Xem mẫu
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Chương 3: Kh o sát hàm s và các bài toán liên quan
Bài 1: KH O SÁT HÀM S
Sơ ñ kh o sát hàm s
1) Tìm t p xác ñ nh c a hàm s (Xét tính ch n l , tính tu n hoàn (n u có)).
2) Kh o sát s bi n thiên hàm s
a) Xét chi u bi n thiên c a hàm s
• Tính ñ o hàm
• Tìm các ñi m t i h n
(ði m t i h n thu c TXð và t i ñó f ′( x ) không xác ñ nh ho c b ng 0)
• Xét d u c a ñ o hàm trong các kho ng xác ñ nh b i các ñi m t i h n.
(Gi a hai ñi m t i h n k nhau thì f ′( x ) gi nguyên m t d u)
• Suy ra chi u bi n thiên hàm s trong m i kho ng
(ð ng bi n n u f ′( x ) >0, ngh ch bi n n u f ′( x )
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ð N KH O SÁT HÀM S
I. Tìm giao ñi m c a hai ñư ng
y = f ( x ) có ñ th là (C) và hàm s y = g ( x ) có ñ th là (C1 ) . Rõ ràng
Gi s hàm s
M o ( x o ; y o ) là giao ñi m c a (C) và (C1 ) khi và ch khi ( x o ; y o ) là nghi m c a h phương trình
y = f (x )
y = g(x
Do ñó ñ tìm hoành ñ các giao ñi m c a (C) và (C1 ) ta gi i phương trình: f ( x ) = g( x ) (1)
S nghi m c a phương trình chính là s giao ñi m c a hai ñ th (C) và (C1 ) .
N u x o , x1 ,... là các nghi m c a (1) thì các ñi m M o ( x o ; f ( x o )), M1 ( x1 ; f ( x1 ))... là các
giao ñi m c a (C) và (C1 ) .
Bài toán: Tìm m ñ ñ th hàm s c t ñư ng th ng t i m t s ñi m th a mãn yêu c u bài toán.
Ví d 1. Bi n lu n theo m s giao ñi m c a ñ th các hàm s
x 2 − 6x + 3
y= y = x−m
và
x+2
x 3 + 3x 2 − 2 = m
Ví d 2. Bi n lu n s nghi m c a phương trình
x 2 + x −1
Ví d 3. V i giá tr nào c a k thì ñư ng th ng y = kx − k + 2 c t ñ th hàm s y =
x −1
t i hai ñi m phân bi t.
x 2 + 4x + 3
Ví d 4. Tìm k ñ ñư ng th ng y = kx + 1 c t ñ th y = t i hai ñi m phân bi t
x+2
x2 + x −1
Ví d 5. Tìm m ñ ñư ng th ng y = − x + m c t ñ th y = t i hai ñi m phân bi t
x −1
mx 2 + x + m
Ví d 6. Tìm m ñ ñ th hàm s y = c t tr c hoành t i 2 ñi m phân bi t có hoành
x −1
ñ dương.
− x 2 + 3x − 3
Ví d 7. Tìm m ñ ñư ng th ng y = m c t ñ th hàm s y = t i hai ñi m A và B
2( x − 1)
sao cho ñ dài ño n AB = 1.
Ví d 8. Tìm m ñ ñ th y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 c t ñư ng th ng y = 1 t i 3 ñi m phân bi t.
1 2
Ví d 9 . Tìm m ñ ñ th y = x 3 − mx 2 − x + m + c t tr c hoành t i 3 ñi m phân bi t.
3 3
1
Ví d 10. Tìm a ñ ñư ng th ng y = a ( x + 1) + 1 c t ñ th hàm s y = x + 1 + t i hai ñi m
x+2
có hoành ñ trái d u.
17
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
II. Vi t phương trình ti p tuy n
Cho hàm s y = f(x) có ñ th (C)
a) Phương trình ti p tuy n c a ñư ng cong (C) t i ñi m M o ( x o ; f ( x o ))
y − y o = f ′( x o )( x − x o )
b) Phương trình ñư ng th ng ñi qua ñi m M1 ( x1 ; y1 ) và ti p xúc v i (C)
ðư ng th ng d ñi qua M1 ( x1 ; y1 ) có d ng y − y1 = k ( x − x1 ) ⇔ y = k ( x − x1 ) + y1
ð cho ñư ng th ng d ti p xúc v i (C), h phương trình sau ph i có nghi m:
y = k ( x − x1 ) + y1
f ′( x ) = k
H phương trình này cho phép xác ñ nh hoành ñ x o c a ti p ñi m và h s góc k = f ′( x )
Chú ý: Hai ñ th hàm s y = f ( x ) và y = g ( x ) ti p xúc v i nhau n u và ch n u h
phương trình sau ñây có nghi m:
f ( x ) = g ( x )
f ′( x ) = g′( x )
c) Phương trình ñư ng th ng có h s góc k và ti p xúc (C).
