1. Trang Chủ
  2. Khoa học tự nhiên
  3. Tiểu luận: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT VÀ BÀI TẬP

Tiểu luận: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT VÀ BÀI TẬP

Cho X1, X2... là tập hợp các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên cùng một không gian xác suất, có cùng phân phối D và độc lập lẫn nhau. Giả sử giá trị kỳ vọng μ và độ lệch chuẩn σ của phân phối D là tồn tại và hữu hạn ( ). Xét tổng Sn = X1 + ... + Xn. Ta có Sn có kỳ vọng là nμ và độ lệch chuẩn σ n½. Khi đó, phân phối của Sn hội tụ về phân phối chuẩn N(nμ,σ2n) khi n tiến về vô cùng.... Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN TIỂU LUẬN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐỀ TÀI: ĐỊNH

Thể loại Tài liệu miễn phí Khoa học tự nhiên

Số trang 30

Ngày tạo 8/30/2018 1:57:10 AM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.58 M

Tên tệp

Tải Tiểu luận: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ... (.pdf)

Xem mẫu

  1. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN TIỂU LUẬN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT VÀ BÀI TẬP GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Khoa: Kế Toán – Kiểm Toán Nhóm 1: 1. Nguyễn Ngọc Thịnh (08106071 ) 2. Bùi Văn Tiệp (08267261) 3. Ph ạm Văn Toàn (08096701) 4. Nguyễn Như Tuân (08251411) Thành phố Hồ Chí Minh, 11/2009 Lớp: 211301101 Trườn g Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
  2. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến PHẦN I: LÝ THUYẾT Bài 3: Định lý giới hạn trung tâm – các xấp xỉ xác suất 3.1. Phân phối liên tục: Phân phối đều và phân phối chuẩn 3.1.1. Phân phối đều:  Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên đo ạn [a,b] nếu có hàm m ật độ là:  Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối đều là:  Đồ thị: Ta xét đồ thị của h àm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối đều trên [a,b] là: Hình 1: Đồ thị hàm mật độ Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất của phân phối đều. của phân phối đều.  Các đặc trưng số của phân phối đều:  b ab x Kỳ vọng: E ( X )  xf ( x) dx   dx   Med ( X )  ba 2  a Phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) Lớp: 211301101 Trườn g Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
  3. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến  b x2 1 Với: E(X2) = x 2 f ( x)dx   dx  (b 2  ab  a 2 )  ba 3  a  b ab x (Tính ở trên) E( X )  xf ( x) dx   dx   ba 2  a Suy ra phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) a  b 2 (b  a ) 2 12 (b  ab  a 2 ) - ( = )= 12 3 2 3.1.2. Phân phối chuẩn:  Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với hai tham số µ và σ2 nếu có h àm mật độ là: ( x   )2 1  2 2 f(x)= e  2 Kí hiệu: X ~ N(µ;σ2)  Hàm phân phối xác suất: Phân phối chuẩn có hàm phân phối xác suất là: ( t   )2 x 1  2 2 F(X)=  e dt   2  Do hàm mật độ của phân phối chuẩn không có nguyên hàm sơ cấp nên ta không thể biểu diễn h àm phân phối xác suất F(X) bởi một hàm số sơ cấp.  Đồ thị: Ta xét đồ thị của h àm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn như sau: Hình 3: Đồ thị h àm mật độ của Hình 4: Đồ thị h àm phân ph ối xác phân phối chuẩn. su ất của phân phối chuẩn.  Đồ thị hàm m ật độ của phân phối chuẩn có dạng hình chuông nên phân phối chuẩn còn có tên gọi là phân phối h ình chuông.  Các đặc trưng số của phân phối chuẩn: ( x   )2  1  2 2 Kỳ vọng: E(X) =  x. dx =  e  2  Phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) Lớp: 211301101 Trườn g Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
