Xem mẫu
- LÝ THUYẾT MẶT CONG
LÝ THUYẾT
CURVED MẶT CONG
SURFACE THEORY
CURVED SURFACE THEORY
TS. Lê Đào Hải An
TS. Lê Đào Hải An
ThS. Nguyễn Thị Hằng ThS. Nguyễn Thị Hằng
Đại học Hàng Hải Việt Nam
Đại học Hàng Hải Việt Nam
Ngày được
Ngày tòa soạn nhận tòa soạn
bàinhận được bài báo:09/03/2021
báo:09/03/2021
Ngày phản biện đánh giá: 19/03/2021
Ngày phản biện đánh
Ngày giá: 19/03/2021
bài báo được duyệt đăng: 26/03/2021
Ngày bài báo được duyệt đăng: 26/03/2021
Tóm tắt:
Bài viết này đề cập một số kiến thức liên quan tới lý thuyết mặt cong như dạng toàn
Tóm tắt:
phương thứ Bài
nhất,viết nàytoàn
dạng đề cập một sốthứ
phương kiến thức
hai, liên quan
độ cong tới lý
của các thuyếtvẽmặt
đường cong
trên một mặt.
như dạng toàn phương thứ nhất, dạng toàn phương thứ hai, độ cong của các
Điều này rất bổ ích cho các bạn học ngành cơ khi xét chuyển động của một chất điểm trên
mộtđường vẽ trên một mặt. Điều này rất bổ ích cho các bạn học ngành cơ khi xét
mặt cong.
chuyển động của một chất điểm trên một mặt cong.
Từ khóa: dạng toàn phương thứ nhất, dạng toàn phương thứ hai, mặt Ellipsôid, mặt
Parabôlôit,
Từ khóa: mặtdạng
Parabôlôit
toàn Hyperbolic.
phương thứ nhất, dạng toàn phương thứ hai, mặt
Ellipsôid, mặt Parabôlôit, mặt Parabôlôit Hyperbolic.
Summary:
Abstract:
This This
article article mentions
mentions some knowledge
some knowledge related
related to to surface
surface theory theory
such assuch
the first
as the form,
quadratic first quadratic
the secondform, the second
quadratic quadratic
form, the form,
curvature of thethe curvature
lines drawn onof athe
surface.
Thislines drawn
is very usefulonforathose
surface. This
of you is very
studying useful for
mechanics those
when of you studying
considering the movement
of amechanics
point on a when
surface.
considering the movement of a point on a surface.
Key words:first
Key words: firstquadratic
quadratic form,
form, second
second quadratic
quadratic form,form, Ellipsoid,
Ellipsoid, Paraboloid,
Paraboloid,
Hyperbolic Paraboloid.
Hyperbolic Paraboloid.
1. Mở đầu
Lý thuyết đường cong, đặc biệt là độ cong, mặt phẳng mật tiếp,.. là phần rất
quan trọng đối với bạn học ngành cơ học, thường gặp phải khi khảo sát sự
chuyển động của chất điểm trên một đường cong. Tiếp nối phần kiến thức về
đường cong trong không gian, các tính chất của đường cong nằm trên mặt S, đặc
biệt là độ cong của nó sẽ được trình bày trong bài báo này dựa vào sự kết hợp
của hai dạng toàn phương thứ nhất và thứ hai. Phần cuối bài báo giới thiệu các
đường chính khúc, đường tiệm cận, đường trắc địa thường xuất hiện trên mặt
cong S.
2.
18 Dạng toàn phương thứ nhất
TẠP CHÍ KHOA HỌC
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
Giả sử S là một mặt cong trơn trong ℝ3 , có phương trình tham biến
𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣),
- của hai dạng toàn phương thứ nhất và thứ hai. Phần cuối bài báo giới thiệu các
đường chính khúc, đường tiệm cận, đường trắc địa thường xuất hiện trên mặt
cong S.
2. Dạng toàn phương thứ nhất
Giả sử S là một mặt cong trơn trong ℝ3 , có phương trình tham biến
𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣),
�𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣), (𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣) ∈ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 . (1)
𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧(𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣),
Điều này có nghĩa là các hàm1x(u,v), y(u,v), z(u,v) là những hàm khả vi
liên tục trong 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 và
𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑦𝑦𝑦𝑦, 𝑧𝑧𝑧𝑧) 2 𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑧𝑧𝑧𝑧, 𝑥𝑥𝑥𝑥) 2 𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) 2
� � +� � +� � ≠ 0.
𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣) 𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣) 𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣)
Vẽ một đường cong 𝛾𝛾𝛾𝛾 trơn nằm trên mặt S, có phương trình u=u(t), v=v(t),
𝛼𝛼𝛼𝛼 ≤ 𝑡𝑡𝑡𝑡 ≤ 𝛽𝛽𝛽𝛽. Dĩ nhiên, các toạ độ x, y, z trên đường cong 𝛾𝛾𝛾𝛾 sẽ thỏa mãn x=x(u(t),
v(t)), y=y(u(t), v(t)), z=z(u(t), v(t)), 𝛼𝛼𝛼𝛼 ≤ 𝑡𝑡𝑡𝑡 ≤ 𝛽𝛽𝛽𝛽.
