- Trang Chủ
- Báo cáo khoa học
- Thuyết minh đề tài Các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng
Xem mẫu
- THUYẾT MINH ĐỀ TÀI NGHIÊN CƯU XUÂT SĂC
́ ́ ́
Tên đề tài (tiếng Các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán
Việt) điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình
đạo hàm riêng
Tên đề tài (tiếng Optimality conditions and numerical methods for
Anh) nonsmooth optimal control problems governed by partial
differential equations
Thời gian thực hiện 24 tháng , tháng 1/202112/2022
1. Giới thiệu tóm tắt
Bài toán chuyển pha (phase transitions) xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như
khí hậu học (sự tan của băng), khoa học vật liệu (kỹ thuật luyện thép, sự đúc
kim loại), khoa học thực phẩm (sự chuyển hóa của thức ăn), (xem Meirmanov
[23] và Visintin [31]). Trong nhiều trường hợp, miền ranh giới (mushy region)
giữa các pha (băng – nước, rắn – lỏng) có thể biến đổi tự do theo thời gian.
Chẳng hạn xét bài toán 2 pha Stefan (twophase Stefan problem) được cho bởi
phương trình biến phân sau:
ở đó y là hàm mật độ năng lượng trong (internal energy density function),
u là nguồn nhiệt trong (internal heat source) và v là enthalpy. Hàm là hàm
không trơn và được cho bởi phương trình sau:
Khi đó miền ranh giới giữa các pha được cho bởi
Với mỗi (, phương trình (1) có nghiệm duy nhất và duy nhất ( (xem
[Chương II, 31]). Do hàm liên tục và không khả vi nên ánh xạ nghiệm
là liên tục nhưng không khả vi.
Sự tối ưu nguồn nhiệt u dẫn tới việc nghiên cứu bài toán điều khiển tối
ưu (ĐKTƯ) không trơn
ở đó là hệ số Tikhonov và tập ràng buộc được cho, chẳng hạn, bởi
- Việc tìm nghiệm tối ưu của bài toán (2) đòi hỏi sự nghiên cứu các điều
kiện tối ưu (bậc 1, bậc 2) cũng nhưkhảo sátsự hội tụ và đánh giá sai số của
các bài toán rời rạc (dựa trên các phương pháp như phương pháp phần tử hữu
hạn—finite element method (FEM), phương pháp rời rạc hóa gradient—
gradient discretization method (GDM)) của (2).
2. Tổng quan tình hình nghiên cứu và sự cần thiết tiến hành nghiên cứu
2.1. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước
Các chủ đề nghiên cứu về điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài
toán ĐKTƯtrơn với ràng buộc được cho bởi phương trình đạo hàm riêng đã
và đang được nhiều nhà toán học trong nước và trên thế giới quan tâm. Sau
đây là một số tác giả, những người đang nghiên cứu lĩnh vực này: W. Alt, N.
Arada, J. F. Bonnans, E. Casas,C. Christof, C. Clason, V. Dhamo, B.T. Kien, K.
Malanowski, V. H. Nhu, N J.P. Raymond,A. Rösch, N. H. Son,R. Temam, B.
A. Ton, F. Tröltzsch, D. Wachsmuth,…
Gần đây,một vàitài liệu nghiên cứu điều kiện tối ưucho bài toán ĐKTƯ
không trơn đã được công bố bởi một số tác giả.Đó là: Meyer và Susu (2017)
[25] và Betz (2019) [4]cho bài toán ĐKTƯ với phương trình parabolic nửa
tuyến tính không trơn; Christof và các đồng tác giả (2018) [14] cho bài toán
ĐKTƯ với phương trình elliptic nửa tuyến tính không trơn;Clason và các
đồng tác giả (2018, 2020) [15,16] cho bài toán ĐKTƯ với phương trình elliptic
tựa tuyến tính không trơn.
Dưới đây là một số công trình liên quan tới hướng nghiên cứu của đề
tài.
[1] W. Alt and K. Malanowski, The LagrangeNewton method for nonlinear
optimal control problems, Comp. Optim. Appl., 2(1993), 77100.
[2] W. Alt and K. Malanowski, The LagrangeNewton method for state
constrained optimal control problems, Comp. Optim. Appl., 4(1995), 217
239.
[3] N. Arada, E. Casas and F. Tröltzsch, Error estimate for the numerical
approximation of a semilinear elliptic control problem, Comp. Optim.
Appl., 23(2002), 201229.
[4] L. M. Betz, Secondorder sufficient optimality conditions for optimal
control of nonsmooth, semilinear parabolic equations, SIAM J. Control
Optim., 57(2019), 4033–4062.
