Xem mẫu
- NGUY N ð C TU N
T ÔN LUY N THI
MÔN
MÔN TOÁN
Hà n i, 1 - 2005
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Chương 1: Phương trình và b t phương trình
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH B C NH T VÀ B C HAI
I. Cách gi i
ax + b = 0, a,b ∈ IR.
1) Phương trình b c nh t:
b
N u a ≠ 0 thì phương trình có nghi m duy nh t x = -
• .
a
• N u a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghi m.
• N u a = b = 0 thì phương trình nghi m ñúng v i m i x ∈ IR.
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
2) Phương trình b c hai:
• N u ∆ = b – 4ac < 0 phương trình vô nghi m.
2
b
• N u ∆ = 0 phương trình có nghi m kép x1 = x 2 = - .
2a
−b± ∆
• N u ∆ > 0 phương trình có hai nghi m phân bi t x 1, 2 = .
2a
II. ð nh lí Viét và h qu v d u các nghi m
1) ð nh lí Viét : N u phương trình ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi m x1 , x 2 thì
b c
S = x1 + x 2 = - và P = x1.x 2 = .
a a
2) H qu : Phương trình b c hai ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi m:
∆ ≥ 0
c
0
a
∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0
c c
Cùng dương ⇔ > 0 Cùng âm ⇔ > 0
a a
b b
− a > 0 − a < 0
III. ð nh lí v d u c a tam th c b c hai
Cho tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta có
1. ð nh lí thu n:
• N u ∆ = b2 – 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 v i ∀ x.
b
• N u ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 v i ∀ x ≠ - .
2a
• N u ∆ > 0 khi ñó f(x) có hai nghi m phân bi t x1 < x2 và
a.f(x) > 0 v i x ngoài [ x1 ; x 2 ] .
a.f(x) < 0 v i x1 < x < x 2 .
2. ð nh lí ñ o: N u t n t i s α sao cho a.f( α ) < 0 thì tam th c có hai nghi m phân bi t
và s α n m trong kho ng hai nghi m ñó: x1 < α < x 2 .
1
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
IV. ng d ng
1. ði u ki n ñ f(x) = ax2 + bx + c không ñ i d u v i m i x
a = b = 0 a = b = 0
c > 0 c ≥ 0
f(x) ≥ 0 v i ∀ x ⇔
f(x) > 0 v i ∀ x ⇔
a > 0 a > 0
∆ < 0 ∆ ≤ 0
a = b = 0 a = b = 0
c < 0 c ≤ 0
f(x) ≤ 0 v i ∀ x ⇔
f(x) < 0 v i ∀ x ⇔
a < 0 a < 0
∆ < 0 ∆ ≤ 0
2. So sánh nghi m tam th c b c hai v i s th c α
ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và x1 < α < x 2 là: a.f( α ) < 0.
•
• ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và α n m ngoài kho ng hai
∆ > 0
nghi m:
a.f (α) > 0
∆ > 0
- N u α n m bên ph i hai nghi m: x1 < x 2 < α ⇒ a.f (α ) > 0
S b
=− 0
- N u α n m bên trái hai nghi m: α < x1 < x 2 ⇒ a.f (α ) > 0
S b
=− >a
2 2a
• ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và m t nghi m n m trong, m t nghi m
f( α ).f( β ) < 0.
n m ngoài ño n [ α; β ] là:
3. ði u ki n ñ f(x) có nghi m th a mãn x > α :
• Trư ng h p 1: f(x) có nghi m x1 < α < x 2 ⇔ a.f( α ) < 0.
∆ ≥ 0
• Trư ng h p 2: f(x) có nghi m α < x1 < x 2 ⇔ a.f (α) > 0
S
α <
2
f (α ) = 0
• Trư ng h p 3: f(x) có nghi m α = x1 < x 2 ⇔ S
α < 2
( Làm tương t v i trư ng h p x < α và khi x y ra d u b ng)
Ngoài ra ta chú ý thêm ñ nh lí sau: Gi s hàm s y = f(x) liên t c. Khi ñó ñi u ki n ñ
phương trình f(x) = m có nghi m là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x).
