Xem mẫu
- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………..
LUẬN VĂN
Ứng dụng bài toán nội suy
Lagrange và khai triển Tatlor
- 1
Mo. d` u
’ ¯ˆa
` ` ´
’ ´ ¯. ´.’
Trong qua trı tı toan, nhiˆu khi ta cˆn phai xac d inh gia tri cua mˆt ham sˆ f (x)
´ `nh ´nh ´ e a o` o
.
’m tuy ´ cho tru.´.c, trong khi d´ d iˆu kiˆn chı m´.i cho biˆ t mˆt sˆ gia tri
¯o ¯ ` ´ .´
’o
tai mˆt d iˆ
o ¯e `y o e e e oo´.
. . .
.i rac) cua ham sˆ va cua d ao ham ham sˆ dˆ n cˆ p nao d´ cua no tai mˆt sˆ d iˆ m
.´’
´ ´ ´ ´ ` ¯o ’ ´ .
’ o ` ’ ¯.
(r` .
o ` ` ` o ¯e a o o ¯e
x1 , x2, · · · , xk cho tru.´.c.
o
.i nh˜.ng tru.`.ng ho.p nhu. vˆy, ngu.`.i ta thu.`.ng tı cach xˆy du.ng mˆt ham sˆ P (x)´
V´ o u o a o o `m ´ a o` o
. . . .
.n gian ho.n, thu.`.ng la cac d a th´.c d ai sˆ , thoa ma n cac d iˆu kiˆn d˜ cho. Ngoai
˜ ´ ¯`
´
’ ’
dang d o ¯ o `´ ¯ u ¯. o e e ¯a `
. .
.ng gia tri x ∈ R ma x khˆng trung v´.i x1 , x2, · · · , xk , thı P (x) ≈ f (x) (xˆ p xı
´’
ra, tai nh˜ u ´. ` o ` o ` a
.
theo mˆt d ˆ chı
o ¯o ´nh xac nao d´ ). ´ ` ¯o
. .
.o.c xˆy du.ng theo cach v`.a mˆ ta trˆn d u.o.c goi la ham nˆi suy cua
´ o’ e¯. ’
Ham sˆ P (x) d u . a
` o ¯ ´ u .`` o
. .
.`.ng d u.o.c goi la cac nut nˆi suy va bai toan xˆy du.ng
’
f (x); cac d iˆ m x1 , x2, · · · , xk thu o
´ ¯e ¯. . `´ ´ o `` ´ a
. .
ham P (x) nhu. vˆy d u.o.c goi la Bai toan nˆi suy.
` a¯. `` ´ o
. . .
’. dung ham (d a th´.c) nˆi suy P (x), ta dˆ dang tı ´nh d u.o.c gia tri tu.o.ng d ˆ i chı
˜` ´ ´nh
Su . ` ¯ u o e ¯. ´. ¯o
.
xac cua ham sˆ f (x) tai x ∈ R tuy ´ cho tru.´.c. T`. d´ , ta co thˆ tı ’
´ ` ¯u
´’ ` o `y o u ¯o ´ e ´nh gˆn d´ ng gia tri
a ´.
.
’ a no trˆn R.
d ao ham va tı phˆn cu ´ e
¯. ` ` ´ch a
Cac bai toan nˆi suy cˆ d iˆ n ra d `.i t`. rˆ t s´.m va d´ ng vai tro rˆ t quan trong trong
’’ ´ ´
´`´ o o ¯e ¯o u a o ` ¯o `a
. .
.c tˆ . Do d´ , viˆc nghiˆn c´.u cac bai toan nˆi suy la rˆ t co ´ nghı a. ˜
.´ ´
thu e ¯o e eu´`´ o ` a ´y
. .
˙ . cac tru.`.ng phˆ thˆng, ly thuyˆ t vˆ vˆ n d` nay khˆng d u.o.c d` cˆp, nhu.ng nh˜.ng
’´ ’o e ` a ¯ˆ `
´e´ e
O o o ´ o ¯ . ¯ˆ a e. u
.ng dung so. cˆ p cua no cu ng ”ˆ n hiˆn” khˆng ´t, ch˘ng han trong cac phu.o.ng trı
’
´˜ ’
´ ’
u
´ a a e oı a ´ `nh
. . .