[5] T. Bewley, R. Temam and M. Ziane, Existence and uniqueness of optimal
control to the NavierStokes equations, C. R. Acard. Sci. Paris,
330(2000), 10071011.
2
- [6] J. F. Bonnans, Secondorder analysis for control constrained optimal
control problems of semilinear elliptic systems, Appl. Math. Optim. 38
(1998), 305–325.
[7] J. F. Bonnans and H. Zidani, Optimal control problems with partially
polyhedric constraints, SIAM J. Control Optim. 37 (1999), 1726–1741.
[8] E. Casas and V. Dhamo, Error estimates for the numerical approximation
of a quasilinear Neumann problem under minimal regularity of the data,
Numer. Math. 117 (2011), 115–145.
[9] E. Casas, J.P. Raymond and H. Zidani, Pontryagin's principle for local
solutions of control problems with mixed controlstate contraints, SIAM
J. Control Optim. Vol 39, 4(2000), 11821203.
[10] E. Casas and M. Mateos, Uniform convergence of the FEM.
Applications to sate constrained control problems, Comput. Appl. Math.,
to appear.
[11]E. Casas and F. Tröltzsch, Numerical analysis of some optimal control
problems governed by a class of quasilinear elliptic equations, ESAIM:
COCV, 17(2011), 771800.
[12]E. Casas and F. Tröltzsch, First and secondorder optimality conditions
for a class of optimal control problems with quasilinear elliptic equations,
SIAM J. Control Optim. 48 (2009), 688–718.
[13]S. Cherednichenko and A. Rösch, Errorestimates for the discretization
of elliptic control problems with pointwise control and state constraints,
Comput. Optim. Appl, 44(2009), 2777.
[14]C. Christof, C. Clason, C. Meyer, S. Walther,Optimal control of a non
smooth semilinear elliptic equation,Mathematical Control and Related
Fields 8 (2018), 247276.
[15]C. Clason, V. H. Nhu, A. Rösch, Optimal control of a nonsmooth
quasilinear elliptic equation, Mathematical Control and Related Fields,
accepted 2018(to appear in 2021).
[16]C. Clason, V. H. Nhu, A. Rösch,Nogap secondorder optimality
conditions for optimal control of a nonsmooth quasilinear elliptic
equation, revised 2020.
[17]B. T. Kien and V. H. Nhu, Secondorder necessary optimality
conditions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with
mixed pointwise constraints, SIAM J. Control and Optim., 52(2014),
11661202.
- [18]B. T. Kien, N. V. Tuyen and J.C. Yao, Secondorder KKT optimality
conditions for multiobjective optimal control problems, SIAM J. Control
Optim., 56(2018), 40694097.
[19]B. T. Kien, X. Qin, C.F. Wen and J.C. Yao,Secondorder optimality
conditions for multiobjective optimal control problems with mixed
pointwise constraints and free right end point, SIAM J. Control
Optim., 58(4), 26582677.
[20]K. Kunisch and D. Wachsmuth, Sufficient optimality conditions and
semismooth Newton methods for optimal control of stationary
variational inequalities, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of
Variations 18 (2012), 520–547.
[21]K. Malanowski, Sufficient optimality conditions for optimal control
subject to state constraints, SIAM J. Control Optim., 35(1997), 205227.
[22] K. Malanowski, Secondorder sufficient conditions for state
conditioned optimal control problems, J. Optim. Th. Appl.,123(2004),
595617.
[23] A. Meirmanov, Mathematical Models for Poroelastic Flows, Atlantis
Press, Paris, 2014.
[24] C. Meyer, A. Rösch and F. Tröltzsch, Optimal control of PDEs with
regulized pointwise state constraints, Comp. Optim. Appl., 33(2006),
209228.
[25] C. Meyer and L. M. Susu, Optimal control of nonsmooth, semilinear
parabolic equations, SIAM J. Control Optim. 55 (2017), 22062234.
[26] A. Rösch and F. Tröltzsch, Sufficient secondorder optimality
conditions for an elliptic optimal control problem with pointwise
controlstate constraints, SIAM J. Optim. 17 (2006), 776794.
[27] A. Rösch and D. Waschsmuth, Semismooth Newton method for an
optimal control problem with control and mixed control state
constraints, Optim. Meth. Sof.,26(2011), 169186.
[28] J.P. Raymond and H. Zidani, Pontryagin's principle for state
constrained control problems governed by parabolic equationswith
unbounded controls, SIAM J. Control Optim.,36(1998),18531879.
[29] N.H. Son, B. T. Kien and A. Rösch, Secondorder optimality
conditions for boundary control problems with mixed pointwise
constraints, SIAM J. Optim., 26(2016), 19121943.
[30] B. A. Ton, An optimal control free boundary problem for the Navier
Stokes equations, Nolinear Analysis, 63(2005), 831839.
