Xem mẫu
- B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O
TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN
*********
HÀ DUY NGHĨA
CÁC ĐI U KI N Ci, i = 1, 2, 3
TI U LU N LÝ THUY T VÀNH
Quy nhơn, tháng 12 năm 2009
- B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O
TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN
*********
HÀ DUY NGHĨA
CÁC ĐI U KI N Ci, i = 1, 2, 3
CAO H C TOÁN KHÓA 11
Chuyên ngành: Đ i s và lý thuy t s
TI U LU N LÝ THUY T VÀNH
Ngư i hư ng d n khoa h c
TS. MAI QUÝ NĂM
Quy nhơn, tháng 12 năm 2009
i
- M CL C
Trang ph bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
L im đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1 M ts ki n th c cơ s 3
1.1 M t s khái ni m và ví d ..................... 3
1.2 M t s tính ch t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Các đi u ki n Ci
Chương 2 8
2.1 Các khái ni m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Các đi u ki n Ci , i = 1, 2, 3
2.1.1 ................ 8
2.1.2 Môđun liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Các tính ch t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
- L IM ĐU
Cùng v i s phát tri n c a toán h c hi n đ i nói chung, lý thuy t môđun
đã đư c các nhà toán h c quan tâm và đã đ t đư c nhi u k t qu xu t s c.
Vào năm 1977, Chatters và Hajarnavis đưa ra khái ni m CS-môđun (Ex-
tending Môđun ). Khi l p CS-môđun ra đ i thì lý thuy t môđun đã đư c phát
tri n m nh m và có nhi u ng d ng quan tr ng trong vi c nghiên c u lý thuy t
vành.
Vi c nghiên c u các môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2, 3) là n n t ng cho
vi c nghiên c u các CS- môđun và các l p môđun khác, cho nên tôi ch n đ
tài nghiên c u các môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2, 3) làm đ tài ti u lu n
k t thúc b môn.
Ti u lu n g m hai chương cùng v i ph n m đ u, k t lu n và tài li u tham
kh o.
Chương 1: Trình bày các đ nh nghĩa, ví d và các tính ch t cơ b n có liên
quan đ n chương sau c a ti u lu n.
Chương 2: Trình các k t qu các môđun con đóng, môđun đ u (uniform) th a
đi u ki n C1 , h ng t tr c ti p c a môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2, 3) cũng
là môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2, 3). Đ c bi t các M nh đ 2.2.4, 2.2.5
cho ta l p nh ng môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2).
M c dù b n thân đã r t c g ng trong h c t p, nghiên c u và đư c s hư ng
d n nhi t tình c a th y giáo hư ng d n, nhưng do năng l c c a b n thân và
th i gian còn h n ch nên ti u lu n khó tránh kh i nh ng thi u sót. Tôi r t
mong nh n đư c s góp ý c a quý th y cô và các b n đ ti u lu n đư c hoàn
thi n hơn.
Cu i cùng tôi xin chân thành c m ơn TS. Mai Quý Năm ngư i đã t n tình
giúp đ , cùng t p th l p cao h c toán khoá 11 t o đi u ki n cho tôi hoàn
thành ti u lu n này.
2
- Chương 1
M TS KI N TH C CƠ S
Trong toàn b ti u lu n, vành luôn đư c xét là vành k t h p có đơn v ký
hi u 1 và các môđun là các môđun ph i Unita trên vành nào đó, thông thư ng
xét vành R và m t môđun trên vành R g i là R- môđun .
1.1 M t s khái ni m và ví d
Đ nh nghĩa 1.1.1. Cho môđun M và N ⊆ M . Môđun con N đư c g i là c t
y u trong M , ký hi u là N ⊆∗ M , n u N ∩ K = 0 v i m i môđun con khác
không K c a M .
N u N là môđun con c t y u c a M , thì ta nói r ng M là m r ng c t y u
c a N.
Ví d 1.1.2. Môđun M ⊆∗ M ; nZ ⊆∗ Z, ∀n = 0.
