Xem mẫu
- PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM
TUYẾN TÍNH VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
FREDHOLM'S LINEAR INTEGRAL EQUATIONS AND SEVERAL SOLUTION METHODS
ThS Vũ Thị Vân
Đại Học Hàng Hải Việt Nam
Email:vuvan315@vimaru.edu.vn
Ngày tòa soạn nhận được bài báo:02/12/2020
Ngày phản biện đánh giá: 17/12/2020
Ngày bài báo được duyệt đăng: 28/12/2020
Tóm tắt:
Phương trình tích phân là công cụ hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được quan tâm
nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn tại nghiệm, sự xấp xỉ nghiệm, tính
chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hóa,… Trong đó, phương trình tích phân Ferdholm
được quan tâm lớn và có tầm quan trọng trong nhiều nhánh của khoa học, kinh tế và công
nghệ. Trong phần này, tác giả trình bày lý thuyết tổng quan về phương trình tích phân
Fredholm và phương pháp phân giả Adomian, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương
pháp phân giả cải tiến để giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính, phương trình
có thành phần nhiễu, đồng thời đưa ra một số ví dụ cụ thể minh họa cho nội dung lý
thuyết đã trình bày.
Từ khóa: Phương trình tích phân, phương trình tích phân Fredholm tuyến tính, phương
pháp phân giả Adomian, phương pháp xấp xỉ liên tiếp,phương pháp phân giả cải tiến.
Summary:
Integral equations are a useful tool in many fields, and should be studied in many
different aspects such as the existence of solutions, solution approximation, correction
or non-correction, normalization, ... In which, Ferdholm's integral equations are of
great interest and are of great importance in many branches of science, economics and
technology. In this section, the author presents the general theory of Fredholm integral
equations and Adomian dummy equations, successive approximation method, improved
dummy differential method to solve linear Fredholm's integral equations, equations have
noise components, and give some specific examples to illustrate the theoretical content
presented.
Key words: Integral equations, linear Fredholm integral equations, Adomian dummy
method, successive approximation method, improved pseudo-differential method
TẠP CHÍ KHOA HỌC 31
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- Adomian dummy method, successive approximation method, improved
pseudo-differential method
1. Lý thuyết phương trình tích phân Fredholm tuyến tính
1.1. Định nghĩa phương trình tích phân
Phương trình tích phân là phương trình mà hàm cần tìm được đặt dưới dấu
tích phân.
Chẳng hạn, tìm hàm u ( x ) thỏa mãn phương trình
β ( x)
( x) f ( x) +
u= ∫ K ( x, t )u ( t ) dt , (1) trong đó K ( x, t ) được gọi là nhân của phương
α ( x)
trình, α ( x ) , β ( x ) là cận, f ( x ) là tất cả các hàm cho trước.
= u ' ( x ) 2 xu ( x ) , x ≥ 0, ( 2 )
Ví dụ 1. Xét bài toán giá trị ban đầu . Phương trình (2)
u ( 0 ) = 1, ( 3)
dễ ràng giả được bằng phương pháp tách biến, được nghiệm u ( x ) = e x . Tuy
2
nhiên nếu tích phân hai vế và dựa vào điều kiện (3), ta được
x x x
∫ u ( t )dt = ∫ 2tu ( t ) dt. Phương trình tương đương với u ( x ) =
0 0
1 + ∫ 2tu ( t )dt , (6). Trong
0
phương trình (6),
= f ( x ) 1,=
K ( x, t ) 2t.
