Xem mẫu
- B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O
TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN
Võ Qu c Thành
M T S TÍNH CH T
C A DÃY SINH B I HÀM S
VÀ ÁP D NG
Lu n văn th c sĩ toán h c
Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ c p
Mã s : 60 46 40
Ngư i hư ng d n khoa h c:
GS.TSKH. Nguy n Văn M u
QUY NHƠN, NĂM 2008
- 2
M cl c
M đ u...................................... 1
Chương 1 M t s tính ch t cơ b n c a dãy s 3
1.1 C ps .................................... 3
1.1.1 C p s c ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 C p s nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 C p s đi u hoà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn .................... 5
1.2.1 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn c ng tính . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . 6
1.3 Dãy tuy n tính và phân tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng s ....... 7
1.3.2 Dãy phân th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 M t s bài toán áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chương 2 Hàm chuy n đ i m t s dãy s đ c bi t 12
2.1 Hàm chuy n ti p các c p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Hàm b o toàn các c p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Hàm chuy n đ i các c p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Dãy sinh b i m t s hàm s sơ c p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
- 0
2.2.1 Dãy sinh b i nh th c b c nh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Dãy sinh b i tam th c b c hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 Dãy sinh b i hàm phân tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.4 Dãy sinh b i hàm s lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 M t s bài toán áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 3 M t s tính toán trên các dãy s 20
3.1 Gi i h n c a dãy s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 M t s ư c lư ng t ng và tích vô h n ph n t . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Tính ch t c a m t s dãy s phi tuy n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
- 1
M đu
Chuyên đ dãy s và các v n đ liên quan đ n dãy s là m t ph n quan tr ng
c a đ i s và gi i tích toán h c. Có nhi u d ng toán lo i khó liên quan đ n chuyên
đ này. Đ i v i h c sinh ph thông, nh ng khái ni m dãy s thư ng khó hình dung
v c u trúc đ i s trên t p các dãy s , đ c bi t là các phép tính đ i v i các dãy có
ch a tham s , các phép bi n đ i dãy và đ i s các dãy,...
Dãy s có v trí đ c bi t trong toán h c không ch như là nh ng đ i tư ng đ
nghiên c u mà còn đóng vai trò như là m t công c đ c l c c a gi i tích toán h c.
Trong nhi u kỳ thi h c sinh gi i qu c gia, thi Olympíc toán qu c t , các bài toán
liên quan đ n dãy s cũng hay đư c đ c p và thư ng thu c lo i r t khó. Các bài
toán v ư c lư ng và tính giá tr các t ng, tích cũng như các bài toán c c tr và xác
đ nh gi i h n c a m t bi u th c cho trư c thư ng có m i quan h ít nhi u đ n các
đ c trưng c a dãy tương ng. Các bài toán v dãy s đã đư c đ c p các giáo trình
cơ b n v gi i tích toán h c và m t s tài li u b i dư ng giáo viên và h c sinh chuyên
toán b c trung h c ph thông.
Luân văn M t s tính ch t c a dãy sinh b i hàm s và áp d ng nh m cung c p
m t s ki n th c cơ b n v dãy s và m t s v n đ liên quan đ n dãy s . Đ ng th i
cũng cho phân lo i m t s d ng toán v dãy s theo d ng cũng như phương pháp gi i.
Trong quá trình hoàn thành lu n văn , tác gi đã không ng ng n l c đ h c h i,
tìm tòi và kh o sát m t s bài toán v dãy s .
Lu n văn g m ph n m đ u và ba chương.
Chương 1: M t s tính ch t cơ b n c a dãy s . N i dung c a chương này nh m
trình bày đ nh nghĩa các dãy s đ c bi t và các tính ch t liên quan. Đ ng th i trình
bày m t s bài toán áp d ng liên quan đ n c p s c ng, c p s nhân và các tính ch t
đ c bi t c a chúng. Nêu m t s tính ch t cơ b n c a dãy s và các bài toán xác đ nh
- 2
các dãy s liên quan đ n các hàm sơ c p ph thông.
Chương 2: Hàm chuy n đ i m t s dãy s đ c bi t. Chương này nh m gi i thi u
m t s l p hàm b o toàn các dãy s đ c bi t nêu chương 1 và nêu các m i liên h
gi a các hàm đã cho. Đ ng th i nêu xét các dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn và
kh o sát m t s tính ch t c a các hàm chuy n đ i các dãy s đ c bi t
Chương 3 nh m kh o sát m t s tính ch t và tính toán trên dãy s .