Đ nh nghĩa 1.1.3. Môđun U đư c g i là môđun đ u (uniform) n u b t kỳ
môđun con A và B khác 0 c a U thì A ∩ B = 0, hay m i môđun con khác
không c a U là môđun c t y u trong U .
Ví d 1.1.4. Z môđun Z là đ u vì b t kỳ 0 = A, B ⊆ Z thì A = nZ, b = mZ,v i
m, n ∈ N∗ và A ∩ B = [m, n]Z = 0
Đ nh nghĩa 1.1.5. Cho môđun M và N ⊆ M đư c g i là đóng trong M n u
N không có m r ng th t s trong M . Nói cách khác N đư c g i là đóng trong
M n u m i môđun con K = 0 c a M mà N ⊆ K thì K = N.
1.1.6. A và B là hai môđun con c a M th a mãn M = A ⊕ B thì
Ví d
môđun B là đóng trong M.
3
- Đ nh nghĩa 1.1.7. Cho môđun M và N ⊆ M . Môđun con K c a M đư c g i
là bao đóng c a môđun con N trong M n u K là môđun con t i đ i trong M
sao cho N ⊆∗ K .
Ví d 1.1.8. Z-môđun , 2Z có bao đóng là Z.
Đ nh nghĩa 1.1.9. Cho môđun M và N, H ⊆ M .
(1.) Môđun H đư c g i là ph n bù giao c a N trong M n u H là môđun
t i đ i trong các môđun con c a M th a H ∩ N = 0.
(2.)Môđun con N ∗ c a M đư c g i là ph n bù c ng tính đ i v i N trong
trong M n u N +N ∗ = M và N ∗ là môđun con t i ti u có tính ch t N +N ∗ = M
Đ nh nghĩa 1.1.10. M t môđun M khác không đư c g i là môđun đơn trong
trư ng h p nó không có nh ng môđun con không t m thư ng.
Đ nh nghĩa 1.1.11. Cho A, N là nh ng môđun . Môđun N đư c g i là A−n i
x n u v i m i môđun con B c a A và đ ng c u f : B −→ N , t n t i đ ng
c u h : A −→ N sao cho h(x) = f (x), ∀x ∈ B . Nói cách khác là n u v i m i
môđun con B c a A và đ ng c u f : B −→ N có th m r ng thành đ ng c u
h : A −→ N. Nghĩa là bi u đ sau là giao hoán
GB GA
i
0
~
~
~h
f
~~
N
M t môđun Q đư c g i là t n i x n u Q là Q -n i x .
1.2 M t s tính ch t
M nh đ 1.2.1. Bao đóng c a m t môđun luôn t n t i.
Ch ng minh. G i N là môđun con M , ta ch ng minh t n t i bao đóng c a N
trong M . Đ t S = {K ⊆ M |N ⊆∗ M }, khi đó ta có:
4
- S Khác r ng vì H ∈ S.
S p th t S theo quan h bao hàm, G i Γ là t p con s p th t tuy n tính
∞
Ki ta th y A là c n trên c a Γ, ta ch ng minh A ∈ S t c
c a S. Đ t A =
1
là H ⊆ A.Th t v y l y x ∈ A, x = 0 suy ra t n t i n đ x ∈ Kn mà H ⊆∗ Kn
nên suy ra Rx ∩ H = 0 suy ra H ⊆∗ A, v y m i t p con s p th t tuy n tính
đ u có c n trên . Theo b đ Zorn S có ph n t t i đ i K , ta ch ng minh K
là bao đóng c a H . Do K ∈ S suy ra H ⊆∗ K , n u t n t i B ⊂ M sao cho
K ⊆∗ B do đó B ∈ S đi u này mâu thu n v i gi thi t tính t i đ i c a K suy
ra B = K .
M nh đ 1.2.2. Cho môđun N là A−n i x . N u B ⊆ A thì N là B − n i x
và N là A/B − n i x .
Ch ng minh. Chia làm 2 ph n sau:
i) Ch ng minh N là B −n i x .
