Xem mẫu
- Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Tr-êng §¹i häc Quy nh¬n
TrÇn Ngäc Anh
VÒ mét bÊt biÕn cña m«®un
h÷u h¹n sinh trªn vµnh ®Þa ph-¬ng
LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc
Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ lý thuyÕt sè
M· sè: 60.46.05
Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS.TS. NguyÔn §øc Minh
Quy nh¬n, n¨m 2008
- 1
Môc Lôc
B¶ng c¸c kÝ hiÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ch-¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Lý thuyÕt vÒ sù ph©n tÝch nguyªn s¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 5
Lý thuyÕt béi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 7
M«®un Cohen-Macaulay vµ m«®un Cohen-Macaulay suy réng . . .
1.3 9
Lý thuyÕt kiÓu ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4
Ch-¬ng 2. Läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
HÖ tham sè tèt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1
§Æc tr-ng cña m«®un Cohen - Macaulay d·y qua hÖ tham sè tèt . 22
2.2
Läc chiÒu cña m«®un ®Þa ph-¬ng ho¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3
Ch-¬ng 3. BÊt biÕn pF (M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Sù tån t¹i cña bÊt biÕn pF (M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1
Liªn hÖ gi÷a bÊt biÕn pF (M ) vµ quü tÝch c¸c ®iÓm kh«ng Cohen-
3.2
Macaulay d·y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
KÕt luËn cña luËn v¨n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
- 2
b¶ng c¸c kÝ hiÖu
• Ann(M ): linh ho¸ tö cña R-m«®un M .
• dimM : sè chiÒu cña R-m«®un M .
• Exti (N, M ): hµm tö më réng thø i cña c¸c R-m«®un M, N .
R
• Hi ((M ): m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph-¬ng thø i cña R-m«®un M øng víi i®ªan
m
cùc ®¹i m.
• (M ): ®é dµi cña R-m«®un M .
• Supp(M ): tËp hîp c¸c i®ªan nguyªn tè cña vµnh R sao cho Mp = 0.
- 3
Më ®Çu
Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph-¬ng giao ho¸n Noether, M lµ R-m«®un h÷u h¹n
sinh cã chiÒu d vµ x = (x1, ..., xd) lµ hÖ tham sè cña M , kÝ hiÖu n = (n1 , ..., nd) lµ
bé d-sè nguyªn d-¬ng. XÐt hiÖu
IM (n, x) = (M/(xn1 , ..., xnd )M ) − n1...nde(x1, ..., xd; M ),
1 d
nh- mét hµm theo n. Trong tµi liÖu [5], NguyÔn Tù C-êng ®· chøng minh r»ng
hµm nµy kh«ng lµ mét ®a thøc trong tr-êng hîp tæng qu¸t nh-ng nã bÞ chÆn trªn
bëi mét ®a thøc vµ bËc nhá nhÊt cña tÊt c¶ c¸c ®a thøc chÆn trªn hµm IM (n, x)
kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chän hÖ tham sè x. BÊt biÕn nµy gäi lµ kiÓu ®a thøc
cña M , kÝ hiÖu lµ p(M ) vµ bÊt biÕn nµy ®óng b»ng chiÒu cña quü tÝch kh«ng
Cohen - Macaulay khi R lµ th-¬ng cña mét vµnh Cohen - Macaulay.
XÐt läc h÷u h¹n c¸c m«®un con cña M lµ F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M sao
cho dimM0 < dimM1 < ... < dimMt = dimM . Mét läc nh- vËy gäi lµ tho¶ m·n
®iÒu kiÖn chiÒu. Cho x = (x1 , ..., xd) lµ mét hÖ tham sè cña M . Khi ®ã x ®-îc
gäi lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc F nÕu
Mi ∩ (xdi +1 , ..., xd)M = 0 víi i = 0, 1, ..., t − 1 vµ di = dimMi .
§Æt
t
(M/(xn1 , ..., xnd )M )
IF ,M (x(n)) = − n1 ...ndi e(x1, ..., xdi ; Mi ),
1 d
i=0
ë ®©y e(x1, ..., xdi ; Mi ) lµ béi Serre cña Mi øng víi hÖ (x1, ..., xdi ) vµ x = (x1, ..., xd)
lµ mét hÖ tham sè tèt cña M t-¬ng øng víi läc F . C©u hái ®Æt ra lµ c¸c kÕt qu¶
trªn cã cßn ®óng cho hµm IF ,M (x(n)).
Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy lµ tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ trong [7] vµ [9] liªn
quan ®Õn bÊt biÕn pF (M ) ( ®-îc ®Þnh nghÜa lµ bËc nhá nhÊt cña tÊt c¶ c¸c ®a
thøc theo n chÆn trªn hµm IF ,M (x(n)) ). Bªn c¹nh viÖc ®-a ra nhiÒu chøng minh
chi tiÕt cho c¸c kÕt qu¶ ®· cã trong [7] vµ [9], chóng t«i còng t×m ®-îc mét kÕt
qu¶ míi ch-a ®-îc ®Ò cËp ®Õn trong hai bµi b¸o nãi trªn.
Ngoµi phÇn Më ®Çu, KÕt luËn vµ Tµi liÖu tham kh¶o, LuËn v¨n gåm 3
ch-¬ng:
- 4
Ch-¬ng 1 kiÕn thøc chuÈn bÞ
Ch-¬ng nµy chóng t«i nh¾c l¹i kh¸i niÖm vµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ
lý thuyÕt ph©n tÝch nguyªn s¬, lý thuyÕt béi, m«®un Cohen - Macaulay, m«®un
Cohen - Macaulay suy réng vµ lý thuyÕt kiÓu ®a thøc.
