Xem mẫu
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
SỞ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO ðỒNG NAI
Trƣờng THPT BC Lê Hồng Phong
Giáo viên thực hiện
NGUYỄN TẤT THU
Năm học: 2008 – 2009
-1-
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
MỤC LỤC
MỤC LỤC.................................................................................................................................... 1
LỜI MỞ ðẦU.............................................................................................................................. 3
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG
DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT. ............................................................ 4
II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƢỢNG GIÁC ðỂ XÁC ðỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ........... 24
III. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP............................................................................................... 30
BÀI TẬP ÁP DỤNG ................................................................................................................. 41
KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ ...................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................ 46
-2-
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
LỜI MỞ ðẦU
Trong chƣơng trình toán học THPT các bài toán liên quan ñến dãy số là một phần
quan trọng của ñại số và giải tích lớp 11 , học sinh thƣờng gặp nhiều khó khăn khi giải
các bài toán liên qua ñến dãy số và ñặc biệt là bài toán xác ñịnh công thức số hạng tổng
quát của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi ñã xác ñịnh ñƣợc công thức tổng
quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần nhƣ ñƣợc giải quyết. Do ñó xác ñịnh công
thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất ñịnh trong các bài toán dãy số.
Chuyên ñề “Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số ”
nhằm chia sẻ với các bạn ñồng nghiệp một số kinh nghiệm giải bài toán xác ñịnh CTTQ
của dãy số mà bản thân ñúc rút ñƣợc trong quá trình học tập và giảng dạy.
Nội dung của chuyên ñề ñƣợc chia làm ba mục :
I: Sử dụng CSC – CSN ñể xây dựng phƣơng pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số
có dạng công thức truy hồi ñặc biệt.
II: Sử dụng phƣơng pháp thế lƣợng giác ñể xác ñịnh CTTQ của dãy số
III: Ứng dụng của bài toán xác ñịnh CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về
dãy số - tổ hợp .
Một số kết quả trong chuyên ñề này ñã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy
nhiên trong chuyên ñề các kết quả ñó ñƣợc xây dựng một cách tự nhiên hơn và ñƣợc sắp
xếp từ ñơn giản ñến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và
phát triển tƣ duy cho các em học sinh.
Trong quá trình viết chuyên ñề, chúng tôi nhận ñƣợc sự ñộng viên, giúp ñỡ nhiệt
thành của BGH và quý thầy cô tổ Toán Trƣờng THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tôi
xin ñƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc.
Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên ñề sẽ có những thiếu sót. Rất
mong quý Thầy – Cô và các bạn ñồng nghiệp thông cảm và góp ý ñể chuyên ñề ñƣợc tốt
hơn.
-3-
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÁC ðỊNH
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ
DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT.
Trong mục này chúng tôi xây dựng phƣơng pháp xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy
số có công thức truy hồi dạng ñặc biệt. Phƣơng pháp này ñƣợc xây dựng dựa trên
các kết quả ñã biết về CSN – CSC , kết hợp với phƣơng pháp chọn thích hợp. Trƣớc hết
chúng ta nhắc lại một số kết quả ñã biết về CSN – CSC .
1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân
1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng
ðịnh nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un un 1
d n 2 , d là số thực không ñổi
gọi là cấp số cộng .
d : gọi là công sai của CSC; u1 : gọi số hạng ñầu, un gọi là số hạng tổng quát của cấp số
ðịnh lí 1: Cho CSC (un ) . Ta có : un u1 (n 1)d (1).
ðịnh lí 2: Gọi Sn là tổng n số hạng ñầu của CSC (un ) có công sai d. Ta có:
n
Sn [2u1 (n 1)d ] (2).
2
1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân
ðịnh nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un 1 q.un n ℕ * gọi là cấp số nhân công
bội q .
ðịnh lí 3: Cho CSN (un ) có công bội q . Ta có: un u1q n 1
(3).