V i m i môđun X ⊆ B ta có X ⊆ A. Mà N là A−n i x nên m i đ ng c u
ϕ : X −→ N luôn m r ng thành đ ng c u h : A −→ N sao cho α = hi( trong
đó i là phép nhúng ). Ch n ψ : B → N , sao cho ψ = h.i Khi đó ψ là m t m
r ng c a ϕ nên N là B −n i x .(Mô t b i sơ đ sau)
GB i GA
i
X nn
ψ }} n n
} n n∃h
ϕ
~} n
wn
N
ii) Ch ng minh N là A/B -n i x .
Gi s X/B là môđun con c a A/B và ϕ : A −→ B là đ ng c u b t kỳ .
G i π là đ ng c u t nhiên t A vào A/B, π = π |X , ta xét bi u đ sau :
GA
i
X
Ù
Ùπ
Ù
π
Ù
θ Ù G A/B
X/B
Ùv
Ùv
Ùv
ϕ
ÔÙ{v v
N
5
- Vì N là A n i x nên t n t i θ : A −→ N sao cho ϕπ = θi, ta có B ⊆ A và
θ(B ) = θ.i(B ). V y B ⊆ Kerθ hay Kerπ ⊆ Kerθ. Doπ là toàn c u nên ta có
th ch n ψ : A/B −→ N sao cho ψπ = θ.
V i x ∈ X thì x ∈ A ta có
ψ (x + B ) = ψ [π (x)] = ψπ (x) = θ(x) = θi(x) = ϕπ (x) = ϕ(x + B )
V y ψ là m r ng c a ϕ hay N là A/B -n i x .
M nh đ 1.2.3. N u K là môđun con c a M và L là ph n bù giao c a K ,
khi đó
(1) L là môđun con đóng trong M .
(2) L ⊕ K là môđun con c t y u c a M .
(3)(L ⊕ K )/L ⊆∗ M/L.
Ch ng minh. (1) Ch ng minh L đóng trong M .
Th t v y, g i N là môđun con c a M sao cho L ⊆∗ N . N u N = L thì
L ∩ K = 0, L t i đ i nên N ∩ K = 0. Mà N ∩ K ⊆ N, L ⊆∗ N nên
(N ∩ K ) ∩ L = N ∩ (K ∩ L) = 0.
Vì K ∩ L = 0 nên ta có đi u vô lý.
Do đó N = L , hay L là môđun con đóng trong M .
(2) Ta ch ng minh L ⊕ K ⊆∗ M . Th t v y , l y 0 = N ⊆ M , n u N ∩ (K ⊕
L) = 0 thì N ∩ K = 0, N ∩ l = 0, do đó (N ⊕ L) ∩ K = 0. Và như v y theo tính
t i đ i c a L thì N ⊕ L = L hay N = 0. Đi u này mâu thu n gi thi t 0 = N .
V y N ∩ (K ⊕ L) = 0, hay L ⊕ K ⊆∗ M .
(3) Ch ng minh (L ⊕ K )/L ⊆∗ M/L.
G i Y /L = 0 là môđun con c a M/L, gi s Y /L ∩ (L ⊕ K )/L = 0, vì
Y /L = 0 nên Y = L do đó Y ∩ K = 0, xét 0 = a ∈ Y ∩ K khi đó
a + L ∈ Y /L, a + L ∈ (L ⊕ K )/L
6
- suy ra
a + L ∈ Y /L ∩ (C ⊕ K )/L
⇒a+L=0⇒a∈L⇒a∈K ∩L=0
đi u này mâu thu n.
V y (L ⊕ K )/L ⊆∗ M/L.
M nh đ 1.2.4. G i G = Gi và M là nh ng môđun , khi đó G là M -n i
i∈I
x n u và ch n u Gi là M -n i x v i m i i ∈ I .
M nh đ 1.2.5. Cho M là m t môđun t a n i x , N u bao n i x I (M ) = ⊕i∈I
thì M = ⊕i∈I (M ∩ Ki ).