Khi điểm M trên mặt S chạy trên 𝛾𝛾𝛾𝛾, từ M(u,v) tới M’(𝑢𝑢𝑢𝑢 + ∆𝑢𝑢𝑢𝑢), 𝑣𝑣𝑣𝑣 + ∆𝑣𝑣𝑣𝑣) và
khi M’ →M thì vectơ ���������⃗ ������⃗ bằng
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀′ có phần chính là vectơ vi phân 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑀𝑀𝑀𝑀
������⃗ ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 (2)
𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢
Vectơ ������⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑀𝑀𝑀𝑀 nằm trên tiếp tuyến của 𝛾𝛾𝛾𝛾 tại M và được xác định khi cặp (du,
dv) được xác định. Như vậy, cặp các vi phân (du, dv) xác định phương của tiếp
tuyến của 𝛾𝛾𝛾𝛾 tại M. Điều này cũng hoàn toàn giống với cặp các vi phân (dy, dx)
xác định dương của tiếp tuyến của đường cong y=y(x) trong mặt phẳng tại điểm
(x,y) tương ứng.
������⃗ với chính nó và chú ý rằng �����⃗
Từ (2), ta nhân vô hướng vectơ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕
�=
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
1. Khi đó, ta thu được
2
������⃗ ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑀𝑀𝑀𝑀2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 2 = � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 + 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣� � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 + 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣� = � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 +
2
����⃗ ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
2 � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 . 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 + � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 2 ,
tức là ta có công thức
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 2 =
2 2
����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
� 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 + 2 � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 . 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 + � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 2 . (3)
2 2
����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗ ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
Đặt 𝐸𝐸𝐸𝐸 = � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � , 𝐹𝐹𝐹𝐹 = � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 . 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � , 𝐺𝐺𝐺𝐺 = � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � , ta cóTẠP CHÍ KHOA HỌC 19
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝑬𝑬𝑬𝑬𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝑮𝑮𝑮𝑮𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝓖𝓖𝓖𝓖(𝒅𝒅𝒅𝒅, 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅, 𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐)
(4)
- 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 2 =
2 2
����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
� 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 + 2 � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 . 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 + � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 2 . (3)
2 2
����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗ ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
Đặt 𝐸𝐸𝐸𝐸 = � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � , 𝐹𝐹𝐹𝐹 = � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 . 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � , 𝐺𝐺𝐺𝐺 = � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 � , ta có
𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝑬𝑬𝑬𝑬𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝑮𝑮𝑮𝑮𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝓖𝓖𝓖𝓖(𝒅𝒅𝒅𝒅, 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅, 𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐)
(4)
Chú ý rằng những đại lượng E, F, G này đã được dùng để tính diện tích của
một mặt. Biểu thức trong (4) là một dạng toàn phươn đối với du, dv và được gọi
là dạng toàn phương thứ nhất của mặt cong S. Đặc biệt, nó có thể được dùng để
tính độ dài của một đường cong nằm trên mặt S khi đường cong được cho dưới
dạng một phương trình liên hệ giữa hai tham biến u, v.
Ví dụ. Cho đường cong Γ nằm trên nửa mặt cầu trên, tâm O, bán kính R sao cho
𝜃𝜃𝜃𝜃 𝜋𝜋𝜋𝜋 2
nó có phương trình 𝜑𝜑𝜑𝜑 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙𝑙𝑙 � 2 + 4 ��, trong đó 𝜑𝜑𝜑𝜑, 𝜃𝜃𝜃𝜃 lần lượt là hai góc kinh
và góc vĩ của mặt cầu. Xét cung 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � trên Γ sao cho điểm A nằm trên đỉnh mặt
𝜋𝜋𝜋𝜋
cầu và điểm B sao cho 𝜃𝜃𝜃𝜃𝐵𝐵𝐵𝐵 = . Tính độ dài cung 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 �.
6
Giải. Phương trình nửa mặt cầu trên là
𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑𝑅𝑅𝑅𝑅𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑,
� 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑𝑅𝑅𝑅𝑅𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑,
𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑,
𝜋𝜋𝜋𝜋
trong đó 0 ≤ 𝜃𝜃𝜃𝜃 ≤ , 0 ≤ 𝜑𝜑𝜑𝜑 < 2𝜋𝜋𝜋𝜋.
2
Coi (𝜃𝜃𝜃𝜃, 𝜑𝜑𝜑𝜑) đóng vai trò như (u, v), ta được E=R2, F=R2sin2 𝜃𝜃𝜃𝜃, F=0. Từ đó,
theo (4) ta có
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 2 = 𝑅𝑅𝑅𝑅2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜃𝜃𝜃𝜃 2 + 𝑅𝑅𝑅𝑅2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝜃𝜃𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑𝜑𝜑𝜑𝜑 2 .
𝜃𝜃𝜃𝜃 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜃𝜃𝜃𝜃
Đường cong Γ có phương trình 𝜑𝜑𝜑𝜑 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙𝑙𝑙 � + ��, nên 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜑𝜑𝜑𝜑 = , do
2 4 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
đó 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜃𝜃𝜃𝜃 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅. Vậy
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 2 = 𝑅𝑅𝑅𝑅2 (𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 2 𝜃𝜃𝜃𝜃 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝜃𝜃𝜃𝜃 )𝑑𝑑𝑑𝑑𝜑𝜑𝜑𝜑 2 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ⇒
𝜃𝜃𝜃𝜃 𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜑𝜑𝜑𝜑 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝜑𝜑𝜑𝜑 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙𝑙𝑙 � 2 + 4 �� + 𝐶𝐶𝐶𝐶.
