính chất 3 Tính chất bắc cầu
a b
a c.
bc
a b a + c b+ c
Tính chất 4
a b
a + c b+ d
Tính chất 5
cd
Chú ý: Không đượ c trừ hai bất đẳng thức cùng chiều cho nhau.
ac bc
ab
Tính chất 6
c 0
4
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
ac bc
ab
Tính chất 7
c 0
Tính chất 8. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế khô ng âm
a b 0
ac bd
c d 0
a 1 b1 0
a b 0
2 2
a 1a 2 ...a n b1b 2 ...b n 0, n N *
Tổng quá t: ...
a n b n 0
Chú ý: Không đượ c chia hai bất đẳng thức cho nhau.
Tính chất 9 Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức
* a b 0 a n b n , n N*
* a b a n bn (n N* , n 2)
a b 0 n a n b, n N* , n 2
Tính chất 10
Tính chất 11 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số
m n 0
m n 0
a m an
am an *
*
0 a 1
a 1
b a 11
Tính chất 12
ab 0 ab
b) Bất đẳng thức chứa dấ u giá trị tuyệt đối
a 0, a R
a = a nếu a 0
a = - a nếu a 0
-a a a
5
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
a+ b a + b . D ấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0 .
c) Một số bất đẳng thức thường vận dụng để tìm cực trị.
+) Bất đẳng thức Côsi
Dạng cơ b ản: Cho a, b 0 , khi đó ta có bất đẳng thức a+ b 2 ab .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Dạng tổng quát: Cho các số không âm a1 , a 2 , a 3 ,..., a n .
Ta có bất đẳng thức a1 + a 2 + a 3 +... + a n n . n a 1a 2 a 3 ...a n
với n N, n 2 .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a 2 = a 3 = ... = an .
+) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Dạng cơ b ản: Với a, b, c, d là các số thực tuỳ ý ta luôn có
2
a 2 + b2 c2 + d 2 .
ac+ bd
ab
=.
D ấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
cd
Dạng tổng quát: Cho hai bộ số a1 ,a 2 ,a 3 ,..., a n , b1 , b 2 , b3 ,..., b n , khi đó ta có
2
a1 + a 2 + a 3 +...+ a n b1 + b2 + b3 +...+ bn
2 2 2 2 2 2 2 2
a1b1 + a 2b2 + a3b3 +...+ a n bn
a1 a 2 a 3 a
= ... = n
= =
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
b1 b 2 b3 bn
(Với đ iều kiện các biểu thức đều có nghĩa).
6
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
PHẦN II: CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ
A . Dạng sai lầm thứ nhất:
Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhưng khi tìm điều kiện để biểu thức
cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) thì các d ấu bằng không đồng thời
xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) hoặc
biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất)
1
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
Bài 1. Cho x, y là hai số dương thoả mãn x +
y
x y
thức M = 32. + 2007. .
y x
Lời giải “có vấn đề”.
xy
+ 2.
Từ x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
yx
2
1 1 y
1
1 ta có 1 x+ 4 x . 4.
Từ x, y > 0 và x +
y y x
y
x y
x y y
+ 2007. = 32. + +1975. 32.2 1975.4 7964 .
Do vậy M = 32.
y x y x x
D ấu “=” x ảy ra x = y .
V ậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt được khi x = y.
N hưng với x = y thì M = 2039. Vậy sai lầm ở đâu?
xy
+ 2.
Lời giải sai ở chỗ với x, y > 0 thì
Phân tích sai lầm:
yx
y
4, Dấu “=” xảy ra y = 4x.
D ấu “=” xảy ra x = y, còn
x
1
1.
Mặt khác có thể thấy x = y thì mâu thuẫn với giả thiết x +
y
7
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
N hư vậy nguyên nhân của sai lầm trong lời giải trên là trong một bài toán mà sử
dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị nhưng các d ấu “=” không đồng thời xảy ra .
2
1 1 y
1 x+ 4 x . 4.