M c dù b n thân đã có nhi u c g ng, nhưng s không tránh kh i nh ng khi m
khuy t, r t mong s góp ý c a quý Th y Cô và nh ng b n đ c quan tâm đ n lu n
văn.
- 3
Chương 1
M t s tính ch t cơ b n c a dãy s
Ta nh c l i m t s đ nh nghĩa trong chương trình toán b c ph thông.
1.1 C ps
1.1.1 C p s c ng
Đ nh nghĩa 1.1. Dãy s {un } th a mãn đi u ki n
u1 − u0 = u2 − u1 = · · · = un+1 − un
đư c g i là m t c p s c ng.
Khi dãy s {un } l p thành m t c p s c ng thì hi u d = u1 − u0 đư c g i là công
sai c a c p s c ng đã cho.
Nh n xét 1.1. N u có m t dãy s có h u h n các ph n t
u1, u2 , . . . , un
th a mãn tính ch t
u 1 − u 0 = u 2 − u 1 = · · · = u n − u n −1 (1.1)
thì dãy s un đư c g i là m t c p s c ng v i d = u1 − u0 đư c g i là công sai. Dãy
s {un } là m t c p s c ng v i công sai d = 0 thì un = un+1 v i m i n, khi đó ta g i
{un } là dãy h ng (dãy không đ i).
Kí hi u
S n = u1 + u2 + · · · + un
- 4
Sn đư c g i là t ng c a n s h ng đ u tiên c a m t c p s c ng.
un đư c g i là s h ng t ng quát c a c p s c ng {un }.
Nh n xét 1.2. (Các tính ch t đ c trưng c a m t c p s c ng) Cho {un } là m t c p
s c ng công sai d, ta có
un = un−1 + d = u1 + (n − 1)d,
2uk = uk−1 + uk+1 , k 2,
và
n(n − 1)d ( u1 + un ) n
Sn = nu1 + = .
2 2
Bài toán 1.3. Cho các s dương u1, u2 , . . . , un t o thành m t c p s c ng, công sai
d > 0. Tính t ng
1 1 1
S= + + ··· +
u1.u2 u2 .u3 un−1 .un
1.1.2 C p s nhân
Đ nh nghĩa 1.2. Dãy s {un } th a mãn đi u ki n
u1 u2 un+1
= = ··· =
u0 u1 un
đư c g i là m t c p s nhân.
u1
Khi dãy s {un } l p thành m t c p s nhân thì thương q = đư c g i là m t
u0
công b i c a c p s đã cho.
Nh n xét 1.3. Theo đ nh nghĩa 1.2, n u m t dãy s h u h n các ph n t
u1, u2 , . . . , un
(v i m i ph n t trong dãy khác không) th a mãn tính ch t
u1 u2 un+1
= = ··· =
u0 u1 un
u1
thì dãy s u1, u2 , . . . , un đư c g i là m t c p s nhân v i công b i q= đư c g i là
u0
m t c p s nhân
- 5
Nh n xét 1.4. (Các tính ch t đ c trưng c a m t c p s nhân) Cho {un } là m t c p
s nhân công b i q = 1, ta có
un = q.un−1 = u1.q n−1 , n = 1, 2, . . .
u2 = uk−1 uk+1 , k 2.
k
1 − qn
S n = u1 .
1−q
1.1.3 C p s đi u hoà
Đ nh nghĩa 1.3. Dãy s {un } ,(un = 0, ∀n ∈ N) th a mãn đi u ki n
2un−1 un+1
un =
un−1 + un+1
đư c g i là c p s đi u hòa.
Bài toán 1.4. (Đi u ki n c n và đ đ dãy s là m t c p s đi u hoà.) Ch ng minh
r ng dãy s {un } l p thành m t dãy s đi u hòa khi và ch khi dãy đã cho th a mãn
đi u ki n.
1
un+1 = .
2 1
−
u n u n −1
1.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn
Trong ph n n y ta quan tâm đ n hai lo i dãy tu n hoàn cơ b n là tu n hoàn
c ng tính và tu n hoàn nhân tính.