[31] A. Visintin, Models of Phase Transitions, Birkhäuser, Boston, 1996.
4
- 2.2. Sự cần thiết tiến hành nghiên cứu
Qua khảo sát các công trình trên chúng tôi thấy rằng có hai vấn đề chưa
được giải quyết. Vấn đề thứ nhất là việc đưa racác điều kiện tối ưu(bậc 1
và bậc 2) cho bài toán ĐKTƯ không trơn được cho bởi phương trình parabolic
tựa tuyến tính (chẳng hạn bài toán ĐKTƯ (2)). Vấn đề mở thứ hai là nghiên
cứuphương pháp số, trong đó khảo sát sự hội tụ và đánh giá sai số cho các bài
toán rời rạc của bài toán ĐKTƯ không trơn.
Khi nghiên cứu các điều kiện cực trị cho bài toán ĐKTƯ không trơn, các
tác giả trong [4,14,15,25] đã sử dụng lược đồ sau: xấp xỉ bài toán ĐKTƯ gốc
bằng các bài toán ĐKTƯ trơn (regulization scheme), sau đó nhận được tính
compact của tập các nghiệm tối ưu cho các bài toán xấp xỉ, và cuối cùng
thông qua giới hạn thu được hệ các điều kiện cực trị cho bài toán gốc. Tuy
nhiên đối với bài toán ĐKTƯ (2), thành phần không trơn xuất hiện trong toán
tử đạo hàm cấp cao hơn và đo đó chúng ta không nhận được tính compact của
tập các nghiệm tối ưu cho bài toán ĐKTƯ xấp xỉ. Vì vậy lược đồ trên không
thể áp dụng trực tiếp cho bài toán (2).
Để nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá sai số cho các bài toán rời rạc của
bài toán ĐKTƯ trơn, một phương pháp được sử dụng rộng rãi là việc áp
dụng điều kiện cần tối ưu bậc 1 và điều kiện đủ tối ưu bậc 2 (xem
[3,8,10,11,13]). Tuy nhiên theo tìm hiểu của chúng tôi, hiện chưa có một tài
liệu nào nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá sai số cho bài toán ĐKTƯ không
trơn.
Do đó để nghiên cứu hai vấn để mở nêu trên, chúng ta cần phải đưa ra
các phương pháp mới, công cụ mới và kỹ thuật chứng minh mới, hoặc ít nhất
cần phải cải tiến các phương pháp tiếp cận hay các kỹ thuật đã được sử
dụngtrước đó.Việc nghiên cứu các vấn đề mở đó sẽ góp phần vào sự phát
triển của nhóm nghiên cứu ĐKTƯ ở Việt Nam và đồng thời tạo nên hướng
nghiên cứu mới cho nhóm.
3. Mục tiêu của đề tài
Mục tiêu của đề tài là đưa ra một số kết quả mới về các điều kiện tối
ưu và phương pháp số cho các bài toán ĐKTƯ không trơn được cho bởi
phương trình đạo hàm riêng.
4. Nội dungnghiên cứu
Nghiên cứu các điều kiện tối ưu (bậc 1 và bậc 2) cho bài toán ĐKTƯ
không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng.
- Nghiên cứu phương pháp số, trong đó bao gồm sự hội tụ và đánh giá sai
số của các bài toán rời rạc của bài toán ĐKTƯ không trơn được cho bởi
phương trình đạo hàm riêng.
5. Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu
Để thu được kết quả nghiên cứu đã nói ở trên, trước tiên chúng tôi sẽ
khảo sát và nghiên cứu thật chi tiết các công trình liên quan trước đó. Trên cơ
sở đó, chúng tôi sẽ tiếp cận hai vấn đề cần giải quyết như sau.
Về các điều kiện cực trị: Trước hết chúng tôi cần nghiên cứu các tính
chất định tính của phương trình đạo hàm riêng liên quan tới bài toán ĐKTƯ.
Sau đó sử dụng các công cụ và kỹ thuật mới (hoặc được cải tiến từ các kỹ
thuật đã biết) để nhận được các điều kiện tối ưu bậc 1 và bậc 2.
Về việc chứng minh tính hội tụ và đánh giá sai số: Chúng tôi sẽ nghiên
cứu các bài toán rời rạc (dựa trên các phương pháp rời rạc hóa như FEM và
GDM) của phương trình trạng thái, của phương trình liên hợp và của bài toán
ĐKTƯ. Sau đó sử dụng các điều kiện cần tối ưu bậc 1 và điều kiện đủ tối
ưu bậc 2 (đã được nghiên cứu ở trên) để đưa ra sự hội tụ cũng như đánh giá
sai số của nghiệm tối ưu rời rạc so với nghiệm tối ưu của bài toán liên tục.