Phương trình ñư ng th ng có h s góc k có d ng y = kx + b ti p xúc v i ñ th (C), ta gi i
phương trình f ′( x ) = k tìm ñư c hoành ñ các ti p ñi m x o , x1 , x 2 ,... T ñó suy ra phương
trình các ti p tuy n ph i tìm:
y − y i = k ( x − x i ) ( i = 0, 1, ...)
Bài toán : Vi t phương trình ti p tuy n c a hàm s khi bi t phương c a ti p tuy n ho c ñi qua
m t ñi m cho trư c nào ñó.
y = ( 2 − x 2 ) 2 bi t t i p
Ví d 1. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) c a hàm s
tuy n ñó ñi qua ñi m A(0 ; 4)
1
Ví d 2. Vi t phương trình các ñư ng th ng vuông góc v i ñư ng th ng y = x + 3 và ti p xúc
4
y = f ( x ) = − x 3 + 3x 2 − 4 x + 2
v i ñ th hàm s
Ví d 3. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) c a hàm s y = − x 3 + 3x + 1 bi t ti p tuy n
ñó song song v i ñư ng th ng y = −9 x + 1
Ví d 4. T g c t a ñ có th k ñư c bao nhiêu ti p tuy n c a ñ th hàm s
y = x 3 + 3x 2 + 1 Vi t phương trình các ti p tuy n ñó.
18
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
1 3
Ví d 5. Cho hàm s y = − x 4 − 3x 2 + có ñ th là (C)
2 2
a) Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) t i các ñi m u n.
3
b) Tìm ti p tuy n c a (C) ñi qua ñi m A (0; )
2
Ví d 6. Cho hàm s
3x + 2
y= có ñ th là (C).
x+2
Ch ng minh r ng, không có ti p tuy n nào c a ñ th (C) ñi qua giao ñi m c a hai ti m c n c a
ñ th ñó.
Ví d 7. Cho hàm s
1
y=x− có ñ th là (C)
x +1
Ch ng minh r ng trên (C) t n t i nh ng c p ñi m mà ti p tuy n t i ñó song song v i nhau.
Ví d 8. Cho hàm s
x 2 + mx − 2m − 4
y= có ñ th (C)
x+2
Gi s ti p tuy n t i M ∈ (C) c t hai ti m c n t i P và Q. Ch ng minh r ng MP=MQ
x 2 − 4x + 5
Ví d 9. Vi t phương trình ti p tuy n v i ñ th hàm s y = bi t r ng ti p tuy n ñi
x−2
qua ñi m A(1;1).
x 2 − x −1
Ví d 10. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th y = bi t ti p tuy n song song v i
x +1
ñư ng th ng y = − x .
x 2 − x −1
Ví d 11. Cho hàm s y = có ñ th là (C)
x +1
Tìm t t c các ñi m trên tr c tung mà t ñó có th k ñư c 2 ti p tuy n v i ñ th (C)
x 2 + 3x + a
Ví d 12. Tìm a ñ ñ th y = có ti p tuy n vông góc v i ñư ng th ng y = x.
x +1
Ví d 13. Tìm m ñ ñ th y = 2mx 3 − ( 4m 2 + 1) x 2 + 4m 2 ti p xúc v i tr c hoành.
mx 2 + 3mx + 2m + 1
Ví d 14. Tìm m ñ ñ th y = ti p xúc v i ñư ng th ng y = m.
x+2
Ví d 15. Tìm a ñ ti m c n xiên c a ñ th
2 x 2 + (a + 1) x − 3
y=
x+a
ti p xúc v i parabôn y = x 2 + 5 .
19
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
III. S ñ ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s
Cho hàm s y = f(x) có ñ o hàm trên kho ng (a;b)
a) Hàm s f(x) ñ ng bi n trên (a;b) ⇔ f ′( x ) ≥ 0 v i ∀x ∈ (a; b)
b) Hàm s f(x) ngh ch bi n trên (a;b) ⇔ f ′( x ) ≤ 0 v i ∀x ∈ (a; b)
Bài toán : Yêu c u tìm m ñ cho hàm s ñ ng bi n, ngh ch bi n trong m t kho ng nào ñó
Chú ý: C n n m v ng các ñ nh lý v d u c a tam th c b c hai
Ví d 1. Cho hàm s y = x 3 − 3mx 2 + 3( 2m − 1) x + 1
Xác ñ nh m sao cho hàm s ñ ng bi n trên t p xác ñ nh.
Ví d 2. Cho hàm s y = 2 x 2 + 2mx + m − 1
Xác ñ nh m sao cho hàm s ñ ng bi n trong kho ng ( −1;+∞)
Ví d 3. Cho hàm s y = x 3 + 3x 2 + ( m + 1) x + 4m
Tìm m ñ hàm s ngh ch bi n trên (-1,1)
x 2 + 2( m + 1) x + 2
Ví d 4. Cho hàm s y =
x +1
Tìm m ñ hàm s ñ ng bi n trong kho ng (0;+∞)
1
Ví d 5. Cho hàm s y = x 3 − mx 2 + (2m − 1) x − m + 2
3
Tìm m ñ hàm s ngh ch bi n trên (-2;0).
2 x 2 − 3x + m
Ví d 6. Cho hàm s y =
x −1
Tìm m ñ hàm s ñ ng bi n trên (3,+∞)
Ví d 7. Cho hàm s y = x 3 − 3( m − 1) x 2 + 3m( m − 2) x + 1
Tìm m ñ hàm s ñ ng bi n trên t p h p các giá tr c a x sao cho 1 ≤ x ≤ 2
20
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
IV.C c ñ i và c c ti u
Cho hàm s y = f(x) , xo thu c t p xác ñ nh c a hàm s . N u khi x ñi qua xo ñ o hàm ñ i
d u thì xo là m t ñi m c c tr c a hàm s .
o N u ñ i d u t + sang – thì xo là ñi m c c ñ i c a hàm s .
o N u ñ i d u t - sang + thì xo là ñi m c c ti u c a hàm s .
ð tìm các ñi m c c tr c a hàm s ta có hai quy t c:
o Tìm các ñi m t i h n sau ñó xét d u c a ñ o hàm f ′( x )
o Gi i phương trình f ′( x ) = 0. G i x i là các nghi m. Xét d u c a f ′′( x )
Bài toán : Tìm m ñ hàm s y = f(x) có c c tr và các ñi m c c tr th a mãn ñi u ki n nào ñó.
- Tìm ñi u ki n m ñ cho ñ o hàm c a hàm s có ñ i d u (s l n ñ i d u b ng s c c tr )
- Tìm t a ñ c a các ñi m c c tr r i ñ t ti p ñi u ki n c a m ñ th a mãn ñi u ki n mà
bài toán yêu c u.
x 2 + mx + 1
Ví d 1. Tìm m ñ hàm s y = ñ t c c ñ i t i x = 2.
x+m
y = ( m + 2) x 3 + 3x 2 + mx + m
Ví d 2. Cho hàm s
V i giá tr nào c a m, hàm s có c c ñ i và c c ti u.
x 2 + 2x + m
Ví d 3. Ch ng minh r ng hàm s y = luôn có m t c c ñ i và m t c c ti u.
x2 + 2
Ví d 4. Cho hàm s y = x 3 − 3mx 2 + 3( 2m − 1) x + 1
Xác ñ nh m sao cho hàm s có m t c c ñ i và m t c c ti u. Tính t a ñ c a ñi m c c
ti u.
Ví d 5. Cho hàm s y = − x 4 + 2mx 2 − 2m + 1
Bi n luân theo m s c c tr c a hàm s .
x 2 + mx + 2m + 1
Ví d 6. Cho hàm s y =
mx + 1
Xác ñ nh m sao cho hàm s có c c tr và ti m c n xiên c a ñ th ñi qua g c t a ñ .
x 2 + mx − 2m − 4
Ví d 7. Cho hàm s y =
x+2
Xác ñ nh m ñ hàm s có hai c c tr .
Ví d 8. Tìm a và b ñ các c c tr c a hàm s
5
y = a 2 x 3 + 2ax 2 − 9 x + b
3
5
ñ u là nh ng s dương và x o = − là ñi m c c ñ i.
9
21
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
y = 2 x 2 + 2mx + m − 1
Ví d 9. Cho hàm s
Xác ñ nh m sao cho hàm s có c c tr trong kho ng ( −1,+∞)
Ví d 10. Xác ñ nh m sao cho hàm s
mx 2 + (2 − 4m) x + 4m − 1
y=
x −1
Có c c tr trong mi n x > 0.
mx 2 + x + m
Ví d 11. Cho hàm s y = .
x+m
Tìm m ñ hàm s không có c c tr .
Ví d 12. Cho hàm s y = x 3 − 3mx 2 + (m 2 + 2m − 3) x + 4 .
Tìm m ñ ñ th hàm s có c c ñ i, c c ti u n m hai phía tr c tung.
x2 + x + m
Ví d 13. Cho hàm s y = .
x +1
Tìm m ñ ñ th hàm s có c c ñ i, c c ti u n m hai phía tr c tung
x 2 + (2m + 3) x + m 2 +4m
y=
Ví d 14. Tìm t t c các giá tr c a tham s m ñ hàm s có hai
x+m
c c tr và giá tr c a ñi m c c tr tương ng trái d u nhau.
x 2 + (m + 1) x − m + 1
Ví d 15. Cho hàm s y = có hai c c tr và giá tr c a ñi m c c tr tương
x−m
ng cùng d u nhau.
22
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
23
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
nguon tai.lieu . vn
