Xem mẫu
- BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN
*********
HÀ DUY NGHĨA
GI I H N
TI U LU N Đ I S Đ NG ĐI U
Quy Nhìn, th¡ng 12 n«m 2009
- i
BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN
*********
HÀ DUY NGHĨA
GI I H N
CAO H C TOÁN KHÓA 11
Chuyên ngành: Đ i s và lý thuy t s
TI U LU N Đ I S Đ NG ĐI U
Ngư i hư ng d n khoa h c
PGS.TS NGUY N Đ C MINH
Quy Nhìn, th¡ng 12 n«m 2009
- 1
M CL C
Trang ph bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
L im đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1 M ts bài t p v ph m trù và hàm t 3
1.1 gghfhfh-pham tru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Hàm t .............................. 4
1.3 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 2 Gi i h n 10
2.1 Gi i h n thu n ......................... 10
2.1.1 T p thu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 H thu n ......................... 10
2.1.3 Gi i h n thu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Tính ch t c a gi i h n thu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
- 2
L IM ĐU
Cùng v i s phát tri n c a toán h c hi n đ i nói chung, lý thuy t ph m
trù đã đư c các nhà toán h c quan tâm và đã đ t đư c nhi u k t qu xu t
s c, vào nh ng năm 1940 Samuel Eilenberg và Saunders Mac Lane là nh ng
ngư i đ u tiên đưa lý thuy t Ph m trù, cho đ n nay nó đư c phát tri n m nh
m . M t trong nh ng khái ni m hay trong lý thuy t ph m trù đó là gi i h n
tr c ti p và gi i h n ngư c đã đư c gi i thi u r t nhi u m t s tài li u.
Trong ti u lu n này, ph n chính tôi gi i thi u khái ni m gi i h n và m t
s tính ch t c a nó qua tài li u tham kh o [2]. Ti u lu n g m hai chương
cùng v i ph n m đ u, k t lu n và tài li u tham kh o.
Chương 1: Gi i thi u các khái ni m v ph m trù, hàm t và gi i các bài
t p v hàm t .
Chương 2: Là n i dung chính c a ti u lu n bao g m khái ni m gi i h n,
các ví d v gi i h n, các đ nh lý mô t tính ch t đ c trưng c a gi i h n.
M c dù b n thân đã r t c g ng trong h c t p, nghiên c u và đư c s
hư ng d n nhi t tình c a th y giáo hư ng d n, nhưng do năng l c c a b n
thân và th i gian còn h n ch nên ti u lu n khó tránh kh i nh ng thi u sót.
Tôi r t mong nh n đư c s góp ý c a quý th y cô và các b n đ ti u lu n
đư c hoàn thi n hơn.
Cu i cùng tôi xin chân thành c m ơn PGS.TS Nguy n Đ c Minh ngư i
đã t n tình giúp đ , cùng t p th l p cao h c toán khoá 11 t o đi u ki n cho
tôi hoàn thành ti u lu n này.
- 3
Chương 1
M TS BÀI T P V PH M TRÙ VÀ HÀM T ]
1.1 Ph m trù
Quy ư c 1.1.1. Trong lý thuy t t p h p m i, ph n t , l p thu c là nh ng
A ta kí hi u
khái ni m cơ b n không đ nh nghĩa. Đ ch ph n t x thu c l p
A, l p A đư B nh n A làm ph
x∈ c g i là t p h p n u t n t i l p nt c a
nó.
P là cho các d
Đ nh nghĩa 1.1.2. Cho m t Ph m trù ki n sau:
P
1. Cho m t l p Ob( ) mà các ph n t c a nó thư ng g i là các v t( và kí
hi u b i các ch cái in hoa A,B,C...)
P
2.V i m i c p có (k th t )(A,B) c a Ob( ), cho m t t p h p (có th r ng),
P
kí hi u là Mor (A, B ) và g i là t p các x t A đ n B thư ng đư c ký hi u
f
G B hay f : A −→ B ta thư ng goi A là ngu n còn B là đích c a x
là A
f.