Chọn gốc cung s tại điểm A, ta có với mọi điểm M(𝜃𝜃𝜃𝜃, 𝜑𝜑𝜑𝜑) trên Γ
� ) = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝜑𝜑𝜑𝜑 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝜃𝜃𝜃𝜃 + 𝜋𝜋𝜋𝜋��.
s(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
2 4
𝜋𝜋𝜋𝜋 1 𝑅𝑅𝑅𝑅
� ) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙3.
Như vậy với điểm B, ta có 𝜃𝜃𝜃𝜃𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 , 𝜑𝜑𝜑𝜑𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙3. Vậy s(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 2
3. Dạng toàn phương thứ hai
Giả
20 TẠP CHÍsử choHỌC
KHOA mặt S xác định bởi hệ phương trình (1), trong đó ta giả thiết các
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
hàm x(u,v), y(u,v), z(u,v) là những hàm khả vi liên tục hai lần đối với (𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣) ∈
𝐷𝐷𝐷𝐷𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 .
- � ) = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝜑𝜑𝜑𝜑 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙𝑙𝑙 � + ��.
s(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
2 4
𝜋𝜋𝜋𝜋 1
� ) = 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙3.
Như vậy với điểm B, ta có 𝜃𝜃𝜃𝜃𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 , 𝜑𝜑𝜑𝜑𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙3. Vậy s(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 2
3. Dạng toàn phương thứ hai
Giả sử cho mặt S xác định bởi hệ phương trình (1), trong đó ta giả thiết các
hàm x(u,v), y(u,v), z(u,v) là những hàm khả vi liên tục hai lần đối với (𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣) ∈
𝐷𝐷𝐷𝐷𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 .
��������⃗
Ta tính 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑀𝑀𝑀𝑀. Từ (2), lấy vi phân hai vế ta được
2 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 �����⃗ ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ���������⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 ���������⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 ���������⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕 2 𝜕𝜕𝜕𝜕
��������⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 2
+ 2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 2 +
𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢2 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 2
����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑢𝑢𝑢𝑢 + 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑣𝑣𝑣𝑣. (5)
𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢
�⃗ = ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 �⃗
𝑁𝑁𝑁𝑁
Kí hiệu 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ là vectơ đơn vị của pháp tuyến 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢
∧ 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢
, tức là 𝑙𝑙𝑙𝑙
�⃗ = �⃗�
�𝑁𝑁𝑁𝑁
. Ta
������⃗ ����⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
nhân vô hướng (5) với 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ , chú ý rằng 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ vuông góc với ,
𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢
, ta được
���������⃗
3
2
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 ���������⃗
2 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 ���������⃗
2
����������⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑀𝑀𝑀𝑀. 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ = 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢2 . 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 + 2 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 . 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 + 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 2 . 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 2
(6)
Dạng (6) được gọi là dạng toàn phương thứ hai (đối với du, dv) của mặt
���������⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 ���������⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕 2 𝜕𝜕𝜕𝜕
S. Ta thường kí hiệu tắt các tích vô hướng 𝐿𝐿𝐿𝐿 = . 𝑙𝑙𝑙𝑙,
���⃗ 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 . 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗, 𝑁𝑁𝑁𝑁 =
𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢2
���������⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕 2 𝜕𝜕𝜕𝜕
. 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ , và do đó dạng toàn phương được viết dưới dạng
𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝑢𝑢 2
����������⃗ �⃗ = 𝑳𝑳𝑳𝑳𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝑵𝑵𝑵𝑵𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝑩𝑩𝑩𝑩(𝒅𝒅𝒅𝒅, 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅, 𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐)
𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑴𝑴. 𝒏𝒏𝒏𝒏
(7)
Hai dạng toàn phương thứ nhất và thứ hai kết hợp lại cho ta khảo sát được
các tính chất của đường cong nằm trên mặt S, đặc biệt là khảo sát độ cong của
nó.
4. Độ cong của một đường cong vẽ trên mặt S
������⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕 ����⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 �𝜈𝜈𝜈𝜈⃗
Đối với đường cong Γ, ta có 𝜏𝜏𝜏𝜏⃗ = và 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 , trong đó s là hoành độ cong
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
� tính từ một điểm 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∈ Γ nào đó được chọn
của điểm M (tức là độ dài cung 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀
1
làm gốc), 𝜈𝜈𝜈𝜈⃗ là vectơ đơn vị của pháp tuyến chính, còn là độ cong của Γ tại M.
𝑅𝑅𝑅𝑅
Từ đó, ta có
���������⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 �𝜈𝜈𝜈𝜈⃗
= 𝑅𝑅𝑅𝑅 . (8)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2
Bây giờ, ta lấy dạng toàn phương thứ hai chia cho dạng toàn phương thứ
TẠP CHÍ KHOA HỌC 21
nhất, ta được QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
���������⃗
𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝑳𝑳𝑳𝑳𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 +𝟐𝟐𝟐𝟐𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝟐𝟐𝟐𝟐+𝑵𝑵𝑵𝑵𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑩𝑩𝑩𝑩(𝒅𝒅𝒅𝒅,𝟐𝟐𝟐𝟐,𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅,𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐)
�⃗
𝒏𝒏𝒏𝒏 = = .
𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑬𝑬𝑬𝑬𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 +𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐+𝑮𝑮𝑮𝑮𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝓖𝓖𝓖𝓖(𝒅𝒅𝒅𝒅,𝟐𝟐𝟐𝟐,𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅,𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐)
- Từ đó, ta có
���������⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 �𝜈𝜈𝜈𝜈⃗
= 𝑅𝑅𝑅𝑅 . (8)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2
Bây giờ, ta lấy dạng toàn phương thứ hai chia cho dạng toàn phương thứ
nhất, ta được
���������⃗
𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝑳𝑳𝑳𝑳𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 +𝟐𝟐𝟐𝟐𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝟐𝟐𝟐𝟐+𝑵𝑵𝑵𝑵𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑩𝑩𝑩𝑩(𝒅𝒅𝒅𝒅,𝟐𝟐𝟐𝟐,𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅,𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐)
�⃗
𝒏𝒏𝒏𝒏 = = .
𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑬𝑬𝑬𝑬𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐 +𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐+𝑮𝑮𝑮𝑮𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝓖𝓖𝓖𝓖(𝒅𝒅𝒅𝒅,𝟐𝟐𝟐𝟐,𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅,𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐)
(9)
Công thức này được gọi là công thức Meusnier. Chú ý rằng từ (5), ta có thể viết
���������⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 1
vế trái của (9) dưới dạng 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ = 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗. 𝑣𝑣𝑣𝑣⃗ =
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑅𝑅𝑅𝑅
1
cos(𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗, 𝑣𝑣𝑣𝑣⃗).
𝑅𝑅𝑅𝑅
Vậy từ (8) và (9) cho ta
�⃗,���⃗)
cos(𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 +2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕+𝑁𝑁𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 2 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢)
= = (10)
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 +2𝐹𝐹𝐹𝐹𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑+𝐺𝐺𝐺𝐺𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 2 𝒢𝒢𝒢𝒢(𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢)
Sau đây nếu không có gì đặc biệt thì ta sẽ giả thiết B(u,v,du,dv) ≠ 0, khi đó
1 𝜋𝜋𝜋𝜋
≠ 0 và góc giữa 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ và 𝑣𝑣𝑣𝑣⃗ khác 2 .
𝑅𝑅𝑅𝑅
Khi cho trước mặt S thì các đại lượng E, F, G, L, M, N được hoàn toàn xác
định. Nếu hai đường cong Γ ′ và Γ ′′ cùng đi qua M và tại đó chúng cùng chung
một tiếp tuyến Δ thì tại M chúng có cùng chung các đại lượng E, F, G, L, M, N,
du, dv như nhau, nghĩa là chúng có cùng các dạng toàn phương thứ nhất
4
𝒢𝒢𝒢𝒢 (𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣) và dạng toàn phương thứ hai 𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣) như nhau. Ngoài
ra, nếu tại M chúng có cùng một mặt phẳng mật tiếp thì chúng có cùng chung
một vectơ pháp tuyến chính 𝑣𝑣𝑣𝑣⃗. Vậy theo công thức (10) chúng sẽ cùng chung
1
một độ cong 𝑅𝑅𝑅𝑅, do đó có cùng tâm cong 𝜔𝜔𝜔𝜔, cùng một bán kính cong R.
Trong số các đường cong trên mặt S, đi qua M, cùng chung tiếp tuyến Δ và
cùng chung mặt phẳng mật tiếp (P) tại M, có đường cong phẳng, cụ thể là đường
cong giao tuyến L của mặt S và mặt phẳng mật tiếp nói trên. Ta gọi nó là giao
tuyến phẳng của S và(P). Dĩ nhiên, nó cũng có tâm cong là 𝜔𝜔𝜔𝜔 và bán kính cong
là R.
Vì vậy, để xét độ cong, tâm cong của lớp các đường cong cùng chung tiếp
tuyến và mặt phẳng mật tiếp tại M, ta có thể lấy đại diện là độ cong, tâm cong
1
của giao tuyến phẳng nói trên. Để cụ thể ta kí hiệu chúng lần lượt là 𝑅𝑅𝑅𝑅 , 𝜔𝜔𝜔𝜔𝐿𝐿𝐿𝐿 .