  4. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến ( x   )2  1  2 2 2 2 2 2 Với: E(X ) =  x . dx = µ + σ e  2  2 2 E (X) =  Suy ra: D(X) = E(X2) – E2(X) = µ2 + σ2 –  2 = σ2 Vậy phương sai : D(X) = σ2  Ta thấy hai tham số  và σ2 chính là kì vọng và phương sai của phân phối chuẩn. Tới đây ta có thể khẳng định phân phối chuẩn ho àn toàn xác định khi biết kì vọng và phương sai của nó.  Tính xác su ất: Giả sử X ~ N(  ;σ2) ( x   )2 b b a 1  2 2 P[a≤ X ≤b] =  dx =  ( ) ( e )   a  2  Quy tắc 3  : Xét biến ngẫu nhiên X với kì vọng  và phương sai σ2  X     P[ X     ]  P     2 ( )  1    Với    ta có: P[ X     ]=2 (1) - 1 = 0,6826 Với   2 ta có: P[ X    2 ]=2 (2) - 1 = 0,9544 Với   3 ta có: P[ X    3 ]=2 (3) - 1 = 0,9973  Như vậy nếu X ~ N((  ;σ2) thì P[ X     ]  1 khi   3 . Điều này có nghĩa là nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kì vọng µ và phương sai σ2 thì gần như ch ắc chắn rằng X sẽ nhận giá trị trong khoảng [  - 3σ ,  + 3 σ]  Bổ sung về kiến thức phân phối chuẩn tắc: Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối với kì vọng µ = 0 và phương sai σ2 = 1 thì X đ ược gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc hoặc phân phối Gauss. Hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc được kí hiệu là  ( x) còn gọi là hàm Gauss, hàm phân phối được kí hiệu là  ( x) còn gọi là hàm Laplace. - Hàm  ( x) là hàm ch ẵn,  ( x)   ( x) , trong khoảng (0, +∞) th ì hàm  ( x) đ ơn điệu giảm.  (0)  0,3989 ,  (1)  0, 2420 ,  (2)  0, 0540 ,  (3)  0, 0044 ,  (4)  0, 0001 và nếu x≥4 th ì  ( x)  0 x   (t )dt  Hàm  ( x) là hàm lẻ. - Hàm  ( x) =  Ta có:  (0)  0,5 ,  (1)  0, 2420 ,  (2)  0,0540 ,  (3)  0, 0044 ,  (3,9)  0, 0001 và nếu x≥4 thì  ( x)  1 và nếu x < -4 thì  ( x)  0 Lớp: 211301101 Trườn g Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
  5. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Hình 5 : Đồ thị hàm  ( x) Hình 6 : Đồ thị h àm  ( x) 3.2. Định lý giới hạn trung tâm (Lyapounov) Cho họ các biến ngẫu nhiên {X1, X2, X3,...Xn) độc lập từng đôi một. n n n  X i ;    EXi và  2   VarX i Đặt Y = i 1 i 1 i 1 3 n E X i  EX i Nếu EXi , VarXi hữu hạn và lim  0 3 n i 1 Thì Y  (  ;  2 ) 3.3. Xấp xỉ xác suất giữa: Siêu bội và nhị thức, Poisson và Nhị thức 3.3.1. Xấp xỉ xác suất giữa siêu bội và nhị thức:  Khi N khá lớn, n khá nhỏ so với N lúc đó quy luật phân phối siêu bội xấp xỉ với quy lu ật phân phối nhị thức. H(N, M, n)  B(n, p) n K K c .c K  c n . p K .q n  K với (q=1–p) N M M Ta có: P[X=K] = n c N  Ví dụ : Một lô h àng có 1000 sản phẩm trong đó có: 600 sản phẩm tốt và 400 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô h àng ra 10 sản phẩm. Tìm xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt ? Giải: Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra được trong 10 sản phẩm lấy ra.  X={0,1,2,...,9,10} Ta có: X ~ H(1000, 600, 10)  B(10; 0,6) 10  K K c .c K  c10.(0, 6) K .(0, 4)10 K 600 400 với K= 0;10 Suy ra: P[X=K] = 10 c 1000 Gọi A là biến cố lấy được 3 sản phẩm tốt trong 10 sản phẩm lấy ra. 3 7 c .c 3  c10.(0, 6) 3.(0, 4) 7 = 0,04246 600 400 Suy ra: P(A) = P[X=3]= 10 c 1000 3.3.2. Xấp xỉ xác suất giữa poisson và nhị thức: Lớp: 211301101 Trườn g Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