6. Kế hoạch triển khai
TT Họ và tên Cơ quan công tác Chức danh thực
hiện đề tài
1 Bùi Trọng Kiên Viện Toán học Chủ nhiệm đề tài
2 Vũ Hữu Nhự Trường Đại học Phenikaa Thành viên chính
3 Nguyễn Quốc Tuấn Trường Đại học Sư phạm Hà Thành viên chính
Nội 2
Sản phẩm cần Thời gian
Nội dung, công việc chủ yếu
đ ạt (bắt đầu, Người thực hiện
(các mốc đánh giá chủ yếu) kết thúc)
1 Nghiên cứu các tính chất
định tính của phương trình đạo 01 công trình sẽ 12 tháng Bùi Trọng Kiên,
hàm riêng liên quan tới bài toán được xuất bản (từ Vũ Hữu Nhự,
ĐKTƯ cần xét. cho chủ đề 01/2021 – Nguyễn Quốc
Đưa ra các điều kiện cực trị cho nghiên cứu này. 12/2021) Tuấn
bài toán ĐKTƯ không trơn.
2 Nghiên cứu bài toán rời rạc của 01 công trình sẽ 12 tháng Bùi Trọng Kiên,
phương trình trạng thái, phương được xuất bản (từ Vũ Hữu Nhự,
trình liên hợp, bài toán ĐKTƯ. cho chủ đề 01/2022 – Nguyễn Quốc
nghiên cứu này. 12/2022)
Chứng minh sự hội tụ và đánh Tuấn
6
- giá sai số của nghiệm tối ưu rời
rạc và nghiệm tối ưu của bài toán
ĐKTƯ liên tục.
7. Dự kiến kết quả đề tài
7.1. Dự kiến kết quả nghiên cứu
Đưa ra 02 công trình cho các kết quả mới về các điều kiện tối ưu và
sự hội tụ và đánh giá sai số.
- 7.2. Dự kiến công trình công bố
Số TT Kết quả công bố Số lượng Ghi chú
1 Tạp chí SCIE của Web of Science 02 Tạp chí uy tín
2 Tạp chí quốc tế khác 0
3 Tạp chí quốc gia có uy tín 0
4 Khác 0
8. Tông kinh phi đăng ky tai tr
̉ ́ ́ ̀ ợ:
̉
8.1. Tông hợp
Chia ra các năm
TT Mục chi Nội dung chi Tổng số
Năm 2021 Năm 2022
̣ ̣ ̣
Hôi nghi, hôi
1 6650
thao ̉
Đi công tac
́
2 6700
trong nươć
Đi công tac
́
3 6800
nươc ngoai
́ ̀
4 6850 Đoan vao
̀ ̀
Tiền công lao
5 7000 động trực 377.178.600 189.319.400 187.859.200
tiếp
Chủ nhiệm
174.210.800 87.105.400 87.105.400
đề tài
Thành viên
nghiên cứu
202.967.800 102.214.000 100.753.800
chính, thư ký
khoa học
Chi giao
6 7000 2.821.400 680.600 2.140.800
khoán khác
7 7750 ̉
Quan ly phi
́ ́ 20.000.0000 10.000.000 10.000.000
Tổng cộng: 400.000.000 200.000.000 200.000.000
8
- 8.2. Chi tiêt:
́
a. Tiền công lao động:
Chức
Hệ số
danh thực
TT Họ và tên tiền công
hiện đề
(hstc) Tổng số Năm 2021 Năm 2022 Tổng số Năm 2021 Năm 2022
tài
Bùi
174.210.80
1 Trọng CNĐT 0,79 148 74 74 87.105.400 87.105.400
0
Kiên
Vũ Hữu 101.483.90
2 TVC 0,49 139 70 69 51.107.000 50.376.900
Nhự 0
Nguyễn
101.483.90
3 Quốc TVC 0,49 139 70 69 51.107.000 50.376.900
0
Tuấn
Tổng cộng: 426 214 212 377.178.600 189.319.400 187.859.200
- ̉ ̀ ̣
b. Chi tiêt cac khoan con lai:
́ ́
TT Mục chi Nội dung chi Tổng số
Năm 2021 Năm 2022
1 7000 Nội dung chi giao khoán khác 2.821.400 680.600 2.140.800
7000 In ấn tài liệu, văn phòng phẩm 2.821.400 680.600 2.140.800
2 7750 Chi phí quản lý gián tiếp 20.000.000 10.000.000 10.000.000
TỔNG CỘNG: 22.821.400 10.680.600 12.140.800
TRUNG TÂM Hà Nội, ngày tháng năm 20
Chủ nhiệm đề tài
Bùi Trọng Kiên
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Kế toán đơn vị
nguon tai.lieu . vn