1.2. Phương trình tích phân Fredholm tuyến tính
Dạng chuẩn tắc của phương trình tích phân Fredholm là
b
( x ) f ( x ) + λ ∫ K ( x, t )u ( t ) dt , a ≤ x, t ≤ b, ( 7 ) trong đó K ( x, t ) , f ( x ) , λ , a, b cho
f ( x ) u=
a
trước. Phương trình (7) là phương trình tuyến tính.
b
1. Khi f ( x ) = 0, ( 7 ) trở thành f ( x ) + λ ∫ K ( x, t )u ( t ) dt =
0, ( 8 ) được gọi là
a
phương trình tích phân Fredholm loại một.
b
2. Khi f ( x ) = 1, ( 7 ) trở thành =
u ( x ) f ( x ) + λ ∫ K ( x, t )u ( t ) dt , ( 9 ) được gọi là
a
phương trình tích phân Fredholm loại hai.
1.3. Các định lý Fredholm
1.3.1. Định lý thứ nhất Fredhome
Định lý 1 của Fredholm: Phương trình Freedholm không thuần nhất
32 TẠP CHÍ KHOA HỌC
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- ( s ) f ( s ) + λ ∫ K ( s, t ) g ( t ) dt
g=
Trong đó các hàm f ( s ) và g ( t ) là lấy tích phân được, có một nghiệm duy
nhất.
g ( s ) = f ( s ) + λ ∫ Γ ( s, t ; λ ) f ( t ) dt
Trong đó: Γ ( s, t; λ ) =
D ( s, t ; λ ) / D ( λ )
Với D ( λ ) ≠ 0 là hàm phân hình của của biến phức λ , là tỷ số giữa hai hàm
nguyên được xác định chuỗi:
( −λ ) s, x1 ,.....x p
p
∞
, t ; λ ) K ( s, t ) + ∑
D ( s= ∫ ....∫ K dx ........dx p
p! t , x ,.....x 1
p =1 1 p
( −λ ) x1 ,.....x p
p
∞
Và : D (λ )= 1+ ∑ ∫ ....∫ K dx ........dx p
p! x ,.....x 1
p =1 1 p
Cả hai đều hội tụ với mọi giá trị của λ . Đặc biệt, nghiệm của phương trình
thuần nhất
g ( s ) = λ ∫ K ( s, t ) g ( t ) dt là đồng nhất với 0.
Ví dụ 1: Ước lượng giải thức cho phương trình tích phân:
1
g ( s ) = f ( s ) + λ ∫ ( s + t ) g ( t ) dt. (1)
0
Nghiệm của phương trình:
∞ ( −λ ) p
∑ C p ( s, t )
p =0 p !
Γ ( s, t , λ ) = ( 2)
∞ ( −λ ) p
∑ cp
p =0 p !
Trong đó Cp và cp là xác định bởi các hệ thức
s1 , s2 ......s p
c p = ∫ ...∫ K ds ......ds p
s , s ......s 1
1 2 p
C p ( s, t ) c p K ( s, t ) − p ∫ K ( s, x ) C p −1 ( x, t ) dx
và =
Ta có:
TẠP CHÍ KHOA HỌC 33
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- c0 = 1, C0 ( s, t=
) K ( s, t=) ( s + t ). ( 3)
c p = ∫ C p −1 ( s, s ) ds ( 4)
=C p c p K ( s, t ) − p ∫ K ( s, x ) c p −1 ( x, t ) dx ( 5)
Như vậy:
1 1 1 1
c1 = ∫ 2sds = 1, C1 ( s, t ) = ( s + t ) − ∫ ( s + x )( x + t ) dx =
( s + t ) − st −
0 0 2 3
1 1 −1 1 1
∫ s − s − 3 ds =− 6 , C2 ( s, t ) =6 ( s + t ) − 2∫ ( s + x ) 2 ( x + t ) − xt − 3 dx =0
2
c2 =
Vì C2 ( x, t ) triệt tiêu, theo ( 5 ) rằng các hệ số Ck và ck cũng triệt tiêu. Do đó,
1 1
( s + t ) − ( s + t ) − st − λ
2 3
Γ ( s, t , λ ) = ( 6)
λ2
1− λ −
12
1
Ví dụ 2: Giải phương trình tích phân g ( s ) =
s + λ ∫ st + ( st ) 2 g ( t ) dt ( 7 ) .