  6. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến  Khi n khá lớn (n≥100) và p khá nhỏ (p≤0,05) th ì quy lu ật phân phối nhị thức xấp xỉ quy luật phân phối poisson. B(n, p)  P (  ) e  . K K Ta có: P(X=K) = c n . p K .q n  K  với  =np và K= 0;  K!  Ví dụ: Tại một trận địa phòng không, người ta bố trí 1000 khẩu súng trường. Xác su ất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu súng là 0,001. Nếu máy bay bị bắn trúng 1 phát thì xác su ất rơi là 0,8. Nếu máy bay bị bắn trúng ít nhất 2 phát thì ch ắc chắn bị rơi. Tính xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng bắn, mỗi lần bắn một viên. Giải: Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu  X={0,1,2,...,1000} Ta có: X ~ B(1000; 0,001)  P (  ) Với:  = np = 1000 x 0,001 = 1 Suy ra: X ~ B(1000; 0,001)  P (1) Gọi B là biến cố máy bay bị rơi. Gọi A0 là biến cố không có viên đ ạn nào trúng máy bay A1 là biến cố có 1 viên đạn bắn trúng máy bay A2 là biến cố có 2 viên đạn bắn trúng máy bay Ta có A0 , A1 , A2 lập th ành một hệ đầy đủ xung khắc từng đôi. Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(B) = P(A0).P(B/ A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) e 1.1 0 1 0 0 1000 Với P(A0) = P(X=0) = c1000.(0, 001) .(0,999)   0! e P(B/ A0) = 0 e 1.11 1 1 1 999 P(A1) = P(X=1 ) = c1000.(0, 001) .(0,999)   1! e P(B/A1) = 0,8 2 P(A2) = P[X≥2] = 1 – P[X
  7. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến K2   K  ) ( 1 o P[K1
  8. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến rồi bốc ra 1 hạt. Tính xác suất hạt bốc ra là hạt lép; giả sử hạt bốc ra không lép, tính xác suất hạt này là của bao thứ 2. Giải: Xác su ất hạt bốc ra là hạt lép Gọi A1: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ nhất” A2: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ hai” A3: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ ba” B: “Biến cố hạt bốc ra là hạt lép” Ta có P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + P(A3).P(B/A3) 20 Với P(A1) =  0, 2 20  30  50 30 P(A2) =  0,3 20  30  50 50 P(A3) =  0,5 20  30  50 P(B/A1) = 0,01 P(B/A2) = 0,02 P(B/A3) = 0,03  P(B) = 0,2.0,01+0,3.0,02+0,5.0,03 = 0,023 = 2,3% Vậy xác suất bốc ra hạt lép là 2,3% Xác su ất hạt bốc ra là hạt không lép ở bao thứ hai: Gọi B : “Biến cố hạt lấy ra không lép”  P( B ) = 1- P(B) = 1 – 0,023 = 0,977 Suy ra : 0,3.0,98 P ( A2 ).P ( B / A2 ) P ( A2 / B ) = =  0,3009 = 30,09% 0, 977 P( B) Vậy xác suất bốc ra h ạt không lép ở bao thứ hai là 30,09% Câu 27: Hộp thứ nhất có 3 bi xanh và 4 bi đỏ, hộp thứ hai có 6 bi xanh và 2 bi đỏ; hộp thứ ba có 4 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, tiếp tục lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ ba ra 1 bi, tính xác suất bi này là màu xanh. Giải: Gọi A là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 1 thì A là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 1 Gọi B là biến cố bốc đ ược bi xanh ở hộp 2 thì B là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 2 Gọi C là biến cố bốc đ ược bi xanh ở hộp 3 1 C 3 34 3 P(A) =   P ( A)  1   1 77 7 C 7 Áp dụng công thức đầy đủ 1 1 C .  C1 . = 3 64 5 7 P(B)= P(B/A).P(A) + P(B/ A )P( A )= 1 7 7 C9 7 C 9 Lớp: 211301101 Trườn g Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