Từ giả thiết ta có
Lời giải đúng
y y x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có
y y
x x y xy
M = 32. + 2007. = 32. + 2. + 2005. 2. 32. .2. 2005.4 80 36
y x y x x yx
1
D ấu “=” xảy ra x = ; y = 2.
2
1
V ậy giá trị nhỏ nhất của M là 8036, giá trị này đạt được khi x = ; y = 2 .
2
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 x+ 3 y biết 2 x 2 + 3 y 2 5
2 2
Lời giải sai: Gọi B = 2 x + 3 y , ta có B 5.
2 2
2 2
X ét A+ B = 2 x+ 3 y+ 2 x + 3 y = 2 x + x + 3 y + y
2 2
1 1 5 5
= 2 x+ + 3 y+ - (1)
2 2 4 4
Ta lại có B 5 nên - B 5 (2)
25 1
25
Min A x = y .
Cộng (1) với (2) ta được A
4 2
4
1 5
x = y A , vậy sai lầm ở đâu?
Nhưng với
2 2
Phân tích sai lầm:
1
Sai lầm ở chỗ với x = y = - , chỉ xảy ra dấu “=” ở (1), còn d ấu “=” ở (2) không
2
1 5
xảy ra. Thật vậy với x = y = - thì B 5 . Do đó - B 5 .
2 4
Lời giải đúng: Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có:
2
5 .5 2 5
2 3 2 x 2 + 3 y 2
A2 = 2. 2 x+ 3. 3 x
8
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
x2 y3
A 2 25 2
x = y . Do A
= 2 5 nên 5 A 5 .
2 3
x = y
Min A 5 x = y 1.
2 x+ 3 y 5
x = y
Max A 5 x = y 1.
2 x+ 3 y = 5
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
F x, y = x+ y + x+ 1 + y- x .
2 2 2
“Lời giải đẹp”: Ta thấy x+ y ; x+1 ; y- x không đồng thời bằng 0 nên
2
F x, y 0 F x, y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a = x+1
2 2
và b = x+ y + y- x đ ồng thời đạt giá trị nhỏ nhất.
2
Có a = x+1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = -1.
2 2
2
Khi đó b = x+ y + y- x = 2 y + 2, nên b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi y = 0.
x = -1
Vậy giá trị nhỏ nhất của F x, y là 2 khi .
y = 0
Phải chăng lời giải trên là đúng?
Phân tích sai lầm:
Lời giải mắc sai lầm ở bước lập luận: F x, y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
2 2 2
a = x+ 1 và b = x+ y + y- x đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất. Lập luận này chỉ
đúng khi các giá trị nhỏ nhất đó đạt đ ược tại cùng một giá trị của các biến. Rõ ràng
ở đây a đ ạt giá trị nhỏ nhất khi x = -1, còn b đạt giá trị nhỏ nhất khi
x + y = x – y = 0, tức là khi x = y = 0.
Lời giải đúng :
2
1 22
2 2 2
Biến đổi F x, y = 3 x + 2 x+ 1 + 2 y = 3 x+ + 2 y + x, y
3 33
9
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
1
Đ ẳng thức xảy ra x = - , y = 0. V ậy giá trị nhỏ nhất của F x, y
3
2 1
, giá trị này đ ạt được khi x = - , y = 0.
là
3 3
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
D = -5 x 2 - 2 x y- 2 y 2 + 14 x + 10 y- 1 .
Lời giải “băn khoăn”:
2 2
Ta có D = -5 x - 2 x y- 2 y + 14 x+ 10 y- 1
= - x 2 + 2 xy+ y 2 - 4 x 2 -14 x - y 2 -10 y -1
2
7 145
2 2
= - x+ y - 2 x - - y- 5 +
2 4
x+ y = 0 x = - y
7 7
1 45
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 x- 2 = 0 x = 4
Suy ra D
4
y- 5 = 0 y = 5
H ệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất.
Bạn có đồng ý với k ết luận trên của bà i to án không? Lời giả i đã thuyết phụ c
chưa?