3.V i m i b 3 v t (A, B, C ) cho m t ánh x thư ng g i là lu t h p thành
P P P
Mor (A, B ) × Mor −→ Mor (A, C ), (f, g ) −→ g ◦ f
các d ki n trên ph i th a mãn hai tiên đ sau:
f g hG
G G
a)Phép h p thành có tính k t h p :v i 3 x D b t kỳ
A B C
P
ta luôn có h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f b)V i m i v t A ∈ Ob( ) t n t i m t x
P
1A ∈ Mor (A, A) ( G i là x đ ng nh t trên A, sao cho
P P P
f g
G GA
∀B, C ∈ Ob( )và∀ A B ∈ Mor (A, B ), ∀ C ∈ Mor (C, A)
ta luôn có f ◦ 1A = f, 1A ◦ g = g
S
1.1.3. a) Ph m trù các t p h p : Ob( ) là l p t t c các t p h p,
Ví d
- 4
các x là các ánh x , lu t h p thành là lu t h p thành các ánh x , các x
đ ng nh t là các ánh x đ ng nh t.
ModR: Ob(Mod)
b)Ph m trù các môđun trên vành giao hoán R,
là các môđun trên vành giao hoán R (c đ nh cho trư c) các x là các đ ng
c u R-môđun , lu t h p thành là lu t h p thành là lu t h p thành các đ ng
c u, các x đ ng nh t là các đ ng c u đ ng nh t.Trong ph m trù này các
Mor(A, B ) kí hi u Hom(A, B ).
Gr. Ob(Gr) là các nhóm, các x là các đ ng c u
c)Ph m trù các nhóm
nhóm, lu t h p thành là lu t h p thành các đ ng c u, các x đ ng nh t là
các đ ng c u đ ng nh t.
1.2 Hàm t
P và K là hai ph m trù. M t hàm t thu n bi n
Đ nh nghĩa 1.2.1. Cho
(tương ng ph n bi n ) F t ph m trùP vào ph m trù K kí hi u F : P −→ K
đư c hi u là c p ánh x (FO , FM ) trong đó(FO : Ob(P) −→ Ob(K) v FM :
P −→ K sao cho:
1.∀A, B ∈ Ob(P), ∀ϕ ∈ MorP (A, B ), ta có FM (ϕ) ∈ MorK (FO (A), FO (B )
( tương ng FM (ϕ) ∈ MorK (FO (B ), FO (A)
2.∀A ∈ Ob(P), PM (1A ) = 1F (A) .
O
3.∀A, B, C ∈ Ob(P), ∀f ∈ MorP (A, B ), ∀g ∈ MorK (B, C ) ta có FM (g ◦
f ) = FM (g ) ◦ FM (f ) ( tương ng FM (g ◦ f ) = FM (f ) ◦ FM (g ).
Quy ư c 1.2.2. Đ dơn gi n m i A ∈ Ob(P) ta ký hi u F(A) thay cho FO (A)
và v i m i f ∈ MorP (A, B ) ta ký hi u F(f ) thay cho FM (f ).
Minh h a đ nh nghĩa trên là hình v sau
F K
P G
F(A)
A ``
F(fw)wwwww qqqqFq(qg)◦F(f )
Ò `` g ◦f
f ÒÒÒ q
``
Ò
F(g) qGqF(C )
ww
``
Ò
ÐÒÒ {w 5
F(B )
0
g
GC (Hàm t thu n bi n)
B
- 5
F K
P G
F(A)
A
F FF
Ò ``` Y qq
(f ) wwww
f ÒÒÒ qq (g )◦ (f )
``g ◦f qq
w
``
ÒÒ qq
w
F
w q
ww
`0
ÐÒÒ
F F
(g )
g
GC (B ) o (C ) (Hàm t ph n bi n)
B
F : Gr −→ S xác đ nh b Gr F
i : ∀A ∈ Ob( ), (A) =
1.2.3. a) Hàm t
Ví d
∈ MorGr (A, B ), F(f ) = f .
f
GB
A, ∀ A
ModR vào chính
b) Hàm t Hom, hàm t tensor là các hàm t ph m trù.
nó.
1.3 Bài t p
F :ModR −→ModR, là hàm t
Trong các bài t p sau, ta cho thu n bi n
c ng tính.
F là kh
Bài t p 1.3.1. N u p trái thì v i m i dãy kh p các R-môđun
f g
G G G
0 X Y Z
ta luôn có
F(X ) F(f ) G F(Y ) F(g) G F(Z )
G (1.1)
0
cũng là kh p.
Gi i
Đ t U = Im g, V = Z/Im g, α : U → Z, β : Z → V , khi đó ta có hai dãy
sau là kh p:
f g
G G G G
0 0
X Y U
β
αG
GU G G
0 0
Z V
F là hàm t
Vì c ng tính kh p trái nên hai dãy
F(X ) F(f ) G F(Y ) F(g )G F(U )
G
0
- 6
F(U ) F(α) G F(Z ) F(β) G F(V )
G
0
F
cũng là kh p, do đó (f ) là đơn c u.