Ch-¬ng 2 läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt
Läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt lµ mét c«ng cô rÊt quan träng ®Ó nghiªn cøu
bÊt biÕn pF (M ) do ®ã chóng t«i dµnh ch-¬ng nµy ®Ó tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶
vÒ läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt, chØ ra ®Æc tr-ng cña m«®un Cohen-Macaulay
d·y qua hÖ tham sè tèt vµ tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ läc chiÒu cña m«®un ®Þa
ph-¬ng ho¸ sÏ ®-îc sö dông rÊt nhiÒu trong ch-¬ng 3.
Ch-¬ng 3 bÊt biÕn pF (M )
Néi dung chÝnh cña ch-¬ng nµy lµ chóng t«i chøng minh hµm IF ,M (x(n))
bÞ chÆn trªn bëi mét ®a thøc vµ bËc nhá nhÊt cña tÊt c¶ c¸c ®a thøc chÆn trªn hµm
IF ,M (x(n)) kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chän hÖ tham sè tèt x cña M t-¬ng øng
víi läc F , chØ ra mèi liªn hÖ gi÷a bÊt biÕn pF (M ) víi m«®un Cohen - Macaulay
d·y vµ m«®un Cohen - Macaulay suy réng d·y. H¬n n÷a bÊt biÕn nµy ®óng b»ng
chiÒu cña quü tÝch kh«ng Cohen - Macaulay d·y khi R lµ th-¬ng cña mét vµnh
Cohen - Macaulay vµ F lµ läc chiÒu cña M .
MÆc dï t¸c gi¶ ®· cã nhiÒu cè g¾ng vµ lµm viÖc nghiªm tóc, nh-ng ch¾c
ch¾n luËn v¨n sÏ cßn nh÷ng h¹n chÕ, thiÕu sãt nhÊt ®Þnh. T¸c gi¶ rÊt mong nhËn
®-îc sù gãp ý, bæ sung cña quý thÇy, c« gi¸o vµ ng-êi ®äc.
Quy Nh¬n, th¸ng 03 n¨m 2008.
T¸c gi¶
- 5
Ch-¬ng 1
kiÕn thøc chuÈn bÞ
Lý thuyÕt vÒ sù ph©n tÝch nguyªn s¬
1.1
Trong môc nµy chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc cÇn thiÕt vÒ sù ph©n
tÝch nguyªn s¬ cña c¸c m«®un con cña mét m«®un theo [14, ch-¬ng 3].
§Þnh nghÜa 1.1.1. Cho R lµ mét vµnh giao ho¸n vµ M lµ mét R - m«®un. Mét
i®ªan nguyªn tè p ®-îc gäi lµ mét i®ªan nguyªn tè liªn kÕt víi M nÕu tån t¹i
x ∈ M vµ x = 0 sao cho p = Ann(x).
TËp c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt víi M ®-îc kÝ hiÖu lµ AssR (M ) hay
Ass(M ). H¬n n÷a Ass(M ) = ∅ nÕu vµ chØ nÕu M = 0. §Æc biÖt nÕu M lµ h÷u
h¹n sinh vµ R lµ mét vµnh giao ho¸n Noether th× Ass(M ) lµ h÷u h¹n.
§Þnh nghÜa 1.1.2. i) Mét R - m«®un M ®-îc gäi lµ ®èi nguyªn s¬ nÕu cã duy
nhÊt mét i®ªan nguyªn tè liªn kÕt.
ii) M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ mét m«®un con nguyªn s¬ cña M nÕu
M/N lµ ®èi nguyªn s¬. NÕu AssR (M/N ) = {p}, th× N ®-îc gäi lµ p - nguyªn s¬.
Bæ ®Ò 1.1.3. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng:
(1) R- m«®un M lµ ®èi nguyªn s¬ ;
(2) M = 0 vµ nÕu a ∈ R lµ -íc cña kh«ng cña M th× víi mçi x ∈ M tån t¹i
mét sè nguyªn d-¬ng n sao cho an x = 0.
Chó ý 1.1.4. Khi M = R/q víi q ∈ Ass(M ) th× ®iÒu kiÖn (2) t-¬ng ®-¬ng víi
mäi -íc cña kh«ng cña vµnh R/q lµ luü linh.
- 6
MÖnh ®Ò 1.1.5. NÕu M lµ -R m«®un lµ ®èi nguyªn s¬ h÷u h¹n sinh víi AssM =
{p} th× Ann(M ) lµ i®ªan p- nguyªn s¬ cña R.
§Þnh nghÜa 1.1.6. Cho N lµ mét m«®un con cña M . Mét sù ph©n tÝch nguyªn
s¬ cña N lµ mét ph©n tÝch
N = Q1 ∩ · · · ∩ Qr
thµnh giao h÷u h¹n c¸c m«®un con nguyªn s¬ Qi cña M . Sù ph©n tÝch nguyªn
s¬ nµy ®-îc gäi lµ sù ph©n tÝch rót gän nÕu kh«ng thÓ bá mét Qi vµ c¸c i®ªan
nguyªn tè liªn kÕt cña M/Qi (1 ≤ i ≤ r) ®«i mét kh¸c nhau.
DÔ thÊy r»ng mäi sù ph©n tÝch nguyªn s¬ cña m«®un con N cña M ®Òu cã thÓ
quy vÒ mét sù ph©n tÝch nguyªn s¬ rót gän.