1.2.1 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn c ng tính
Đ nh nghĩa 1.4. Dãy s {un } đư c g i là dãy tu n hoàn c ng tính n u t n t i s
nguyên dương l sao cho
un+l = un , ∀n ∈ N, (1.2)
S nguyên dương l bé nh t đ dãy {un } tho mãn đi u ki n (1.2) đư c g i là chu kì
cơ s c a dãy.
- 6
Đ nh nghĩa 1.5. Dãy s {un } đư c g i là dãy tu n ph n hoàn c ng tính n u t n t i
s nguyên dương l sao cho
un+l = −un , ∀n ∈ N, (1.3)
Nh n xét 1.5. Dãy tu n hoàn chu kỳ 1 khi và ch khi dãy đã cho là m t dãy h ng.
Nh n xét 1.6. Dãy tu n hoàn ( c ng tính) chu kỳ 2 khi và ch khi dãy có d ng
1
α + β + (α − β )(−1)n+1 , α, β ∈ R
un =
2
1.2.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn nhân tính
Đ nh nghĩa 1.6. Dãy s {un } đư c g i là dãy tu n hoàn nhân tính n u t n t i s
nguyên dương s(s > 1)sao cho
usn = un , ∀n ∈ N, (1.4)
S nguyên dương s bé nh t đ dãy {un } tho mãn đi u ki n (1.4) đư c g i là chu kì
cơ s c a dãy.
Nh n xét 1.7. M t dãy ph n tu n hoàn c ng tính chu kì r thì s tu n hoàn c ng
tính chu kì 2r
Đ nh nghĩa 1.7. Dãy s {un } đư c g i là dãy ph n tu n hoàn nhân tính n u t n
t i s nguyên dương s(s > 1) sao cho
usn = −un , ∀n ∈ N.
1
Nh n xét 1.8. M i dãy {un } ph n tu n hoàn chu kỳ r đ u có d ng un = (vn − vn+r ),
2
v i vn+2r = vn .
1.3 Dãy tuy n tính và phân tuy n tính
Trong ph n này ta trình bày m t s phương trình sai phân cơ b n có nghi m là
các s th c và cách gi i chúng.
- 7
1.3.1 Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng s
Trư c h t, ta xét phương trình sai phân tuy n tính c p m t d ng
x1 = α, axn+1 + bxn = f (n), n ∈ N∗ ,
trong đó a, b, α là các h ng s (a = 0) và f (n) là bi u th c c a n cho trư c.
Nh n xét r ng các c p s cơ b n là nh ng d ng đ c bi t c a phương trình sai
phân tuy n tính.
Bài toán 1.5. Xác đ nh s h ng t ng quát c a m t c p s nhân bi t r ng s h ng
đ u tiên b ng 9 và công b i b ng 3.
Bài toán 1.6. Cho a, b, α là các s th c cho trư c (a = 0) và dãy {xn } xác đ nh như
sau
x0 = α, axn+1 + bxn = 0, n = 0, 1, 2, . . .
Tìm s h ng t ng quát c a dãy
Bài toán 1.7. Tìm dãy s {xn } tho mãn đi u ki n
x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = 0, n ∈ N∗ .
Bài toán 1.8. Tìm dãy s {xn } tho mãn đi u ki n
2, n ∈ N∗.
x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = A(n), n
trong đó a = 0, A(n) là đa th c theo n cho trư c.
Bài toán 1.9. Tìm dãy s {xn } tho mãn đi u ki n
x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = γ.η n , n 2, n ∈ N∗ .
Ti p theo, ta xét phương trình sai phân tuy n tính c p ba là phương trình sai
phân có d ng
x1 = α, x2 = β, x3 = γ, axn+1 + bxn + cxn−1 + dxn−2 = A(n), n 3.
Bài toán 1.10. Tìm dãy s {xn } tho mãn
x1 = α, x2 = β, x3 = γ, axn+1 + bxn + cxn−1 + dxn−2 = A(n), n 3.
trong đó a, b, c, d, α, β, γ là các h ng s cho trư c, A(n) là bi u th c cho trư c.