Vì v y đ ch ng minh (1.1) là kh p ta c n ch ng minh :
F F
Im (f ) = Ker (g ).
Trư c h t phân tích g : Y −→ Z thành h p thành c a hai đ ng c u g , α
theo sơ đ sau:
F(g) G F(Z )
F G F(Y )
g
GZ
Y aa Ñd rr Y
ww
aa Ñ rr
ww
ÑÑ rr
aa w
F(g ) rrr5 wwwwF(α)
ÑÑ α
g aa0 ÑÑ
F(U )
U
F FF
Khi đó ta có : (g ) = (α) (g ),
Suy ra :Ker F(g ) = Ker F(g ) = Im F(f ),(F(α) đơn c u).
F(f ) G F(Y ) F(g) G F(Z ) là kh p.
G F(X )
V y dãy 0
Bài t p 1.3.2. N u F là kh p ph i thì v i m i dãy kh p các R-môđun
f g
G G G
0 X Y Z
ta luôn có
F(X ) F(f ) G F(Y ) F(g) G F(Z )
G (1.2)
0
cũng là kh p.
Gi i
Tương t , đ t :U = Ker f, V = X/Ker f, α : U → X, β : X → V , khi đó
ta cũng có hai dãy kh p ng n
β
αG
G G G0 (1.3)
0 U X V
f g
G G GZ G (1.4)
0 0
V Y
Trong đó :
f : X/Ker f → Y
x + Ker f → f (x)
- 7
1) Trư c h t ta ch ng minh hai dãy(1.3),(1.4) là kh p.
Dãy (1.3) kh p là bình thư ng.
Ta ki m tra tính kh p c a dãy (1.4)
Trư c h t ta ch ng minh f là ánh x , th t v y ta có :
∀x + Ker f = x + Ker f ⇒ x + x ∈ Ker f ⇒ f (x) = f (x )
Ngoài ra ta cũng có : Ker f = {x ∈ X/Ker f |f (x) = f (x) = 0} = {0}(x ∈
Ker f ), nên f là đơn c u, do đó đ ch ng minh (1.4) kh p ta c n ch ng minh
Im f = Ker g.
i) Imf ⊂ Ker g
Ta có ∀y ∈ Imf t n t i x + Imf ∈ V sao cho f (x + Im f ) = y = f (x) khi
đó g (f (x + Im f )) = g (f (x)) = g (y ) = 0 ⇒ y ∈ Ker g.
V y Im f ⊂ Ker g.
ii) Ker g ⊂ Im f
∀x ∈ Ker g ⊂ Y ⇒ g (x) = 0, vì f là đơn c u nên t n t i z ∈ V sao cho
f (z ) = x t đó suy ra x ∈ Im f .
Fđ
2)Áp d ng tính ch t kh p ph i c a ch ng minh dãy(1.2) kh p
F
Ta có là thu n bi n và kh p ph i nên hai dãy
F(V ) F(f )G F(Y ) F(g) G F(Z ) G0 (1.5)
F(U ) F(α)G F(X ) F(β) G F(V ) G (1.6)
0
F
là kh p, do đó (g ) là toàn c u.
F F
Ta c n ch ng minh Im (f ) = Ker (g ).
Trư c h t phân tích f : X → Y thành h p thành c a hai đ ng c u β và
f sao cho f = f ◦ β như sơ đ sau :
F(f ) G F(Y )
F G F(X )
f
GY
X aa d rr vY
ÑÑ
aa rr vv
Ñ rr vv
aa Ñ
F(β) rrr5 vvvvF(f )
ÑÑ
β aa
ÑÑ f
F(V )
0
V
- 8
F(f ) = F(f ) ◦ F(β ), Ngoài ra ta cũng có (1.5) và (1.6) cũng kh
Khi đó p
nênF(β ) là toàn c u và Ker F(g ) = Im F(f ), do đó
F F F
Im (f ) = Im (f ) = Ker (g )
V y dãy (1.2) là kh p.
F là kh f g
G G
Bài t p 1.3.3. N u p thì v i m i dãy kh p X Z ta luôn
Y
có dãy
F(A) F(f ) G F(Y ) F(g) G F(Z ) (1.7)
Cũng là kh p.
Gi i
Đ t A = Ker f, B = Imf = Ker g, C = Im g , khi đó ta có các dãy sau là
kh p.