𝐿𝐿𝐿𝐿
Bây giờ ta cố định điểm M và tiếp tuyến Δ và cho thay đổi mặt phẳng mật
tiếp (P). Với hai mặt phẳng mật tiếp khác nhau (P) và (P’) thì từ (10) cho ta
�⃗,���⃗)
cos(𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑢𝑢 �⃗,�����⃗
cos�𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑢𝑢 ′ �
= (11)
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅 ′
22 TẠP CHÍ KHOA HỌC
Cố định (P), thay đổi (P’) thì cos�𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗, ����⃗
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
𝑣𝑣𝑣𝑣 ′ � và R’ thay đổi theo. Khi ����⃗
𝑣𝑣𝑣𝑣 ′ cùng
’
phương với 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ (cùng hoặc ngược chiều) thì mặt phẳng (P ) chứa 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ và nó là mặt
phẳng thẳng góc với mặt S. Khi đó, cos�𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗, ����⃗ 𝑣𝑣𝑣𝑣 ′ � = ±1 và giao tuyến phẳng của S
’
- 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿
Bây giờ ta cố định điểm M và tiếp tuyến Δ và cho thay đổi mặt phẳng mật
tiếp (P). Với hai mặt phẳng mật tiếp khác nhau (P) và (P’) thì từ (10) cho ta
�⃗,���⃗)
cos(𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑢𝑢 �⃗,�����⃗
cos�𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑢𝑢 ′ �
= (11)
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅 ′
Cố định (P), thay đổi (P’) thì cos�𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗, ����⃗
𝑣𝑣𝑣𝑣 ′ � và R’ thay đổi theo. Khi ����⃗
𝑣𝑣𝑣𝑣 ′ cùng
phương với 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ (cùng hoặc ngược chiều) thì mặt phẳng (P’) chứa 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ và nó là mặt
phẳng thẳng góc với mặt S. Khi đó, cos�𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗, ����⃗ 𝑣𝑣𝑣𝑣 ′ � = ±1 và giao tuyến phẳng của S
và (P’) được gọi là giao tuyến phẳng thẳng góc (hay là thiết diện phẳng thẳng
góc) của S, tương ứng với tiếp tuyến ∆ và ta kí hiệu nó là 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑁𝑁𝑁𝑁 . Tâm cong, bán
kính cong và pháp tuyến chính của nó lần lượt được kí hiệu là 𝜔𝜔𝜔𝜔𝑁𝑁𝑁𝑁 , 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑁𝑁𝑁𝑁 , 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑁𝑁𝑁𝑁 Từ
����⃗.
(11) cho ta
�⃗,���⃗)
cos(𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑢𝑢 �⃗,������⃗)
cos(𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑁𝑁𝑁𝑁
= (12)
𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑁𝑁𝑁𝑁
�⃗,���⃗)
cos(𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑢𝑢 1
Rõ ràng 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ = ±𝑣𝑣𝑣𝑣𝑁𝑁𝑁𝑁 Nếu 𝑙𝑙𝑙𝑙
����⃗. 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑁𝑁𝑁𝑁 thì (12) cho ta
�⃗ = ����⃗
𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿𝐿𝐿
=
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑁𝑁𝑁𝑁
, còn nếu
�����⃗,
cos(−𝑢𝑢𝑢𝑢𝑁𝑁𝑁𝑁 ���⃗)
𝑢𝑢𝑢𝑢 1
𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ = −𝑣𝑣𝑣𝑣𝑁𝑁𝑁𝑁 thì ta có
����⃗
𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿𝐿𝐿
=−
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑁𝑁𝑁𝑁
. Cả hai trường hợp ta đều có thể viết
�����⃗,
cos(𝑢𝑢𝑢𝑢𝑁𝑁𝑁𝑁 ���⃗)
𝑢𝑢𝑢𝑢 1
= 𝑅𝑅𝑅𝑅 , hay
𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑁𝑁𝑁𝑁 cos(𝑣𝑣𝑣𝑣
����⃗, 𝑣𝑣𝑣𝑣) .
𝑁𝑁𝑁𝑁 ���⃗ (13)
Từ công thức này cho ta định lí Meusnier như sau
Định lí 1. (Meusnier) Tâm cong 𝜔𝜔𝜔𝜔𝐿𝐿𝐿𝐿 của giao tuyến phẳng L là hình chiếu của
tâm cong 𝜔𝜔𝜔𝜔𝑁𝑁𝑁𝑁 của giao tuyến phẳng thẳng góc 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑁𝑁𝑁𝑁 xuống mặt phẳng của L (mặt
phẳng mật tiếp của L).
Như vậy cho một đường cong Γ bất kì trên mặt S, đi qua M có tiếp thuyến
Δ thì tâm cong 𝜔𝜔𝜔𝜔Γ (= 𝜔𝜔𝜔𝜔𝐿𝐿𝐿𝐿 ) của nó là hình chiếu tâm cong 𝜔𝜔𝜔𝜔𝑁𝑁𝑁𝑁 của giao tuyến
phẳng thẳng góc của S chứa Δ xuống mặt5phẳng mật tiếp của Γ tại M.
5. Phân loại các điểm trên mặt cong
Trở lại công thức (10), trong đó ta xét giao tuyến phẳng thẳng góc 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑁𝑁𝑁𝑁
1
𝑣𝑣𝑣𝑣) = ±1) và độ cong của nó
(cos(𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗, ���⃗ 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑁𝑁𝑁𝑁
1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 + 2𝑀𝑀𝑀𝑀𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 2 𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣)
± = =
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 + 2𝐹𝐹𝐹𝐹𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 2 𝒢𝒢𝒢𝒢(𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣)
Ta viết công thức này dưới dạng đại số, trong đó 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑁𝑁𝑁𝑁 có thể dương hoặc âm.
Nó có dấu dương khi tâm cong 𝜔𝜔𝜔𝜔𝑁𝑁𝑁𝑁 ở về phía chiều của vectơ 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗, âm trong trường
hợp ngược lại.
1
Như vậy, nếu đặt 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 thì 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑁𝑁𝑁𝑁 là độ cong đại số của giao tuyến phẳng
𝑁𝑁𝑁𝑁
thẳng góc. Nó có dấu dương khi giao tuyến phẳng thẳng góc hướng
TẠP CHÍchiều lõm 23
KHOA HỌC
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
theo chiều vectơ 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ và âm trong trường hợp ngược lại.