.`.ng ho˘c phu.o.ng trı m˘t bˆc hai, trong cac d ˘ng th´.c dang phˆn th´.c va d ˘c biˆt’
du o
¯ a `nh a a ´ ¯a u. a u ` ¯a e
. .. . .
.ng dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange va khai triˆ n Taylor dˆ giai mˆt sˆ bai toan
’ ’ ´
¯e ’ o o ` ´
la viˆc u
` e´ o uo ` e
. . . .
kho trong cac d` thi hoc sinh gioi cac cˆ p. ´
’´a
´ ´ ¯ˆ e .
Vı vˆy, viˆc hı thanh mˆt chuyˆn d` chon loc nh˜.ng vˆ n d` co. ban nhˆ t vˆ cac bai ´e a `´ `
´e
’
`a e `nh ` o e ¯ˆ . .
e u a ¯ˆ
. . .
.´.i goc d ˆ toan phˆ thˆng, d ˘c biˆt la nh˜.ng u.ng dung cua no trong qua
’ ’´
toan nˆi suy, du o ´ ¯o ´
´ o oo ¯a e` u ´ ´
. . . . .
.n n˜.a, chuyˆn d` nay cu ng co thˆ ’
e ¯ˆ ` ˜
.´ ´`a ` ´a ´
’
trı
`nh giai mˆt sˆ dang toan kho la rˆ t cˆn thiˆ t. Ho
oo. ´ e u e ´e
.ng n˘m d` u cua bˆc
’ ’ `´ ’
lam tai liˆu tham khao cho cac giao viˆn gioi va cac sinh viˆn nh˜
` `e ´ ´ e e u a ¯ˆ a a
. .
d ai hoc.
¯. .
Y tu.o.ng muˆ n thu.c hiˆn luˆn v˘n nay hı a a ` `nh thanh tru.´.c khi cuˆ n sach chuyˆn khao
´ ´ ´
’ ’
o e ` o o´ e
. . .
[2] ra d `.i. Dˆy v`.a la mˆt thuˆn lo.i v`.a la mˆt kho kh˘n cho nˆ lu.c tı kiˆ m nh˜.ng
¯o - a u ` o ˜ ´
a.u`o ´ a o . `m e u
. . .
.i cho luˆn v˘n cua tac gia, vı cuˆ n sach trˆn la mˆt tai liˆu rˆ t quı gia, trong khi
´ ´
’´ ’`o´
ne m´
´t o aa e`o`ea ´´
. . .
` u nhu. chu.a co mˆt tai liˆu toan so. cˆ p nao d` cˆp dˆ n vˆ n d` nay mˆt cach tron
´ ` ¯ˆ a ¯e ´ a ¯ˆ `
´e
d´ hˆ
¯o a ´o`e ´ a e. o´
. . . .
` cˆp sˆu vˆ ly thuyˆ t ma cˆ g˘ng tı kiˆ m nh˜.ng
´
`´ ´ ´a ´
ve n. Do d´ , luˆn v˘n khˆng qua dˆ a a e
¯o aa o ´ ¯e . e `o `m e u
. .
.ng dung cua no vao viˆc giai va sang tac cac bai tˆp o. phˆ thˆng, d ˘c biˆt la nh˜.ng u.ng ’o
’ ´` ’ `´ ´´ `a’
u
´ e o ¯a e` u ´
. . . . .
- 2
dung thu.`.ng g˘p cua cˆng th´.c nˆi suy Lagrange va khai triˆ n Taylor.
’
a’o
o uo ` e
. . .
. d` u, ba chu.o.ng nˆi dung, kˆ t
´ ` ` ´
’´ ’a
Ban tom t˘t luˆn v˘n day 24 trang, gˆm cac phˆn Mo ¯ˆ
a aa` o ´ a o e
. .