MÖnh ®Ò 1.1.7. NÕu N = Q1 ∩ · · · ∩ Qr lµ mét ph©n tÝch nguyªn s¬ rót gän cña
m«®un con N vµ Qi lµ pi -nguyªn s¬ th×
Ass(M/N ) = {p1 , · · · , pr }.
§Þnh lý 1.1.8. Cho R lµ vµnh Noether vµ M lµ mét R-m«®un. Khi ®ã víi mçi
p ∈ Ass(M ) ta cã thÓ chän mét m«®un p- nguyªn s¬ Q(p) sao cho
0= ∩ Q(p).
p∈AssM
HÖ qu¶ 1.1.9. NÕu M lµ mét R - m«®un h÷u h¹n sinh th× mäi m«®un con cña
M ®Òu cã mét sù ph©n tÝch nguyªn s¬.
MÖnh ®Ò 1.1.10. ( theo [15, 3.13]) Cho I lµ mét i®ªan cña R, ®Æt A = {p ∈
AssM : p ⊃ I }. NÕu 0 = Q(p) lµ mét ph©n tÝch nguyªn s¬ rót gän cña
∩
p∈AssM
m«®un con 0 cña M vµ Q(p) lµ p-nguyªn s¬ th×
0
HI (M ) = Q(p).
p∈A
/
- 7
Lý thuyÕt béi
1.2
Trong môc nµy chóng t«i tr×nh bµy l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ béi theo
Northcott (theo [17, ch-¬ng 7]).
§Þnh nghÜa 1.2.1. Cho (R, m) lµ mét vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph-¬ng víi
i®ªan cùc ®¹i m vµ M lµ mét R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dimM = d. Mét hÖ c¸c
phÇn tö x = (x1, ..., xt) cña R sao cho M /(x)M < +∞ ®-îc gäi lµ mét hÖ
R
béi cña M . ë ®©y nÕu t = 0 th× ta hiÓu ®iÒu kiÖn trªn cã nghÜa lµ < +∞.
R (M )
Khi ®ã ký hiÖu béi e(x; M ) cña M ®èi víi hÖ béi x ®-îc ®Þnh nghÜa quy n¹p theo
t nh- sau.
Gi¶ sö t = 0, tøc lµ < +∞, khi ®ã ta ®Æt e(∅; M ) = .
R (M ) R (M )
Víi t > 0, ®Æt (0 : x1) = {m ∈ M | mx1 = 0}. V× M /(x)M < +∞ nªn
R
M
ta dÔ dµng suy ra r»ng (x2 , ..., xt) lµ mét hÖ béi cña (0 : x1 ) vµ M/x1 M . ¸p
M
dông gi¶ thiÕt quy n¹p th× e(x2, ..., xt; M/x1 M ) vµ e(x2, ..., xt; 0 : x1) ®· ®-îc x¸c
M
®Þnh, khi ®ã ta ®Þnh nghÜa
e(x; M ) = e(x2, ..., xt; M/x1 M ) − e(x2, ..., xt; 0 : x1).
M
Mét hÖ c¸c phÇn tö (x1, ..., xd) cña m ®-îc gäi lµ mét hÖ tham sè cña M
nÕu (x1, ..., xd) lµ mét hÖ béi cña M .
D-íi ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña sè béi e(x; M ) .
§Þnh lý 1.2.2. Gi¶ sö 0 −→ M −→ N −→ P −→ 0 lµ mét d·y khíp ng¾n c¸c
R-m«®un Noether vµ x = (x1, ..., xt) lµ hÖ béi trªn M , N vµ P . Khi ®ã
e(x; N ) = e(x; M ) + e(x; P ).
MÖnh ®Ò 1.2.3. Cho x = (x1 , ..., xt) lµ mét hÖ béi cña M . NÕu {i1 , i2, ..., it} lµ
mét ho¸n vÞ cña {1, 2, ..., t} th× e(x1, x2, ..., xt; M ) = e(xi1 , xi2 , ..., xit ; M ).
- 8
MÖnh ®Ò 1.2.4. Cho x = (x1 , ..., xt) lµ mét hÖ béi cña M . NÕu cã mét gi¸ trÞ i
sao cho xn M = 0, víi n lµ mét sè nguyªn d-¬ng nµo ®ã th× e(x; M ) = 0.
i
MÖnh ®Ò 1.2.5. Cho x = (x1, ..., xt) lµ mét hÖ béi cña M . Khi ®ã
M /(x)M .
0 ≤ e(x; M ) ≤ R
MÖnh ®Ò 1.2.6. Cho x = (x1 , ..., xt) lµ mét hÖ béi cña M . Khi ®ã víi n1, n2 , ..., nt
lµ c¸c sè nguyªn d-¬ng tuú ý ta cã
e(xn1 , xn2 , ..., xnt ; M ) = n1 .n2 . . . nt e(x1, ..., xt; M ).
1 2 t
MÖnh ®Ò 1.2.7. Cho x = (x1, ..., xt) lµ mét hÖ béi cña M . Khi ®ã e(x; M ) = 0
khi t > dim M .
§Þnh lý 1.2.8. Cho x = (x1, ..., xt) vµ y = (y1 , ..., yt) lµ c¸c hÖ béi cña M . Gi¶
sö xM ⊆ y M . Khi ®ã e(y ; M ) ≤ e(x; M ).
