Xem mẫu
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Chương 2: Phương trình lư ng giác, mũ, logarit
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
I. Phương trình lư ng giác cơ b n
Khi gi i các phương trình lư ng giác cu i cùng d n ñ n phép gi i các phương trình
lư ng giác cơ b n. Ta c n ghi nh b ng sau ñây:
Phương trình ði u ki n có nghi m ðưa v d ng Nghi m
sinx = sin α
−1 ≤ m ≤ 1 x = α + k 2π
sinx = m
x = π − α + k 2π
cosx = cos α ± α + k2 π
−1 ≤ m ≤ 1
cosx = m
tgx = tg α α + kπ
tgx = m m im
cotgx = cotg α α + kπ
cotgx = m m im
b ng trên k nh n m i giá tr nguyên ( k ∈ Z ) . ðơn v góc thư ng dùng là radian.
ð thu n l i cho vi c ch n α ta c n nh giá tr c a hàm lư ng giác t i các góc ñ c bi t. ðư ng
tròn lư ng giác s giúp ta nh m t cách rõ ràng hơn.
8
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Ví d 1. Gi i phương trình:
π
2
c) sin( xπ ) = 0.
a) sin3x = ; b) sin(2x - ) = 1;
5
2
Ví d 2. Gi i phương trình:
π π π π
a) cos2x = cos ; b) cos(3x - ) = cos(x + ); c) cosx = sin(2x + ).
5 3 2 4
π 8π
cos 2 ( cos x − ) = 0 .
Ví d 3. Gi i phương trình:
3 3
cos(π sin x ) = cos(3π sin x )
Ví d 4. Gi i phương trình:
cos 2 x − sin 2 ( 2 x ) = 1
Ví d 5. Gi i phương trình:
II. Phương trình b c nh t ñ i v i sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , a 2 + b 2 ≠ 0
Chia hai v c a phương trình (1) cho a 2 + b 2 , ta ñư c:
a b c
(1) ⇔ sin x + cos x = (2)
a +b a +b a + b2
2 2 2 2 2
a b
= sin ϕ ; = cos ϕ .
ðt
a +b a + b2
2 2 2
c
cos(x - ϕ ) =
Khi ñó phương trình lư ng giác có d ng: (3)
a + b2
2
c
≤ 1 ⇔ a 2 +b2 ≥ c2
Phương trình có nghi m khi và ch khi:
a +b
2 2
Khi ñó t n t i α ∈ [0; π] sao cho cos α =
c
nên ta có:
a + b2
2
(1) ⇔ cos( x − ϕ) = cos α ⇔ x = ϕ ± α + k 2π ; k ∈ Z
Ví d 6. Gi i phương trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx.
Ví d 7. Cho phương trình: sinx + mcosx = 1
a) Gi i phương trình v i m = - 3 .
b) Tìm m ñ phương trình vô nghi m.
Ví d 8. Gi i phương trình: cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 3 sin 2 x = 1
Ví d 9. Tìm α ñ phương trình sau có nghi m x ∈ IR:
3 cos x + sin( x + α) = 2
sin 8x − cos 6 x = 3 (sin 6 x + cos 8x ).
Ví d 10. Gi i phương trình:
π
Ví d 11. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m x ∈ 0; :
2
cos2x – msin2x = 2m – 1
Ví d 12. Gi i phương trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x).
1
Ví d 13. Gi i phương trình: cos 2 4 x − cos x. cos 4 x − sin 2 x + = 0
4
9
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
III. Phương trình ñ ng c p, phương trình ñ i x ng ñ i v i sinx và cosx
1) Phương trình ñ ng c p b c cao ñ i v i sinx và cosx:
Khái ni m: M t phương trình sau khi bi n ñ i v cosx, sinx mà t t c các s
h ng có t ng s mũ c a cosx và c a sinx ho c ñ u là s t nhiên ch n ho c ñ u là s t
nhiên l thì phương trình ñó ñư c g i là “ ñ ng c p” ñ i v i cosx và sinx. G i k là s l n
nh t trong các t ng s mũ nói trên ñư c g i là b c c a phương trình.
Cách gi i: - Xét trư ng h p cosx = 0 th vào phương trình
- Khi cos x ≠ 0 chia hai v phương trình cho coskx sau ñó ñ t
n ph t = tgx.
2sin3x = cosx
Ví d 14. Gi i phương trình:
π
sin 3 ( x + ) = 2 sin x
Ví d 15. Gi i phương trình:
4
Ví d 16. Tìm m ñ phương trình có nghi m:
msin2x + cos2x + sin2x +m = 0.
π π
− ; :
Ví d 17: Tìm m ñ phương trình sau có ñúng hai nghi m x n m trong kho ng
2 2
3sin4x – 2(m+2)sin2x.cos2x + (1 – m2 )cos4x = 0.