2
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
B ng tóm t t ñ nh lý thu n v d u c a tam th c b c hai
N u ∆0
a.f(x) > 0 v i x ngoài [ x1 ; x 2 ]
a.f(x) > 0 v i ∀ x b
a.f(x) > 0 v i ∀ x ≠ -
a.f(x) < 0 v i x1 < x < x 2
2a
B ng tóm t t so sánh nghi m tam th c b c hai v i s th c α
ði u ki n ñ f(x) = ax2 + bx + c có hai nghi m phân bi t và
α n m gi a kho ng hai nghi m α n m ngoài kho ng hai nghi m
x1 < α < x 2
∆ > 0
a.f (α ) > 0
x1 < x 2 < α x1 < x 2 < α
a.f( α ) < 0
∆ > 0 ∆ > 0
a.f (α ) > 0 a.f (α ) > 0
S S
b b
=− a
2 2
2a 2a
1. Tìm m ñ phương trình x 2 − 2( m + 4) x + m 2 + 8 = 0 có 2 nghi m dương.
Ví d
2. Xác ñ nh a ñ bi u th c (a + 1) x 2 − 2(a − 1) x + 3a − 3 luôn dương
Ví d
3. Tìm m ñ b t phương trình x 2 + x − 2 ≥ m nghi m ñúng v i m i x.
Ví d
4. Tìm m ñ phương trình x 2 + mx + 2m = 0 có hai nghi m x1 , x 2 th a mãn
Ví d
-1< x1 < x 2
5. Tìm m ñ phương trình x − 2mx + 2m 2 − 1 = 0 có nghi m th a mãn
2
Ví d
− 2 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ 4
6. Cho phương trình x + ( m + 2) x + 3m − 2 =0
2
Ví d
Tìm m ñ phương trình có hai nghi m phân bi t nh hơn 2
7. Tìm m ñ phương trình x 2 − 2mx + m + 2 = 0 có nghi m l n hơn 1
Ví d
8. Tìm m ñ phương trình x 2 − 6mx + 9m 2 − 2m + 2 = 0 có nghi m x1 ≤ x 2 ≤ 3
Ví d
3
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH CH A GIÁ TR TUY T ð I
ax 4 + bx 2 + c = 0, a ≠ 0
I. Phương trình trùng phương (1)
ð t t = x ≥ 0 phương trình (1) tr thành: at + bt + c = 0
2
2
(2)
• PT (1) có nghi m khi và ch khi (2) có ít nh t m t nghi m không âm.
• PT (1) có ñúng hai nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có ñúng m t nghi m dương.
• PT (1) có ñúng 3 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có m t nghi m b ng 0 và m t
nghi m dương.
• PT (1) có ñúng 4 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có hai nghi m dương phân
bi t.
Ví d 1. Cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – 1 = 0.
a)Tìm các giá tr c a m ñ phương trình vô nghi m.
b)Tìm các giá tr c a m ñ phương trrình có 4 nghi m phân bi t.
y = x4 -2(m+4)x2 + m2 + 8
Ví d 2. Tìm m sao cho ñ th hàm s
c t tr c hoành l n lư t t i 4 ñi m phân bi t A, B, C, D v i AB = BC = CD.
II. Phương trình ch a giá tr tuy t ñ i
1) Các d ng cơ b n:
b ≥ 0
|a|=b ⇔ | a | = | b | ⇔ a = ±b
a = ± b
b < 0
b ≥ 0
| a | ≥ b ⇔ b ≥ 0
⇔ 2
|a| ≤ b
a ≤ b
2
a 2 ≥ b 2
| a | ≥ | b | ⇔ a 2 ≥ b2
| x2 – 3x + 2 | - 2x = 1.
i phương trình
Ví d 1. Gi
x2 - | 4x – 5 | < 0.
i b t phương trình
Ví d 2. Gi
i và bi n lu n phương trình
Ví d 3. Gi | 2x – m | = x.
i phương trình
Ví d 4. Gi 4|sinx| + 2cos2x = 3.
i và bi n lu n b t phương trình | 3x2 -3x – m | ≤ | x2 – 4x + m |.