§Þnh lý 1.2.9. (C«ng thøc giíi h¹n cña Lech) Cho x = (x1 , ..., xt) lµ mét hÖ béi
cña M . Khi ®ã
(M/(xn1 , xn2 , ..., xnt )M )
t
1 2
lim = e(x; M ).
n1 .n2 ...nt
min(ni )→∞
C«ng thøc sau ®©y cña Auslander - Buchsbaum th-êng ®-îc sö dông trong
c¸c chøng minh cña ch-¬ng tiÕp theo.
§Þnh lý 1.2.10. ( theo [1, 4.2] ) Cho x = (x1, ..., xt) lµ mét hÖ béi cña M . Khi ®ã
R (M/(x1 , · · · , xt )M ) − e(x; M ) =
t
= e(xi+1 , · · · , xt; (x1 , · · · , xi−1 )M : xi/(x1 , · · · , xi−1 )M ).
i=1
- 9
M«®un Cohen-Macaulay vµ m«®un Cohen-
1.3
Macaulay suy réng
Tr-íc hÕt chóng t«i nh¾c l¹i kh¸i niÖm d·y chÝnh quy (theo [14, ch-¬ng 6]) .
§Þnh nghÜa 1.3.1. Cho R lµ mét vµnh giao ho¸n, M lµ mét R-m«®un vµ a1, ..., ar
lµ c¸c phÇn tö thuéc R. Ta ký hiÖu (a) lµ i®ªan (a1, ..., ar) vµ aM lµ m«®un con
r
ai M = (a)M . Ta nãi a1, ..., ar lµ M - d·y chÝnh quy (hay M -d·y) nÕu c¸c ®iÒu
i=1
kiÖn sau ®-îc tho¶ :
(1) Víi mçi 1 ≤ i ≤ r, ai kh«ng lµ -íc cña kh«ng cña M/(a1 , ..., ai−1)M .
(2) aM = M.
Khi tÊt c¶ c¸c phÇn tö a1, ..., ar thuéc vÒ mét i®ªan I cña R, ta nãi r»ng
a1, ..., ar lµ mét M -d·y trong I . H¬n n÷a nÕu kh«ng tån t¹i b ∈ I sao cho
a1, ..., ar, b lµ M -d·y th× a1, ..., ar ®-îc gäi lµ mét M -d·y cùc ®¹i trong I .
Bæ ®Ò 1.3.2. Gi¶ sö a1 , ..., ar lµ M - d·y vµ a1 m1 + ... + ar mr = 0, mi ∈ M, i =
1, ..., r. Khi ®ã mi ∈ aM víi mäi i = 1, ..., r.
§Þnh lý 1.3.3. NÕu (a1, ..., ar) lµ mét M -d·y th× (an1 , ..., anr ) lµ mét M -d·y víi
1 r
mäi sè nguyªn d-¬ng n1 , ..., nr .
§Þnh lý 1.3.4. Cho R lµ mét vµnh Noether, M lµ mét R-m«®un h÷u h¹n sinh vµ
I lµ mét i®ªan sao cho IM = M. Víi mäi sè nguyªn d-¬ng n ta cã c¸c mÖnh ®Ò
sau lµ t-¬ng ®-¬ng:
i) Exti (N, M ) = 0 víi mäi i < n vµ víi mäi R-m«®un h÷u h¹n sinh N mµ
R
Supp(N ) ⊆ V (I );
ii) Exti (R/I, M ) = 0 víi mäi i < n;
R
- 10
iii) Tån t¹i R-m«®un h÷u h¹n sinh N víi Supp(N ) ⊆ V (I ) sao cho Exti (N, M ) =
R
0 víi mäi i < n;
iv) Tån t¹i mét M -d·y a1, ..., an trong I cã ®é dµi n.
Tõ §Þnh lý trªn ta thÊy khi M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh th× hai M -d·y cùc
®¹i bÊt kú trong I ®Òu cã cïng ®é dµi.
§Þnh nghÜa 1.3.5. Cho R lµ mét vµnh giao ho¸n Noether, M lµ mét m«®un h÷u
h¹n sinh vµ I lµ mét i®ªan cña R sao cho IM = M . Khi ®ã ®é dµi cña c¸c
M -d·y cùc ®¹i trong I ®-îc gäi lµ I -®é s©u cña M vµ ký hiÖu lµ depthI (M ).
Khi (R, m) lµ mét vµnh ®Þa ph-¬ng ta ký hiÖu depth(M ) hay depthR (M ) thay cho
depthm (M ) vµ gäi lµ ®é s©u cña M .
§Þnh lý 1.3.6. Cho (R, m) lµ mét vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph-¬ng vµ M = 0
lµ mét m«®un h÷u h¹n sinh. Khi ®ã
depth(M ) ≤ dim(R/p) víi mäi p ∈ Ass(M ).
Bæ ®Ò 1.3.7. Cho (R, m) lµ mét vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph-¬ng, M lµ mét
m«®un h÷u h¹n sinh vµ (a1 , ..., ar) lµ mét M -d·y. Khi ®ã
dimM/(a1 , ..., ar)M = dimM − r.
TiÕp theo chóng t«i tr×nh bµy kh¸i niÖm m«®un Cohen-Macaulay theo
[14, ch-¬ng 6].
§Þnh nghÜa 1.3.8. Cho (R, m) lµ mét vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph-¬ng vµ
M lµ mét m«®un h÷u h¹n sinh. Mét R-m«®un M ®-îc gäi lµ m«®un Cohen-
Macaulay nÕu M = 0 hoÆc dimM = depthM .