7
- Chương 2
CÁC ĐI U KI N Ci, i = 1, 2, 3
2.1 Các khái ni m
Các đi u ki n Ci , i = 1, 2, 3
2.1.1
Đi u ki n C1 : V i m i môđun con A c a M , t n t i m t h ng t tr c ti p
M1 c a M ch a A và A là c t y u trong M1 .
Đi u ki n C2 : N u m t môđun con A c a M đ ng c u v i h ng t tr c
ti p c a M thì A cũng là h ng t tr c ti p c a M .
Đi u ki n C3 : N u M1 và M2 là nh ng h ng t tr c ti p c a M sao cho
M1 ∩ M2 = 0 thì M1 ⊕ M2 cũng là h ng t tr c ti p c a M .
2.1.2 Môđun liên t c
Đ nh nghĩa 2.1.1. Môđun M đư c g i là liên t c n u nó th a đi u ki n C1
và C2 .
Đ nh nghĩa 2.1.2. Môđun M đư c g i là t a liên t c (quasi-continuous) n u
nó th a đi u ki n C1 và C3 .
2.2 Các tính ch t
M nh đ 2.2.1. Môđun M th a đi u ki n C1 khi và ch khi m i môđun con
đóng trong M đ u là h ng t tr c ti p.
Ch ng minh. (⇒) G i A là môđun con đóng c a M , vì M th a đi u ki n C1
nên t n t i B là môđun con c a M sao cho B ⊆⊕ M, A ⊆∗ B , ngoài ra do A
đóng nên A = B . T đó suy ra A ⊆⊕ M .
8
- (⇐) Ch ng minh n u m i môđun con đóng trong M đ u là h ng t t c ti p
thì M th a đi u ki n C1 .
Th t v y, v i m i môđun con B khác 0 c a M , luôn t n t i bao đóng B c a
B , khi đó B là môđun con t i đ i, do đó B đóng trong M , mà theo gi thi t
m i môđun con đóng đ u là h ng t tr c ti p nên ta suy ra B là h ng t tr c
ti p c a M .
Suy ra M th a đi u ki n C1 .
M nh đ 2.2.2. Môđun không phân tích đư c M th a đi u kiên C1 khi và ch
khi M đ u.
Ch ng minh. (⇒) Gi s A, B là hai môđun con tùy ý c a M , A, B = 0, theo
gi thi t M th a đi u ki n C1 nên t n t i M1 , M2 là h ng t tr c ti p c a M
sao choA ⊆∗ M1 , B ⊆∗ M2 . Vì M không tách đư c nên M1 = M2 = M , suy ra
A ⊆∗ M do đó A ∩ B = 0. V y M đ u.
(⇐) Gi s M đ u ta c n ch ng minh M không phân tích đư c và th a
đi u ki n C1 . V i m i môđun con A, B c a M và A ∩ B = 0 khi đó theo gi
thi t M đ u nên A ⊆∗ M, B ⊆∗ M . Suy ra M th a đi u ki n C1
Bây gi ta ch ng minh M không phân tích đư c, gi s M = C ⊕ D, khi
đó C ∩ D = 0, đi u này mâu thu n M đ u.
V y M không phân tích đư c.
M nh đ 2.2.3. Gi s M là môđun nào đó, khi đó ta có:
i) Cho A là môđun con tùy ý c a M , n u A đóng trong h ng t t c ti p c a
M thì A đóng trong M .
ii) M i h ng t tr c ti p c a M đóng trong M.
Ch ng minh. Gi s M = M1 ⊕ M2 và A môđun con đóng trong M1 ta c n
ch ng minh A đóng trong M .Th t vây, xét phép chi u π : M1 ⊕ M2 −→ M1 . Gi
s A ⊆∗ B ⊆ M ta c n ch ng minh A = B . Ta có A ⊆ M1 suy ra A ∩ M2 = 0,
vì th π |A là đơn c u. Do đó A = π (A) ⊆∗ π (B ) ⊆ M1 . Vì A đóng trong M1
9
- nên π (B ) = A ⊆ B cho nên (1 − π )B ⊆ B , suy ra (1 − π )B ∩ A = 0 mà ta có
A ⊆∗ B suy ra (1 − π )B = 0, hay B = π (B ) ⊆ M1 , do A đóng trong M1 nên
ta có A = B . V y A đóng trong M .
ii) Gi s A là h ng t tr c ti p c a M ta có M = A ⊕ B , l y N ⊆ M sao
cho A ⊆∗ N , khi đó A ∩ B ⊆∗ N ∩ B . T đó 0 ⊆∗ N ∩ B suy ra N ∩ B = 0.