- 8
1.3.2 Dãy phân th c
Trong ph n n y ta phân tích và gi i hai bài toán xác đ nh s h ng t ng quát c a
m t dãy s cho b i hàm phân th c b c hai chia b c nh t và b c nh t chia b c hai
d ng đ c bi t, và xét ví d đ c trưng c a phương pháp. B ng cách s d ng phép
bi n đ i tuy n tính, ta có th chuy n t các hàm đ c bi t sang các hàm b c hai trên
b c nh t (ho c b c nh t trên b c hai ) các d ng khác. Ph n bài t p áp d ng c a
dãy phân th c đư c trình bày trong ph n 1 c a chương 3.
Bài toán 1.11. Tìm dãy s {xn } tho mãn các đi u ki n
x2 + d
n
x1 = a, xn+1 = ,d 0. (1.5)
2xn
Bài toán 1.12. Tìm dãy s {xn } tho mãn các đi u ki n
2xn
, n ∈ N∗ .
x1 = a, xn+1 =
1 + dx2
n
Bài toán 1.13. Tìm dãy s {xn } tho mãn các đi u ki n
x2 + 9
=n
x1 = 4, xn+1 , (1.6)
2xn
1.4 M t s bài toán áp d ng
Bài toán 1.14. Tìm xn bi t r ng
x0 = 1, x1 = 4, xn+2 = 2(2n + 3)2 xn+1 − 4(n + 1)2 (2n + 1)(2n + 3)xn , n 0.
Bài toán 1.15. Tìm xn bi t r ng
x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3, xn + 11xn−2 = 7xn−1 + 5xn−3 , n 4.
Bài toán 1.16. Tìm dãy s {xn } tho mãn
x1 = 14, x2 = 28, xn+1 − 2xn + xn−1 = 4.3n , n 3.
Bài toán 1.18. Xác đ nh dãy s xn bi t r ng :
x1 = 1, , x2 = 0, xn+1 − 2xn + xn−1 = n + 1, n 2.
- 9
Bài toán 1.19. Tìm xn bi t
x1 = 1, xn+1 = 2xn + n2 + 2.2n , n ∈ N∗.
Bài toán 1.20. Tìm dãy s {xn } tho mãn đi u ki n
x1 = 1, xn+1 = 3xn + 2n , n ∈ N∗ .
Bài toán 1.22. Tìm xn tho mãn đi u ki n
x1 = 2, xn+1 = xn + 3n2 + 3n − 3, n ∈ N∗ .
Bài toán 1.23. Tìm xn tho mãn đi u ki n
x1 = 2, xn+1 = xn + 2n, n ∈ N∗.
Bài toán 1.25. Cho hàm s f (x) = ex . ch ng minh r ng n u dãy s {un } l p thành
m t c p s c ng thì dãy s (f (xn )) l p thành m t c p s nhân.
Bài toán 1.26. Cho hàm s f (x) = ln x, x > 0. ch ng minh r ng n u dãy s (xn )
l p thành m t c p s nhân và xn > 0, ∀n ∈ N thì dãy s (f (xn )) l p thành m t c p
s c ng.
Nh n xét 1.9. . Ta có hàm s y = ax, a > 0, 0 < a = 1, là hàm s chuy n đ i phép
toán c ng thành phép toán nhân trong t p s th c, và hàm s y = logax v i 0 < a = 1
là hàm s chuy n đ i phép toán nhân thành phép toán c ng trong t p s th c. Ta có
bài toán t ng quát sau.
Bài toán 1.27. (i) N u dãy s (un ) l p thành m t c p s c ng thì dãy s vn l p
thành m t c p s nhân, trong đó vn = aun , 0 < a = 1.
(ii) N u dãy s (un ) (un > 0, ∀n ∈ N) l p thành m t c p s nhân thì dãy s vn l p
thành m t c p s c ng, trong đó vn = loga un , 0 < a = 1.
Bài toán 1.28. (Tính ch t đ c trưng c a m t c p s c ng) Ch ng minh r ng đi u
ki n c n và đ đ dãy s {un } l p thành m t c p s c ng là dãy đã cho ph i th a mãn
h th c
2am+n = a2m + a2n, ∀m, n ∈ N.
Bài toán 1.29. (Tính ch t đ c trưng c a m t c p s nhân dương) Ch ng minh r ng
đi u ki n c n và đ đ dãy các s dương {un } l p thành m t c p s nhân là dãy đã
cho ph i th a mãn h th c
u2 m+n = u2mu2n , ∀m, n ∈ N.