1
1
c1 ∫ ( s 2 + s ) ds =
1
Trong trường hợp này: c0= 1 C0= ( s, t =) st + ( st ) 2 0 6
5 1
1 1
1
1 1 1
2 1 1
C1 ( s, t ) = st + ( st ) 2 − ∫ sx + ( sx ) 2 xt + ( xt ) 2 dt = st + ( st ) 2 − st 2 + ts 3
6 0 2 3 3
1 1 4 3
1 1
c2 ∫ s 2 + s − s 2 =
= ds C
= 2 0.
0 3 3 3 75
Và do đó tất cả các hệ số đều bị triệt tiêu. Giá trị của giải thức là:
1 1 1 1
2 1 1
st + ( st ) 2 − st + ( st ) 2 − s.t 2 + s 2 .t λ
2 3 3
Γ ( s, t , λ ) = (8)
5 1 2
1− λ + λ
6 150
Nghiệm g ( s ) khi đó sinh ra bởi sử dụng hệ thức ( 4.2.23) .
g (s) =
( )
150 s + λ 60 s − 75s + 21λ 2 s
(9)
λ − 125λ + 150
2
π
Ví dụ 3: Giải phương trình tích phân g ( s ) =
1 + λ ∫ sin ( s + t ) g ( t ) dt (10 ) .
0
Giải. Đối với hạch hiện tại.
34 TẠP CHÍ KHOA HỌC
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- π
1
c0 = C0 ( s, t ) =
sin ( s + t ) ∫ sin ( 2s ) ds =
c1 = 0
0
π 1
C1 ( s, t ) =−
0 ∫ sin ( s + x ) sin ( x + t ) =− π cos ( s − t )
0 2
π 1 1 2
c2 = − ∫ π cos 0ds = − π
0 2 2
1 2 π 1
C2 = − π sin ( s + t ) + 2∫ π sin ( s + x ) cos ( x − t ) dx = 0
2 0 2
1
sin ( s + t ) + πλ cos ( s − t )
Do đó, giải thức là: Γ ( s, t , λ ) = 2 (11)
1 2 2
1− π λ
4
1.3.2. Định lý Fredholm thứ 2
Định lý thứ nhất của Fredholm là không đúng khi λ là một nghiệm của
phương trình D ( λ ) = 0 . Chúng ta đã có đối với một hạch có thể tách rời,
phương trình thuần nhất:
g ( s ) = λ ∫ K ( s, t ) g ( t ) dt
Có nghiệm không tầm thường. Nó có thể được mong đợi khi hạch là một hàm
khả tích tùy ý và sau đó chúng ta sẽ có một hàm phổ của giá trị riêng và các
hàm riêng biệt tương ứng. Định lý thứ 2 của Fredholm là để nghiên cứu vấn
đề này.
Định lý thứ 2 của Fredholm: Nếu λ0 = 0 của bội số m của hàm D ( λ ) thì
phương trình thuần nhất g ( s ) = λ0 ∫ K ( s, t ) g ( t ) dt
Có ít nhất là 1 và nhiều nhất là m các nghiệm độc lập tuyến tính.
s, s1 ,..., sh −1 , s, sh +1 ,....., sr
gi ( s ) = Dr λ0 =; i 1,....., r 1≤ r ≤ m
t , t1 ,.... , tr
Không đồng nhất bằng 0. Bất kì nghiệm nào của phương trình là một tổ hợp
tuyến tính của nghiệm đó.