β
αG
GA G G
0 0
X B
γ θ
G G G G
0 0
Y B C
g hG
G GZ G0
Z/C
0 C
F là kh
Theo đ bài p nên ta có các dãy sau là kh p
F(A) F(α)G F(X ) F(β) G F(B )
G G (1.8)
0 0
F(γ) G F(Y ) F(θ) G F(C )
G F(B ) G (1.9)
0 0
F(C ) F(g )G F(X ) F(h)G F(Z/C )
G G (1.10)
0 0
V i cách đ t như trên ta có th phân tích f, g thành nh ng h p thành c a
các đ ng c u tương ng theo sơ đ giao hoán sau.
F(f ) G F(Y )
F G F(X )
f
GY
X aa Ñd rr Y
vv
aa Ñ rr
vv
ÑÑ rr
aa v
F(β) rrr5 vvvvF(γ)
ÑÑ γ
β aa
ÑÑ
F(B )
0
B
- 9
F(g) G F(Z )
F G F(Y )
g
GZ
Y aa Ñd rr wY
aa Ñ rr ww
ÑÑ rr ww
aa
F F(θ) rrr5 wwwwF(g )
ÑÑ
θ aa
ÑÑ
F(C )
0 (g )
C
T c làf = γ ◦ β và g = g ◦ θ
Khi đó ta có :
F(f ) = F(γ ) ◦ F(β )
F(g) = F(g ) ◦ F(θ)
Do đó Im F(f ) = Im (F(γ ) ◦ F(β )) = Im F(γ ), ( vì F(β ) là toàn x )
Tương t ta cũng có :Ker F(g ) = Ker F(θ)
Im F(f ) = Im F(γ ),
Im F(γ ) = Ker F(θ).
Suy ra Im F(f ) = Ker F(g )
F(f ) G F(Y ) F(g) G F(Z ) là kh p.
V y dãy F(A)
Cách gi i khác
Theo gi thi t ta có dãy
j p
G Imf G G Y /Ker G
g
0 0
Y
là kh p nên Im f = Im j = Ker p = Ker g và dãy
F(Im ) F(j) G F(Y ) F(p) G F(Y /Ker g)
G G (1.11)
0 0
F F F F
cũng là kh p, do đó :Im (f ) = Im (j ) = Ker (p) = Ker (g ).
F(A) F(f ) G F(Y ) F(g) G F(Z )
V y dãy là kh p.
- 10
Chương 2
GI I H N
2.1 Gi i h n thu n
2.1.1 T p thu n
Đ nh nghĩa 2.1.1. M t t p thu n là t p không r ng I đư c s p th t theo
nghĩa sau, m i i, j ∈ I t n t i m t k ∈ I sao cho i ≤ k và j ≤ k.
M t ví d đi n hình cho t p thu n là m t l p t p h p con h u h n c a
m t t p s p th t theo nghĩa bao hàm. Th t v y, n u A và B là hai t p con
h u h n tùy ý thì c A và B là ch a trong m t t p h u h n A ∪ B .
2.1.2 H thu n
Đ nh nghĩa 2.1.2. Cho I là t p thu n, Khi đó l p t p h p các v t Ai , i ∈ I ,
trong ph m trù C , v i i ≤ j có m t x h(i, j ) : Ai −→ Aj th a đi u ki n:
i) N u i ≤ j ≤ k thì h(i; k ) = h(j ; k ) ◦ h(i, j ).
ii) h(i, i) = 1Ai .
L p các v t và các x như v y đư c g i là h thu n.
M t ví d đơn gi n cho h thu n là ta ch n các v t là l p các môđun con
h u h n sinh c a m t môđun, và x là bao g m các phép nhúng chính t c,
khi đó h thu n chính là t p các môđun và các x như v y, s s p th t
trong t p này cũng theo nghĩa bao hàm .
2.1.3 Gi i h n thu n
C tùy ý đư
Gi i h n thu n c a m t ph m trù c đ nh nghĩa b i tính ch t
ph d ng sau
- 11
Đ nh nghĩa 2.1.3. G i {Ai , h(i, j )i, j ∈ I } là m t h thu n c a các v t và
C Cv ix
các x trên ph m trù , Gi i h n c a h là m t v t A trong tương
ng αi : Ai −→ A ,v i i, j ∈ I, i ≤ j thì αi = αj ◦ h(i, j ) (đư c vi t g n
A, αi ) th a mãn đi u ki n ph d ng sau. N u có m t c p B , fi cũng có
tính ch t như trên thì t n t i duy nh t m t x f : A −→ B sao cho bi u đ
sau là giao hoán.