- 10
Bài toán 1.31. Cho {xn }, x1 = a > 0 là m t c p s c ng công sai d > 0 đư c vi t
trên m t dòng theo th t t bé đ n l n. Ta t o ra m t tam giác b ng cách như sau
k t hàng th k 2 m i ph n t trong tam giác b ng t ng c a hai ph n t trên nó.
Tìm s đ ng đ nh c a tam giác(Tìm s h ng đ u tiên c a hàng th n sau n − 1
bư c).
x1 x2 x3 x4 x5
x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5
x1 + 2x2 + x3 x2 + 2x3 + x4 x3 + 2x4 + x5
x1 + 3x2 + 3x3 + x4 x2 + 3x3 + 3x4 + x5
x1 + 4x2 + 6x3 + 4x4 + x5
Bài toán 1.32. Cho {xn }, x1 = a > 0 là m t c p s nhân công b i q đư c vi t trên
m t dòng theo th t t bé đ n l n. Ta t o ra m t tam giác b ng cách như sau: k t
hàng th k ( 2), m i ph n t trong tam giác b ng t ng c a hai ph n t trên nó. Tìm
s đ ng đ nh c a tam giác (Tìm s h ng đ u tiên c a hàng th n sau n − 1 bư c).
x1 x2 x3 x4 x5
x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5
x1 + 2x2 + x3 x2 + 2x3 + x4 x3 + 2x4 + x5
x1 + 3x2 + 3x3 + x4 x2 + 3x3 + 3x4 + x5
x1 + 4x2 + 6x3 + 4x4 + x5
Nh n xét 1.10. . Trong các l p hàm chuy n t dãy c p s c ng sang c p s nhân, và
ngư c l i, chuy n t c p s nhân sang c p s c ng ta xác đ nh đư c hai hàm y = ax
và hàm y = loga x như v y ngoài hai hàm mũ và hàm logarit chuy n đ i t c p s
c ng sang c p s nhân và ngư c l i, thì còn t n t i l p hàm nào có th chuy n hoá
gi a hai c p s này hay không?
Câu h i tương t đư c đ t ra đ i v i c p s c ng và c p s đi u hoà, c p s nhân
v i c p s đi u hoà.
Ti p theo, ta xét m t s tính ch t c a dãy Fibonacci.
Bài toán 1.33. M t c p th m i tháng sinh m t l n, cho m t c p th con (m t đ c,
m t cái). C p th m i sinh ra sau hai tháng l i b t đ u sinh m t c p m i. H i sau
m t năm s có bao nhiêu con th , n u đ u năm ta có m t c p th và trong m t năm
không có con th nào b ch t.
- 11
Bài toán 1.34. Ch ng minh r ng
F1 + F2 + · · · + Fn = Fn+2 − 1.
Bài toán 1.35. Ch ng minh r ng
F 1 + F 3 + · · · + F 2n − 1 = F 2 n
Bài toán 1.36. Ch ng minh r ng
F2 + F4 + · · · + F2n = F2n+1 − 1.
Bài toán 1.37. Ch ng minh r ng
F1 − F2 + F3 − F4 + · · · + (−1)n+1 Fn = (−1)n+1 Fn−1 + 1.
Bài toán 1.38. Ch ng minh r ng
2 2 2
F1 + F2 + · · · + Fn = Fn Fn+1 .
- 12
Chương 2
Hàm chuy n đ i m t s dãy s đ c
bi t
Trư c h t, ta nh c l i m t s đ c trưng hàm c a hàm s sơ c p:
1. Hàm b c nh t.f (x) = ax + b (v i a = 0, b = 0) có tính ch t
x+y f ( x) + f ( y )
, ∀x, y ∈ R.
f =
2 2
2. Hàm tuy n tính. f (x) = ax (v i a = 0) có tính ch t
f (x + y ) = f (x) + f (y ), ∀x, y ∈ R.
3. Hàm mũ. f (x) = ax (v i 0 < a = 1) có tính ch t
f (x + y ) = f (x).f (y ), ∀x, y ∈ R.