ðịnh lí 4: Gọi Sn là tổng n số hạng ñầu của CSN (un ) có công bội q . Ta có:
1 - qn
Sn u1 (4).
1-q
-4-
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
2. Áp dụng CSC – CSN ñể xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy số ñặc biệt
Ví dụ 1.1: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy số (un ) ñƣợc xác ñịnh bởi:
u1 1, un un 1
2 n 2.
Giải:
Ta thấy dãy (un ) là một CSC có công sai d 2 . Áp dụng kết quả (1) ta có:
un 1 2(n 1) 2n 3.
Ví dụ 1.2: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy số (un ) ñƣợc xác ñịnh bởi:
u1 3, un 2un 1
n 2.
Giải:
Ta thấy dãy (un ) là một CSN có công bội q 2 . Ta có:un 3.2n 1
.
Ví dụ 1.3: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy (un ) ñƣợc xác ñịnh bởi:
u1 2, un 3un 1
1 n 2.
Giải:
Trong bài toán này chúng ta gặp khó khăn vì dãy (un ) không phải là CSC hay CSN! Ta
thấy dãy (un ) không phải là CSN vì xuất hiện hằng số 1 ở VT. Ta tìm cách làm mất
1 ñi và chuyển dãy số về CSN.
3 1
Ta có: 1 nên ta viết công thức truy hồi của dãy nhƣ sau:
2 2
1 3 1
un 3un 1 3(un 1 ) (1).
2 2 2
1 5
ðặt vn u n v1 và vn 3vn 1 n 2 . Dãy (vn ) là CSN công bội q 3
2 2
5 n 1 1 5 n 1
vn v1.q n 1 .3 . Vậy u n vn .3 n 1, 2, ..., ...
2 2 2 2
3 1
Nhận xét: Mẫu chốt ở cách làm trên là ta phân tích 1 ñể chuyển công thức
2 2
truy hồi của dãy về (1), từ ñó ta ñặt dãy phụ ñể chuyển về dãy (vn ) là một CSN. Tuy
nhiên việc làm trên có vẻ không tự nhiên lắm! Làm thế nào ta biết phân tích
3 1
1 ? Ta có thể làm nhƣ sau:
2 2
-5-
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
1
Ta phân tích 1 k 3k k .
2
u1 x0
Với cách làm này ta xác ñịnh ñƣợc CTTQ của dãy (u n ) : .
un aun 1
b n 2
Thật vậy:
* Nếu a 1 thì dãy (un ) là CSC có công sai d b nên un u1 (n 1)b .
ab b
* Nếu a 1 , ta viết b . Khi ñó công thức truy hồi của dãy ñƣợc viết nhƣ
a 1 a 1
b b b b
sau: u a(u ), từ ñây ta có ñƣợc: u (u )a n 1
n n 1 n a 1 1 a 1
a 1 a 1
an 1
1
Hay u n u1a n 1
b .
a 1
Vậy ta có kết quả sau:
Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 x 0 , un aun 1
b n 2 (a,b 0 là các hằng số) có
CTTQ là:
u1 (n 1)b khi a 1
un an 1
1 .
n 1
u1 .a b khi a 1
a 1
Ví dụ 1.4: Xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) ñƣợc xác ñịnh : u1 2; un 2un 1
3n 1.
Giải: ðể tìm CTTQ của dãy số ta tìm cách làm mất 3n 1 ñể chuyển về dãy số là một
CSN. Muốn làm vậy ta viết :
3n 1 3n 5 2 3(n 1) 5 (2).
Khi ñó công thức truy hồi của dãy ñƣợc viết nhƣ sau:
un 3n 5 2 un 3(n 1) 5 .
ðặt vn un 3n 5 , ta có: v1 10 và vn 2vn 1
n 2 vn v1.2n 1
10.2 n 1
Vậy CTTQ của dãy (u n ) : un vn 3n 5 5.2n 3n 5 n 1, 2, 3,... .