2) Phương trình ñ i x ng sinx và cosx:
Khái ni m: M t phương trình sau khi bi n ñ i v cosx, sinx mà các s h ng có
ch a t ng (cosx ± sinx ) ho c ch a tích cosx.sinx ñư c g i là phương trình ñ i x ng ñ i
v i cosx và sinx. Ví d phương trình: a (cos x ± sin x ) + b cos x. sin x + c = 0 .
t 2 −1
Cách gi i: ð t t = sinx + cosx, ta có t ≤ 2 . Khi ñó: sinx.cosx =
2
1− t2
N u ñ t t = sinx - cosx, ta có t ≤ 2 . Khi ñó: sinx.cosx =
2
Ví d 18. Cho phương trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m).
a) Gi i h phương trình v i m = - 1.
b) Tìm m ñ phương trình có nghi m.
3
Ví d 19. Gi i phương trình: 1 + sin 3 x + cos3 x = sin 2 x
2
3
Ví d 20. Gi i phương trình: 1 + sin 3 2 x + cos 3 2x = sin 4x
2
π 3π
x∈ , :
Ví d 21. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m
4 4
cos x + sin x = m.
3 3
10
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
IV. Phương trình ñưa v d ng tích
Các phương trình lư ng giác không có d ng như nh ng phương trình ñã trình bày các
m c trư c, ngư i ta thư ng nghĩ t i phân tích chúng thành nh ng phương trình cơ b n.
Vi c phân tích thành tích th c ch t là ñi tìm th a s chung c a các s h ng có trong
phương trình. ð làm ñư c ñi u ñó, chúng ta c n ph i thành th o các công th c lư ng giác, các
h ng ñ ng th c ñ i s ñáng nh và cũng c n ph i có kinh nghi m nhìn nh n m i quan h gi a
các s h ng có trong phương trình.
1 1
• Th các nghi m ñ c bi t như sin x = ±1 , sin x = ± , cos x = ±1 , cos x = ±
2 2
và phương trình có ch a th a s (cosx ± sinx). S d ng ñ ng th c sin x + cos x 2 2
= 1.
• Dùng các công th c bi n ñ i như h b c, bi n ñ i t ng thành tích , bi n ñ i tích
thành t ng, hàm s lư ng giác c a hai góc có liên quan ñ c bi t. Chú thêm m t
s bi n ñ i sau ñây:
2 1
cot gx + tgx = , cot gx − tgx = 2 cot g 2 x , cot gx − cot g 2x =
sin 2 x sin 2 x
• ð t các nhân t chung (nhân t chung suy ra t nghi m ñã th ñư c).
Tham kh o thêm b ng h các bi u th c có nhân t chung.
f(x) Bi u th c ch a th a s f(x)
sinx sin2x, tgx, tg2x, ...
cosx sin2x, tg2x, cotgx, ...
1+cosx x x
cos 2 , cot g 2 , sin2x, tg2x
2 2
1-cosx x x
sin 2 , tg 2 , sin2x, tg2x
2 2
πx πx
1+sinx
cos2x, cotg2x, cos 2 ( − ) , sin 2 ( + )
42 42
πx πx
1-sinx
cos2x, cotg2x, cos 2 ( + ) , sin 2 ( − )
42 42
sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx
sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx
Ví d 1.Gi i phương trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 .
3
Ví d 2.Gi i phương trình: sin2x + sin22x + sin23x =
2
1
Ví d 3.Gi i phương trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x = ( cos2x + cos4x).
2
2sin3x + cos2x + cosx = 0
Ví d 4.Gi i phương trình:
Ví d 5.Gi i phương trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx)
1 + tgx
= 1 + sin 2 x
Ví d 6.Gi i phương trình:
1 − tgx
π x
Ví d 7.Gi i phương trình sin x. cos 4 x − sin 2 2 x = 4 sin 2 − .
4 2
11
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, H PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
I. Các k t qu cơ b n
y = ax, 0 < a ≠ 1.
1) Hàm s mũ:
• T p xác ñ nh: IR.
• T p giá tr : IR+. (ñ th luôn n m phía trên tr c hoành)
• Khi a > 1 hàm s ñ ng bi n.
Khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n.
• D ng ñ t h :
y = logax , 0 < a ≠ 1.
2) Hàm s logarit:
a) Các tính ch t:
• T p xác ñ nh: IR* (x > 0 ).
• T p giá tr : IR
• Khi a > 1 hàm s ñ ng bi n.
Khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n.
• D ng ñ t h :
Chú ý: Trong các b t phương trình mũ, logarit, cơ s a l n hơn hay bé
hơn 1 quy t ñ nh chi u c a b t phương trình. Vì v y ph i chú ý ñ n chi u c a b t phương trình
trong quá trình bi n ñ i.