4. Hàm logarit.f (x) = loga |x|, (0 < a = 1) có tính ch t
f (xy ) = f (x) + f (y ), ∀x, y ∈ R\ {0}
5. Hàm b c hai.f (x) = ax2 (v i a = 0) có tính ch t
f (x + y ) + f (x − y ) = 2f (x) + 2f (y ), ∀x, y ∈ R
6. Hàm lu th a. f (x) = |x|α có tính ch t
f (xy ) = f (x)f (y ), ∀x, y ∈ R\ {0}
- 13
2.1 Hàm chuy n ti p các c p s
2.1.1 Hàm b o toàn các c p s
Bài toán 2.1. Cho hàm s f (x) xác đ nh trên t p R th a mãn đi u ki n:
x+y f ( x) + f ( y )
, ∀x, y ∈ R.
f =
2 2
Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s c ng thành c p s c ng, t c là
n u {un } là m t c p s c ng thì wn = f (un ) l p thành m t c p s c ng.
Bài toán 2.2. Cho hàm s f (x) xác đ nh trên t p R+ th a mãn đi u ki n:
√
f ( xy) = f (x)f (y ).
Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s nhân thành c p s nhân.
Bài toán 2.3. Cho hàm s f (x) xác đ nh và liên t c trên t p R\{0} th a mãn đi u
ki n:
2 2
f = .
1 1
1 1
+
+
x y
f ( x) f ( y )
Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s đi u hoà thành c p s đi u hoà.
2.1.2 Hàm chuy n đ i các c p s
Bài toán 2.4. Cho hàm s f (x) xác đ nh trên t p R th a mãn đi u ki n:
x+y
f (x)f (y ), ∀x, y ∈ R.
f =
2
Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s c ng thành c p s nhân.
Bài toán 2.5. Cho hàm s f (x) xác đ nh trên t p R th a mãn đi u ki n:
x+y 2f (x)f (y )
, ∀x, y ∈ R, f (x) = 0, f (y ) = 0, f (x) + f (y ) = 0.
f =
2 f ( x) + f ( y )
Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s c ng thành c p s đi u hoà.
Bài toán 2.6. Cho hàm s f (x) th a mãn đi u ki n:
√ 2f (x)f (y )
, ∀x, y ∈ R+ .
f ( xy) =
f ( x) + f ( y )
Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s nhân thành c p s đi u hoà.
- 14
Bài toán 2.7. Cho hàm s f (x) liên t c trên R và th a mãn đi u ki n
√ f ( x) + f ( y )
, ∀x, y ∈ R+ .
f ( xy) =
2
Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s nhân thành c p s c ng.
Bài toán 2.8. Cho hàm s f (x) xác đ nh và liên t c trên t p R\{0} th a mãn đi u
ki n:
2 f ( x) + f ( y )
f = .
1 1
2
+
x y
Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s đi u hoà thành c p s c ng.
Bài toán 2.9. Cho hàm s f (x) xác đ nh và liên t c trên t p R\{0} th a mãn đi u
ki n:
2
f = f ( x) f ( y )
1
1
+
xy
Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s đi u hoà thành c p s nhân.
2.2 Dãy sinh b i m t s hàm s sơ c p
2.2.1 Dãy sinh b i nh th c b c nh t
Bài toán 2.10. Cho x1 = a. Tìm dãy s {xn } xác đ nh b i
xn+1 = an xn + bn ,
trong đó an = 0 v i m i n ∈ N.
Bài toán 2.11. Cho x0 = a và dãy {bn } xác đ nh b i bk = ek .(e − 1), k ∈ N. Tìm
dãy s {xn } bi t r ng
xn+1 = (−1)n xn + bn , n ∈ N.
2.2.2 Dãy sinh b i tam th c b c hai
Bài toán 2.12. Cho g (n) > 0, ∀n ∈ N, và x1 = α > 0. Xác đ nh dãy s {xn }, bi t
r ng
xn+1 = g (n)xk , n ∈ N∗ .
n
- 15
Bài toán 2.13. Cho x1 = α > 0. Tìm dãy s {xn } xác đ nh b i
xn+1 = ax2 ,
n
trong đó a = 0.
Bài toán 2.14. Cho x1 = α > 0. Tìm dãy s {xn } xác đ nh b i
xn+1 = an x2 , n 2,
n
trong đó an là c p s nhân v i công b i q = 0, an = 0, ∀n ∈ N.