Chú ý : 1) ðể phân tích ñƣợc ñẳng thức (2), ta làm nhƣ sau:
-6-
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
a b 2 a 3
3n 1 an b 2 a(n 1) b . Cho n 1;n 2 ta có: b 5 .
b 5
u1
2) Trong trƣờng hợp tổng quát dãy un : , trong ñó f (n)
un aun 1
f (n) n 2
là một ña thức bậc k theo n , ta xác ñịnh CTTQ nhƣ sau:
Phân tích f (n) g(n) ag(n 1) (3) với g(n) cũng là một ña thức theo n . Khi ñó ta
có: u n g(n) a un 1 g(n 1) ... an 1
u1 g(1)
Vậy ta có: u n u1 g(1) a n 1
g(n) .
Vấn ñề còn lại là ta xác ñịnh g(n) nhƣ thế nào ?
Ta thấy :
*Nếu a 1 thì g(n) ag(n 1) là một ña thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(n) một bậc và
không phụ thuộc vào hệ số tự do của g(n) , mà f (n) là ña thức bậc k nên ñể có (3) ta
chọn g(n) là ña thức bậc k 1 , có hệ số tự do bằng không và khi ñó ñể xác ñịnh g(n)
thì trong ñẳng thức (3) ta cho k 1 giá trị của n bất kì ta ñƣợc hệ k 1 phƣơng trình,
giải hệ này ta tìm ñƣợc các hệ số của g(n) .
* Nếu a 1 thì g(n) ag(n 1) là một ña thức cùng bậc với g(n) nên ta chọn g(n) là
ña thức bậc k và trong ñẳng thức (3) ta cho k 1 giá trị của n thì ta sẽ xác ñịnh ñƣợc
g(n) .
Vậy ta có kết quả sau:
u1 x0
Dạng 2: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) ñƣợc xác ñịnh bởi: , trong
un a.un 1
f (n)
ñó f (n) là một ña thức bậc k theo n ; a là hằng số. Ta làm nhƣ sau:
Ta phân tích: f (n) g(n) a.g(n 1) với g(n) là một ña thức theo n . Khi ñó, ta ñặt
vn un g(n) ta có ñƣợc: un u1 g(1) a n 1
g(n) .
Lƣu ý nếu a 1, ta chọn g(n) là ña thức bậc k 1 có hệ số tự do bằng không, còn nếu
a 1 ta chọn g(n) là ña thức bậc k .
u1 2
Ví dụ 1.5: Cho dãy số (un ) : . Tìm CTTQ của dãy (u n ) .
un un 1
2n 1
Giải: Ta phân tích 2n 1 g(n) g(n 1) a n2 (n 1)2 b n (n 1)
-7-
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
( trong ñó g(n) an 2 bn ).
a b 1 a 1
Cho n 0, n 1 ta có hệ: g(n) n2 2n .
a b 3 b 2
un n2 2n 1.
u1 1
Ví dụ 1.6: Cho dãy số (un ) : .Tìm CTTQ của dãy (un ) .
un 3un 1 2n ; n 2, 3,...
Giải: Ta vẫn bắt chƣớc cách làm trong các ví dụ trên, ta phân tích:
2n a.2n 3a.2n 1
. Cho n 1 , ta có: a 2 2n 2.2n 3.2.2n 1
Nên ta có: u n 2.2n 3(u n 1 2.2n 1
) ... 3n 1(u1 4)
Vậy un 5.3n 1
2n 1
.
n
Chú ý : Trong trƣờng hợp tổng quát dãy (un ) : un a.un 1
b. , ta phân tích
n n n 1
k. ak. với (a ).