Xét phép chi u π : A ⊕ B −→ A ta có Ker(π ) = B mà N ∩ B = 0 nên
N ∩ Ker(π ) = 0 suy ra π |B là đơn c u.Vì th N nhúng đơn c u vào môđun A
mà A ⊆ N nên A = N .
V y A đóng trong M .
M nh đ 2.2.4. Môđun n i x th a mãn đi u ki n C1 .
Ch ng minh. Gi s Q là môđun n i x , g i A là môđun con tùy ý c a Q ta
ph i ch ng minh t n t i trong Q m t môđun Q1 sao cho Q1 ⊂⊕ Q và A ⊆∗ Q1 .
Th t v y, g i A là bù giao c a A trong Q, và Q1 là bù giao c a A trong
Q. Khi đó ta có A ∩ A = 0 và Q1 ∩ A = 0, do đó A ⊂ Q1 và v i m i môđun
con B c a Q1 ta có A ∩ B = 0 (A ∩ B = 0 ⇒ B ⊂ A . Suy ra A ⊆∗ Q1 .
Bây gi ta xét bi u đ :
Q1 ⊕ A GQ
i
rrr
β rrr
r
rrr
β
xrr
Q/A ⊕ Q/Q1
trong đó i là đơn c u chính t c, còn α, β đư c xác đ nh như sau:
V i x + y ∈ Q1 ⊕ A thì α(x + y ) = (x + y + A , x + y + Q1 ) = (x + A , y + Q1 ).
V i q ∈ Q thì β (q ) = (q + A , q + Q1 ).
Khi đó bi u đ là giao hoán, t c là αi = β và Imβ ⊂ Imα.
Ngoài ra α là m t đơn c u. Th t v y, gi s α(q1 ) = α(q2 ) đi u này tương
đương
(q1 + A , q1 + Q1 ) = (q2 + A , q2 + Q1 )
q1 − q2 ∈ A
⇔
q −q ∈Q
1 2 1
10
- ⇔ q1 − q2 ∈ Q1 ∩ A = 0
⇒ q − 1 = q2 .
V y α đơn c u và t đó suy ra β cũng đơn c u(i đơn c u).
Vì Q n i x nên α ch ra t c là Imα ⊆⊕ Q/A ⊕ Q/Q1 ngoài ra theo M nh
đ 1.2.3 ta có đư c:
(Q1 ⊕ A )/A ⊆∗ Q/A
(Q1 ⊕ A )/Q1 ⊆∗ Q/Q1
do đó
Imβ ⊆∗ Q/A ⊕ Q/Q1
suy ra
Imα ⊆∗ Q/A ⊕ Q/Q1
t các k t qu trên ta có đư c
Imα = Q/A ⊕ Q/Q1
t c là α là đ ng c u.
Khi đó v i m i q ∈ Q suy ra (q + A , 0 + Q1 ) ∈ Q/A ⊕ Q/Q1 do đó luôn
t n t i q0 ∈ Q sao cho
(q + A , 0 + Q1 ) = (q0 + A , q0 + Q1 )
suy ra
q0 ∈ Q1
q−q ∈A
0
suy ra
q ∈ Q1 + A ⇒ Q ⊂ Q1 + A
M t khác ta có Q1 + A ⊂ Qvà Q1 ∩ A = 0 nên ta suy ra
Q = Q1 ⊕ A
11
- M nh đ 2.2.5. Môđun t a n i x là môđun liên t c.