1.3.3. Định lý Fredholm thứ 3
Trong phân tích định lý đầu tiên của Fredholm , nó được chứng minh bằng
phương trình không thuần nhất :
( s ) f ( s ) + λ ∫ K ( s, t ) g ( t ) dt
g= (1)
Có một nghiệm duy nhất được cung cấp D ( λ ) ≠ 0 . Định lý thứ 2 của
Fredholm liên quan đến việc nghiên cứu phương trình thuần nhất.
g ( s ) = λ ∫ K ( s, t ) g ( t ) dt khi D ( λ ) = 0
TẠP CHÍ KHOA HỌC 35
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- Trong phần này chúng tôi nghiên cứu khả năng (1) có nghiệm khi
D ( λ ) = 0 Trong thực tế, sự khác biệt duy nhất là bây giờ chúng ta sẽ đưa ra
một công thức rõ ràng cho nghiệm này. Về mặt định tính, sự thảo luận là như
nhau.
Nhớ lại rằng, chuyển vị ( hoặc liên hợp ) của phương trình (1) :
( s ) f ( s ) + λ ∫ K ( t , s )ψ ( t ) dt
ψ= ( 2)
Rõ ràng chuỗi đầu tiên của Fredholm D ( λ ) như được cho bởi
( −λ ) x1 ,.....x p
p
∞
D (λ )= 1+ ∑ dx1........dx p là tương tự cho phương trình
p ! ∫ ∫ x1 ,.....x p
.... K
p =1
chuyển vị, trong khi chuỗi thứ 2 là D ( t , s; λ ) thu được từ
( −λ )
s, x1 ,.....x p
p
∞
, t ; λ ) K ( s, t ) + ∑
D ( s= dx1........dx p bằng cách thay đổi vai
p ! ∫ ∫ t , x1 ,.....x p
.... K
p =1
trò của s và t . Điều này có nghĩa là các hạch của phương trình (1) và phương
trình ( 2 ) có cùng giá trị riêng. Hơn nữa, giải thức của ( 2 ) là:
D ( t , s; λ )
Γ ( t , s; λ ) = ( 3)
D (λ )
Và do đó, nghiệm của ( 2 ) là:
( s ) f ( s ) + λ ∫ D ( t , s; λ ) / D ( λ ) f ( t ) dt
ψ= ( 4)
Với điều kiện λ không là giá trị riêng.
Rõ ràng không chỉ hạch chuyển vị có cùng giá trị riêng như hạch ban
đầu, mà là chỉ số r của mỗi giá trị riêng là bằng nhau. Hơn nữa, tương ứng
s1 ,........, si −1 , s, si +1 ,........, sr
Dr λ0
t ,..... ......, tr
với phương trình Φ i ( s ) = 1 i = 1, 2,....., r
s1 ,........, si −1 , si , si +1 ,........, sr
Dr λ0
t1 ,..... ......, tr
các hàm riêng của phương trình chyển vị cho một giá trị riêng λ0 là như sau:
s1 ,... , sr
Dr λ0
t ,..., t , t , t ,..., t
ψ i (t ) =
( 5)
1 i −1 i +1 r
s1 ,... , sr
Dr λ0
t1 ,..., ti −1 , ti , ti +1 ,..., tr
Trong đó, giá trị ( s1 ,...., sr ) và ( t1 ,...., tr ) là được chọn như vậy để mẫu
số không bị triệt tiêu. Thay r trong các vị trí khác nhau trong chuỗi dưới của
công thức này, chúng ta có được một hệ thống độc lập tuyến tính của các hàm
36 TẠP CHÍ KHOA HỌC
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- riêng của r . Nhớ rằng mỗi Φ i là trực giao với mỗi Ψ i với các giá trị riêng
khác nhau.