Vµnh R ®-îc gäi lµ vµnh Cohen-Macaulay nÕu nã lµ mét R-m«®un Cohen-
Macaulay.
- 11
§Þnh lý 1.3.9. Cho (R, m) lµ mét vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph-¬ng vµ M lµ
mét R-m«®un h÷u h¹n sinh. Khi ®ã
i) NÕu M lµ m«®un Cohen-Macaulay vµ p ∈ Ass(M ) th× depthM = dimR/p;
ii) NÕu (a1, ..., ar) lµ mét M -d·y trong m vµ M = M/aM th× M lµ m«®un
Cohen-Macaulay khi vµ chØ khi M lµ m«®un Cohen-Macaulay;
iii) NÕu M lµ m«®un Cohen-Macaulay th× víi mäi p ∈ Spec(R) th× Mp lµ Rp -
m«®un Cohen-Macaulay vµ nÕu Mp = 0 th× depthp M = depthRp Mp .
§Þnh lý 1.3.10. Cho M lµ mét R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dimM = d vµ (R, m)
lµ mét vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph-¬ng. Khi ®ã c¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng
®-¬ng:
i) M lµ m«®un Cohen-Macaulay;
ii) Tån t¹i mét i®ªan tham sè p cña M sao cho e(p; M ) = ;
R (M/pM )
iii) e(p; M ) = víi mäi i®ªan tham sè p cña M ;
R (M/pM )
iv) Tån t¹i mét hÖ tham sè cña M lµ M -d·y;
v) Mäi hÖ tham sè cña M ®Òu lµ M -d·y;
i
vi) Hm (M ) = 0 víi i = 0, ..., d − 1.
§Þnh nghÜa 1.3.11. (theo [8]) M«®un M ®-îc gäi lµ m«®un Cohen-Macaulay
suy réng nÕu
I (M ) = sup{ (M/(x1 , · · · , xd )M ) − e(x; M )} < +∞
x
trong ®ã x ch¹y trªn tÊt c¶ c¸c hÖ tham sè cña M .
- 12
Lý thuyÕt kiÓu ®a thøc
1.4
Trong môc nµy chóng t«i tr×nh bµy l¹i c¸c kÕt qu¶ cã liªn ®Õn kiÓu ®a thøc
cña mét m«®un theo [5].
Ký hiÖu (R, m) lµ vµnh ®Þa ph-¬ng giao ho¸n Noether vµ M lµ R-m«®un
h÷u h¹n sinh cã chiÒu d. Cho x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè cña M vµ
n = (n1 , ..., nd) lµ mét bé d sè nguyªn d-¬ng. XÐt hiÖu
IM (n; x) = (M/(xn1 , ..., xnd )M ) − n1 ...nde(x; M ).
1 d
nh- mét hµm theo n, ë ®©y e(x; M ) lµ béi Serre cña M øng víi hÖ (x1, ..., xd).
Bæ ®Ò 1.4.1. Cho x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè cña M . Khi ®ã
(M/(x(n))M ) ≤ n1 ...nd (M/(x)M )
víi mäi sè nguyªn d-¬ng n1 , ..., nd.
§Æt IM (x) = IM (n; x) khi n1 = ... = nd = 1. Bæ ®Ò cho ta hÖ qu¶ sau.
HÖ qu¶ 1.4.2. IM (n; x) ≤ n1 ...ndIM (x).
HÖ qu¶ 1.4.2 nãi lªn r»ng nÕu hµm IM (n; x) kh«ng ph¶i lµ mét ®a thøc th×
Ýt nhÊt hµm ®ã còng bÞ chÆn trªn bëi mét ®a thøc n1 ...ndIM (x). §Þnh lý sau ®©y
kh¸i qu¸t tÝnh chÊt trªn.
§Þnh lý 1.4.3. BËc nhá nhÊt cña c¸c ®a thøc theo n chÆn trªn hµm sè IM (n; x)
kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chän hÖ tham sè x.
§Þnh nghÜa 1.4.4. BËc nhá nhÊt cña c¸c ®a thøc theo n chÆn trªn hµm sè IM (n; x)
lµ mét bÊt biÕn cña M . BÊt biÕn nµy gäi lµ kiÓu ®a thøc cña M vµ kÝ hiÖu lµ
p(M ).
Chó ý 1.4.5. (i) NÕu xem bËc cña ®a thøc 0 lµ −∞ th× khi ®ã
M lµ m«®un Cohen-Macaulay nÕu vµ chØ nÕu p(M ) = −∞.
- 13
M lµ m«®un Cohen-Macaulay suy réng nÕu vµ chØ nÕu p(M ) ≤ 0.
(ii) NÕu M kh«ng lµ m«®un Cohen-Macaulay th× ta cã bÊt ®¼ng thøc
0 ≤ p(M ) ≤ dim M − 1.
§Þnh nghÜa 1.4.6. Mét phÇn hÖ tham sè x1, ..., xj cña M ®-îc gäi lµ d·y thu gän
nÕu ®iÒu kiÖn sau ®-îc tho¶ m·n: xj ∈ p víi mäi p ∈ Ass(M/(x1 , ..., xi−1)M ) víi
/
dim(R/p) ≥ d − i, i = 1, ..., j .
§Æt r(M ) = inf{k/ mäi phÇn cña mét hÖ tham sè cã (d − k − 1) phÇn tö ®Òu
lµ mét d·y thu gän cña M }.