Ch ng minh. G i M là môđun t a n i x , N u N ⊆ M thì bao n i x I (M )
c a M ch a bao n i x I (N ) = E c a N và I (M ) = E ⊕ G v i m i môđun
con G, nhưng theo M nh đ 1.2.4 ta có M = (M ∩ E ) ⊕ (M ∩ G). Ngoài ra,
N ⊆∗ E nên N ⊆∗ (M ∩ E ).Đi u này ch ng t M th a mãn đi u ki n C1 .
Bây gi ta ch ng minh M th a đi u ki n C2 . Th t v y, g i A là môđun con
c a M và là h ng t tr c ti p c a M , ta có M = A ⊕ A , g i π, i l n lư t là
các phép chi u:
π : A ⊕ A −→ A, i : A −→ M
g i f : A −→ M là đơn c u và đ t N = f (A)
xét sơ đ :
G GM
i
0 A {a
h{
{
f
{
M
theo gi thi t ta có M là t n i x nên t n t i h : M −→ M sao cho hf = i.
Khi đó πhf = 1A . Do đó N là h ng t tr c ti p c a M .
Bây gi gi s r ng N ∼ P ⊆⊕ M . T M là M -n i x , nên theo M nh đ
=
1.2.4 ta suy ra P là P -n i x , và do đó N là M -n i x . Khi đó ánh x đ ng
nh t 1N : N −→ N có th m r ng thành đ ng c u λ : M −→ N , và do đó nó
ch ra, t c là M = N ⊕ Ker(λ).
V y M th a đi u ki n C2 .
M nh đ 2.2.6. H ng t tr c ti p c a môđun t a n i x là môđun t a n i x .
Ch ng minh. Gi s M = N ⊕ N ta c n ch ng minh N là t a n i x . Th t
v y, do M là t a n i x nên v i m i X là môđun con c a N , và đ ng c u
12
- g : X −→ N luôn m r ng thành đ ng c u f : M −→ M xét theo sơ đ
G
θ
N ⊕N
X q
Ò
λq q ÒÒ
Ò
g q ÒÒ
xq q Ò
ÒÒ
ÒÒ f
N
y
ÒÒ
π i ÒÒÒ
ÐÒÒ
N ⊕N
G i π : M −→ N khi đó Ker(π ) = N , khi đó λ = (π ◦ f )|N là m t t đ ng
c u c a N và λ là m r ng c a g .
V y N là t a n i x .
M nh đ 2.2.7. N u môđun M th a đi u ki n C2 thì M th a đi u ki n C3 .
Ch ng minh. G i N ⊆⊕ M, K ⊆⊕ M th a mãn N ∩ K = 0, ta c n ch ng t
r ng N ⊕ K ⊆⊕ M . Vì N ⊆⊕ M nên ta gi s M = N ⊕ N và g i π : M −→ N
là phép chi u v i Ker(π ) = N . N u k ∈ K và k = n + n , n ∈ N, n ∈ N thì
π (k ) = n , do đó N ⊕ K = N ⊕ π (K ). Bây gi ta c n ch ng minh N ⊕ π (K ) ⊆⊕
M . Th t v y π |K : K −→ M là đơn c u, ngoài ra theo gi thi t M th a mãn
đi u ki n C2 nên π (K ) ⊆⊕ M , t π (K ) ⊆ N nên suy ra N = π (K ) ⊕ W , v i
W là m t môđun nào đó. T đó suy ra r ng M = N ⊕ π (K ) ⊕ W .
V y M th a đi u ki n C3 .
H qu 2.2.8. N u M th a mãn đi u ki n Ci , i = 1, 2, 3 và N là h ng t tr c
ti p c a M thì N cũng th a mãn đi u ki n Ci , i = 1, 2, 3.
Ch ng minh. H qu này đư c suy ra tr c ti p t M nh đ 2.2.6 và 2.2.7 .
M nh đ 2.2.9. Gi s N, A là nh ng môđun và I (A), I (N ) theo th t là
bao n i x c a N và A, khi đó N là A-n i x khi và ch khi f (A) ⊂ N v i m i
đ ng c u f : I (A) −→ I (N ).
Ch ng minh. Vì I (N ) là môđun n i x nên m i đ ng c u f ∈ Hom(I (A), I (N ))
đ u là m t m r ng c a ψ ∈ Hom(A, I (N )), do đó không m t tính t ng quát
ta ch c n xét f ∈ Hom(A, I (N )).
13
- (⇐) Ch ng minh N là A-n i x . G i X là môđun con c a A và đ ng c u
g : X −→ N ta c n ch ng minh t n t i đ ng c u h : A −→ N là m r ng c a
g t c là hθ = g trong đó θ : X −→ A là đơn c u. Th t v y, xét bi u đ :
G
θ
X xA
x
x
g
x h
|x
N f
i
Õ
I (N )
vì I (N ) là môđun n i x nên v i m i đ ng c u g và đơn c u θ luôn t n t i đ ng
c u f sao cho gi = f θ. Ngoài ra theo gi thi t f (A) ⊂ N nên f : A −→ N là
m r ng c a g .
V y N là A-n i x .
(⇒) Ch ng minh f (A) ⊂ N v i m i f ∈ Hom(A, I (N )).Th t v y, g i
X = {a ∈ A : f (a) ∈ N }, t N là n i x f |X có th m r ng thành g : A −→ N
theo sơ đ :
G
θ
X xA
g x
x
x
f |X
|x
N f
i
Õ
I (N )
khi đó N ∩ (g − f )A = 0. Th t v y, l y n ∈ N, a ∈ A sao cho n = (g − f )A. Suy
ra f (a) = g (a) − n ∈ N do đó a ∈ X nên n = g (a) − f (a) = f (a) − f (a) = 0,
t c là N ∩ (g − f )A = 0. Suy ra (g − f )A = 0 (N ⊆∗ I (N )).
Do v y f (A) = g (A) ⊂ N.
T m nh đ trên ta có th suy ra môđun Q là t a n i x khi và ch khi
f Q) ⊂ Q v i m i đ ng c u f c a I (Q).
14
- K T LU N
Trong ti u lu n "Môđun th a đi u ki n Ci (i = 1, 2, 3)" tác gi đã tìm
hi u và h th ng hóa các k t qu sau:
1.Trình bày các đi u ki n Ci (i = 1, 2, 3) và nêu nh ng môđun th a đi u ki n
Ci (i = 1, 2, 3), gi i thi u môđun liên t c, t a liên t c.
2.H th ng m i liên h gi a các đi u ki n đó, c th như môđun th a đi u
ki n C2 thì th a đi u ki n C3 , đ c bi t là môđun n i x thì th a đi u ki n C1 và
môđun t a n i x thì th a đi u ki n C1 và C2 ,..
Trong ti u lu n, M nh đ 2.2.1; 2.2.2; 2.2.3; 2.2.4 là ph n tác gi trình bày,
các M nh đ còn l i tham kh o tài li u [2],[3] .
Trong khuôn kh m t ti u lu n và h n ch v th i gian cũng trình đ nên
nhi u v n đ chưa đư c trình bày, ch ng h n như v m i liên h gi a môđun
n i x , môđun t a n i x , môđun liên t c, t a liên t c... Trong th i gian đ n
tôi s ti p t c nghiên c u và b sung. M c dù th t c g ng nhưng s không
tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong đư c lư ng th , ch b o c a Th y cô giáo
và các b n đ bài ti u lu n hoàn thi n hơn.
15
- TÀI LI U THAM KH O
1. Nguy n Ti n Quang, Nguy n Duy Thu n- Cơ s lý thuy t môđun và vành.
Nhà xu t b n giáo d c, Hà N i, 2001.
2. S.H.Mohamed and Muller, Continuous and Discrete Modules, London
¨
Math. Soc. Lecture Not 147, Cambridge, 1990.
3. N.K.Nichol Son and M.F.Yousif Quasi-probenius Ring, Cambridge Univ.
Press, 2003.
16
nguon tai.lieu . vn