’
luˆn va Tai liˆu tham khao.
a ``e
. .
Chu.o.ng 1: Cac bai toan nˆi suy cˆ d iˆ n.
’’
´`´ o o ¯e
.
Nˆi dung chu.o.ng nay trı bay mˆt cach co. ban nhˆ t vˆ cac bai toan nˆi suy cˆ d iˆ n,
’’
a `´ ` ´ o
´e
’
o ` `nh ` o´ o ¯e
. . .
d´ la Bai toan nˆi suy Lagrange, Bai toan nˆi suy Taylor, Bai toan nˆi suy Newton va
¯o ` ` ´ o `´ o `´ o `
. . .
Bai toan nˆi suy Hermite.
`´ o
.
Chu.o.ng 2: Mˆt sˆ u.ng dung cua cˆng th´.c nˆi suy.
.´ ’o
o o´ u o
. .
- ˆy la mˆt trong nh˜.ng nˆi dung trong tˆm cua luˆn v˘n. V´.i tˆm quan trong o. o`
’ ’
Da ` o u o a aa a
. . . . .
.c nˆi suy Lagrange va nh˜.ng u.ng dung cua no d u.o.c d` cˆp thanh
’ ’ ´ ¯ . ¯ˆ a
phˆ thˆng, cˆng th´ o
oo o u `u ´ e. `
. .
.o.ng nay v´.i nh˜.ng phu.o.ng phap giai toan kha d a dang va
` ’
mˆt phˆn riˆng trong chu
o a e ` o u ´ ´ ´¯ `
. .
.o.ng bai tˆp d` xuˆ t kha phong phu. Nhiˆu d ˘ng th´.c du.´.i dang phˆn th´.c
’
.´ ´ ` ¯a
mˆt sˆ lu .
oo ` a ¯ˆ a e ´ ´ e u o. a u
.
. cˆng th´.c nˆi suy Lagrange d˜ d u.o.c luˆn v˘n phat hiˆn. Nhiˆu bai
` ´ `
co nguˆn gˆ c t` o
´ oou uo ¯a ¯ . aa ´ e e`
. . .
.o.c giai b˘ ng cach ´ p dung cˆng
toan thi chon hoc sinh gioi quˆ c gia va quˆ c tˆ d˜ d u . `
´ ´´
’ ’a
´ o ` o e ¯a ¯ ´a o
. . .
.c nˆi suy nay. Phˆn con lai cua chu.o.ng trı bay mˆt sˆ u.ng dung cua cac cˆng th´.c
``.’ .´ ’´o
th´ o
u. ` a `nh ` o o´ u
.
.o.c gi´.i thiˆu o. phˆn cuˆ i chu.o.ng.
. ¯. ˜ ¯
.´ e’ ` ´
nˆi suy con lai. Mˆt sˆ bai tˆp danh cho ban d oc cu ng d u .
o `. oo`a ` o a o
. . .
´.
Chu.o.ng 3: U ng dung cˆng th´.c nˆi suy dˆ u.´.c lu.o.ng va xˆ p xı ham sˆ .
’ ´ ´
`a ’`
o u o ¯e o o
. . .
Chu.o.ng nay tach riˆng mˆt u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy dˆ u.´.c lu.o.ng va xˆ p
’ ´
’´o
`´ e o´ uo ¯e o `a
. . . .
xı ham sˆ . Mˆt sˆ dang toan kho o. phˆ thˆng liˆn quan dˆ n vˆ n d` nay d˜ d u.o.c d`
’
´ .´ ´ a ¯ˆ ` ¯a ¯ . ¯ˆ
´
’` ´’
o oo. ´ oo e ¯e e e
.ng bai trong cac d` thi chon hoc sinh gioi quˆ c gia va quˆ c tˆ . Mˆt
´ ´e´
’
cˆp, trong d´ co nh˜
a ¯o ´ u ` ´ ¯ˆ e o `o o
. . . .