KÝ hiÖu nCM(M ) lµ quü tÝch kh«ng Cohen - Macaulay tøc lµ
nCM(M ) = {p ∈ SuppM : Mp kh«ng Cohen - Macaulay }.
§Þnh lý 1.4.7. Gi¶ sö R lµ vµnh th-¬ng cña mét vµnh Cohen - Macaulay vµ k
lµ mét sè nguyªn d-¬ng. Khi ®ã c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y lµ t-¬ng ®-¬ng:
i) p(M ) ≤ k ;
ii) Mét phÇn cña mét tham sè cã (d − k − 1) phÇn tö lµ d·y thu gän;
iii) Víi mäi i®ªan nguyªn tè p ∈ SuppM sao cho dim R/p > k , ta cã Mp lµ
Cohen - Macaulay vµ dim Mp + dim(R/p) = d;
iv) Víi mäi i®ªan nguyªn tè p ∈ SuppM sao cho dim R/p = k + 1, ta cã Mp lµ
Cohen - Macaulay vµ dim Mp + dim(R/p) = d.
HÖ qu¶ 1.4.8. Gi¶ sö R lµ vµnh th-¬ng cña mét vµnh Cohen - Macaulay vµ M
lµ ®¼ng chiÒu. Khi ®ã p(M ) = r(M ) = dim nCM(M ).
- 14
Ch-¬ng 2
Läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt
Nh- sÏ tr×nh bµy trong ch-¬ng 3 th× bÊt biÕn pF (M ) cã liªn quan cã liªn
quan chÆt chÏ ®Õn läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt, mÆt kh¸c läc chiÒu vµ hÖ tham
sè tèt còng lµ mét c«ng cô míi h÷u hiÖu ®Ó nghiªn cøu cÊu tróc cña c¸c m«®un.
Do ®ã chóng t«i dµnh ch-¬ng nµy ®Ó tr×nh bµy l¹i mét sè kÕt qu¶ vÒ läc chiÒu
vµ hÖ tham sè tèt, chØ ra ®Æc tr-ng cña m«®un Cohen-Macaulay d·y qua hÖ tham
sè tèt vµ tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ läc chiÒu cña m«®un ®Þa ph-¬ng ho¸ sÏ
®-îc sö dông rÊt nhiÒu trong ch-¬ng tiÕp theo.
Tõ ®©y ta ký hiÖu (R, m) lµ vµnh ®Þa ph-¬ng giao ho¸n Noether vµ M lµ
R-m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu d.
HÖ tham sè tèt
2.1
Trong môc nµy, chóng t«i tr×nh bµy cô thÓ nh÷ng kÕt qu¶ vÒ hÖ tham sè tèt
theo [7], [9], vµ [12].
§Þnh nghÜa 2.1.1. (theo [9, 2.1]) (i) Ta nãi r»ng mét läc c¸c m«®un con cña M
F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu nÕu dimMi−1 < dimMi víi i = 1, 2, ..., t.
(ii) Mét läc D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M ®-îc gäi lµ läc chiÒu cña M nÕu
0
(1) D0 = Hm (M ) lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu thø kh«ng cña M øng víi i®ªan
cùc ®¹i m.
(2) Di−1 lµ m«®un con lín nhÊt cña Di mµ dimDi−1 < dimDi víi i =
t, t − 1, ..., 1.
- 15
V× tÝnh Noether cña M nªn mÖnh ®Ò sau sÏ cho ta thÊy läc chiÒu cña M
lu«n tån t¹i vµ duy nhÊt.
MÖnh ®Ò 2.1.2. (theo [18, 2.2]) Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu
cña M víi dim Di = di vµ N (p) = 0 lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ rót gän cña
p∈AssM
m«®un con kh«ng cña M , khi ®ã Di = N (p).
dim R/p≥di+1
Chøng minh. §Æt ai = p.
p∈AssM,dimR/p≤di
NÕu {p ∈ Ass(M ) | dimR/p ≤ di } = ∅ th× ®Æt ai = R.
0
Theo MÖnh ®Ò 1.1.10 th× Hai (M ) = N (p).
dim R/p≥di+1
0 0
Ta cã SuppHai (M ) = Supp(M ) ∩ V (ai ), tõ ®ã suy ra Di ⊆ Hai (M ) v× mäi phÇn tö
cña Di ®Òu thuéc linh ho¸ tö cña mét i®ªan cã chiÒu nhá h¬n hoÆc b»ng di .
0
Theo tÝnh cùc ®¹i cña Di ta suy ra Di = Hai (M ).
0
VËy Di = Hai (M ) = N (p).
dim R/p≥di+1
HÖ qu¶ 2.1.3. (theo [18, 2.3]) Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu cña
M . Khi ®ã
AssDi = {p ∈ AssM | dimR/p ≤ di } ;
AssM/Di = {p ∈ AssM | dimR/p > di } ;
AssDi /Di−1 = {p ∈ AssM | dimR/p = di } víi mäi 0 ≤ i ≤ t.
0
Chøng minh. Ta biÕt AssHai (M ) = {p ∈ AssM | p ∈ V (ai )}. Do ®ã tõ MÖnh ®Ò
2.1.2 ta suy ra AssDi = {p ∈ AssM | dimR/p ≤ di } .
V× AssM/Di = AssM \V (ai ) nªn AssM/Di = {p ∈ AssM | dimR/p > di } .
Tõ d·y khíp ng¾n 0 −→ Di−1 −→ Di −→ Di /Di−1 −→ 0 ta cã
AssDi ⊆ AssDi−1 ∪ AssDi /Di−1 .