  9. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến 52  P( B )  1  P( B)  1   77 Áp dụng công thức đầy đủ 1 1 C .  C14 .  .  .  5 2 5 5 4 2 11 5 P(C) = P(C/B).P(B) + P(C/ B ).P( B ) = 1 7 C 12 7 12 7 12 7 28 C 12 11 Vậy xác suất bốc được bi xanh ở hộp 3 là: 28 II.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ LIÊN TỤC Câu 28: Một kiện hàng có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng đó ra 2 sản phẩm (chọn một lần) a ) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được. b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được. c) Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu. Giải: a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được. Gọi X là số sản phẩm tốt chọn được X  0,1, 2 C50C32 1.3 3 X  0  P0  P  X  0     C82 28 28 11 C5C3 5.3 15 X  1  P  P  X  1    1 C82 28 28 C52 C30 10 X  2  P2  P  X  2   C82 28 Ta có bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm tốt) X 0 1 2 P X  3 15 10 28 28 28 Khi x  0  F ( X )  P( X  x)  P()  0 3 Khi 0  x  1  F ( X )  P  X  x   P  X  0  28 3 15 18 Khi1  x  2  F ( X )  P  X  x   P  X  0  P  X  1    28 28 28 Khi x  2  F ( X )  P  X  x   P  X  0   P  X  1  P  X  2 3 15 10   1 18 18 28 Vậy hàm phân phối xác suất là: Lớp: 211301101 Trườn g Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
  10. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến 0 nếu x  0 3 nếu 02 c) Tính k ỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu. 3 15 10 35 Kỳ vọng sản phẩm tốt: E1  X   0.  1.  2.  28 28 28 28 10 15 3 21 Kỳ vọng sản phẩm xấu là: E2  X   0.  1.  2.  28 28 28 28 2 3 15 10 55 Ta có: E1 ( X 2 )   xi 2 pi  02.  12.  22.  28 28 28 28 0 Lớp: 211301101 Trườn g Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
  11. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến 10 2 15 3 27 E2  X 2   0 2.  22.  1 28 28 28 28 45 Suy ra phương sai của số sản phẩm tốt là: D1  X   E1  X 2   [ E1  X ]2  112 2 27  21  45 Và phương sai của số sản phẩm xấu là: D2  X   E2  X   [ E2  X ]      2 2 28  28  112  x2  , x  [0;3] Câu 48: Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ: f ( x)   9 0, x  [0;3]  a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;4) Giải: a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX * Tìm hàm phân phối F(x): x Khi x  0 F ( x )  P( X  x)   f (t )dt  0  0 x x t2 x3 Khi 03  F ( x)  P( X  x)  f (t ) dt  f (t ) dt   f (t )   f (t )dt  1     0 3 Vậy hàm phân phối xác suất của x là: n ếu x  0 0 3 x n ếu 03 1  * ModX: x2 2x nếu 0  x  3  f , ( x)   f , ( x)  0  x  0 Ta có f(x)= 9 9 Bảng xét dấu f(x): x 0 3 f ’(x) + Lớp: 211301101 Trườn g Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
  12. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến f(x)  mod(x) = 3 * MedX: a a3 1 x2 3 1 Gọi a là median của x thì a 0,3   dx    a 2 27 2 9 2 2 0 3 Vậy med(x)= 2 2 * EX:   0 3 3 3 x3 3 E(x)=  xf ( x)dx   xf ( x)dx   xf ( x)dx   xf ( x)dx   xf ( x)dx   dx  9 4   0 3 0 0 * VarX: 2 2    3 x4  3 387   xf ( x) dx   0   dx     2 D(x)=  x f ( x)dx     9  4 80     0 b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;4) Xác xuất để x nhận giá trị trong khoảng (1,4) là : 4 3 4 3 x2 26 P(1
  13. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến 300  là số cuộc điện thoại trung bình gọi đến trong một phút:   5 60 Suy ra: X~ P ( ) e 5 .5K  Ta có: P( X  K )  , K  0, n K! Gọi A là biến cố trong một phút có đúng hai cuộc gọi đến. e 5 5 2 Suy ra: P( A)  P( X  2)   0, 0842 2! Gọi B là biến cố trong một phút không ít hơn 2 cuộc điện thoại gọi đến. Suy ra: P( B)  P( X  2)  1  P ( X  2)  1   P( X  0)  P( X  1)  e5 e 5 .5 ]  1  6e5  0,9595  1[  1 1 Vậy: Xác suất trạm điện thoại nhận đúng hai cuộc gọi trong một phút là 0,0842 Xác suất trạm điện thoại nhận không ít hơn hai cuộc gọi trong một phút là 0,9595 Câu 50: Trong 1000 trang sách có 100 lỗi in sai. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một trang sách này có đúng 3 lỗi in sai, nhiều hơn 3 lỗi in sai. Giải: Gọi X là số lỗi in sai trong một trang sách. 100  là số lỗi in sai trung bình trong một trang sách:  =  0,1 1000 Suy ra: X~ P( ) e 0,1.0,1K  Ta có: P( X  K )  , K  0, n K! Gọi A là biến cố trong một trang sách có đúng 3 lỗi in sai. e 0,1 .0,13 Suy ra: P( A)  P( X  3)   0, 00015 3! Gọi B là biến cố trong một trang sách có nhiều hơn 3 lỗi in sai. Suy ra: P( B)  P( X  3)  1  [P ( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  P( X  3)] e0 ,1.0,10 e 0,1.0,11 e 0,1.0,12 e 0,1.0,13  1 (    )  0, 0000038 0! 1! 2! 3! Vậy: Xác suất để một trang sách có đúng 3 lỗi in sai là: 0,00015 Xác suất để một trang sách có nhiều hơn 3 lỗi in sai là: 0,0000038 II.4.2. Phép thử Bernoulli và phân phối Nhị thức Câu 56: Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 0,3%. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm của lô hàng này. Tính số sản phẩm tối thiểu cần kiểm tra để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không bé hơn 91%. Giải: Gọi A là biến cố chọn dược ít nhất một phế phẩm trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để xác suất chọn được ít nhất một phế phẩm không nhỏ hơn 91% thì A là biến cố không nhận được phế phẩm nào trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để xác xuất nhận được ít nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn 91% Lớp: 211301101 Trườn g Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
  14. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Hai biến cố A và A là hai biến cố đối lập nhau nên giả sử P(A) là xác su ất của biến cố A thì xác suất của biến cố A là P( A ) = 1- P (A) Vì tỉ lệ phế phẩm = 0,003 là không thay đổi và khi thực hiện chọn ra sản phẩm chỉ xảy ra 2 kh ả năng hoặc nhận được chính phẩm hoặc nhận được phế phẩm nên bài toán tuân theo lược đồ bernoulli Gọi X là số phế phẩm lấy được th ì X tuân theo lược đồ Bernoulli Với p =0,003 và q = 0,997 0 .(0 ,003)0.(0,997)n = (0 ,997)n  P( A ) = P(X=0)= C n n  P(A) = 1 - (0,997) ln(0,09) Theo đ ề P(A)  0,91  1 - (0,997)n  0,91  n   801, 4 ln(0,997) Vì n  Z nên chọn n = 802 Vậy phải chọn tối thiểu 802 sản phẩm để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm không nhỏ hơn 91% Câu 57: Một trường tiểu học có tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9%. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt từng học sinh của trường này. Tính số học sinh tối thiểu cần kiểm tra để xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không bé hơn 95%. Giải: Gọi A là biến cố chọn dư ợc ít nhất một học sinh bị cận thị trong tối thiểu n học sinh chọn ra đ ể xác suất chọn được ít nh ất một học sinh bị cận thị không nhỏ hơn 95% Suy ra A là biến cố không chọn đư ợc học sinh nào b ị cận thị trong tối thiểu n học sinh chọn ra đ ể xác xuất nhận được ít nhất một học sinh bị cận thị không nhỏ hơn 95% Hai biến cố A và A là hai biến cố đối lập nhau nên với P(A) là xác su ất của biến cố A thì xác suất của biến cố A là P( A ) = 1 - P(A) Vì tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9% là không thay đ ổi và khi thực hiện chọn ra chỉ xảy ra 2 khả năng hoặc chọn được học sinh bị cận thị hoặc chọn được học sinh không bị cận thị n ên bài toán tuân theo lược đồ Bernoulli Gọi X là số học sinh bị cận thị chọn đ ược thì X tuân theo lược đồ Bernoulli Với p= 0,009 và q = 0,991 0 .(0 ,009)0.(0,991)n = (0 ,991)n  P( A ) = P(X=0)= C n n  P(A) = 1 - (0,991) Theo đ ề P (A)  0,95  1 - (0,991 )n  0,95  n. ln(0,991)  ln(0,05) Lớp: 211301101 Trườn g Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
  15. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến ln(0, 05) (*) n  331,36 ln(0,991) Dễ thấy giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa m ãn điều kiện (*) là n = 332 Vậy phải chọn tối thiểu 332 học sinh để kiểm tra thỏa m ãn xác su ất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không bé h ơn 95% Câu 68: Một người có 3 chỗ yêu thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá ở 3 chỗ 1, 2, 3 tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Người đó chọn ngẫu nhiên 1 chỗ thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá. Tính xác suất để con cá câu được ở chỗ thứ 3. Giải: Gọi A là biến cố 3 lần thả câu chỉ được một con cá Gọi Ai (i=1,2,3) là biến cố câu được cá ở cỗ thứ i Gọi Bi là biến cố chỉ câu được một con cá ở chỗ thứ i thì P(Bi) = P(A/Ai) A1, A2, A3 là các biến cố đồng khả năng và chúng lập thành hệ đầy đủ các biến cố xung khắc từng đôi. 1 Vì khả năng câu được cá ở 3 chỗ là như nhau nên : P(A1) = P(A2) = P(A3)= 3 Gọi x là số cá câu đ ược sau 3 lần thả câu (x = 0,1,2,3) xác suất câu được x con cá ở mỗi chỗ là phân phối nhị thức với n=3 và P1= 0.6, P2=0.7,P3= 0.8 1 1 2 P(B1)= P (X=1)= C .0.6 .0.4  0.288 3 1 1 2 P(B2)= P (X=1)= C .0.7 .0.3  0.189 3 1 1 2 P(B3)= P (X=1)= C .0.8 .0.2  0.096 3 P(A)= P(A1). P(A/A1)+P(A2). P(A/A2)+P(A3). P(A/A3) = P(A1). P(B1). +P(A2). P(B2). +P(A3). P(B3). = 0.191 1 .0.096 P(A3). P(A/A3) 3 32  P(A3/A)= =  P(A) 0.191 191 32 Vậy xác suất để con cá câu được ở chỗ thứ ba là 191 II.4.3 . Phân phối chuẩn Câu 73: Cho X  N (3; 4) . Tính P(X
  16. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến x2 x2 ( x   ) 2 1 Ta có P( X 1  X  X 2 )=  f ( x)dx  e dx   2 2 2 x1 x1 x dx Đặt u   dx  du ; du    x2   x2   0 u 2   1  P( X 1  X  X 2 )= e du  f (u )du   f (u)du    2  2 x1  x1 0   x2   x1      x2     x      1  f (u)du   f (u )du       0 0  23    3   P ( X  2)  P(  X  2)       0.19146  0.5  0.30854 2 2  2 3   2 3 P ( X 2  4 )  P ( 2  X  2 )         0.19146  0.49379  0.30233 2 2  7 3  1  3  P( X  3  4)  P(4  X  3  4)  P(1  X  7)         2.0, 47725  0, 9545 2 2  3  3 1 3   = 0,65866 P( X  2  1)  P( X  1  X  3)  1  P(1  X  3)  1      2 2 Câu 83: Một doanh nghiệp cần mua 1 loại trục máy có đường kính từ 1,18cm đến 1,22cm. Có hai nhà máy bán loại trục máy này và đường kính các loại trục máy được sản xuất ra là biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối chuẩn với các đặc trưng: Giá bán Đặc điểm Đường kính Độ lệch Nhà máy trung bình tiêu chuẩn X(Nhà máy I) 1 ,2cm 0,01 3 triệu/hộp/100 cái Y(Nhà máy II) 1 ,2cm 0,015 2,7 triệu/hộp/100 cái Vậy doanh nghiệp nên mua trục của nhà máy nào? Giải: Gọi X là số trục máy đạt tiêu chu ẩn của nhà máy 1 thì X tuân theo quy lu ật phân phối chuẩn với   1,2 và   0.01 suy ra:  1,22  1,2   1,18  1,2  P(X)=       0,9545  0,01   0,01  Vậy giả sử mua 100 cái trục của nhà máy 1 thì số trục đạt yêu cầu là 95,45 trong khi đó số tiền phải bỏ ra là 3tr đ ồng suy ra giá trị sử dụng trung b ình của một trục là 3  0,031143tr 95,45 Lớp: 211301101 Trườn g Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
  17. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Gọi Y là số trục đạt tiêu chu ẩn của nhà máy 2 thì Y tuân theo qui luật phân phối chuẩn với   0,12 và   0,015 suy ra:  1,22  1,2   1,8  1,2  P(Y )        0,81648  0,015   0,015  Suy ra trong 100 sản phẩm có 81,684 sản phẩm đạt yêu cầu 2,7 Suy ra giá trị sử dụng của một trục của nhà máy 2 là  0,03307 tr 81,648 Vậy giá trị sử dụng một trục sản phẩm của nhà máy X nhỏ hơn giá trị sử dụng một trục của nhà máy Y suy ra công ty nên mua trục của nhà má y X. II.4.4 . Các lo ại xấp xỉ xác suất thông dụng (Siêu bội ~ Nhị thức ~ Poisson, Chuẩn) Câu 84: Một bao thóc có tỷ lệ hạt lép là 0,01%. Chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt. Tính xác suất để: a) Có đúng 2 hạt thóc lép. b) Có ít nhất 2 hạt thóc lép. Giải: Gọi X là số hạt lép trong 5000 hạt. Ta có: X ~ B(5000; 0,0001) Do n = 5000 khá lớn và p = 0,0001 khá bé ta dùng xấp xỉ: X  P(  ) với  = 5000. 0,0001 = 0,5  X ~ P(0,5) e 0,5 .0,5 K Với P(X=K) = K! a) Gọi A là biến cố có đúng 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt thóc. e 0,5 .0,5 2  P(A)=P(X=2)=  0, 0758 2! b ) Gọi B là biến cố có ít nhất 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 h ạt thóc. e 0,5 .0,5 0 e 0,5 .0,51  P(B) = P(X≥2)= 1- [P(X=0)+P(X=1)] = 1 – ( + ) = 0,0902 0! 1! Câu 85: Một hãng sản xuất trung bình 1000 đĩa nhạc thì có 1 đĩa hỏng. Tính xác suất để khi hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc thì có nhiều hơn 10 đĩa không hỏng. Giải: Gọi X là số đĩa nhạc không hỏng (0  X  1000 ) Gọi A là biến cố số đĩa nhạc không hỏng >10 Thì A là biến cố số đĩa nhạc bị hỏng  8990 P(A)=1- P( A ) Vì t ỷ lệ số đĩa nhạc bị hỏng = 0,001 là không đổi n ên bài toán tuân theo công thức bernoulli với n=9000 và p=0,001 Mặt khác p quá nhỏ (p
  18. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến e9 98990 e 9 98991 e 9 98992 e9 98993 e 9 .98994 e9 98995 e9 98996 P(A ) = P(X  8990)        8990! 8991 ! 8992! 8993! 8994! 8995! 8996!  9 8997 9 9 9 e9 e 8998 e 8999 e 9000     0 8997! 8998! 8999! 9000!  P ( A)  1  P( A)  1  0  1 Vậy xác xuất để hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc có nhiều h ơn 10 đ ĩa không hỏng là 1 Câu 93: Một trường cấp 3 có 900 học sinh. Giả sử trong 1 năm trung bình mỗi học sinh phải nằm ở trạm y tế của trường 1 ngày và khả năng bị bệnh của học sinh phân phối đều các ngày trong năm. Số giường của trạm y tế tối thiểu là bao nhiêu để tỉ lệ không đủ giường cho ng ười bệnh ít hơn 0,01. Giải: 1 Gọi X là số học sinh phải nằm trạm y tế trong 1 ngày X  (900; ) 365 900 Gọi  là số học sinh bị bệnh trung bình trong 1 ngày  =  2, 466 365 Suy ra: X~P(  ) e 2,466 .2, 466 K Với P(X=K) = K! Gọi m là số giư ờng tối thiểu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01 e 2,466 .2, 466 K e2,466 .2, 466 K m m  1  0, 01  0, 99  m =7 Suy ra: 1     0, 01  K! K! K 0 K 0 Vậy số giư ờng tối thiểu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01 là 7 giường. PHẦN III: BÀI TẬP THỐNG K Ê III.1. Ư ỚC LƯỢNG KHOẢNG Câu 1: Người ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm của một nhà máy thì thấy có 20 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của nhà máy này. Giải: Gọi p là tỉ lệ số chính phẩm trong 400 sản phẩm kiểm tra: 380 p= = 0,95 400 Tính với độ tin cậy 95%, ta ước lượng tỉ lệ p đám đông  f n (1  f n )  380  0, 95, P  p  f n    t   1    2 (t ) fn  400 n     1    0,95  2 (t )   (t )  0, 475  t  1,96 f (1  f ) 0,95(1  0,95) p1  f  t  0,95  1, 96  0,9286 n 400 f (1  f ) 0,95(1  0,95) p2  f  t  0,95  1,96  0,9714 n 400 Lớp: 211301101 Trườn g Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
  19. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Vậy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của nhà má y này là (0,9256 ; 0,9714) Câu 4: Trong kho có 1000 sản phẩm của nhà máy A sản xuất bỏ lẫn với nhiều sản phẩm do nhà máy B sản xuất. Lấy ngẫu nhiên từ kho ra 100 sản phẩm thấy có 9 sản phẩm do nhà máy A sản xuất. Với độ tin cậy 92%, hãy ước lượng trong kho này có kho ảng bao nhiêu sản phẩm do nhà máy B sản xuất? Giải: Nếu dự đoán thô: 100 sản phẩm có: 9 sản phẩm nhà máy A và 91 sản phẩm nhà máy B 1000.91 1000 sản phẩm nhà máy A  10111 sản phẩm nhà máy B 9 Tỉ lệ số sản phẩm do nh à máy B sản xu ất trong 100 sản phẩm là: 91 FB =  0,91 100 1 Độ tin cậy: 1 -  =0,92   (t )   0, 46  tα = 1,76 2 f B (1  f B ) 0,91(1  0,91) Độ chính xác:   t = 1,76. = 0,05 100 n Suy ra ước lượng tỉ lệ số sản phẩm do nhà máy B sản xuất ra: PB =(fB-  ; fB+  ) = (0,91-0,05; 0,91+0,05) = (0,86; 0,96) Số sản phẩm do nhà máy B sản xuất là N với: N1  N  N2 10111 Trong đó: N1=  10532 0,96 10111 N2=  11757 0,86 Vậy trong kho có khoảng (10532; 11757) sản phẩm do nhà máy B sản xuất ra với độ tin cậy 92% Câu 30: Một nông dân gieo thử nghiệm 1000 hạt của một giống lúa mới thì có 640 hạt nảy mầm. a ) Với độ tin cậy là 95%, hãy ước lượng tỉ lệ nảy mầm của giống lúa này. b) Muốn có độ tin cậy 97% và sai số ước lượng tỉ lệ hạt nảy mầm là 2% thì người nông dân cần gieo tối thiểu bao nhiêu hạt? Giải: 640 a) Tỉ lệ hạt giống nảy mầm là: fn =  0, 64 1000 1 Độ tin cậy: 1 -  =0,95   (t )   0, 475  tα = 1,96 2 f (1  f n ) 0, 64(1  0, 64) Độ chính xác:   t n  1,96.  0, 02975 n 1000 Ước lượng tỉ lệ hạt nảy mầm là: P(fn-  ; fn+  ) = (0,61; 0,67) 1 b) Với độ tin cậy: 1 -  =0,97   (t )   0, 485  tα = 2,17 2 Độ chính xác:   0, 02 Gọi n là số hạt cần gieo thỏa mãn yêu cầu bài toán. Lớp: 211301101 Trườn g Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
  20. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến  2 . f (1  f )   2,17 2.0,64.(1  0, 64)  Suy ra: n=  t  2  1    1 0, 02 2        =  2712,3264  +1= 2712+1=2713 Vậy số hạt lúa tối thiểu cần gieo để thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2713 (hạt) Chú thích:  x  gọi là phần nguyên của x, là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Câu 40: Độ dày của một bản kim loại (đơn vị: mm) là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Đo ngẫu nhiên 10 bản loại này thu được kết quả như sau: 4,1 3,9 4,7 4,4 4,0 3,8 4,4 4,2 4,4 5,0 a) Ư ớc lượng độ dày trung bình của bản kim loại này với độ tin cậy 90% b) Ước lượng độ phân tán của độ dày bản kim loại với độ tin cậy 95% Giải: a) Tính ước lượng độ d ày trung bình của bản kim loại với độ tin cậy 90% Độ dày trung bình của bản kim loại là: 4,1  3,9  4, 7  3.4, 4  4, 0  3,8  4, 2  5, 0 1  xi  x  4, 29 n 10 Trung bình bình phương của bản kim loại là: 4,12  3,92  4, 72  3.4, 42  4, 02  3,82  4, 22  5, 02 1 x2  xi 2    18,527 n 10 2 Phương sai m ẫu chưa hiệu chỉnh: S  x 2 - ( x) 2 = 18,527 – 4,29 2 = 0 ,1229 Suy ra phương sai m ẫu đã hiệu chỉnh là: n 10 2 S= . S= . 0,1229 = 0,37 n 1 10  1 Độ tin cậy: 1 -  = 0,9   = 0,1 n 1 9 Vì n = 10
nguon tai.lieu . vn
Thạc sĩ - Tiến sĩ - Cao học Công nghệ thông tin Kinh tế - Thương mại Tài chính - Ngân hàng Kiến trúc - Xây dựng Điện-Điện tử-Viễn thông Cơ khí - Chế tạo máy Công nghệ - Môi trường Báo cáo khoa học Quản trị kinh doanh Khoa học xã hội Khoa học tự nhiên Nông - Lâm - Ngư Y khoa - Dược