AH
q
HHH
fH
HH
H αj
~c B dd HHH
αi
~~ dd HH
~~~ dd H
fj d H
~~ fi
G Aj
A i h(i,j )
và ký hi u là: A = lim Ai
→
Ví d 2.1.4. i) G i A là t ng tr c ti p A = ⊕i Ci và I là t p s p t t . Đ t
Ai = ⊕ Mi , khi đó Ai v i x nhúng chính t c h(i, j ) : Ai −→ Aj là m t h
k
- 12
Đ nh lý 2.2.1. N u {Mi , h(i, j ), i, j ∈ I } là h thu n các R-môđun thì gi i
h n thu n c a h t n t i.
Ch ng minh. L y M = (⊕i Mi )/N v i N là môđun con c a ⊕i Mi sinh b i
nh ng ph n t có d ng:
βj h(i, j )xi − βi xi , i ≤ j, xi ∈ Mi (2.1)
trong đó βj là nh ng ánh x t Mi vào ⊕i Mi
i) Xây d ng đ ng c u t Mi vào M
G i αi : Mi −→ M xác đ nh b i αi xi = βi xi + N
khi đó αi là m t đ ng c u t Mi vàoM và đ ng th i :
αj h(i, j )xi = βj h(i, j )xi + N = βi xi + N = αi xi ( ).
ii) Gi s t n t i c p B , fi cũng th a tính ch t ( ), ta ch ng minh t n t i
duy nh t đ ng c u f t M vào B sao cho bi u đ sau là giao hoán.
MI
p
III
fI
II
I
αi
B ff Iαj I
||b ff II
|| ff II
|| f
fj f I
|| fi
G Mj
M i h(i,j )
Bây gi ta xây d ng x f như sau,v i m i fi : Mi −→ B ta xác đ nh tương
ng f : M −→ B b i
f (βi xi + N ) = fi xi ,
tương ng này là m t c u x và nó th a đi u ki n f αi = fi ,
Nhưng m i ph n t c a N có d ng (2.1) nên f là ánh x tùy ý t N vào 0.
K t h p các đi u ki n trên l i ta suy ra đ nh lý đã đư c ch ng minh.
M nh đ 2.2.2 (Bài t p 2, Problem For Section 10.9 [2]). Ch ng t r ng
trong ph m trù các môđun trên vành giao hoán, gi i h n tr c ti p c a tích
tensor là giao hoán, c th là :
lim(M ⊗ Ni ) = M ⊗ lim Ni
→ →
Trong đó gi i h n thu n c a Ni là t n t i.
- 13
Ch ng minh. G i N = lim Ni , h thu n {Ni , h(i, j )} ch a trong m t h {M ⊗
→
Ni , 1 ⊗ h(i, j )},khi đó theo đ nh nghĩa c a gi i h n thu n m i fi : Ni −→ B có
duy nh t m t f : A −→ B sao cho bi u đ sau là giao hoán , khi đó m i ánh x
gi : M ⊗ Ni −→ B cũng có m t ánh x tương ng duy nh t g : M ⊗ N −→ B
ánh x này là m r ng c a c a fi ,vì v y
lim(M ⊗ Ni ) = M ⊗ N = M ⊗ lim Ni
→ →
Đ nh lý 2.2.3 (Bài t p 4, Problem For Section 10.9 [2]). Gi s r ng A, B, C
là gi i h n thu n c a h {Ai }, {Bi }, {Ci } c a R-môđun.Gi s r ng v i m i
i, dãy
fi gi
G G
Ai Bi Ci
là kh p, khi đó dãy
f g
G GC
A B
cũng kh p, và do đó gi i h n thu n là m t hàm t kh p.
- 14
K T LU N
Trong ph n n i dung chính c a ti u lu n, tôi đã trình bày đư c khái ni m
gi i h n đ c bi t tôi đã trình bày đư c trong ph m trù các môđun trên vành
giao hoán, gi i h n tr c ti p c a tích tensor là giao hoán.
Trong khuôn kh m t ti u lu n và h n ch v th i gian cũng trình đ nên
m t vài v n đ trình bày chưa th t s rõ ràng, chưa th t s phong phú, r t
mong đư c lư ng th , ch b o c a Th y cô giáo và các b n đ bài ti u lu n
hoàn thi n hơn.
- 15
Tài li u tham kh o
1. Nguy n Đ c Minh. Giáo trình Đ i s đ ng đ u Tài li u dành cho Cao
h c toán khóa 11.
2. Robert B. Ash. Abstract algebra,
3. Ngô B o Châu. Giáo trình hình h c đ i s , Tháng 8, 2003.
nguon tai.lieu . vn