Khi ñó: u n kb. n
a un 1 kb. n 1
... an 1
u1 bk
Suy ra u n an 1
(u 1 bk ) bk. n
.
n n n 1
Trƣờng hợp a , ta phân tích n. (n 1).
n n 1 n 1
un bn. un 1
b(n 1). ... (u1 b )
n n 1
un b(n 1) u1 . Vậy ta có kết quả sau.
u1
Dạng 3: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) : n , ta làm nhƣ
un a.un 1
b. n 2
sau:
n n 1
Nếu a un b(n 1) u1 .
n n n 1
Nếu a , ta phân tích k. ak. . Khi ñó: u n an 1
(u 1 bk ) bk. n
Ta tìm ñƣợc: k .
a
-8-
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
u1 2
Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy (un ) : .
un 5un 1 2.3n 6.7n 12 ; n 2, 3, ...
3
3n k.3n 5k.3n 1 k
2
Giải: Ta có: l.7n 5l.7n 1
cho n 1 , ta ñƣợc:
7n 7
l
2
Hơn nữa 12 3 5.3 nên công thức truy hồi của dãy ñƣợc viết lại nhƣ sau:
un 3.3 n 21.7 n 3 5 un 1
3.3n 1
21.7n 1
3 ... 5n 1(u1 9 147 3)
Vậy un 157.5n 1
3n 1
3.7n 1
3.
u1 1
Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy (un ) : .
un 2un 1
3n n; n 2
3n 3.3n 2.3.3n 1
Giải: Ta phân tích: nên ta viết công thức truy hồi của dãy
n n 2 2 (n 1) 2
nhƣ sau: u n 3.3n n 2 2 un 1
3.3n 1
(n 1) 2 ... 2n 1
(u 1 12)
Vậy un 11.2n 1
3n 1
n 2.
u1 p
Dạng 4: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) : n , trong
un a.un 1
b. f (n); n 2
n
ñó f (n) là ña thức theo n bậc k , ta phân tích và f (n) nhƣ cách phân tích ở dạng 2
và dạng 3.
Ví dụ 1.9: Xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) : u0 1, u1 3, un 5un 1
6un 2
n 2.
Giải: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy số trên, ta thay thế dãy (un ) bằng một dãy số khác là
một CSN. Ta viết lại công thức truy hồi của dãy nhƣ sau:
-9-
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
x1 x 2 5
un x1.un 1
x 2 (un 1
x 1un 2
) , do ñó ta phải chọn x 1, x 2 : hay x 1, x 2 là
x 1x 2 6
nghiệm phƣơng trình : x 2 5x 6 0 x 2; x 3 . Ta chọn x 1 2; x 2 3 . Khi ñó:
un 2un 1
3(un 1
2un 2
) ... 3 n 1(u1 2u 0 ) 5.3 n 1
un 2un 1
5.3 n 1
. Sử dụng kết quả dạng 3, ta tìm ñƣợc: un 5.3n 6.2n .
Chú ý : Tƣơng tự với cách làm trên ta xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) ñƣợc xác ñịnh bởi:
u 0 ; u1
, trong ñó a,b là các số thực cho trƣớc và a 2 4b 0
un a.un 1
b.un 2
=0 n 2
nhƣ sau:
Gọi x 1, x 2 là hai nghiệm của phƣơng trình : x 2 ax b 0 (4) ( phƣơng trình này
ñƣợc gọi là phƣơng trình ñặc trƣng của dãy).
Khi ñó: u n x1 .un 1 x2 (u n 1 x1.u n 2 ) ... x2 1 (u 1 x1 .u 0 ) .
n
Sử dụng kết quả của dạng 3, ta có các trƣờng hợp sau:
x 2 .u 0 u1 n u1 x.u0 n n n
Nếu x 1 x 2 thì un x1 x 2 . Hay un k.x 1 l.x 2 , trong ñó
x 2 x1 y x
k l u0
k,l là nghiệm của hệ: .
x 1.k x 2 .l u1
n 1 u0a au0 n 1
Nếu x 1 x2 thì un (u1 )n , hay un (kn l) , trong
2 2
l .u 0
ñó k,l là nghiệm của hệ: .
k l u1
Vậy ta có kết quả sau:
u 0 ; u1
Dạng 5: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) : , trong
u n a.u n 1 b.u n 2 0 n 2
ñó a,b,c là các số thực khác không; a 2 4b 0 ta làm nhƣ sau:
Gọi x 1, x 2 là nghiệm của phƣơng trình ñặc trƣng: x 2 ax b 0.