H¬n n÷a v× Di /Di−1 ⊆ M/Di−1 nªn ta dÔ suy ra ®-îc
AssDi /Di−1 = {p ∈ AssM | dimR/p = di } víi 1 ≤ i ≤ t.
- 16
Läc chiÒu còng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu. Trong ch-¬ng nµy ta lu«n ký
hiÖu läc chiÒu bëi
D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M .
§Þnh nghÜa 2.1.4. (theo [9, 2.3]) Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M lµ mét läc
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ ®Æt di = dimMi . Mét hÖ tham sè x = (x1, ..., xd)
®-îc gäi lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc F nÕu Mi ∩ (xdi +1 , ..., xd)M = 0
víi i = 1, 2, ..., t − 1. Mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc chiÒu ®-îc gäi lµ mét
hÖ tham sè tèt cña M .
NhËn xÐt 2.1.5. Cho N lµ m«®un con cña M . Tõ ®Þnh nghÜa läc chiÒu tån t¹i
m«®un Di sao cho N ⊆ Di vµ dimN = dimDi . V× vËy, nÕu M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂
Mt = M lµ mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu th× tån t¹i 0 ≤ i0 < i1 < ... < it
sao cho Mj ⊆ Dij vµ dimMj = dimDij . Do ®ã, mét hÖ tham sè tèt còng lµ mét
hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc bÊt kú tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu.
Bæ ®Ò 2.1.6. (theo [7, 2.4]) HÖ tham sè tèt cña M lu«n tån t¹i.
Chøng minh. Gi¶ sö D lµ läc chiÒu cña M víi di = dim Di .
Cho N (p) = 0 lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ rót gän cña m«®un con kh«ng cña
p∈AssM
M , khi ®ã Di = N (p). §Æt Ni = N (p).
dim R/p≥di+1 dim R/p≤di
Khi ®ã Di ∩ Ni = 0 vµ
dim(M/Ni ) = dim(R/Ann(M/Ni )) = dim(R/Ann(Di )) = di .
Theo §Þnh lý tr¸nh nguyªn tè tån t¹i mét hÖ tham sè x = (x1, ..., xd) sao cho
xdi +1 , ..., xd ∈ Ann(M/Ni ). V× vËy (xdi +1 , ..., xd)M ∩ Di ⊆ Ni ∩ Di do ®ã Mi ∩
(xdi +1 , ..., xd)M = 0, tøc lµ x = (x1 , ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt cña M .
Bæ ®Ò 2.1.7. (theo [9, 2.4]) NÕu mét hÖ tham sè x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham
sè tèt t-¬ng øng víi läc F th× (xn1 , ..., xnd ) còng lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng
1 d
víi läc F víi bÊt kú c¸c sè nguyªn d-¬ng n1, ..., nd.
- 17
Chøng minh. Gi¶ sö x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc F .
V× (xn1 , ..., xnd )M ⊆ (x1 , ..., xd)M nªn (xn1 , ..., xnd ) lµ mét hÖ tham sè cña M vµ
1 1
d d
Mi ∩ (xn1 , ..., xnd )M = 0. Do ®ã (xn1 , ..., xnd ) còng lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng
1 1
d d
øng víi läc F .
Bæ ®Ò 2.1.8. (theo [9, 2.4]) NÕu x lµ mét hÖ tham sè tèt cña M th× xj ∈ p víi
p∈AssDi
mäi j > dimDi . Ng-îc l¹i, nÕu x lµ mét hÖ tham sè cña M sao cho xj ∈ p
p∈AssDi
víi mäi j > dimDi th× (xs , ..., xs ) lµ mét hÖ tham sè tèt cña M víi s ®ñ lín.
1 d
Chøng minh. Theo HÖ qu¶ 2.1.3 th× AssDi = {p ∈ AssM |dimR/p ≤ di }.
Cho N (p) = 0 lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ rót gän cña m«®un con kh«ng
p∈Ass(M )
cña M , ®Æt Ni = N (p). V× x lµ mét hÖ tham sè tèt cña M nªn xj ∈
dim R/p≤di
Ann(M/Ni ).Mµ N (p) lµ p-m«®un nguyªn s¬ nªn dÔ suy ra r»ng xj ∈ p.
p∈AssDi
Ng-îc l¹i, gi¶ sö xj ∈ p, víi mäi j > dimDi . Khi ®ã víi mçi j > dimDi
∩
dim R/p≤di
n
xj j
vµ xj ∈ p, tån t¹i nj sao cho ∈ Ann(M/N (p)).
§Æt s = max nj , khi ®ã xs ∈ Ann(M/N (p)), víi mäi j > dimDi .
j
j>dim Di
Do ®ã Di ∩ (xs i +1 , ..., xs )M = 0. VËy (xs , ..., xs ) lµ mét hÖ tham sè tèt cña M .
1
d d d
§Þnh nghÜa 2.1.9. (theo [9, 2.2]) Mét R-m«®un M ®-îc gäi lµ mét m«®un Cohen-
Macaulay d·y nÕu mçi th-¬ng Di /Di−1 cña läc chiÒu D lµ Cohen-Macaulay víi
i = 1, 2, ..., t.
Bæ ®Ò 2.1.10. (theo [12, 2.1]) NÕu x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng
víi läc chiÒu D cña M th× Di = 0 :M xj víi mäi di < j ≤ di+1 , i = 0, 1, ..., t − 1,
vµ v× vËy ta cã
0 :M x1 ⊆ 0 :M x2 ⊆ ... ⊆ 0 :M xd .