Do đó, ta có
- Ta viết công thức này dưới dạng đại số, trong đó 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑁𝑁𝑁𝑁 có thể dương hoặc âm.
Nó có dấu dương khi tâm cong 𝜔𝜔𝜔𝜔𝑁𝑁𝑁𝑁 ở về phía chiều của vectơ 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗, âm trong trường
hợp ngược lại.
1
Như vậy, nếu đặt 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 thì 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑁𝑁𝑁𝑁 là độ cong đại số của giao tuyến phẳng
𝑁𝑁𝑁𝑁
thẳng góc. Nó có dấu dương khi giao tuyến phẳng thẳng góc hướng chiều lõm
theo chiều vectơ 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ và âm trong trường hợp ngược lại.
Do đó, ta có
𝐿𝐿𝐿𝐿𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 +2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕+𝑁𝑁𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 2 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢)
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑁𝑁𝑁𝑁 = = (14)
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 +2𝐹𝐹𝐹𝐹𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑+𝐺𝐺𝐺𝐺𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 2 𝒢𝒢𝒢𝒢(𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢)
Mẫu số của (14) là một đại lượng dương (=ds2), nên dấu của 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑁𝑁𝑁𝑁 là dấu của
dạng toàn phương thứ hai 𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣) ở tử số.
Ta có thể chọn trên mặt phẳng tiếp xúc tại M một hệ vectơ cơ sở vuông góc
���⃗ ������⃗ (trong hệ cũ
𝑡𝑡𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡𝑡𝑡���⃗2 , sao cho đối với hệ này nếu ta kí hiệu (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑) là vectơ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑀𝑀𝑀𝑀
������⃗(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣)) thì tồn tại một phép biến đổi
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙, 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙𝑙𝑙
� � 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑞𝑞𝑞𝑞 � ≠ 0,
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑,
đưa dạng toàn phương 𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣) = 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 + 2𝑀𝑀𝑀𝑀𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 2 về dạng
chính tắc
𝜆𝜆𝜆𝜆1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 2 + 𝜆𝜆𝜆𝜆2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2 (15)
Nếu L, M, N không đồng thời triệt tiêu thì có 3 trường hợp xảy ra
• 𝜆𝜆𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆𝜆𝜆2 có cùng dấu (loại ellip M2-LN0).
• một trong hai 𝜆𝜆𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆𝜆𝜆2 bằng không (loại parabol M2-LN=0).
Trong trường hợp thứ nhất, dù 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 lấy giá trị nào (tương ứng ������⃗ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑀𝑀𝑀𝑀 lấy bất
kỳ phương nào trong mặt phẳng tiếp xúc) thì 𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣) vẫn có cùng 1 dấu,
1
tức là 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑁𝑁𝑁𝑁 (hay 𝑅𝑅𝑅𝑅 cũng vậy) có cùng một dấu. Nói cách khác, khi tiếp tuyến Δ
𝑁𝑁𝑁𝑁
quay quanh pháp tuyến 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ thì các giao tuyến phẳng thẳng góc 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑁𝑁𝑁𝑁 luôn luôn
hướng phía lõm về cùng một phía (hoặc6 của 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗, hoặc của -𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗). Điểm M đó được
gọi là điểm thuộc loại ellip của mặt cong, ví dụ như điểm M là những điểm trên
mặt ellipsoid, mặt parabôlôit,… .
Trong trường hợp thứ hai, có những phương (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑) sao cho
𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣) có một dấu nào đó, nhưng lại có những phương (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑) khác
(
������⃗ có hai
để 𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣) có dấu khác. Điều này tương ứng với vectơ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑀𝑀𝑀𝑀
phương nào đó trong mặt phẳng tiếp xúc sao cho 𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣) có dấu khác
nhau (chẳng hạn phương (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑, 0) và phương (0, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑)). Nói cách khác, khi tiếp
tuyến Δ quay quanh pháp tuyến 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ thì có hai vị trí Δ1 và Δ2 sao cho khi Δ đi qua
mỗi vị trí đó thì các giao tuyến phẳng thẳng góc 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑁𝑁𝑁𝑁 tương ứng đang hướng phía
24 TẠP CHÍ KHOA HỌC
lõmQUẢN về phía LÝ VÀ này CÔNGthìNGHỆ
lại đổi chiều lõm hướng sang phía kia. Điểm M đó được gọi
là điểm thuộc loại hypebol của mặt cong, ví dụ như điểm M là điểm yên ngựa
trên mặt parabôlôit hyperbolic.
- ������⃗ có hai
để 𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣) có dấu khác. Điều này tương ứng với vectơ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑀𝑀𝑀𝑀
phương nào đó trong mặt phẳng tiếp xúc sao cho 𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣) có dấu khác
nhau (chẳng hạn phương (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑, 0) và phương (0, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑)). Nói cách khác, khi tiếp
tuyến Δ quay quanh pháp tuyến 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ thì có hai vị trí Δ1 và Δ2 sao cho khi Δ đi qua
mỗi vị trí đó thì các giao tuyến phẳng thẳng góc 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑁𝑁𝑁𝑁 tương ứng đang hướng phía
lõm về phía này thì lại đổi chiều lõm hướng sang phía kia. Điểm M đó được gọi
là điểm thuộc loại hypebol của mặt cong, ví dụ như điểm M là điểm yên ngựa
trên mặt parabôlôit hyperbolic.