Nếu một nghiệm g ( s ) của (1) tồn tại, thì sau đó nhân (1) bởi mỗi phần
tử Ψ k ( s ) của hệ hàm số đề cập bên trên tăng và tích phân thu được:
∫ f ( s ) Ψ ( s ) ds = ∫ g ( s ) Ψ ( s ) ds − λ ∫ ∫ K ( s, t ) g ( t ) Ψ ( s ) dsdt
k k k
= ∫ g ( s ) ds Ψ ( s ) − λ ∫ K ( t , s ) Ψ ( t=
k k ) dt 0 (6)
Trong đó số hạng trong ngoặc là triệt tiêu bởi vì Ψ k ( s ) là một hàm
riêng của phương trình chuyển vị. Từ ( 6 ) , chúng ta thấy rằng một điều kiện
cần để (1) có một nghiệm là số hạng không thuần nhất f ( s ) là trực giao với
từng nghiệm của phương trình thuần nhất chuyển vị.
Ngược lại, chúng ta sẽ chỉ ra rằng điều kiện ( 6 ) của trực giao là đủ cho
sự tồn tại của nghiệm. Thật vậy, chúng ta sẽ trình bày nghiệm rõ ràng trong
trường hợp đó. Với mục đích này hàm H ( s, t; λ ) cần được định nghĩa như bởi
s, s1 ,...., sr
Dr +1 λ0
H ( s, t ; λ ) = t , t1 ,......, tr theo giả thiết rằng D λ ≠ 0 và r là chỉ số của
( )
s, s1 ,...., sr
Dr λ0
t , t1 ,......, tr
giá trị riêng λ0 .
Nếu điều kiện trực giao được thỏa mãn thì hàm :
( s ) f ( s ) + λ0 ∫ H ( s, t; λ ) f ( t ) dt
g 0= (7)
là một nghiệm. Thật vậy, thay thế giá trị này cho g ( s ) trong (1) thu được:
f ( s ) + λ0 ∫ H ( s, t ; λ ) f ( t ) dt =
f ( s ) + λ0 ∫ K ( s, t )
× f ( t ) + λ0 ∫ H ( t , x; λ ) f ( x ) dx dt
Hoặc:
∫ f ( t ) dt H ( s, t; λ ) − K ( s, t ) − λ ∫ K ( s, x ) H ( x, t; λ ) dx = 0
0 (8)
Bây giờ, chúng ta thu được như phương trình
r
−∑ K ( sh , t ) Φ h ( s )
H ( s, t ; λ ) − K ( s, t ) − λ0 ∫ H ( s, x; λ ) K ( x, t ) dx =
h =1
chúng ta có thể thu được nó là “chuyển vị”.
r
−∑ K ( s, th ) Ψ h ( t )
H ( s, t ; λ ) − K ( s, t ) − λ0 ∫ K ( s, x ) H ( x, t ; λ ) dx = (9)
h =1
Thay thế nó trong ( 8 ) và sử dụng điều kiện trực giao chúng ta có một
đồng nhất thức, và do đó khẳng định được chứng minh.
TẠP CHÍ KHOA HỌC 37
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- Sự khác biệt của bất kì hai nghiệm nào của (1) là nghiệm của một
phương trình thuần nhất. Do đó, nghiệm tổng quát của (1) là:
( s ) f ( s ) + λ0 ∫ H ( s, t; λ ) f ( t ) dt + ∑ Ch Φ h ( s )
g= (10 )
Định lý thứ 3 của Fredholm: Đối với một phương trình không thuần
nhất.
( s ) f ( s ) + λ0 ∫ K ( s, t ) g ( t ) dt
g= (11)
Để có một nghiệm trong trường hợp D ( λ0 ) = 0 , và điều kiện cần và đủ
là hàm f ( s ) đã cho là trực giao với tất cả các hàm giá trị riêng
Ψi ( s ) , i =
1, 2,...., v của phương trình thuần nhất chuyển vị tương ứng với giá trị
riêng λ0 . Nghiệm tổng quát có dạng:
s, s , s ,...., sr s1 , s2 ,...., sr
( s ) f ( s ) + λ0 ∫ Dr +1 1 2
g= λ0 Dr λ0
t , t1 ,.........., tr t1 ,........., tr
r
× f ( t ) dt + ∑ Ch Φ h ( s ) (12 )
h =1
2. Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm
2.1. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm
Trong chương này ta nghiên cứu phương trình tích phân Fredolm loại 2
b
( x ) f ( x ) + λ ∫ K ( x, t )u ( t ) dt , a ≤ x ≤ b; (1) .