˜ d u.o.c d ˘ng tai trong cac ky yˆ u hˆi nghi chuyˆn nganh, ch˘ng
’
o`
´a’ ´o
’ ’e
sˆ phˆn cua luˆn v˘n d a ¯ . ¯a
a a¯ ´ e ` a
. . .
han [1].
.
Luˆn v˘n d u.o.c hoan thanh nh`. su. hu.´.ng dˆn khoa hoc va nhiˆt tı
˜ e˜
´
’
a a ¯. ` ` o. o a .` e `nh cua Tiˆ n sy
. .
.`.i Thˆy rˆ t nghiˆm kh˘c va tˆn tˆm trong cˆng viˆc, truyˆn d at
-` ´
´ `a
a´ ` ¯.
Trinh Dao Chiˆ n - Ngu oe e a `a a o e e
. . .
.c quı bau cu ng nhu. kinh nghiˆm nghiˆn c´.u khoa hoc trong suˆ t th`.i gian
´´ ˜
` ´ ´
nhiˆu kiˆ n th´
e e u e eu o o
. .
.u d` tai. Chı .n chˆn thanh va sˆu s˘c ´
´
’ o ’`
nghiˆn c´ ¯ˆ `
eu e ´nh vı vˆy ma tac gia luˆn to long biˆ t o
`a `´ e a ` `a a
.
.i Thˆy giao hu.´.ng dˆn - Tiˆ n sy Trinh Dao Chiˆ n.
e ˜ . -`
˜
´ ` ´ ´
d ˆ i v´
¯o o a ´ o a e
.o.c bay to long biˆ t o.n chˆn thanh dˆ n: Ban Giam Hiˆu,
´ ´
’ ` ’`
Nhˆn d ˆy, tac gia xin d u .
a ¯a ´ ¯ e a ` ¯e ´ e
.
.`.ng Dai hoc Qui Nho.n, cung quı
Phong d ao tao Dai hoc va sau Dai hoc, Khoa toan cua tru o - . .
` ¯` . - . . ` -. . ’
´ ` ´
.´.ng dˆn khoa hoc cho l´.p cao hoc toan khoa 8.
thˆy cˆ giao d˜ tham gia giang day va hu o ˜
` o ´ ¯a ’
a .` a o ´ ´
. .
UBND tı nh, So. giao duc va d ao tao tı nh Gia Lai, Ban Giam Hiˆu tru.`.ng THPT Ia Grai
’ ’´ . ` ¯` . ’ ´ e o
.
˜ cho tac gia co. hˆi hoc tˆp, cung v´.i quı thˆy cˆ giao cua nha tru.`.ng d˜ d ˆng viˆn, se
` o´ ’
’ ’
da
¯ ´ o.a ` o ´a ` o ¯a ¯o e
. . .
chia cˆng viˆc va tao moi d iˆu kiˆn thuˆn lo.i dˆ tac gia nghiˆn c´.u va hoan thanh luˆn
’
. ¯` ’
o e `. e e a . ¯e ´ eu`` ` a
. . . .
v˘n nay.
a`
Trong qua trı hoan thanh luˆn v˘n, tac gia con nhˆn d u.o.c su. quan tˆm d ˆng viˆn
’`
´ `nh ` ` aa´ a¯. . a ¯o e
. . .
.p cao hoc khoa VII, VIII, XIX cua
cua cac ban d` ng nghiˆp, cac anh chi em trong cac l´
’´ ’
. ¯ˆ o e ´ ´o ´
. . .
.`.ng Dai hoc Qui Nho.n. Tac gia xin chˆn thanh cam o.n tˆ t ca nh˜.ng su. quan tˆm
-. . ´
’ ’ a’
tru o ´ a ` u a
.
d ˆng viˆn d´ .
¯o e ¯o
.
- 3
-e `
’
Dˆ hoan thanh luˆn v˘n nay, tac gia d˜ tˆp trung rˆ t cao d ˆ trong hoc tˆp va nghiˆn
´
’ ¯a a
` aa`´ a ¯o a` e
. . . .
.u khoa hoc, cu ng nhu. rˆ t cˆ n thˆn trong nhˆn chˆ ban. Trong d´ ´t nhiˆu han chˆ
´’
˜ ´ ` ´
e’
c´
u aa a a ¯o ı e e
. . .
vˆ th`.i gian cu ng nhu. trı d ˆ hiˆ u biˆ t nˆn trong qua trı thu.c hiˆn khˆng thˆ tranh
’ ’
˜
`o ´
e `nh ¯o e ee ´ `nh . e o e´
. .
khoi nh˜.ng thiˆ u sot, tac gia rˆ t mong nhˆn d u.o.c su. chı bao cua quı thˆy cˆ va nh˜.ng
´ ´ ´ ` o` u
’ ’a a¯. . ’ ’ ’
u e´´ a
.
’ a ban d oc dˆ luˆn v˘n d u.o.c hoan thiˆn ho.n.
’ a a¯.
gop ´ cu . ¯ . ¯e .
´y ` e
.
Quy Nho.n, thang 03 n˘m 2008
´ a
’
Tac gia
´
- 4
Chu.o.ng 1
C´c b`i to´n nˆi suy cˆ’ d e’n
˙ ˙
a a a o o ¯iˆ
.
Trong chu.o.ng nay, luˆn v˘n d` cˆp mˆt sˆ bai toan nˆi suy cˆ d iˆ n se su. dung o.
’’
o ¯e ˜ ’ .
.´ ’
` a a ¯ˆ a e. oo` ´ o
. .
.o.ng sau, d´ la: Bai toan nˆi suy Lagrange, Bai toan nˆi suy Taylor, Bai toan nˆi
cac chu
´ ¯o ` ` ´ o ´ o `´ o
. . .
.i giai cho cac bai toan nay la cac d a th´.c
’
suy Newton va Bai toan nˆi suy Hermite. L`
`` ´ o o ´`´ ` `´ ¯ u
.
nˆi suy tu.o.ng u.ng ma ch´.ng minh chi tiˆ t d˜ d u.o.c trı bay trong [2]
´
o ´ `u e ¯a ¯ . `nh `
.
1.1 B`i to´n nˆi suy Lagrange
a a o
.
1.1.1 Bai toa n nˆi suy Lagrange
` ´ o
.
Cho cac sˆ thu.c xi , ai, v´.i xi = xj , v´.i moi i = j, i, j = 1, 2, · · · , N . Ha y xac d. nh
˜ ´ ¯i
´
´o. o o .
d a th´.c L(x) co bˆc degL(x) ≤ N − 1 va thoa cac d iˆu kiˆn
` ’ ´ ¯`
¯ u ´a e e
. .
L(xi ) = ai , ∀i = 1, 2, · · · , N .
Da th´.c nˆi suy Lagrange
-
1.1.2 u o
.
Ky hiˆu
´e .
N
x − xj
Li (x) = ; i = 1, 2, · · · , N.
xi − x j
j =1,j =i
Khi d´ , d a th´.c
¯o ¯ u
N
L(x) = ai Li (x)
i=1
la d a th´.c duy nhˆ t thoa ma n d iˆu kiˆn cua bai toan nˆi suy Lagrange va ta goi d a th´.c
˜ ¯`
´ ’ e’`´o
`¯ u a e ` .¯ u
. .
.c nˆi suy Lagrange.
nay la d a th´ o
` `¯ u.
- 5
1.2 B`i to´n nˆi suy Taylor
a a o
.
1.2.1 Bai toa n nˆi suy Taylor
` ´ o
.
Cho cac sˆ thu.c x0 , ai, v´.i i = 0, 1, · · · , N − 1. Ha y xac d. nh d a th´.c T (x) co bˆc
˜ ´ ¯i
´
´o. o ¯ u ´a .
˜ ´ ¯`
`’
degT (x) ≤ N − 1 va thoa ma n cac d iˆu kiˆn
e e.