Trong trường hợp thứ ba, có một phương trình duy nhất (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑, 0) (hoặc
(0, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑)) sao cho tương ứng với phương đó thì 𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣) triệt tiêu, còn đối
với những phương còn lại thì 𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣) giữ nguyên một dấu. Điều này
������⃗ có một phương duy nhất nào đó trong mặt phẳng tiếp
tương ứng với vectơ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑀𝑀𝑀𝑀
xúc sao cho đối với phương này thì giao tuyến phẳng thẳng góc 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑁𝑁𝑁𝑁 có độ cong
bằng không, còn đối với các phương khác thì độ cong của các giao tuyến phẳng
thẳng góc có cùng một dấu, có nghĩa là các giao tuyến này luôn luôn hướng
chiều lõm về cùng một phía so với 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ (hoặc -𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗). Điểm M đó được gọi là điểm
thuộc loại parabol của mặt cong, ví dụ như điểm M là điểm trên mặt nón hoặc
mặt trụ.
Còn trường hợp cuối cùng, nếu các hệ số của dạng 𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣) đều
bằng không (L=M=N=0) thì với bất kì mọi phương (du,dv) nào độ cong của
giao tuyến phẳng thẳng góc cũng đều bằng không. Điểm M trong trường hợp
này được gọi là điểm dẹt của mặt S.
6. Các đường chính khúc, tiệm cận, trắc địa
a. Đường chính khúc
Trên mặt S, tại mỗi điểm M, ta xét hai phương chính tại điểm đó. Bất kì
đường cong Γ nào trên mặt S sao cho phương của tiếp tuyến tại mọi điểm M của
nó đều trùng với một phương chính tại điểm ấy, đều được gọi là một đường
chính khúc của mặt S. Mỗi điểm có hai phương chính, nên trên mặt S ta có hai
họ các đường chính khúc trực giao nhau (chúng cắt nhau theo góc vuông).
Để tìm phương chính, ta chú ý đó là phương sao cho độ cong (hoặc bán
kính cong) đạt cực trị, tức là phương (du,dv) sao cho biểu thức ở vế giữa của
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢
(14) đạt cực trị. Kí hiệu 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 thì (14) có thể viết
𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚2 +2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕+𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑁𝑁𝑁𝑁 = (16)
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚2 +2𝐹𝐹𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚+𝐺𝐺𝐺𝐺
7
Ta cần tìm m để biểu thức này đạt cực trị, ta cho triệt tiêu đạo hàm của vế
phải theo m. Từ (𝑘𝑘𝑘𝑘𝑁𝑁𝑁𝑁 )′ = 0 ta được
2[(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚2 + 2𝐹𝐹𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐺𝐺𝐺𝐺 )(𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑀𝑀𝑀𝑀) − (𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚2 + 2𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑁𝑁𝑁𝑁)(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐹𝐹𝐹𝐹)] = 0,
hay
TẠP CHÍ KHOA HỌC 25
𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚2 + 2𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑀𝑀𝑀𝑀 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
= (17)
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚2 + 2𝐹𝐹𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐹𝐹𝐹𝐹
Theo tính chất của tỉ lệ thức, từ (17) cho ta
- phải theo m. Từ (𝑘𝑘𝑘𝑘𝑁𝑁𝑁𝑁 ) = 0 ta được
2[(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚2 + 2𝐹𝐹𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐺𝐺𝐺𝐺 )(𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑀𝑀𝑀𝑀) − (𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚2 + 2𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑁𝑁𝑁𝑁)(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐹𝐹𝐹𝐹)] = 0,
hay
𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚2 + 2𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑀𝑀𝑀𝑀
= (17)
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚2 + 2𝐹𝐹𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐹𝐹𝐹𝐹
Theo tính chất của tỉ lệ thức, từ (17) cho ta
𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚2 +2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕+𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚2 +𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚2 +2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕+𝑁𝑁𝑁𝑁)−(𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚2 +𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕+𝑁𝑁𝑁𝑁
= = =
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚2 +2𝐹𝐹𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚+𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚2 +𝐹𝐹𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚2 +2𝐹𝐹𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚+𝐺𝐺𝐺𝐺)−(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚2 +𝐹𝐹𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚+𝐺𝐺𝐺𝐺
(18)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢
Từ (17), (18) cho ta cực trị của 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑁𝑁𝑁𝑁 đạt được khi phương 𝑚𝑚𝑚𝑚 = thỏa mãn
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢
hệ thức
𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑁𝑁𝑁𝑁
= = 𝜆𝜆𝜆𝜆
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐺𝐺𝐺𝐺
hay dưới dạng đối xứng theo (du, dv)
𝐿𝐿𝐿𝐿𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑+𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕+𝑁𝑁𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑+𝐹𝐹𝐹𝐹𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑+𝐺𝐺𝐺𝐺𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝜆𝜆𝜆𝜆 (19)
1
trong đó 𝜆𝜆𝜆𝜆 chính là cực trị tương ứng của 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑁𝑁𝑁𝑁 (tức là 𝜆𝜆𝜆𝜆 = 𝑘𝑘𝑘𝑘1 = và 𝜆𝜆𝜆𝜆 = 𝑘𝑘𝑘𝑘2 =
𝑅𝑅𝑅𝑅 1
1
).
𝑅𝑅𝑅𝑅2
Từ (19) cho ta
(𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝜆𝜆𝜆𝜆𝐸𝐸𝐸𝐸 )𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 + (𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝜆𝜆𝜆𝜆𝐹𝐹𝐹𝐹 )𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 = 0,
� (20)
(𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝜆𝜆𝜆𝜆𝐹𝐹𝐹𝐹 )𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 + (𝑁𝑁𝑁𝑁 − 𝜆𝜆𝜆𝜆𝐺𝐺𝐺𝐺 )𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 = 0
1 1
Hệ phương trình này xác định cho ta độ cong chính (𝜆𝜆𝜆𝜆1 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 , 𝜆𝜆𝜆𝜆2 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 ) và
1 2
các phương chính tương ứng ((𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢1 , 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣1 ) và (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 , 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣2 )). Muốn làm được điều
này, trước hết ta cần phải xác định độ cong chính trước. Rõ ràng phương chính
là một vectơ khác không (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣) ≠ (0,0). Hệ (20) là một hệ hai phương trình
hai ẩn du, dv thuần nhất (vế phải bằng không). Vậy điều kiện cần và đủ để hệ có
nghiệm khác không là
𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝜆𝜆𝜆𝜆𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝜆𝜆𝜆𝜆𝐹𝐹𝐹𝐹
� �=0 (21)
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝜆𝜆𝜆𝜆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑁𝑁𝑁𝑁 − 𝜆𝜆𝜆𝜆𝐺𝐺𝐺𝐺
Phương trình này xác định cho ta hai độ cong chính là 𝜆𝜆𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆𝜆𝜆2 cần tìm. Với 𝜆𝜆𝜆𝜆
tìm được ta thay vào một trong hai phương trình (20) thì suy ra phương (du, dv).
Với mỗi giá trị 𝜆𝜆𝜆𝜆, cặp (du, dv) chỉ được xác định sai khác một hằng số tỉ lệ,
nhưng cho ta một phương duy nhất. Hai giá trị 𝜆𝜆𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆𝜆𝜆2 xác định cho ta hai phương
chính khúc cần tìm. Ngoài các đường chính khúc, trên mặt S còn có hai loại
đường cong khác.
8
26 TẠP CHÍ KHOA HỌC
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- b. Đường tiệm cận
Đường cong Γ trên mặt S được gọi là đường tiệm cận nếu tiếp tuyến tại
mọi điểm 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∈ Γ đều là một tiệm cận của đường khúc biểu Dupin của nó. Như
vậy, đường tiệm cận trên mặt S chỉ là một đường thực khi những đeểm đó phải
là những điểm thuộc loại hypebol hay parabol. Vì giao tuyến phẳng thẳng góc
ứng với phương tiệm cận có độ cong bằng không nên từ công thức (14) ta suy ra
𝐿𝐿𝐿𝐿𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 + 2𝑀𝑀𝑀𝑀𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 2 = 0
���������⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 1 1
Lại từ (8) và (9) ta có 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2 = 0, suy ra 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗. 𝑣𝑣𝑣𝑣⃗. 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 0. Do đó, nếu 𝑅𝑅𝑅𝑅 ≠ 0 thì
𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗. 𝑣𝑣𝑣𝑣⃗ = 0. Mặt phẳng mật tiếp của Γ tại M chứa tiếp tuyến ∆ và vectơ 𝑣𝑣𝑣𝑣⃗, do đó
vuông góc với 𝑙𝑙𝑙𝑙�⃗. Vậy ta suy ra
Đường tiệm cận trên mặt S là đường cong trên mặt đó sao cho mặt phẳng
mật tiếp tại mọi điểm của nó đều tiếp xúc với mặt S.
c. Đường trắc địa
Đường cong Γ trên mặt S được gọi là đường trắc địa nếu mặt phẳng mật
tiếp tại mọi điểm của nó đều vuông góc với mặt S. Trong phép tính biến phân, ta
biết rằng cho hai điểm 𝑀𝑀𝑀𝑀1 , 𝑀𝑀𝑀𝑀2 trên mặt S thì đường cong ngắn nhất nối hai điểm
nói trên là một đường trắc địa. Do đó, người ta còn gọi đường trắc địa là đường
tối đoản. Cố định 𝑀𝑀𝑀𝑀1 và thay đổi 𝑀𝑀𝑀𝑀2 quanh 𝑀𝑀𝑀𝑀1 , ta thấy rằng từ một điểm 𝑀𝑀𝑀𝑀1
trên mặt S, có vô số đường trắc địa xuất phát từ điểm đó.
TÀILIỆU
TÀI LIỆU THAM
THAM KHẢO
KHẢO
[1] Nguyễn
[1] Nguyễn Xuân(1998),
Xuân Liêm Liêm Giải
(1998), GiảiI,II,tích
tích tập Nhàtập bảnNhà
I,II,
xuất Giáoxuất
dục,bản Giáo dục, Hà
Hà Nội.
Nội.
[2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc
[3] Phạm Kỳ Nội.
gia Hà Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại
học Quốc gia Hà Nội.
[3] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực và giải tích
[4] Nguyễn Thừa Hợp (2005), Giải tích tập I, II, III, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[4] Nguyễn Thừa Hợp (2005), Giải tích tập I, II, III, Nhà xuất bản Đại học Quốc
gia Hà Nội.
TẠP CHÍ KHOA HỌC 27
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
nguon tai.lieu . vn