dạng u=
a
Định lý
Đối với phương trình (1), nếu K ( x, t ) thực, liên tục và giới nội trong hình
vuông a ≤ ( x, t ) ≤ b tức là K ( x, t ) ≤ M , a ≤ x, t ≤ b, và nếu f ( x ) và liên tục với
a ≤ x ≤ b, thì phương trình (1) có duy nhất nghiệm trong miền
λ M ( b − a ) < 1, ( 3) .
Ở đây,các phương trình được xét luôn giả thiết là tồn tại và duy nhất nghiệm.
2.2. Phương pháp phân giả Adomian
Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng
∞ ∞ b ∞
∑ un ( x ) → ∑ un ( x ) =
u ( x) =
n =0 n =0
f ( x ) + λ ∫ K ( x, t )∑ un ( t ) dt
n =0
a
b b
↔ u0 ( x ) + u1 ( x ) + u2 ( x ) + ...
= f ( x ) + λ ∫ K ( x, t )u0 ( t ) dt + λ ∫ K ( x, t )u1 ( t ) dt + ...
a a
38 TẠP CHÍ KHOA HỌC
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- Để xác định các thành phần của u ( x ) , ta xây dựng dãy
b b b
u0 ( x ) = f ( x ) , u1 ( x ) = λ ∫ K ( t , x )u0 ( t ) dt , u2 ( x ) = λ ∫ K ( t , x )u1 ( t ) dt , u3 ( x ) = λ ∫ K ( t , x )u2 ( t ) dt ,...
a a a
b
Tổng quát u0 ( x ) = f ( x ) ; un +1 ( x ) = λ ∫ K ( x, t )un ( t ) dt , n ≥ 0.
a
1
9 2 1
( x)
Ví dụ 1. Giải phương trình u= x + ∫ x 2t 2u ( t ) dt .
10 0
2
1
9 2 1 9 1
Giải. u ( x) = x + ∫ x 2t 2u ( t ) dt → f ( x ) = x 2 ; K ( x, t ) = x 2t 2 ;
10 0
2 10 2
9 2 9 2 9 2 9 2
u0 ( x ) = x ; u1 ( x ) = x ... → u ( x ) = x + x ... → u ( x ) = x 2 .
10 1000 10 1000
π
Ví dụ 2. Giải phương trình u ( x )= cos x + 2 x + ∫ xtu ( t ) dt.
0
π
Giải. u ( x )= cos x + 2 x + ∫ xtu ( t ) dt
0
2 2 3 2 6
→ u0 ( x ) = cos x + 2 x, u1 ( x ) = −2 + π 3 x, u2 ( x ) =
− π + π x... → u ( x ) =
cos x
3 3 9
1
Ví dụ 3. Giải phương trình u ( x ) = e x − 1 + ∫ tu ( t )dt
0
1
1 1
Giải. u ( x ) = e x − 1 + ∫ tu ( t )dt → u0 ( x ) = e x − 1, u1 ( x ) = , u2 ( x ) = ...
0
2 4
1 1 1
u ( x ) = e x − 1 + 1 + + + ...
2 2 4
u ( x) = e x
Ở đây, chúng ta xét phương trình có thành phần nhiễu dạng
b
u ( x ) = f ( x ) + µ ( x ) + λ ∫ K ( x, t ) u ( t )dt ,
a
trong đó 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑥𝑥𝑥𝑥 ) được gọi là nhiễu, thông thường 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑥𝑥𝑥𝑥 )nhỏ hơn 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) rất nhiều về
trị tuyệt đối.