T i (x0) = ai , ∀i = 0, 1, · · · , N − 1.
Da th´.c nˆi suy Taylor
-
1.2.2 u o
.
Da th´.c
- u
N −1
ai
(x − x0 )i
T (x) =
i!
i=0
la d a th´.c duy nhˆ t thoa ma n d iˆu kiˆn cua bai toan nˆi suy Taylor va goi d a th´.c nay
˜ ¯`
´ ’ e’`´
`¯ u a e o `.¯ u`
. .
la d a th´.c nˆi suy Taylor.
`¯ uo .
1.3 Bai toa n nˆi suy Newton
` ´ o
.
1.3.1 Bai toa n nˆi suy Newton
` ´ o
.
Cho cac sˆ thu.c xi , ai , v´.i i = 1, 2, · · · , N . Ha y xac d. nh d a th´.c N (x) co bˆc
˜ ´ ¯i
´.
´o o ¯ u ´a .
˜ n cac d iˆu kiˆn
degN (x) ≤ N − 1 va thoa ma ´ ¯ `
`’ e e
.
i −1
N (xi ) = ai , ∀i = 1, 2, · · · , N.
Da th´.c nˆi suy Newton
-
1.3.2 u o
.
Ky hiˆu
´e .
x t t1 ti−2
Ri (x1 , x2, · · · , xi, x) = ··· dti−1 ...dt2.dt1.dt; i = 1, 2, · · · , N.
x1 x2 x3 xi
khi d´ , d a th´.c
¯o ¯ u
N
ai Ri−1 (x1, x2, ..., xi−1, x)
N (x) =
i=1
= a1 + a2 R(x1, x) + a3 R2 (x1, x2, x) + · · · + aN RN −1(x1 , · · · , xN −1, x)
la d a th´.c duy nhˆ t thoa ma n d iˆu kiˆn cua bai toan nˆi suy Newton va ta goi d a th´.c
˜ ¯`
´ ’ e’`´
`¯ u a e o ` .¯ u
. .
nay la d a th´.c nˆi suy Newton
` `¯ uo .
- 6
Nhˆn xe t 1.1. V´.i xi = x0 , v´.i moi i = 1, 2, · · · , N , thı
a ´ o o `
.
.
Ri (x0 , x1, · · · , xi−1, x) = Ri x0, · · · , x0, x
`
lˆn
a
i
x t t1 ti−2
= ··· dti−1 ...dt2.dt1 .dt
x0 x0 x0 x0
(x − x0 )i
; v´.i i = 1, 2, · · · , N
= o
i!
Khi d´
¯o
N
ai R i x 0 , · · · , x 0 , x =
N (x) =
i=1
`
i lˆn
a
= a0 + a1 R(x0, x) + a2 R2 (x0, x0, x) + · · · + aN −1 RN −1 x0 , · · · , x0, x
`
N −1 lˆn
a
2 N −1
(x − x0) (x − x0)
= a0 + a1 (x − x0) + a2 + · · · + aN − 1
2 (N − 1)!
N −1
(x − x0)i
= ai ≡ T (x).
i!
i=0
Vˆy, v´.i xi = x0 , ; ∀i = 1, 2, · · · , N , thı d a th´.c nˆi suy Newton chı
´nh la d a th´.c nˆi
a o `¯ u o `¯ u o
. . .
suy Taylor.
1.4 Bai toa n nˆi suy Hermite
` ´ o
.
1.4.1 Bai toa n nˆi suy Hermite
` ´ o
.
Cho cac sˆ thu.c xi , aki , i = 1, 2, · · · , n; k = 0, 1, · · · , pi − 1 va xi = xj , v´.i moi i = j ,
´
´o. ` o .
.c H(x) co bˆc degH (x) ≤ N − 1 va
˜ ´ ¯i ¯
trong d´ p1 + p2 + · · · + pn = N . Ha y xac d. nh d a th´
¯o u ´a `
.
˜ ´ ¯`
’
thoa ma n cac d iˆu kiˆn
e e
.