2.2.3 Dãy sinh b i hàm phân tuy n tính
Trong ph n n y, ta xem xét bài toán xác đ nh dãy s c a các hàm s d ng b c
0 chia b c nh t, b c nh t chia b c nh t.
Xét hàm s
ax + b
f ( x) = , ad − bc = 0.
cx + d
β
Bài toán 2.15. Cho α, β là các s th c dương. x1 = a > − . Xác đ nh dãy s {xn }
α
bi t
1 β
xn+1 = −.
αxn + β α
3
Bài toán 2.17. Cho x1 = a > − . Xác đ nh dãy s {xn } bi t r ng
2
1 3
xn+1 = −.
2xn + 3 2
Bài toán 2.18. Tìm {xn }, bi t r ng x1 = a > 0 và
xn
xn+1 = .
4xn + 3
Bài toán 2.19. Cho α, β là các s dương.Tìm {xn }, bi t r ng x1 = a > 0 và
xn
xn+1 = .
αxn + β
Bài toán 2.20. Cho dãy s {xn } xác đ nh như sau
x0 = 1996
2
xn+1 = xn > 0, n = 0, 1, 2, . . .
1 + xn
Ch ng minh r ng [xn ] = 1996 − n v i 0 n 999, trong đó [xn ]đ ch ph n nguyên
c a xn .
- 16
Bài toán 2.21. Cho dãy s {xn } xác đ nh như sau
x0 = K
2
xn+1 = xn > 0, n = 0, 1, 2, . . .
1 + xn
K +2
Ch ng minh r ng [xn ] = K − n v i 0 n , trong đó [xn ] đ ch ph n
2
nguyên c a xn .
Bài toán 2.22. Cho dãy s {xn } đư c xác đ nh như sau:
x1 = x2 = 1
x2 + 2
n
xn+1 = , n = 2, 3, . . . (2.1)
x n −1
Ch ng minh r ng m i s h ng c a dãy là s nguyên.
Bài toán 2.23. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy s {xn } tho mãn
pxn + q
, n ∈ N,
x0 = a, xn+1 = (2.6)
rxn + s
trong đó p, q, r, s ∈ R là các s cho trư c.
2.2.4 Dãy sinh b i hàm s lư ng giác
Bài toán 2.24. Cho dãy s {xn } đư c xác đ nh b i
x0 = a
xn+1 = xn + sin xn , n = 0, 1, 2, . . .
Ch ng minh r ng v i m i s th c a dãy {xn } có gi i h n h u h n khi n → +∞.
Bài toán 2.25. Cho dãy s {xn } th a mãn đi u ki n:
x0 = 1, x1000 = 0, xn+1 = 2x1 xn − xn−1 , ∀n ∈ N∗.
Tính t ng: x1999 + x1 .
- 17
2.3 M t s bài toán áp d ng
Bài toán 2.26. Cho u, v, w ∈ Z tho mãn đi u ki n u2 = v + 1. Dãy s {xn } đư c
xác đ nh như sau
x0 = 0
v x2 + w2, n = 0, 1, 2, . . .
xn+1 = uxn + n
Ch ng minh r ng m i s h ng c a dãy s trên đ u là các s nguyên.
Bài toán 2.27. Cho dãy s {xn } d ng
xn+1 = 2n − 3xn , n = 0, 1, 2, . . .
Xác đ nh giá tr c a x0 sao cho dãy s {xn } là dãy tăng.
Bài toán 2.28. Cho dãy s {xn }, n=1, 2,. . . xác đ nh như sau:
x1 = 1
2
xn+1 = xn + xn
1999
Tìm
x1 x2 x3 xn
lim + + + ··· + .
x2 x3 x4 xn+1
n→+∞
Bài toán 2.29. Cho dãy s {xn } đư c xác đ nh như sau:
x1 = 2
2
xn+1 = xn + 1999xn , n ∈ N∗ .
2000
L p dãy {Sn } xác đ nh theo h th c:
n
xk
Sn = .
xk+1 − 1
k =1
Tính
lim Sn .
n→+∞
Bài toán 2.30. Cho dãy s {xn } xác đ nh b i
n
2i
n+1
xn = n+1 . .
2 i
i=1
Ch ng minh r ng gi i h n lim xn là t n t i, tính gi i h n đó.
n→∞
nguon tai.lieu . vn