TẠP CHÍ KHOA HỌC 39
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- 𝜋𝜋𝜋𝜋
Ví dụ 4. Giải phương trình 𝑢𝑢𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + ∫0 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑢𝑢𝑢𝑢(𝑡𝑡𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡.
Giải. Sử dụng phương pháp Adomian
π
u0 ( x ) =x cos x + 2 x, uk +1 =∫ xuk ( t ) dt , u ( x ) =x cos x
0
Nhiễu ±2x làm cho bộ phận của u0 ( x ) về không.
𝜋𝜋𝜋𝜋 𝜋𝜋𝜋𝜋
Ví dụ 5. Giải phương trình 𝑢𝑢𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = cos 𝑥𝑥𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + ∫0 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑡𝑡𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡.
2
Giải. Sử dụng phương pháp Adomian
π
π
u0 ( x )= cos x − sin x + 2 x − x, uk +1= ∫ xtu ( t ) dt , k ≥ 0,
k
2 0
π π π3 π4
u0 ( x ) =cos x − sin x + 2 x − x, u1 ( x ) =−2 x + x+ x− x
2 2 12 48
( x ) cos x − sin x.
u=
π
Nhiễu ±2x , xuất hiện trong u0 ( x ) và u1 ( x ) làm cho nghiệm chính xác
2
( x ) cos x − sin x.
u=
π
π
Ví dụ 6. Giải phương trình u ( x )= x − x + x tan −1 x − ∫ xu ( t )dt
2 0
1
π
Giải. u0 ( x )= − ∫ xuk ( t ) dt , k ≥ 0,
x − x + x tan −1 x, uk +1 =
2 −1
π π
u0 ( x )= x − x + x tan −1 x, u1 ( x ) =
− x + x, u ( x ) =
x tan −1 x.
2 2
π
Nhiễu ±2x , xuất hiện trong u0 ( x ) và u1 ( x ) làm cho nghiệm chính xác
2
( x ) cos x − sin x.
u=
2.3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp
Xét phương trình Fredholm dạng chính tắc
b
( x ) f ( x ) + ∫ K ( x, t )u ( t ) dt , a ≤ x ≤ b. .
u=
a
40 TẠP CHÍ KHOA HỌC
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- u0 ( x )
Phương pháp b
un ( x ) = f ( x ) + λ ∫ K ( x, t ) un −1 ( t ) dt , n ≥ 1.
a
Sự khác nhau giữa hai phương pháp, phương pháp phân giả Adomian và
phương pháp xấp xỉ liên tiếp là việc chọn u0 ( x ) .
1
Ví dụ 1. Giải phương trình u ( x=) e x + e−1 ∫ u ( t ) dt .
0
1
Giải. u0 ( x ) = 0, u1 ( x ) = e + e x −1
∫ 0dt = e x , u2 ( x ) = e x + 1 − e −1.
0
Tiếp tục ta có u3 ( x ) = e x + 1 − e−2 , un ( x ) = e x + 1 − e−( n −1) , n ≥ 1.
( )
u ( x ) = lim un ( x ) = lim e x + 1 − e −( n −1) = e x + 1.
n →∞ n →∞
1
Ví dụ 2. Giải phương trình u ( x )= x + λ ∫ xtu ( t )dt
0
λ λ λ2 λ n −1
Giải. u0 ( x ) = 0, u1 ( x ) = x, u2 ( x ) = x + x, u n ( x ) = x + x+ x + ... + x.
3 3 32 3n −1
3
u ( x)
= x;0 < λ < 3.
λ −3
Ta chỉ ra rằng nghiệm u ( x ) không phụ thuộc vào cách chọn u0 ( x ) .
Chẳng hạn chọn u0 ( x ) = x. Ta được
λ λ λ2 λ λ2 λn
u1 ( x ) =+
x x, u1 ( x ) =+
x x+ 2
x 2 ,..., un ( x ) =+
x x+ 2
x 2 + ... + xn ,
3 3 3 3 3 3 n
3
u ( x)
= x, 0 < λ < 3.
λ −3
2.4. Phương pháp phân giả cải tiến
Để tính tích phân khi giải phương trình (1) đơn giản hơn, người ta sử dụng
phương pháp phân giả cải tiến như sau: Viết = f ( x ) f 0 ( x ) + f1 ( x ) , phương trình
b
(1) viết lại u ( x ) = f 0 ( x ) + f ( x )1 + λ ∫ K ( x, t )u ( t ) dt , a ≤ x ≤ b .
a
Ta tính toán các thành phần.
TẠP CHÍ KHOA HỌC 41
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- f ( x ) f 0 ( x ) + f1 ( x ) ,
Viết =
b b
u0 ( x ) f=
= 0 ( x ) ; u1 ( x ) f1 ( x ) + λ ∫ K ( x, t )u0 ( t ) dt ; u2 ( x ) =
λ ∫ K ( x, t )u1 ( t ) dt...
a a
b
un +1 ( x ) = λ ∫ K ( x, t )un ( t ) dt..., n ≥ 1.
a
1
1
Ví dụ 1.Giải phương trình u ( x ) = e3 x −
9
( 2e3 + 1) x + ∫ xtu ( t ) dt .
0
1
1
Giải. u ( x ) = e3 x −
9
( 2e3 + 1) x + ∫ xtu ( t ) dt
0
1
f0 ( x ) = − ( 2e3 + 1) x → u0 ( x ) =
e3 x ; f1 ( x ) = e3 x ,
9
1
1
− ( 2e3 + 1) x + ∫ xtet dt , u1 ( x ) =
u1 ( x ) = 0, u ( x ) = e3 x .
9 0
1
π
Ví dụ 2.Giải phương trình u ( x=) sin −1 x + − 1 x − ∫ xu ( t ) dt .
2 0
Giải.
1
π π
) sin −1 x + − 1 x − ∫ xu ( t ) dt , f 0 ( x ) = sin −1 x; f1 ( x ) = − 1 x → u0 ( x ) = sin −1 x,
u ( x=
2 0 2
1
π
u1 ( x ) = − 1 x − ∫ x sin −1 tdt ,=
u1 ( x ) 0,=
u ( x ) sin −1 x.
2 0
π /2
π
Ví dụ 3. Giải phương trình u ( x )= sin x + cos x − 2 x + − ∫ ( x − t )u ( t ) dt .
2 0
π /2
π
Giải. u ( x )= sin x + cos x − 2 x + − ∫ ( x − t )u ( t ) dt
2 0
π
f0 ( x ) =
sin x + cos x; f1 ( x ) =−2 x +
2
1
π
→ u0 ( x ) =sin x + cos x, u1 ( x ) =−2 x + + ∫ ( x − t )( sin t + cos t )dt ,
2 0
( x ) 0, u=
u1= ( x ) sin x + cos x.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
42 TẠP CHÍ KHOA HỌC
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] V.A.Xadovnitri, (2004), Lý thuyết toán tử (Bản tiếng Nga),Nhà xuất bản Đại học tổng hợp
Lômô nô xôp.
[2] Abdul-Majid Wazwaz, (2015), A first course in integral equations,World scientific publishing
Co. Pte. Ltd.
[3] Phương trình vi phân và phương trình tích phân, Cấn Văn Tuất, NXB ĐHSP Hà Nội, 2006.
[4] Linear integral Equations, Ran P.Kanwal, 1971.
[5] Phan Văn Hạp, Hoàng Đức Nguyên, Lê Đình Thịnh,(1996), Phương Pháp tính, NXB Khoa
học và kỹ thuật.
[6] Giải tích hàm, Hoàng Tụy, NXB ĐHQG Hà Nội, 2013.
TẠP CHÍ KHOA HỌC 43
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
nguon tai.lieu . vn