Chøng minh. V× Di ∩ (xdi +1 , ..., xd)M = 0 nªn Di ⊆ 0 :M xj víi mäi j ≥ di + 1.
Ta cÇn chøng minh 0 :M xj ⊆ Di víi mäi di < j ≤ di+1 .
- 18
ThËt vËy, gi¶ sö 0 :M xj ⊆ Di . Gäi s lµ sè nguyªn lín nhÊt sao cho 0 :M xj ⊆ Ds−1 .
Khi ®ã t ≥ s > i vµ 0 :M xj = 0 :Ds xj .
V× ds ≥ di+1 ≥ j nªn xj lµ phÇn tö tham sè cña Ds vµ v× vËy dim 0 :M xj < ds .
Do ®ã 0 :M xj ⊆ Ds−1 theo tÝnh cùc ®¹i cña Ds−1 . §iÒu nµy m©u thuÉn víi c¸ch
chän s. V× vËy Di = 0 :M xj .
Bæ ®Ò 2.1.11. (theo [12, 2.2]) Cho N lµ m«®un con cña M sao cho dim N < dim M
vµ M/N lµ m«®un Cohen - Macaulay. NÕu x1 , ..., xi, 1 ≤ i ≤ d lµ mét phÇn cña
hÖ tham sè cña M th×
(x1 , ..., xi)M ∩ N = (x1 , ..., xi)N .
Chøng minh. Ta chøng minh b»ng qui n¹p theo i.
Tr-êng hîp i = 1 lµ hiÓn nhiªn. Gi¶ sö i > 1. LÊy a ∈ (x1 , ..., xi)M ∩ N .
Ta viÕt a = x1a1 + ... + xi ai víi aj ∈ M , j = 1, ..., i. V× a ∈ N nªn ai ∈
(N + (x1, ..., xi−1)M ) :M xi. MÆt kh¸c theo §Þnh lý 1.3.10 v× d·y x1, ..., xi lµ
M/N -chÝnh quy nªn
(N + (x1 , ..., xi−1)M ) :M xi = N + (x1, ..., xi−1)M
vµ ta cã ai ∈ (N + (x1, ..., xi−1)M ).
Khi ®ã ai = x1b1 + ... + xi−1 bi−1 + c víi bj ∈ M , j = 1, ..., i − 1 vµ c ∈ N . Do ®ã
theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã
a − xi c ∈ (x1 , ..., xi−1)M ∩ N = (x1, ..., xi−1)N .
VËy a ∈ (x1, ..., xi)N .
HÖ qu¶ 2.1.12. (theo [12, 2.3]) NÕu x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt cña
m«®un Cohen - Macaulay d·y M th×
(x1, ..., xd)M ∩ Di = (x1, ..., xdi )Di
víi mäi i = 1, ..., t − 1.
- 19
Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M lµ mét läc c¸c m«®un con cña M tho¶
m·n ®iÒu kiÖn chiÒu víi di = dim Mi vµ x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt
t-¬ng øng víi F . Khi ®ã (x1, ..., xdi ) lµ mét hÖ tham sè cña Mi . XÐt hiÖu
t
IF ,M (x) = (M/(x1 , ..., xd)M − e(x1, ..., xdi ; Mi )
i=0
víi e(x1, ..., xdi ; Mi ) lµ béi Serre vµ ®Æt e(x1, ..., xd0 ; M0 ) = (M0 ) nÕu dim M0 = 0.
Bæ ®Ò 2.1.13. Cho F lµ mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ x = (x1, ..., xd) lµ
mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi F . Khi ®ã läc F /xd F :
(M0 + xd M )/xd M ⊂ (M1 + xd M )/xd M ⊂ ... ⊂ (Ms + xd M )/xd M ⊂ M/xd M
víi s = t − 1 nÕu dt−1 < d − 1 vµ s = t − 2 nÕu dt−1 = d − 1 còng lµ läc tho¶ m·n
®iÒu kiÖn chiÒu. H¬n n÷a hÖ x = (x1, ..., xd−1) lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng
víi läc F /xd F .
Chøng minh. V× Mi ∩ xd M = 0 nªn (Mi + xd M )/xd M ∼ Mi víi i ≤ s, do ®ã läc
=
F /xd F tho¶ ®iÒu kiÖn chiÒu vµ dÔ chøng minh r»ng
(Mi + xd M )/xd M ∩ (xdi +1 , ..., xd−1)M/xd M = 0,
víi mäi i ≤ s. VËy x lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc F /xd F .
Bæ ®Ò 2.1.14. (theo [7, 2.6]) Cho F lµ mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ
x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi F . Khi ®ã IF ,M (x) ≥ 0.
Chøng minh. Theo Bæ ®Ò 2.1.13 th× läc F /xd F tho¶ ®iÒu kiÖn chiÒu vµ x =
(x1, ..., xd−1) lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc F /xd F .
Khi ®ã ta cã
s
IF /xdF ,M/xd M (x ) = (M/xM ) − e(x ; M/xd M ) − e(x1, ..., xdi ; Mi )
i=0
s
e(x1, ..., xdi ; Mi ).
= (M/xM ) − e(x ; 0 :M xd ) − e(x; M ) −
i=0
NÕu dt−1 < d − 1 th× IF ,M (x) − IF /xd F ,M/xdM (x ) = e(x ; 0 :M xd ) ≥ 0.
nguon tai.lieu . vn