Ví d 5. Gi
2)Phương pháp ñ th :
a) Cách v ñ th hàm s y = | f(x) | khi ñã bi t ñ th hàm s y = f(x).
- Chia ñ th hàm s f(x) ra 2 ph n: ph n ñ th n m phía trên tr c hoành (1) và
ph n ñ th n m phía dư i tr c hoành (2).
- V ph n ñ th ñ i x ng v i ph n ñ th (2) qua tr c hoành ñư c ph n ñ th
(3).
- ð th hàm s y = | f(x) | là ñ th g m ph n ñ th (1) và ph n ñ th (3) v a
v.
b) ð nh lí: S nghi m c a phương trình g(x) = h(m) là s giao ñi m c a ñư ng th ng
n m ngang y = h(m) v i ñ th hàm s y = g(x). Khi g p phương trình có tham s ta tách riêng
chúng v m t v c a phương trình r i v ñ th hàm s y = g(x) và ñư ng th ng y = h(m) r i áp
d ng ñ nh lí trên ñ bi n lu n.
Ví d 6. Tìm m ñ phương trình | x2 – 1 | = m4 – m2 +1 có 4 nghi m phân bi t.
Ví d 7. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m.
4
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T
I.Các d ng cơ b n
f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔ f(x) = [ ϕ( x ) ]2n+1
2 n +1
D ng 1:
ϕ( x ) ≥ 0
f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔
D ng 2: 2n
f ( x ) = [ϕ( x )]
2n
D ng 3:
f ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≥ 0
f ( x ) < ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) > 0 f ( x ) ≤ ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) ≥ 0
,
f ( x ) < [ϕ( x )]2 f ( x ) ≤ [ϕ( x )]2
D ng 4:
f ( x ) ≥ 0 f ( x ) < 0
ϕ( x ) < 0 ϕ( x ) ≥ 0
f ( x ) > ϕ( x ) ⇔ f ( x ) ≥ ϕ( x ) ⇔
,
ϕ( x ) ≥ 0 ϕ( x ) ≥ 0
f ( x ) > [ϕ( x )]2 f ( x ) ≥ [ϕ( x )]2
x 2 − 2x + 3 = 2x + 1
Ví d 1. Gi i phương trình
x 2 − x − 12 < x
Ví d 2. Gi i b t phương trình
2 x 2 + 5x − 6 > 2 − x
Ví d 3. Gi i b t phương trình
Ví d 4. Tìm m ñ phương trình có nghi m x − m = 2 x 2 + mx − 3
II. Các phương pháp gi i phương trình, b t phương trình vô t không cơ b n
1) Phương pháp lũy th a hai v :
- ð t ñi u ki n trư c khi bi n ñ i
- Ch ñư c bình phương hai v c a m t phương trình ñ ñư c phương trình tương ñương
(hay bình phương hai v c a m t b t phương trình và gi nguyên chi u) n u hai v c a chúng
không âm.
A2 = A .
- Chú ý các phép bi n ñ i căn th c
x +1 = 3 − x + 4
Ví d 5. Gi i phương trình
x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x
Ví d 6. Gi i b t phương trình
3 x − 5x + 5 > 1
Ví d 7. Gi i b t phương trình
x + 2 − x +1 ≤ x
Ví d 8. Gi i b t phương trình
2 x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2
Ví d 9.Gi i phương trình
Ví d 10.Gi i b t phương trình x 2 − 4x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1
2)Phương pháp ñ t n ph :
- Nh ng bài toán có tham s khi ñ t n ph ph i tìm t p xác ñ nh c a n m i.
- Chú ý các h ng ñ ng th c (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 , a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) , …
5x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2 x
Ví d 11.Gi i b t phương trình
x + 8 + 2 x + 7 + x +1− x + 7 = 4
Ví d 12.i i phương trình
x + 2 + x − 2 = 4 x − 15 + 4 x 2 − 4
Ví d 13.Gi i phương trình
3x 2 + 2 x − 2
4
9x 2 + =
Ví d 14.Gi i phương trình
x2 x
5 1
5 x+ < 2x + +4
Ví d 15.Gi i b t phương trình
2x
2x
5
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 4: H PHƯƠNG TRÌNH ð I X NG
I. H phương trình ñ i x ng lo i 1
1)Khái ni m: Là h mà m i phương trình không ñ i khi ta thay x b i y và thay y b i x.
2)Tính ch t: N u (xo, yo) là m t nghi m c a h thì (yo, xo) cũng là nghi m c a h .
3)Cách gi i:
x + y = S
Bi n ñ i h phương trình v d ng: H ñã cho ⇔ (1)
x.y = P
Khi ñó x, y là nghi m c a phương trình: t 2 − St + P = 0 (2)
N u ∆ = S – 4P > 0 thì phương trình (2) có hai nghi m t1 ≠ t2 nên h phương trình (1) có hai
2
nghi m phân bi t (t1, t2), (t2, t1).
N u ∆ = 0 thì phương trình (2) có nghi m kép t1 = t2 nên h (1) có nghi m duy nh t (t1, t2).
ði u ki n ñ h (1) có ít nh t m t c p nghi m (x, y) th a mãn x ≥ 0, y ≥ 0
∆ = S 2 − 4 P ≥ 0
S ≥ 0
P ≥ 0
x y + y x = 30
x + y = 2 x − y − xy = 3
Ví d 1.Gi i h phương trình 3 2
x + y = 26 x + y + xy = 1
x x + y y = 35
3 2
xy( x + 2)( y + 2) = 5m − 6
x + 1 + y −1 = m
Ví d 2.Tìm m ñ h sau có nghi m 2
x + y + 2( x + y ) = 2 m
x + y = m 2 − 4m + 6
2
II. H phương trình ñ i x ng lo i 2
1)Khái ni m: Là h phương trình mà trong h phương trình ta ñ i vai trò x, y cho nhau
thì phương trình n tr thành phương trình kia.
2)Tính ch t: N u (xo, yo) là m t nghi m c a h thì (yo, xo) cũng là nghi m c a h .
3)Cách gi i:
Tr v v i v hai phương trình c a h ta ñư c phương trình có d ng:
(x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 ho c f(x,y) = 0.
2 1
2x = y +
x 2 y − 4 = y 2
x 3 + xy 2 = 40 y
y
Ví d 3.Gi i các h phương trình 3 2
y + x y = 40 x xy − 4 = x
2 2
2 y 2 = x + 1
x
2 x + y − 1 = m x = y − y + m
2
Ví d 4.Tìm m ñ h sau có nghi m:
y = x 2 − x + m
2 y + x − 1 = m
6
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 5: M T S H PHƯƠNG TRÌNH D NG KHÁC
I . H vô t
x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2
Ví d 1. Gi i h phương trình
x+ y =4
x + y + xy = a
Ví d 2. Gi i và bi n lu n
x − y = a
x+ y + x− y =2
Ví d 3. Gi i h phương trình
y + x − y − x =1
x − 2−y = 2
Ví d 4. Gi i h phương trình
2−x + y = 2
x +1 + y = m
Ví d 5. Tìm m ñ h có nghi m
y +1 + x = 1
II. H h u t
3 2y
x 2 + y2 −1 + x = 1
Ví d 6. Gi i h phương trình
x 2 + y 2 + 4 x = 22
y
x 3 − y 3 = 7
Ví d 7. Gi i h phương trình
xy( x − y) = 2
x + 4 y = y + 16 x
3 3
Ví d 8. Gi i h phương trình
1 + y 2 = 5(1 + x 2 )
x − y = a (1 + xy)
Ví d 9. Tìm a ñ h có nghi m
xy + x + y + 2 = 0
2 y ( x 2 − y 2 ) = 3x
10. Gi i h phương trình
Ví d
x ( x 2 + y 2 ) = 10 y
x + y = m
11.Tìm m ñ h có hai nghi m phân bi t: 2
Ví d
x − y + 2x = 2
2
x − xy − y = −11
2 2
12. Gi i h phương trình 2
Ví d
( x − y 2 ) xy = 180
x 3 − y 3 = 19( x − y)
13. Gi i h phương trình 3
Ví d
x + y 3 = 7( x + y)
==========================================================
7
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
nguon tai.lieu . vn