H (k)(xi ) = aki , ∀i = 1, 2, · · · , n; ∀k = 0, 1, · · · , pi − 1
Da th´.c nˆi suy Hermite
-
1.4.2 u o
.
Ky hiˆu
´e .
n
(x − xj )pj ;
W (x) =
j =1
n
W (x)
(x − xj )pj ; i = 1, 2, · · · , n
Wi (x) = =
(x − xi )pi
j =1,j =i
- 7
Goi d oan khai triˆ n Taylor dˆ n cˆ p th´. pi − 1 − k, v´.i k = 0, 1, · · · , l; l = 0, 1, · · · , pi − 1,
’ ´´
.¯. e ¯e a u o
1
´
’`
tai x = xi cua ham sˆ o (i = 1, 2, · · · , n) la
`
. Wi (x)
(pi −1−k ) (l)
pi − 1− k
(x − xi )l
1 1
T = .
Wi (x) Wi (x) l!
l=0
(x=xi ) (x=xi )
khi d´ , d a th´.c
¯o ¯ u
(pi −1−k )
n pi − 1
(x − xi )k 1
H (x) = aki Wi (x)T .
k! Wi (x)
i=1 k =0 (x=xi )
la d a th´.c duy nhˆ t thoa ma n d iˆu kiˆn cua bai toan nˆi suy Hermite va ta goi d a th´.c
˜ ¯`
´ ’ e’`´
`¯ u a e o ` .¯ u
. .
.c nˆi suy Hermite.
nay la d a th´ o
` `¯ u.
Nhˆn xe t 1.2.
a ´
.
V´.i n = 1, thı i = 1 va p1 = N . Khi d´ , ta co
o ` ` ¯o ´
W (x) = (x − x1 )N ;
W (x)
W1(x) = = 1.
(x − x1 )N
’
Do d´ , d oan khai triˆ n
¯o ¯ . e
(N −1−k )
1 (N −1−k )
T =T 1 = 1.
W1(x) (x=x1 )
(x=x1 )
Khi d´ , ta co
¯o ´
N −1
(x − x1 )k
H (x) = ak 1 ≡ T (x).
k!
k =0
Vˆy, v´.i n = 1, thı d a th´.c nˆi suy Hermite chı
´nh la d a th´.c nˆi suy Taylor.
a o `¯ uo `¯ uo
. . .
Nhˆn xe t 1.3.
a ´
.
V´.i k = 0, thı pi = 1, v´.i moi i = 1, 2, · · · , n. Khi d´
o ` o ¯o
.
p1 + p2 + · · · + pn = N,
hay n = N . Do d´ , ta co
¯o ´
N
W (x) = (x − xj );
j =1
N
Wi (x) = (x − xj ), i = 1, 2, · · · , N.
j =1,j =i
- 8
’
khi d´ , d oan khai triˆ n Taylor
¯o ¯ . e
0
1 1 1
T = = , i = 1, 2, · · · , N.
Wi (x) Wi (xi ) N
(xi − xj )
(x=xi )
j =1,j =i
Vˆy, ta co
a ´
.
N N
x − xj
H (x) = a0 i ≡ L(x).
xi − x j
i=1 j =1,j =i
Vˆy, v´.i k = 0, thı d a th´.c nˆi suy Hermite chı la d a th´.c nˆi suy Lagrange. Trong
a o `¯ uo ´nh ` ¯ uo
. . .
.`.ng ho.p tˆ ng quat, viˆc biˆ u diˆn d a th´.c Hermite kha ph´.c tap. Du.´.i d ˆy la mˆt
’ ’ ˜¯
tru o o ´ e e e u ´ u. o ¯a ` o
. . .
.`.ng ho.p riˆng d o.n gian khac cua d a th´.c nˆi suy Hermite, khi hˆ d iˆu kiˆn chı
e ¯`
’ ’¯ ’
vai tru o
` e¯ ´ uo e e
. . . .
.a d ao ham bˆc nhