Xem mẫu
- BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN
*********
HÀ DUY NGHĨA
D NG MODUNLAR
VÀ HÀM S H C
TI U LU N HÌNH H C S HC
Quy Nhìn, Th¡ng 5 n«m 2010
- i
BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN
*********
HÀ DUY NGHĨA
D NG MODUNLAR
VÀ HÀM S H C
CAO H C TOÁN KHÓA 11
Chuyên ngành: Đ i s và lý thuy t s
TI U LU N HÌNH H C S HC
Ngư i hư ng d n khoa h c
GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI
Quy Nhìn, Th¡ng 5 n«m 2010
- ii
M CL C
Trang ph bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
L im đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 M ts ki n th c cơ s 2
1.1 Đ c trưng c a nhóm h u h n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Quan h tr c giao c a đ c trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 2 các hàm s hc 7
2.1 Zeta hàm và L hàm ....................... 7
2.1.1 Zeta hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Zêta hàm Rieman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 L-Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Đ c trưng Modunlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Đ nh nghĩa và tính ch t c a L-Hàm . . . . . . . . . . . 9
Tích các L hàm ng v i m i χ ∈ G(m) . . . . . . . . .
2.2.3 10
Chương 3 D ng modular 11
3.1 Nhóm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Mi n cơ b n c a nhóm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Hàm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Không gian các d ng Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
- 1
L IM ĐU
S h c là b môn toán h c ra đ i t r t s m nhưng nó luôn đư c các nhà
toán h c quan tâm nghiên c u, b i l không vì s bí n c a các con s mà
nó còn ng d ng quan trong cho cu c cách m ng khoa h c k thu t hi n nay
như lý thuy t m t mã,k thu t s ,...
chuyên đ hình h c s h c là chuyên đ nghiên c u s h c dư i công c
hình h c, thi t l p m t mã b i đư ng cong Eliptic là th m nh c a phân môn
này. Đ làm đ tài ti u lu n k t thúc b môn tôi ch n đ tài " D ng modular
và hàm s h c" , ti u lu n g m 3 chương cùng v i ph n m đ u và k t lu n.
Trong m i chương c th như sau;
Chương 1: G m các ki n th c cơ s liên quan đ n hai chương sau
Chương 2: Gi i thi u hai hàm s h c quan tr ng đó là Zeta hàm và L hàm
cùng v i các tính ch t c a nó.
Chương 3: Nói v các d ng Modular, không gian các d ng Modular .
M c dù b n thân đã r t c g ng trong h c t p, nghiên c u và đư c s
hư ng d n nhi t tình c a th y giáo hư ng d n, nhưng do năng l c c a b n
thân và th i gian còn h n ch nên ti u lu n khó tránh kh i nh ng thi u sót.
Tôi r t mong nh n đư c s góp ý c a quý th y cô và các b n đ ti u lu n
đư c hoàn thi n hơn.
Cu i cùng tôi xin chân thành c m ơn GS.TSKH Hà Huy Khoái ngư i đã
t n tình giúp đ , cùng t p th l p cao h c toán khoá 11 t o đi u ki n cho
tôi hoàn thành ti u lu n này.
Quy Nhơn, tháng 5 năm 2010
Hà Duy nghĩa
- 2
Chương 1
M TS KI N TH C CƠ S
1.1 Đ c trưng c a nhóm h u h n
Đ nh nghĩa 1.1.1. M t đ c trưng c a nhóm G là m t đ ng c u t G vào
nhóm nhân các s ph c khác không. Nói cách khác, đ c trưng c a G là m t
hàm χ : G → C∗ sao cho χ(a.b) = χ(a)χ(b), ∀a, b ∈ G M t đ c trưng χ g i
là t m thư ng n u χ(g ) = 1, ∀g ∈ G đư c ký hi u là χT
G i χ, χ là hai đ c trưng c a nhóm G, tích 2 đ c trưng là m t hàm
χ.χ : G → C∗ xác đ nh b i χχ (g ) = χ(g )χ (g ).
Đ nh lý 1.1.2. Đ c trưng c a nhóm tùy ý G là nhóm Abel v i phép toán
nhân đư c đ nh nghĩa như trên.
Ch ng minh. i)G đóng đ i v i phép toán nhân, t c là χ.χ là đ c trưng c a
G, th t v y χ.χ (a.b) = χ(a.b).χ (a.b) = χ(a)χ(b)χ (a)χ (b) = χ.χ (a)χ.χ (b)
ii)Ph n t đơn v là đ c trưng t m thư ng χT
ngh ch đ o c a χ là χ−1 v i χ−1 : G → C∗ , đư c xác đ nh
iii)Ph n t
χ−1 (g ) = χ(g −1 ) khi đó χ−1 là đ c trưng c a G và χ.χ−1 = χT
T p h p các đ c trưng c a G l p thành nhóm, ký hi u là G g i là nhóm
đ c trưng hay nhóm đ i ng u c a G
Gi s r ngh : G1 → G2 là m t đ ng c u nhóm và χ là đ c trưng c a
G2 . Cái n i c a χ b i hký hi u là h χ đư c xác đ nh b i h = χ ◦ χ, t đ nh
nghĩa ta suy ra h χ là m t đ ng c u.
Đ nh lý 1.1.3. Gi s r ng G1 , G2 là nh ng nhóm . Khi đó χ là đ c trưng
c a G1 × G2 n u và ch n u χ = χ1 ⊗ χ2 , ∀χ1 ∈ G1 , χ2 ∈ G2
H qu 1.1.4. N u G1 , G2 là nh ng nhóm thì G1 × G2 = G1 ⊗ G2
- 3
Gi χ là đ c trưng c a G và g là ph n t c a G có c p h u h nk . T
χ(g )k = χ(g k ) = χ(1) = 1.Đi u này kéo theo kh ng đ nh r ng, nh ng đ c
trưng chuy n nh ng ph n t có c p h u h n vào căn c a đơn v . C th là :
N u G là m t nhóm và n là s nguyên dương nh nh t sao cho g n = 1, ∀g ∈ G
khi các đ c trưngc a G s cho tương ng m i ph n t c a G là căn b c n
c a đơn v .
T đó suy ra n u χ ∈ G thì |χ(g )| = 1∀g ∈ G, do đó
1
= χ(g −1 ) = χ−1 (g )
χ(g ) = χ(g ) =
χ(g )
môđun [Proposition 1.1 [2] ] V i m i đ c trưng không t m thư ng χ c a G
thì χ(a) = 0
a∈G
Ch ng minh. L y b ∈ G sao cho χ(b) = 1, g i S = χ(a), khi đó
a∈G
χ(b).S = χ(b)χ(a) χ(ba) = S
a∈G ab∈G
do đó S (χ(b) − 1) = 0 ⇒ S = 0
T m nh đ trên, n u thay G b ng G ta có k t qu sau:
χ(x) = 0, χ ∈ G
x∈G
Suy ra
χ(x) = 0, x ∈ G ∼ G
=
χ∈G
môđun [proposition 1.3 , [2] ] G i ω là căn b c n c a đơn v , khi đó ánh
x χj : Zn → C∗ xác đ nh b i χj (a) = ω ja là đ c trưngc a Zn ∀j ∈ Z, ngoài
ra:
(a)χj = χk n u và ch n u j ≡ k modn;
(b)χj = χk ;
1
(c)Z = {χ0 , ..., χn−1 };
(d)Zn ∼ Zn
=
- 4
Ch ng minh. Trư c h t ch ng minh χj là đ c trưng c a Zn .
Ta có χj (a + b) = ω j (a+b) = ω ja ω jb = χj (a)χj (b), V y χj là đ c trưng c a Zn .
(a)χj = χk n u và ch n u j ≡ k mod n;
(⇒) Ta có χj = χk nên χj (1) = χk (1) ⇒ ω j = ω k ⇒ j ≡ k mod n.
(⇐) N u j ≡ k mod n ⇒ j = k + tn ⇒ ω J = ω k+tn = ω k ⇒ χj = χk .
(b) Hi n nhiên theo đinh nghĩa
(c) Theo trên ta đã ch ng minh Zn là nhóm, nên đ ch ng minh m nh đ ta
c n ch ng minh Zn là nhóm xyclic c p n.Th t v y, ∀χj ∈ Zn ta có χn (a) =
j
χj (na) = χj (0) = 1 = χ0 (a), a ∈ Zn .( Có th gi i thích theo đ nh nghĩa c a
χj (a) = ω ja ), khi đó ta suy ra đư c (c), (d).
H qu 1.1.5. G ∼ G
=
Ch ng minh. Vì G, G là nh ng nhóm h u h n nên G ∼ Zn1 ⊕ ... ⊕ Znk , và
=
G ∼ Zn1 ⊕ .. ⊕ Znk , do đó theo M nh đ 1.1 tacó Zn1 ∼ Zn1 , ..., Znk ∼ Znk
= = =
.Suy ra đi u ph i ch ng minh.
1.2 Quan h tr c giao c a đ c trưng
ˆ
G i G là nhóm Abelian h u h n và H là nhóm con c a G, ký hi u GH là
t p các đ c trưng c a G có h t nhân ch a H , t c là ∀h ∈ H, χ(h) = 1. Khi
đó ta có các k t qu sau:
Đ nh lý 1.2.1. N u H là nhóm con c a G và χ ∈ G thì
|H | N u χ ∈ GH
χ(h) =
N u χ ∈ GH
0 /
h∈H
χ(h), khi đó n u χ ∈ GH thì χ(h) = 1, ∀h ∈ H
Ch ng minh. G i A =
h∈H
suy ra A = |H |, ngoài ra n u χ ∈ GH thì t n t i h0 ∈ H sao cho χ(h0 ) = 1,
/
χ(h) ⇒ A = 0
khi đó A = χ(h.h0 ) = χ(h0 )
h∈H h∈H
- 5
Đ nh lý 1.2.2 (Quan h tr c giao th 1). G i χ, ψ là hai đ c trưng c a G
khi đó
n N uχ=ψ
χ(a)ψ (a) =
0 N uχ=ψ
a∈G
Ch ng minh. Trư ng h p , n u χ = ψ khi đó χ(a).χ(a) = χ(a)−1 χ(a) = 1
nên χ(a)ψ (a) = n.
a∈G
Trư ng h p, n u χ = ψ thì χψ là đ c trưng không t m thư ng, nên theo
M nh đ 1.1 ta có đi u ph i ch ng minh.
G i CG là không gian các hàm tuy n tính f : G → C. Không gian này là
không gian các hàm tuy n tính n chi u trên C. V i tích vô hư ng đư c đ nh
nghĩa
1
f (a)g (a) (f, g ∈ CG )
(f, g ) =
n a∈G
Đ nh lý 1.2.3. G là cơ s tr c giao trong CG
1
Ch ng minh. Tacó : ∀χ, ψ ∈ G, (χ, ψ ) = χ(a)ψ (a) = 0 ( Theo Đ nh lý
n
a∈G
1.2.2)
Ngoài ra,theo H qu 1.1.5 ta suy ra |G| = n = dimCG .
G i χ0 , .., χn−1 là nh ng đ c trưng c a G = {a0 , a1 , ..., an−1 . Khi đó ma
tr n vuông C = (χi (aj )) là b ng đ c trưng c a G
là ma trân đơn v , hơn n a A.A∗ = A∗ .A =
1
H qu 1.2.4. Ma tr n A = √C
n
I trong đó I là ma tr n đơn v và A∗ là ma trân liên h p c a A
H qu 1.2.5 (Quan h tr c giao th 2 ). G i a, b ∈ G khi đó
nN ua = b
χ(a)χ(b) =
0N ua=b
χ∈G
Ch ng minh. Th t v y, n u a = b ta có
2
|χ(a)| = n
χ(a)χ(b) = χ(a)χ(a) =
χ∈G χ∈G χ∈G
- 6
n u a = b ta có
χ(a−1 )χ(b) = χ(a−1 b) = 0
χ(a)χ(b) =
χ∈G χ∈G χ∈G
(Suy ra t M nh đ 1.1)
- 7
Chương 2
CÁC HÀM S HC
2.1 Zeta hàm và L hàm
2.1.1 Zeta hàm
Đ nh nghĩa 2.1.1. Cho f : N → C là hàm s h c,f đư c g i là :
Nhân tính n u :∀m, n(m, n) = 1, f (m, n) = f (m).f (n)
Nhân tính m nh n u :∀m, nf (m, n) = f (m).f (n)
∞ f (n)
B đ 2.1.2. Chu i h i t tuy t đ i khi Res > 1 và bi u di n thành
s
n=1 n
−s
+ f (p2 ).p−2s + ...+) trong đó f (n) là hàm nhân
tích vô h n (1 + f (p)p
P
p∈
tính gi i n i.
f (n)
Ch ng minh. Vì f (n) là hàm nhân tính gi i n i nên|f (n)| < M ⇒ <
ns
M
= Res > 1 chu i h i t tuy t đ i khi Res > 1.
nX , X
L y m t t p h u h n S ⊂ { T p h p các s nguyên t }, g i N(S ) ⊂ N
là t p các s mà các ư c nguyên t thu c S , gi s S = p1 , ..., pr ,khi đó
N (S ) = {n = pα1 ...pαk , αi ≥ 0} Khi đó ta có :
1 k
f (pα1 ...pαk )
f (n) 1 k
= αk s
α1
ns (p1 ...pk )
n∈N(s)
alphak
)=f (pα1 )...f (pαk ) do đó :
Do f là hàm nhân tính nên f (pα1 ....Pk
1 1 k
f (pα1 )...f (pαk ) ∞ f (pα1 )
k
f (n)
αi s , S → P
1 1
k
= =
αk s
α1
s (p1 ...pk ) i=1 αi =0 (pi )
n∈N(s) n α1 ...αk
∞ f (n)
(1 + f (p)p−s + f (p2 ).p−2s + ...+)
T đó suy ra: =
P
s
n=1 n p∈
Gi s f (n) là hàm nhân tính m nh gi i n i, khi đó theo b đ trên ta cũng
có
- 8
∞ f (n)
(1 + f (p)p−s + f (p2 ).p−2s + ...+)
=
P
s
n=1 n p∈
−1
(1 − f (p)p−s ) .
1
= =
1−f (p).p−s
p∈ P p∈P
Và công th c này g i là công th c Ơle.
2.1.2 Zêta hàm Rieman
∞
1
T b đ trên ta th y khi f (n) = 1 ta luôn có: ζ (s) = s , ζ (s) =
n=1 n
−1
(1 − p−s )
p∈ P
ζ là hàm Rieiman h i t tuy t đ i trên mi n Re s > 1
Đ nh lý 2.1.3. ζ Hàm Rieman là hàm ch nh hình trên mi n Re s > 0. Thác
tri n đư c thành hàm phân hình trên mi n Res > 0 có c c đi m đơn t i s = 1
1
t c là ζ (s) = + Φ(s) trong đó Φ(s) ch nh hình trong mi n Re s > 0.
s−1
∞ ∞ n+1
t−s dt = t−s dt nên suy ra:
1
Ch ng minh. Ta có : s−1 =
n=1 n
1
∞ n+1
∞
t−s dt
1 1
ζ (s) − −
= ns
s−1 n=1 n
n=1
n+1
∞
n−s t−s dt
−
=
n
n=1
∞ n+1
(n−s − t−s ) dt.
=
n=1 n
n+1 ∞
(n−s − t−s ) dt, Φ(s) =
Đ t Φn (s) = Φ(n), các hàm Φn (s) ch nh hình
n n=1
theo s trong mi n Re s > 0. Đ chúng minh Φ(s) ch nh hình trong Re s > 0
ta ch ng minh chu i h i t tuy t đ i và đ u.Th t v y, ta có:
n+1
(ns − t−s )dt ≤ max ns − t−s
|Φn (s)| =
n≤t≤n+1
n
|s|
nên suy ra:|Φn (s)| ≤ = Re s T đó suy ra Φ(s) ch nh hình tronh
nX +1 , X
mi n Re s > 0, ngoài ra khi s → 1, Φ(s) gi i n i.
- 9
2.2 L-Hàm
2.2.1 Đ c trưng Modunlar
∗
Gi s m ∈ Z, m ≥ 1, G(m) = Z/mZ nhóm các l p đ ng dư kh ngh ch
theo modulo m, G(m)có m ph n t , g i χ là đ c trung c a nhóm G(m)g i
là đ c trưng Modunlar . χG(m) :−→ C∗ thác tri n lên Z, khi đó:
•χ(n) = 0 n u (n, m) = 1
•χ(n) = χ(n mod m) n u (n, m) = 1
2.2.2 Đ nh nghĩa và tính ch t c a L-Hàm
Đ nh nghĩa 2.2.1. Cho m ≥ 1, χ đ c trưng modular m,ta đ nh nghĩa L hàm
ng v i đ c trưng χ đư c xác đ nh b i công th c
∞
χ(n).n−s
L(s, χ) =
n=1
2.2.2. N u χ = 1 thì L(s, 1) = F (s).ζ (s) trong đó F (s) =
M nh đ
(1 − p−s ), ζ (s) là Zeta hàm Riemam.
p| m
T m nh đ trên ta th y r ng L(s, 1) ch khác ζ (s) khi (n; m) = 1 và
L(s, 1) có th thác tri n thành hàm phân hình trên mi n Re s > 0 và có c c
đi m đơn t i s = 1.
M nh đ 2.2.3. V i χ = chu i L(s, χ) h i t tuy t đ i trong Re s > 0(Re s >
1) đ ng th i có tích Euler
−1
(1 − χ(p).p−s ) , , Re s > 0
L(s, χ) =
P
p∈
v
Ch ng minh. ∀u, v ∈ N, u < v ta đ t Au,v = χ(n), theo tính ch t tr c giao
u
ta có
u+m
χ(n) = 0
u
Do đó
|Au,v | ≤ Φ(m)
- 10
và không ph thu c vào u, v , nên theo tiêu chu n Abel chu i hoi t tuy t
đ i.
ngoài ra χ(n)là hàm nhân tính m nh nên L(s, χ) có tính Euler
Tích các L hàm ng v i m i χ ∈ G(m)
2.2.3
∗
Cho p m, p là nh c a m trong nhóm G(m) = Z/mZ f (p) là c p c a
ptrong nhóm G(m), f = f (r) là s nh nh t sao cho pf ≡ 1 mod m suy ra
f (p)|Φ(m), G(p) = Φ(m)/f (p) là c p c a nhóm sinh b i (p)
M nh đ 2.2.4.
−g (p)
1 − p−f (p)s
ζm (s) =
p| m
Ch ng minh. Ta có : ζm (s) = L(χ, s) = L(s, 1) L(s, χ)
χ χ=1
(1 − p−s ) ζ (s)
= L(s, χ)
χ=1
p| m
−1
(1 − p−s ) (1 − p−s ) (1−χ(p)p−s )−g(p)
=
p∈P χ=1 p∈P
p| m
−g (p)
(1−χ(p)p−s )−1 = 1 − p−f (p)s
=
χ p| m pm
Đ nh lý 2.2.5. (i) ∀χ = 1, L(1, χ) = 0 (ii) ζ (s) có c c đi m đơn t i s = 1.
Ch ng minh. (i) gi s có χ0 nào đó , χ0 = 1, L(1, χ0 ) = 0 khi đó L(1, χ) gi i
n i ∀χ = 1, và L(1, χ0 ) có c c đi m đơn t i s = 1.
N u Li, χ0 = 0 thì kh đư c c c đi m s = 1 suy ra hàm ζ (s) ch nh hình
trong mi n Re s > 0, ta c n ch ng minh chu i h i t trong mi n Re s > 0,
1
ta ch ng t chu iζ (s) phân kỳ t is = Φ(m) , th t v y;
−g (p) g (p)
−f (p).s −g (p) −f (p).s 1
1 − χ(p).p . 1−p
ζ (m) = = 1−p−f (p).s
pm
g (P )
m
= 1 + p−f (p).s + ... + p−f (p).s + ...
mà Φ(m) ≥ f (p) nên chu i trên đư c làm già b i
1
1 + p−Φ(m).s + ... + p−Φ(m).s + ... = 1 + + ...
p
1
mà chu i này phân kỳ nên s = Φ(m) là phân kỳ.
(ii) đư c suy ra tr c ti p t (i)
- 11
Chương 3
D NG MODULAR
3.1 Nhóm modular
Cho H là n a m t ph ng trên c a C Nhóm mudular kí hi u là
a b
∈ R, ad − bc = 1
SL2 (R) = , a, b, c, d
cd
Tác ng a SL2 (R) lên C ∪ {∞} :
đ c
a b az +b
∈ SL2 (R) gz = v i z là m t ph n t trong C ∪ {∞}.
g=
cz +d
cd
Qua tác đ ng c a nhóm SL2 (R), n a m t ph ng trên là n đ nh. Th t v y,
gi s H = {z/ Im z > 0} và z ∈ H . Khi đó
az +b 1 az +b az +b
2i cz +d − cz +d
Im(gz ) = Im =
cz +d
1 (ad−bc)z −(ad−bc)z
= |cz +d|2
2i
1 (ad−bc)(z −z )
= |cz +d|2
2i
z −z Im z
= = |cz +d|2
2i|cz +d|2
Tác đ ng t m thưng trên H :
−1 0
ta có gz = z, ∀z ∈ C ∪ {∞}.
Xét g =
0 −1
a b
Xét nhóm SL2 (Z) ⊂ SL2 (R). Ta có SL2 (Z) = ∈ Z, ad − bc = 1
, a, b, c, d
c d
. Kí hi u P SL2 (Z) = SL2 (Z)/{±1}.
Đ nh nghĩa 3.1.1. Nhóm G = SL2 (Z) g i là nhóm modular.
- 12
3.2 Mi n cơ b n c a nhóm modular
1
Đ nh lý 3.2.1. Mi n D = |z | 1, |Re z | là mi n cơ b n c a nhóm
2
modular G t c là
(i) V i m i z ∈ H và v i m i g ∈ G ta có gz ∈ D.
(ii) Gi s z, z ∈ D t n t i g sao cho z = gz . Khi đó ta có
ho c |Re z | = 1 , z = z ± 1 ho c| z | = 1, z = − z
1
.
2
(iii) V i m i z ∈ D đ t I (z ) = {g ∈ G, gz = z }
(Nhóm con n đ nh c a z đ i v i G).
Khi đó I (z ) = 1 tr 3 trư ng h p:
• z = i : I(i) là nhóm c p 2 sinh b i S
2πi
• z=ρ=e : G là nhóm c p 3 sinh b i S, T.
3
πi
• z = ρ = e 3 : I(z) là nhóm c p 3 sinh b i TS.
3.3 Hàm modular
Đ nh nghĩa 3.3.1. Cho s nguyên k, f(z) cho trong n a m t ph ng trên
đư c g i là m t hàm modular y u trong s 2k n u f(z) phân hình trên H
a b
∈ SL2 (Z) ta có
đ ng th i v i m i g =
cd
az + b
f (z ) = (cz + d)−2k f ( ) (3.1)
cz + d
Đ nh lý 3.3.2. Hàm phân hình f(z) trên n a m t ph ng H là d ng modular
trong s 2k khi và ch khi f(z) th a mãn hai đi u ki n sau
(i)f (z − 1) = f (z )
1
(ii)f − z = z 2k f (z ).
Đ nh nghĩa 3.3.3. Hàm modular y u f(z) g i là hàm modular n u f(z) phân
hình t i ∞. Hàm f(z) đư c g i là hàm modular tr ng s 2k n u f(z) là hàm
modular tr ng s 2k và f(z) làm hàm ch nh hình trên H k c t i ∞.
- 13
Nh n xét: f(z) là d ng modular tr ng s 2k khi
(i) f là hàm ch nh hình trên H.
∞
an e2πinz .
(ii) f(z) có khai tri n f (z ) =
n=0
1
(iii) f − z = z 2k f (z ).
3.4 Không gian các d ng Modular
Cho f và g là các d ng modular tr ng s 2k. Khi đó f + g cũng là m t
d ng modular.
Đ t Mk là t p h p các d ng modular tr ng s 2k . Khi đó Mk là không gian
tuy n tính ph c.
Đ nh nghĩa 3.4.1. D ng modular f g i là d ng cusp n u như f (∞) = 0.
0 0
Kí hi u Mk là không gian các d ng cusp tr ng s 2k. Ta có Mk ⊂ Mk . Xét
0 0
ϕ : Mk → C, ϕ (f ) = f (∞). Ta có Mk = Kerϕ. Do đó Mk = Mk ⊕ CGk .
−
Đ nh lý 3.4.2. Gi s f là hàm modular tr ng s 2k khác 0. Khi đó ta có
1 k
0∞ (f ) + 0p (f ) = , (ep là c p c a nhóm n đ nh t i p ).
6
p∈D ep
Vi t l i, 0∞ (f ) + 1 0i (f ) + 1 0ρ (f ) + 0p (f ) =
∗ ∗
k
(*) trong đó là
2 3 6
p∈H /G
t ng theo m i modun trong H /G khác i, ρ và các đi m đ ng dư v i i, ρ.
0p (f ) ch là t ng h u h n ( t c là, ch có h u h n đi m mà
∗
Nh n xét:
t i đó 0ρ (f ) = 0 ). N u f là hàm modular thì f phân hình t i ∞ . q = e2πiz
: lim f (q ) = ∞, t n t i lân c n c a 0, ch ng h n |q | < r trong đó ch có q
q →0
là c c đi m, z = x + iy , |q | = e−2πy < r suy ra 1 1
log 1 . Khi
< e2πy = y > 2π
r r
1
log 1 hàm f ch có c c đi m t i ∞. Mi n D ∩ y 1 1
2π log r compact
y> 2π r
do đó ch có h u h n c c đi m và không đi m t c là ch có h u h n p sao
cho 0p (H ) = 0.
Đ nh lý 3.4.3. (i) Mk = 0 v i k < 0 ho c k = 1.
(ii) Khi k = 0, 2, 3, 4, 5 thì Mk là không gian vecto m t chi u và cơ s c a
- 14
nó là 1, G2 , G3 , G4 , G5 .
0
Mk−6 → Mk
−
(iii) Ánh x là m t đ ng c u.
→ ∆f
f
Ch ng minh. (i) Khi k = 1 ho c k < 0 thì không có d ng f ≡ 0 do đó f = 0.
0
Mk−6 → Mk
−
(iii) Xét ánh x .
→ ∆f
f
• Trong công th c (*) ta thay f b i G2 : 0∞ (G2 ) + 2 0i (G2 ) + 1 0ρ (G2 ) +
1
3
p∈H /G 0p (G2 ) suy ra 0ρ (G2 ) = 1 và 0p (G2 ) = 0. Do đó G2 có không
∗ 1
= 3
đi m đơn duy nh t t i ρ, G2 (ρ) = 0, G2 (p) = 0.
• Trong (*) ta thay f b i G3 : 0∞ (G3 )+ 1 0i (G3 )+ 1 0ρ (G3 )+ p∈H /G 0p (G3 )
∗
=
2 3
suy ra 0ρ (G3 ) = 1 và 0p (G3 ) = 0. Do đó G3 có 0i (G3 ) = 1, 0p (G3 ) =
1
2
0, ∀p = i và G3 (i) = 0, G3 (p) = 0, ∀p = i.
• Trong (*) ta thay f b i ∆. Khi đó ∆ (∞) = 0 suy ra 0∞ (∆) 1. Ta có
0∞ (∆) + 1 0i (∆) + 1 0ρ (∆) + p∈H /G 0p (∆) = 1 suy ra 0∞ (∆) = 1 và
∗
2 3
0i (∆) = 0ρ (∆) = 0p (∆) = 0, ∀p = ∞. Do đó ∆ có không đi m đơn t i ∞.
Hi n nhiên ánh x trên là đơn ánh.
L y g tùy ý thu c Mk . Ta có g (∞) = 0 và ∆ (∞) = 0 nên g/∆ ch nh hình
0
k c t i ∞. T i đi m p = ∞ thì ∆ = 0. Vì g/∆ là hàm ch nh hình nên
g/ ∈ M . Đ t f = g/ ta có f ∈ M
k−6 và g = ∆f suy ra ánh x trên là
∆ ∆
k−6
m t toàn c u và do đó nó là m t đ ng c u.
(ii) Xét k = 0 : Vì f là d ng modular nên nó không có c c đi m suy ra
0p (f ) 0. Theo (*) thì 0p (f ) = 0 v i m i p nên f ch nh hình và khác 0 trên
H, k c t i ∞. Do đó f là hàm h ng nên Mk là không gian m t chi u có cơ
s là 1.
Xét k = 2, 3, 4, 5 ta có Mk ∼ Mk−6 . Do k − 6 < 0 nên theo (i) ta có Mk−6 = 0
0
=
0 0
suy ra Mk = 0. Vì Mk = Mk ⊕ CGk nên Mk = CGk do đó Mk là không gian
m t chi u cơ s Gk v i k = 2, 3, 4, 5.
- 15
H qu 3.4.4. S chi u c a Mk đư c cho b i công th c
k
, k ≡ 1 (mod 6), k 0
6
dim Mk =
k
+ 1 , k ≡ 1 (mod 6)
6
Ch ng minh. Ta ch ng minh quy n p theo k:
• k = 0 t c là k ≡ 1 (mod 6) thì dim Mk = 1.
1
• k = 1 t c là k ≡ 1 (mod 6) thì dim Mk = = 0.
6
1
• k = 2, 3, 4, 5 thì k ≡ 1 (mod 6) do đó dim Mk = + 1 = 1.
6
Gi s công th c trên đúng v i m i k > 5, ta c n ch ng minh công th c
đúng v i k + 6. Khi đó:
0
dim Mk+6 = dim Mk+6 + 1 = dim Mk + 1
k
, k ≡ 1 (mod 6)
6 +1
=
k
+ 2 , k ≡ 1 (mod 6)
6
k+6
, k ≡ 1 (mod 6)
6
=
k+1
+ 1 , k ≡ 1 (mod 6)
6
Đ nh lý 3.4.5. Không gian Mk có cơ s g m h các đơn th c có d ng sau
Gα Gβ , α, β ∈ Z, α, β 0, 2α + 3 β = k .
23
Ch ng minh. Ta ch ng minh h các đơn th c trên sinh ra Mk b ng quy n p
như sau:
N u k = 0 thì α = β = 0 .
N u k = 2 thì ch n α = 2 và β = 0 do đó M2 sinh b i G2 .
N u k = 3 thì ch n α = 0 và β = 3 do đó M3 sinh b i G3 .
Nuk 4 thì ta luôn tìm đư c γ và δ sao cho 2γ + 3δ = k . Xét
g = Gγ Gδ ∈ Mk sao cho g (∞) = 0 và f ∈ Mk . Ta ph i tìm λ sao cho f − λg ∈ Mk
0
23
t c là tìm f (∞) . Vì M 0 ∼ Mk−6 nên ta có f − λg = ∆h, h ∈ Mk−6 . Theo gi
=
k
g (∞)
cαβ Gα Gβ . Khi đó
thi t quy n p đúng v i k − 6 nên ta có h = 23
2α+3β =k−6
3 2
f = λGα Gβ + ∆h = λGα Gβ + (60G2 ) − 27 (140G3 ) h
23 23
- 16
aαβ Gα Gβ +2 + bαβ Gα+3 Gβ
= λGα Gβ +
23 23 2 3
và
2α + 3 (β + 2) = k
2 (α + 3) + 3β = k
Đi u c n ch ng minh đúng v i k nên Gα Gβ , α, β ∈ Z, α, β 0, 2α + 3 β = k
23
sinh ra Mk .
Gα Gβ , α, β ∈ Z, α, β
Ta c n ch ng minh h 0, 2α + 3 β = k là h
23
đ c l p tuy n tính.
λαβ Gα Gβ = 0 trong đó 2α + 3β = k . Ch n (α0 , β0 ) trong đó
Gi s 23
(α,β )
α0 là s nh nh t trong các α và β0 là s l n nh t trong các s β sao cho
. .
2α0 + 3β0 = k . T 2 (α − α0 ) + 3 (β − β0 ) = 0 ta có α − α0 .3 và β − β0 .2 do
. .
λαβ Gα−α0 Gβ −β0 =
đó α − α0 = 3m và β − β0 = −2n suy ra m = n. T đó 2 3
n
−n
m G3
λαβ G3 G2
0⇔ =0⇔ =0.
λαβ 2
2 3 G2
3
G3
N u λαβ không đ ng th i b ng không thì = c. Khi đó
2
G2
3
T i ita có G3 = 0 và G2 = 0 ( vô lý ).
T i ρ ta có G2 = 0 và G3 = 0 ( vô lý ).
V y h sinh trên là m t h đ c l p tuy n tính, t c là
Gα Gβ , α, β ∈ Z, α, β 0, 2α + 3 β = k
23
là m t cơ s c a Mk .
- 17
TÀI LI U THAM KH O
[1] Hà Huy Khoái , Bài gi ng hình h c s h c , Trư ng đ i h c Quy Nhơn.
[2] Wolfgang M.Schmidt, Equation over Finite Fields An Elementary Ap-
proach NewYork 1976.
nguon tai.lieu . vn