- 10 -
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
n n
k l u0
Nếu x 1 x 2 thì un k.x 1 l.x 2 , trong ñó k,l là nghiệm của hệ : .
x 1.k x 2 .l u1
n 1
l .u 0
Nếu x 1 x2 thì un (kn l) , trong ñó k,l là nghiệm của hệ: .
k l u1
u0 1; u1 2
Ví dụ 1.10: Cho dãy số un ñƣợc xác ñịnh bởi : .
un 1
4un un 1
n 1
Hãy xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) .
Giải:
Phƣơng trình x 2 4x 1 0 có hai nghiệm x 1 2 5; x2 2 5.
n n
k l 1
un k.x1 l.x 2 . Vì u 0 1;u1
2 nên ta có hệ: (2 5)k (2 5)l 2
1 1
k l . Vậy u n (2 5)n (2 5)n .
2 2
u0 1;u1 3
Ví dụ 1.11: Xác ñịnh CTTQ của dãy: (u n ) : .
un 4un 1
4un 2
0 n 2, 3,...
Giải:
Phƣơng trình ñặc trƣng x 2 4x 4 0 có nghiệm kép x 2 nên un (kn l )2n 1
l 2
Vì u 0 1; u1 3 nên ta có hệ: k 1;l 2.
k l 3
Vậy un (n 2)2n 1
.
u0 1;u 1 3
Ví dụ 1.12: Cho dãy (un ) : . Xác ñịnh
un 5un 1 6u n 2
2n 2 2n 1; n 2
CTTQ của dãy (un ) .
Giải:
Với cách làm tƣơng tự nhƣ Ví dụ 1.4, ta phân tích: 2n 2 2n 1
- 11 -
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
(kn 2 ln t) 5 k(n 1)2 l(n 1) t 6 k(n 2)2 l(n 2) t (5)
19k 7l 2t 1 k 1
Ở (5) cho n 0; n 1;n 2 ta có hệ: 7k 5l 2t 5 l 8 .
k 3l 2t 13 t 19
ðặt vn un n2 8n 19 v0 20; v1 25 và vn 5vn 1
6vn 2
0
20 15
vn .3n .2n . Ta có hệ:
3 2 25 35
vn 15.3n 35.2n un 15.3n 35.2n n2 8n 19 .
u0 ; u1
Chú ý : ðể xác ñịnh CTTQ của dãy số: (un ) : ,
un 1 a.un b.un 1
f (n) ; n 2
( trong ñó f (n) là ña thức bậc k theo n và a 2 4b 0 ) ta làm nhƣ sau:
Ta phân tích f (n) g(n) ag(n 1) bg(n 2) (6) rồi ta ñặt vn un g(n)
v0 u0 g(0); v1 u1 g(1)
Ta có ñƣợc dãy số (vn ) : . ðây là dãy số mà ta ñã xét
vn avn 1
bvn 2
0 n 2
trong dạng 5. Do ñó ta sẽ xác ñịnh ñƣợc CTTQ của vn un .
Vấn ñề còn lại là ta xác ñịnh g(n) nhƣ thế nào ñể có (6) ?
Vì f (n) là ña thức bậc k nên ta phải chọn g(n) sao cho g(n) ag(n 1) bg(n 2) là
một ña thức bậc k theo n . Khi ñó ta chỉ cần thay k 1 giá trị bất kì của n vào (6) ta sẽ
xác ñịnh ñƣợc g(n) .
Giả sử g(n) a m nm am 1n m 1
... a1 n a 0 (a m 0 ) là ña thức bậc m . Khi ñó hệ
số của x m và x m 1
trong VP là: a m .(1 a b) và (a 2b)m.a m (1 a b)a m 1
.
Do ñó :
i) Nếu PT: x 2 ax b 0 (1) có nghiệm hai nghiệm phân biệt khác 1 thì
1 a b 0 nên VP(6) là một ña thức bậc m .
ii) Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt trong ñó có một nghiệm x 1 1 a b 0
và (a 2b)m.am (1 a b)am 1 (a 2b).m.am 0 nên VP(6) là một ña thức bậc
m 1.
iii) Nếu PT (1) có nghiệm kép x 1 a 2;b 1 nên VP(6) là một ña thức bậc
m 2.
Vậy ñể chọn g(n) ta cần chú ý nhƣ sau:
- 12 -
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì g(n) là một ña thức cùng bậc với f (n)
Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong ñó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn
g(n) n.h(n) trong ñó h(n) là ña thức cùng bậc với f (n) .
Nếu (1) có nghiệm kép x 1 thì ta chọn g (n ) n 2 .h (n ) trong ñó h(n) là ña thức
cùng bậc với f (n) .
u 0 ; u1
Dạng 6: ðể tìm CTTQ của dãy (un ) : ,
un a.un 1
b.un 2
f (n) ; n 2
( trong ñó f (n) là ña thức theo n bậc k và b 2 4ac 0 ) ta làm nhƣ sau:
Xét g(n) là một ña thức bậc k : g(n) ak n k ... a1k a0 .
Nếu phƣơng trình : x 2 ax b 0 (1) có hai nghiệm phân biệt, ta phân tích
f (n) g(n) ag(n 1) bg(n 2) rồi ñặt vn un g(n) .
Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong ñó một nghiệm x 1 , ta phân tích
f (n) n.g(n) a(n 1)g(n 1) b(n 2)g(n 2) rồi ñặt vn un n.g(n).
Nếu (1) có nghiệm kép x 1 , ta phân tích
f (n) n 2 .g(n) a(n 1)2 .g(n 1) b(n 2)2 .g(n 2) rồi ñặt vn un n 2 .g(n) .
u0 1;u1 4
Ví dụ 1.13: Xác ñịnh CTTQ của dãy (u n ) : .
un 3un 1
2un 2
2n 1 n 2
Giải:
Vì phƣơng trình x 2 3x 2 0 có hai nghiệm x 1; x 2 nên ta phân tích
2n 1 n(kn l ) 3(n 1) k(n 1) l 2(n 2) k(n 2) l , cho n 0;n 1 ta
5k l 1
có hệ: k 1;l 6.
3k l 3
ðặt vn un n(n 6) v0 1;v1 11 và vn 3vn 1
2vn 2
0
1
vn .2n .1n với , : 10; 9
2 11
vn 10.2n 9 un 5.2n 1
n2 6n 9 n 0, 1, 2, ... .
- 13 -
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
u0 1;u1 3
Ví dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : .
un 4un 1
3un 2 5.2n n 2
Giải: Ta phân tích 2n a.2n 4a.2n 1 3a.2n 2
.
Cho n 2 ta có: 4 4a 8a 3a a 4
ðặt vn un 5.4.2 n v0 19;v1 43 và vn 4vn 1
3vn 2
0
Vì phƣơng trình x 2 4x 3 0 có hai nghiệm x 1, x 3 nên vn .3n .1n
19
Với , : 12; 7 vn 12.3n 7.
3 43
Vậy un 4.3n 1
5.2n 2
7 n 1, 2, ... .
Chú ý : Với ý tƣởng cách giải trên, ta tìm CTTQ của dãy số (un ) ñƣợc xác ñịnh bởi:
u 0 ;u1
n (với a 2 4b 0 ) nhƣ sau:
un a.un 1
b.un 2
c. n 2
Ta phân tích n k n a.k. n 1 b.k. n 2 (7).
Cho n 2 thì (7) trở thành: k( 2 a. b) 2
2
Từ ñây, ta tìm ñƣợc k khi không là nghiệm của phƣơng trình :
2
a b
2
x ax b 0 (8).
n
v0 u0 kc; v1 u1 kc
Khi ñó, ta ñặt vn un kc. , ta có dãy (v n ) :
vn a.v n 1
bvn 2
0 n 2
n
vn p.x 1 q.xn (x1, x 2 là hai nghiệm của (8)).
2
n
un p.x 1 q.xn
2
kc. n
.
2
Vậy nếu x là một nghiệm của (8), tức là: a b 0 thì ta sẽ xử lí thế nào ?
Nhìn lại cách giải ở dạng 3, ta phân tích :
n n n 1 n 2
kn. a.k(n 1) bk(n 2) (9).
2 a
Cho n 2 ta có: k(2 a) k(2 a) k ( ).
2 a 2
(2) có nghiệm k là nghiệm ñơn của phƣơng trình (8).
n n n
- 14 -
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Khi ñó: un p.x 1 q.x 2 kcn. .
- 14 -
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
a
Cuối cùng ta xét trƣờng hợp x là nghiệm kép của (8). Với tƣ tƣởng nhƣ trên,
2
n
ta sẽ phân tích: kn 2 . n
a.k(n 1)2 n 1
bk(n 2)2 n 2
(10).
2 2 1
Cho n 2 ta có: (10) 4k. ak. k .
4 a 2
1 2 n
Khi ñó: un p.x n
1
n
q.x2 cn . .
2
Vậy ta có kết quả sau:
u 0 ;u1
Dạng 7: Cho dãy số (un ) xác ñịnh bởi: n .
un a.un 1
b.un 2
c. ; n 2
ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) ta làm nhƣ sau:
Xét phƣơng trình : x 2 ax b 0 (11)
Nếu phƣơng trình (11) có hai nghiệm phân biệt khác thì
2
un p.xn
1
n
q.x 2 kc. n
với k .
2
a b
Nếu phƣơng trình (11) có nghiệm ñơn x thì
un p.xn
1
n
q.x 2 kcn. n
với k .
2 a
1 2 n
Nếu x là nghiệm kép của (11) thì : un (p qn cn ). .
2
u0 1; u1 3
Ví dụ 1.15: Xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) : .
un 5un 1
6un 2
5.2n n 2
Giải:
Phƣơng trình x 2 5x 6 0 có hai nghiệm x 1 2; x 2 3 , do ñó
un p.2n q.3n 5kn.2n .
- 15 -
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
2
k 2
2 a 4 5
Với p q 1 k 2; p 26;q 25 .
2p 3q 10k 3
Vậy un 26.2n 25.3n 10n.2n 25.3n 2n 1
(5n 13) n 1, 2, ... .
u0 1; u1 3
Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy (u n ) : n
.
un 4 un 1
4 un 2
3.2
Giải:
3 2 n
Phƣơng trình x 2 4x 4 0 có nghiệm kép x 2 nên un (p qn n )2
2
p 1
Dựa vào u 0 , u1 ta có hệ: p 1;q 1.
p q 0
Vậy un (3n 2 2n 2)2n 1
n 1, 2, ... .
Với cách xây dựng tƣơng tự ta cũng có ñƣợc các kết quả sau:
u 0 , u1 , u2
Dạng 8: Cho dãy (un ) : .ðể xác ñịnh CTTQ
un aun 1
bun 2
cun 3 0 n 3
của dãy ta xét phƣơng trình: x 3 ax 2 bx c 0 (12) .
n
Nếu (12) có ba nghiệm phân biệt x 1, x 2, x 3 un x1 xn
2
n
x 3 . Dựa vào
u0 , u1, u2 ta tìm ñƣợc , , .
Nếu (12) có một nghiệm ñơn, 1 nghiệm kép:
n n
x1 x2 x3 un ( n)x 1 .x 3
Dựa vào u 0 , u1, u2 ta tìm ñƣợc , , .
Nếu (12) có nghiệm bội 3 x 1 x2 x3 un ( n n 2 )x 1 .
n
Dựa vào u 0 , u1, u2 ta tìm ñƣợc , , .
u1 0, u2 1, u3 3,
Ví dụ 1.17: Tìm CTTQ của dãy (un ) :
un 7u n 1
11.un 2 5.u n 3, n 4
- 16 -
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Giải : Xét phƣơng trình ñặc trƣng : x 3 7x 2 11x 5 0
Phƣơng trình có 3 nghiệm thực: x 1 x2 1, x 3 5
Vậy an n 5n
Cho n 1, n 2, n 3 và giải hệ phƣơng trình tạo thành, ta ñƣợc
1 3 1
, ,
16 4 16
1 3 1 n 1
Vậy a n n 1 .5 .
16 4 16
u0 2; un 2un 1 vn 1
Ví dụ 1.18: Tìm CTTQ của dãy số (u n ),(v n ) : n 1.
v0 1; vn un 1
2vn 1
Giải:
Ta có: un 2un 1
un 2
2vn 2
2un 1
un 2
2(un 1
2un 2
)
un 4un 1
3un 2
và u1 5
1 3n 1 1 3n
1
Từ ñây, ta có: un vn un 1
2un .
2 2
Tƣơng tự ta có kết quả sau:
xn pxn 1
qyn 1 ; x1
Dạng 9: Cho dãy (x n ), (y n ) : . ðể xác ñịnh CTTQ của hai dãy
yn ryn 1
sx n 1; y1
(x n ),(yn ) ta làm nhƣ sau:
Ta biến ñổi ñƣợc: x n (p s)x n 1
(ps qr )x n 2
0 từ ñây ta xác ñịnh ñƣợc x n ,
thay vào hệ ñã cho ta có ñƣợc yn .
Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau:
q r
xn yn (p s )( x n y
1
Ta ñƣa vào các tham số phụ , ' n 1
)
s p
q 'r
xn ' yn (p ' s)(x n y )
1
p 's n 1
- 17 -
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
q r
s p xn yn (p s)(x n 1 yn 1)
Ta chọn , ' sao cho
q 'r xn ' yn (p ' s)(x n 1
' yn 1
)
'
's p
xn yn (p s)n 1
(x 1 y1 )
giải hệ này ta tìm ñƣợc xn , yn .
xn ' yn (p ' s)n 1
(x1 ' y1 )
u1 1
Ví dụ 1.19: Tìm CTTQ của dãy (un ) : 2un 1
.
un n 2
3un 1
4
1 3un 1
4 3 1 1
Giải: Ta có 2 . ðặt x n , ta có:
un 2un 1
2 un 1
un
x1 1
5.2 n 1
3 2
3 xn un .
xn 2x n 1
2 5.2n 1
3
2
u1 2
Ví dụ 1.20: Tìm CTTQ của dãy số (u n ) : 9un 1 24 .
un n 2
5un 1
13
Giải: Bài toán này không còn ñơn giải nhƣ bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do,
do ñó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta ñƣa vào dãy phụ bằng
cách ñặt un x n t . Thay vào công thức truy hồi, ta có:
9xn 1
9t 24 ( 9 5t)x n 1
5t 2 22t 24
xn t xn
5x n 1
5t 13 5x n 1
5t 13
Ta chọn t : 5t 2 22t 24 0 t 2 x1 4
xn 1 1 3 1 11.3 n 1
10 4
xn 5 xn
5x n 1 3 xn xn 1 xn 4 11.3n 1
10
22.3n 1
11.3 n 1
un xn 2
- 18 -
- Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
24
.
10
- 19 -
nguon tai.lieu . vn