12
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
b)Các công th c chú ý:
b > 0
• log a b có nghĩa ⇔
0 < a ≠ 1
log c b
• log a b = ( Công th c ñ i cơ s v i b > 0 , 0 < a ≠ 1 , 0 < c ≠ 1 ).
log c a
m
• log a n b m = log a b ( V i b > 0 và 0 < a ≠ 1 )
n
log a b 2 k = 2k. log a | b | v i k∈Z.
•
II. Các phương trình, b t phương trình có d ng cơ b n
1) Phương trình mũ:
Cho 0 < a ≠ 1.
b > 0
D ng 1: a f ( x ) = b ⇔
f ( x ) = log a b
a > 1
f ( x ) < log a b
< b (v i b > 0) ⇔
D ng 2: a f ( x )
0 < a < 1
f ( x ) > log a b
D ng 3: a f ( x ) > b
N u b ≤ 0 b t phương trình nghi m ñúng v i m i x thu c t p xác ñ nh
-
c a b t phương trình.
a > 1
f ( x ) > log a b
N u b > 0, khi ñó b t phương trình tương ñương v i:
-
0 < a < 1
f ( x ) < log a b
a > 1
f ( x ) < g ( x )
⇔
D ng 4: a f ( x ) < a g ( x )
0 < a < 1
f ( x ) > g ( x )
13
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
2)Phương trình logarit
D ng 1: log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b .
a > 1
0 < f ( x ) < a
b
D ng 2: log a f ( x ) < b ⇔
0 < a a b
a > 1
f ( x ) > a
b
D ng 3: log a f ( x ) > b ⇔
0 < a 1
0 < f ( x ) < g ( x )
D ng 4: log a f ( x ) < log a g ( x ) ⇔
0 < a < 1
0 < g ( x ) < f ( x )
x 2 −4 x +3
1
= m4 − m2 + 1
Ví d 1. Cho phương trình:
5
a)Gi i phương trình khi m = 1.
b)Tìm m ñ phương trình có 4 nghi m phân bi t.
log x (5x 2 − 8x + 3) > 2
Ví d 2. Gi i b t phương trình:
log 2 (9 x + 9m 3 ) = x
Ví d 3. Tìm m ñ phương trình sau có hai nghi m phân bi t:
Ví d 4. Gi i phương trình:
log x (cos x − sin x ) + log 1 (cos x + cos 2 x ) = 0
x
[ ]
log x log 3 (9 x − 72) ≤ 1
Ví d 5. Gi i b t phương trình:
log 1 ( 5 − x ) < log 1 (3 − x )
Ví d 6. Gi i b t phương trình:
3 3
14
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
III. Các phương trình, b t phương trình không cơ b n
• Ph i ñ t ñi u ki n.
• Nh ng bài toán có tham s , ñ t n ph ph i tìm t p xác ñ nh c a n m i.
• Nh ng bài toán phương trình, b t phương trình mũ, logarit mà n x v a s
mũ c a lũy th a, v a h s , thư ng chuy n v vi c phân tích thành th a s ,
nh m nghi m và ch ng minh nghi m duy nh t ñ i v i phương trình; xét d u
c a tích ñ i v i b t phương trình.
• Khi bài toán ph c t p, có nh ng ph n t gi ng nhau hay nhân t gi ng nhau
ta có th ñ t n ph ñ ñưa bài toán tr lên ñơn gi n hơn.
1 1
3.4 x + 9 x + 2 = 6.4 x +1 − 9 x +1
Ví d 7. Gi i phương trình:
3 4
8.3x + 3.2 x = 24 + 6 x
Ví d 8. Gi i phương trình:
log a (35 − x 3 )
> 3 (v i 0 < a ≠ 1 ).
Ví d 9. Gi i b t phương trình:
log a (5 − x )
x −1
Ví d 10. Gi i phương trình: log 27 ( x 2 − 5x + 6) 3 = log 3 + log 9 ( x − 3)
2
2
lg(lg x ) + lg(lg x 3 − 2) = 0
Ví d 11. Gi i phương trình:
Ví d 12. Gi i phương trình:
x 2 . log 6 5x 2 − 2 x − 3 − x. log 1 (5x 2 − 2 x − 3) = x 2 + 2 x
6
1
log 3 x 2 − 5x + 6 + log 1 x − 2 > log 1 ( x + 3)
Ví d 13. Gi i b t phương trình:
2
3 3
log 1 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) − log (7 − x ) = 1
Ví d 14. Gi i phương trình: 1
2 2 2
lg 4 ( x − 1) 2 + lg 2 ( x − 1)3 = 25
Ví d 15. Gi i phương trình:
log 3x + 7 (9 + 12 x + 4 x 2 ) + log 2 x + 3 (6 x 2 + 23x + 21) = 4
Ví d 16. Gi i phương trình:
Ví d 17. Tìm m ñ phương trình sau ñây có hai nghi m trái d u:
(m + 3)16 x + (2m − 4)4 x + m + 1 = 0
15
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
nguon tai.lieu . vn