Phân tích sai lầm:
2
7 145
2 2
Từ biến đổi đ ến D = - x+ y - 2 x- - y- 5 + thì mới chỉ suy ra
2 4
1 45
D , còn việc kết luận giá trị lớn nhất của D không tồn tại là chưa chính xác,
4
không có căn cứ xác đáng.
Lời giải đúng:
Cách 1: Ta có D = - x + y - 6 x- 6 y+ 2 xy+ 9 - 4 x - 8 x+ 4 - y - 4 y+ 4 16
2 2 2 2
2 2 2
- x+ y- 3 - 4 x-1 - y- 2 16
10
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
x+ y- 3 = 0
x = 1
Suy ra D 16 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x-1 = 0
y = 2
y- 2 = 0
V ậy Max D = 16, giá trị này đạt đ ược khi và chỉ khi x = 1 và y = 2.
Lời giải trên tuy đúng song có vẻ thiếu “tự nhiên”, cách 2 sau đây sẽ mang tính
thuyết phục hơn.
Cách 2: Biểu thức tổng quá t dạng
P(x, y) = ax 2 + bxy+ cy 2 + dx+ ey+ h (a, b, c 0)
Cách giải: Biến đổi P ( x, y ) về một trong hai dạng sau:
Dạng 1: P(x, y) = m.F2 (x, y) + n .H 2 (x) + g (1)
Dạng 2: P(x, y) = m.F 2 (x, y) + n .K 2 (y) + g (2)
Trong đó H(x), K(y) là biểu thức bậc nhất đối với biến của chú ng, còn F (x, y)
là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y.
Nếu m 0, n 0 thì ta có min P(x, y) = g .
F(x, y) = 0
F(x, y) = 0
G iá trị này đạt được khi và chỉ khi hoặc .
K(y) = 0
H(x) = 0
Nếu m 0, n 0 thì ta có max P(x, y) = g .
F(x, y) = 0
F(x, y) = 0
G iá trị này đạt được khi và chỉ khi hoặc .
K(y) = 0
H(x) = 0
Để biến đổi được như vậy, ta coi một biến là biến chính rồi tìm cách biến đổ i để áp
2 2
2 2 2 2
dụng các hằng đẳng thức a + 2 ab+ b = a+ b ; a - 2 ab+ b = a- b
ở đây ta chọn biến y là biến chính. Cụ thể:
2 2
Ta có D = -5 x - 2 x y - 2 y + 1 4 x + 1 0 y - 1
2 2
x - 5 x - 5
x - 5 y+
= -2 . y 2 + - 5 x 2 + 14 x-1
+
4 2
2
2
9 x-1
x- 5
2 y+ 16 16
-
2 2
11
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
x- 5
x = 1
y+ =0
Suy ra D 16 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2
y = 2
x-1 = 0
V ậy Max D = 16, giá trị này đạt đ ược khi và chỉ khi x = 1 và y = 2.
B. Dạng sai lầm th ứ hai
Không xác định điều kiện xảy ra dấu bằng trong BĐT f m (hay f m ),
hoặc điều kiện xảy ra dấu bằng không thoả mãn giả thiết.
2 2 2
Bài 1. Cho x, y, z thoả m ãn x + y + z 27 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = x + y + z + x y + yz + z x .
2 2 2
Với mọi x, y, z ta có: x- y 0; y- z 0; z- x 0
Lời giải sai
x 2 + y 2 2 xy; y 2 + z 2 2 yz; z 2 + x 2 2 zx
2 x 2 + y 2 + z 2 2 x y+ yz + zx 2 7 xy+ yz+ zx (1)
2 2 2 2 2 2
+) x - 1 0 ; y - 1 0; z - 1 0 x + 1 2 x; y + 1 2 y; z + 1 2 z
x 2 + y 2 + z 2 3 2 x+ y+ z 15 x+ y+ z (2)
Cộng theo từng vế của (1) và (2) suy ra P 4 2 . Vậy giá trị lớn nhất của P là 42.
Bài làm khá “đẹp”, nhưng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắ c
phục như thế nào?
Phân tích sai lầm
Lời giải này đã quên một b ước vô cùng quan trọng của một b ài toán cực trị khi sử
dụng BĐT, đó là xác đ ịnh điều kiện xảy ra đẳng thức.
Ta thấy P = 42 (1) và (2) đồng thời trở thành đẳng thức
x = y = z 3
2 2 2
x + y + z = 27
x = y = z = 1
H ệ trên vô nghiệm nên bất đẳng thức P ≤ 42 không thể trở thành đẳng thức.
2
2 2 2
Lời giải đúng: Xét hiệu 3 x + y + z - x+ y+ z
12
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
2 2 2
= 2 x 2 + y 2 + z 2 - 2 xy+ yz+ zx = x- y + y- z + z- x 0 (*) .
2
2 2 2
Từ (*) x+ y+ z 3 x + y + z 3.27 x+ y+ z 9 (1)
(đẳng thức xảy ra x = y = z = 3).
Từ (*) 2(xy+ yz+ zx) 2(x 2 + y 2 + z 2 ) xy+ yz+ zx x 2 + y 2 + z 2 27 (2)
Từ (1) và (2) x+ y+ z+ xy+ yz+ zx 36 . Đẳng thức xảy ra x = y = z = 3.
V ậy P đạt giá trị lớn nhất là 36, giá trị này đạt được x = y = z = 3.
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + x.
2
1 1 1 1 1
x+
Lời giải sai: Ta có A = x+ x = x+ x+ - =
4 4 2 4 4
1
V ậy min A .
4
Lời giải rất “hồn nhiên” và “ngắn gọn” nhưng lập luận đ ã chặt chẽ chưa?
Kết quả có chính xá c không? Theo bạ n “kẽ hở” ở chỗ nào?
1
Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh A , chưa chỉ ra trường hợp xảy ra
4
1
1
x = - , vô lí.
A , . Xảy ra dấu đẳng thức
2
4
Lời giải đúng:
x 0.
x phải có x 0 . Do đó A = x +
Đ ể tồn tại
Min A 0 x 0.
x+ a x+ b
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = , với x 0 , a và b là
x
các hằng số dương cho trước.
Lời giải sai:
x+ b 2 bx (2)
x+ a 2 ax (1) và
Ta có
x+ a x+ b 2 ax .2 b x
Do đó A = = 4 ab
x x
13
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
M in A = 4 ab x = a = b .
Lời giải “thuyết phục” đấy chứ, có cần phải giải lạ i không?
Phân tích sai lầm:
Chỉ xảy ra A = 4 ab khi ở (1) và (2) xảy ra dấu đẳng thức, tức là x = a và
x = b. Như vậy đòi hỏi phải có a = b. Nếu a b thì không có được A = 4 ab .
Lời giải đúng:
Ta thực hiện phép nhân và tách ra các hằng số:
x+ a x+ b x 2 + ax+ bx+ ab ab
= x+ + a+ b .
A= =
x x x
ab 2
2 ab (BĐT Côsi) nên A 2 ab + a+ b =
Ta có x+ a+ b
x
ab
x =
2
x x= ab .
Min A = a+ b
x 0
Bài 4. Cho a, b, c là các số dương, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a b c
P = 1 + 1 + 1 + .
5b 5c 5a
Mộ t bạn học sinh đã giả i như sau:
Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
a a b b c c
2 2 2
1+ (1); 1+ (2); 1+ (3)
5b 5b 5c 5c 5a 5a
N hân từng vế của ba bất đ ẳng thức cùng chiều và các vế đều dương ta được
85
a b c 85
.
P8 . . = . Do đó P nhỏ nhất bằng
25
5b 5c 5a 25
Các bạn có đồng tình với cá ch giải này không?
85
Phân tích sai lầm: Để ý không tồn tại a, b, c để P = . Đây là sai lầm
25
thường mắc khi dùng b ất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức. Một nguyên nhân sâu xa hơn nhiều là bạn đọc không hiểu đúng nghĩa
14
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
của dấu “≥” và dấu “≤”. Không phải khi n ào viết “≥” cũng có thể xảy ra dấu “=”.
Ví dụ ta viết 10 ≥ 2 là đúng nhưng không thể có 10 = 2.
Lời giải đúng : Biến đổi
a b c 1a b c 1 a b c 1
P = 1+ 1+ 1+ = 1+ + + + + + + (1)
5 b 5c 5a 5 b c a 25 c a b 125
Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
abc abc abc abc
+ + 3. 3 . . 3 (2) và + + 3. 3 . . 3 (3)
bca bca cab cab
1 1 1 216
P 1 .3 .3
Từ (1), (2), (3) ta có . Dấu đẳng thức xảy ra khi
5 25 125 125
và chỉ khi các dấu đẳng thức ở (2) và (3) đồng thời xảy ra, tức là a = b = c. Vậy
216
Min P a = b = c > 0.
125
Bài 5. Cho a, b là hai số dương và x, y, z là các số dương tuỳ ý.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x2 y2 z2
M= + + .
ay+ bz az+ by az+ bx ax+ bz ax+ by ay+ bx
Lời giải của một họ c sinh: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia có
2 2
ay+ bz a 2 + b2 y2 + z 2 và az+ by a 2 + b 2 z 2 + y 2
x2 x2
V ậy . Tương tự ta có
a + b 2 y2 + z2
ay+ b z az+ by 2
y2 x2 z2 z2
và .
a + b2 z 2 + x 2 a + b2 x 2 + y2
az+ bx ax+ bz ax+ by ay+ bx
2 2
1 x2 y2 z2
M + 2 2 + 2 2 .
Do đó
a 2 + b2 y2 + z2 z + x x +y
x2 y2 z2 3
+2 +2
Mặt khác chứng minh đ ược 2 2 2 2
y +z z +x x +y 2
3
Suy ra M . D ấu “=” x ảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
2 a + b2
2
15
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
3
V ậy giá trị nhỏ nhất của M là , giá trị này đạt được khi và chỉ khi
2 a + b 2
2
x = y = z.
Cách giả i trên phả i chă ng là … đúng! Bạn giải bà i toán này như thế nào?
Phân tích sai lầm:
Lời giải đã sử dụng khá nhiều bất đẳng thức nhưng bạn học sinh này chỉ xét dấu
x2 y2 z2 3
+ 2 2 + 2 2 m à không xét dấu
đẳng thức xảy ra ở bất đẳng thức 2 2
y +z z +x x +y 2
đẳng thức xảy ra ở các bất đẳng thức còn lại.
3
Theo đó đẳng thức M = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z và a = b. Nhưng
2 a + b2
2
3
theo giả thiết a, b là hai số dương tùy ý, nên với a b thì M .
2 a + b2
2
Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức (m + n)2 ≥ 4 mn
2
y + z
2 2 2 2 2
a+ b
ay+ bz+ az+ by a+ b y+ z
Ta có ay+ bz az+ by
=
4 4 2
x2 2 x2
. Tương tự ta cũng có
Suy ra
ay+ bz az+ by a+ b 2 y 2 + z 2
z2 2 z2
y2 2 y2
và .
ax+ by ay+ bx a+ b 2 y2 + x 2
az+ bx ax+ bz a+ b 2 x 2 + z 2
x2 y2 z2
2
M + +
Do đó .
2
a+ b y2 + z 2 z 2 + x 2 x 2 + y2
x2 y2 z2 3
Mặt khác theo bất đẳng thức Net-bit thì 2 2 + 2 2 + 2 2 ,
y +z z +x x +y 2
3
suy ra M . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z .
2
a+ b
3
V ậy min M khi và chỉ khi x = y = z .
2
a+ b
2 2
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x + 5 y + 4 xy- 4 x- 8 y+ 6
16
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
Lời giải đẹp”
Ta có P = x + 4 y +1+ 4 xy- 2 x- 4 y + x - 2 x+1 + y - 4 y+ 4
2 2 2 2
2 2 2
P = x+ 2 y- 1 + x-1 + y- 2
2 2 2
Do x+ 2 y- 1 0, x- 1 y- 2
0, 0 nên
2 2 2
P = x+ 2 y- 1 + x - 1 + y- 2 0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P b ằng 0.
Lờ i giải “quá gọn”, bạn có ý k iến g ì không?
Phân tích sai lầm: Khẳng định P 0 là đúng nhưng … chẳng đ ược gì, bởi vì
không có giá trị nào của x, y để dấu “=” xảy ra. Sai lầm ở lời giải trên xuất phát từ
việc người giải đã không thực hiện bước 2 khi tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)
của biểu thức ta phải trả lời câu hỏi “dấu bằng xảy ra khi nào?”
Lời giải đúng: Coi x là biến chính để biến đổi như sau:
2 2
P 2 x 2 5 y 2 + 4 xy- 4 x- 8 y+ 6 2 x 2 + 2 x y-1 + y-1 - 2 y-1 + 5 y 2 - 8 y+ 6
2 4 4
2 2
P = x+ y- 1 + 3 y 2 - 4 y+ 4 = x + y- 1 + 3 y 2 - 2 y . + - + 4
3 9 3
2
2
2
2 8
2
2
x + y -1
P = x + y- 1 0, 3 y- 0
+ 3 y- + . Vì
3
3 3
2
2 88
2
nên P = x+ y- 1 + 3 y- + x, y . D ấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ
3 33
1
x y 1 2 0 x y 1 0 x 3
2
khi 2
2
y 2
y 3 0
3 y 0
3
3
8 1 2
. Giá trị này đạt được khi x, y = ,
Vậy M in P =
3 3 3
C. D ạng sai lầm thứ ba
Bất đẳng thức f x a không xảy ra đẳng thức ứng với một giá trị x = x 0 nào
đó (x0 thoả mãn điều kiện của bài toán) đã kết luận biểu thức f x đạt giá trị
nhỏ nhất bằng a hoặc biểu thức f x không đạt giá trị nhỏ nhất.
17
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 28 + 3 x- x 2 + 5 + 4 x- x 2 .
Lời giải sai: Điều kiện của x đ ể biểu thức P có nghĩa là
4 + x 7 - x 0
28 + 3 x- x 2 0 4 x 7
1 x 5.
1+ x 5 - x 0
2
1 x 5
5 + 4 x- x 0
N hận xét: Với 1 x 5 ta có
5 + 4 x- x 2 = 1+ x 5 - x 0 , suy ra 5 + 4 x- x 2 0.
28 + 3x- x 2 = 4 + x 7 - x 0 , suy ra 28 + 3x- x 2 0.
2 2
Do đó, với 1 x 5 thì P = 28 + 3 x- x + 5 + 4 x- x 0, nên P không có
giá trị nhỏ nhất.
Phân tích sai lầm
Lời giải sai về mặt lôgic, tương tự như trường hợp
Q = x 2 +1 0 với mọi x nhưng Q vẫn đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0.
Lời giải đúng :
Đ iều kiện của x đ ể P có nghĩa là 1 x 5 . Khi đó ta có
P 23 - x+ 1+ x 5 - x + 1+ x 5 - x 23 - x 23 - 5 3 2 .
Đ ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 5. Vậy min P 3 2 khi và chỉ khi x 5.
x 2 + m+1 x+1 = 0 có tổng bình phương các
Bài 2. Tìm m để phương trình
nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải của một họ c sinh: Điều kiện đ ể phương trình có nghiệm là:
m 1
2
0 m+1 - 4 0 m+ 3 m-1 0 (*) .
m 3
K hi đó tổng bình phương các nghiệm là:
2 2
x1 + x 2 = x1 + x 2 - 2 x1x 2 = m+1 - 2 (Theo đ ịnh lí Viét).
2 2
2
Ta có m+1 2 2 nên tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất là -2
khi và chỉ khi m+1 = 0 m 1.
18
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
Giá trị m = -1 khô ng thoả m ãn đ iều kiện (*) nên không tồn tại giá trị của m đ ể tổng
bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.
Phân tích sai lầm:
Mấu chố t của sai lầm trong lời giải này ở chỗ em học sinh chưa nắm vững khái
niệm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Chúng ta cần lưu ý rằng: Nếu bất đẳng
thức f x a kh ông xảy ra đẳng thức ứng với mộ t giá trị x x0 nào đó (x0 thoả mãn
điều kiện của bài toán) thì không thể kết luận đ ược biểu thức f x đạt giá trị nhỏ
nhất bằng a hoặ c biểu thức f x không đạt giá trị nhỏ nhấ t.
Lời giải đúng : Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
m 1
2
0 m+1 - 4 0 m+ 3 m-1 0 (*) .
m 3
K hi đó tổng bình phương các nghiệm là
2 2 2
x1 + x 2 = x1 + x 2 - 2 x1x 2 = m+1 - 2 = m+1 - 4 2 2.
2
2
m 1
2
Đ ẳng thức xảy ra m+1 4 0 (thoả mãn (*)).
m 3
2 2
V ậy x1 + x 2 đ ạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi và chỉ khi m = 1 hoặc m = -3.
D. Dạng sai lầm thứ tư
Lập luận sai khi khẳng định “A có tử số không đổi nên A có giá trị lớn nhất
khi mẫu nhỏ nhất” (hoặc ngược lại) mà chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là các
số dương.
1
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = .
2
x - 6 x+10
Lời giải sai:
1
Phân thức có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
2
x - 6 x+10
2
2
Ta có : x - 6 x+10 = x- 3 +1 1 min x - 6 x+10 1 x 3.
2
V ậy max A 1 x 3.
Lờ i giải có vẻ khá “trơn”, nhưng nếu đi thi mà làm vậy thì “trượt”. Tạ i sao vậy?
19
- Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
Phân tích sai lầm
Tuy đáp số không sai nhưng lập luận lại sai khi khẳng định “A có tử số không đổi
nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là
các số dương.
1 1
Ví dụ như: Xét biểu thức B = . Với lập luận như trên “Phân thức 2 có
2
x -10 x -10
tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất”, do mẫu nhỏ nhất bằng -10
1
1
khi x = 0, ta sẽ đi đến kết luận max B x 0 . Điều này không đúng vì
10
10
1 1
không phải là giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x = 5 thì B = .
15 10
Mắc sai lầm trên là do người làm không nắm vững tính chất của bất đẳng thức,
đã máy móc áp d ụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là các số tự nhiên
sang hai phân số có tử và m ẫu là các b ất kì.
2
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét x - 6 x+10 = x- 3 1 0 nên phân thức
2
1 1
có tử và mẫu đều là số dương, do đó A lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ
2
x - 6 x+10 A
nhất x 2 - 6 x+10 nhỏ nhất. Làm tiếp như trên ra kết quả.
1
Bài 2. Tìm x để biểu thức P = đạt giá trị lớn nhất.
2
x + 2 x- 3
Trong mộ t lần kiểm tra có mộ t học sinh đã giải bài toán này như sau:
1 1
Đ iều kiện x 1 ; x 3 . Ta có P = = .
x + 2 x- 3 x+12 - 4
2
2
Đ ể biểu thức P đ ạt giá trị lớn nhất thì x+1 4 đạt giá trị nhỏ nhất. Đ iều này
1
2
xảy ra khi x+1 0 hay x 1 . Khi đó giá trị lớn nhất của P
4
1 1
Nhưng có thể thấy khi x 2 thì P , do đó khô ng phải là giá trị lớn nhất
5 4
của P. Vậy sai lầm của lời giải ở đâu? Khắc phục sai lầ m đó như thế nào?
20
nguon tai.lieu . vn
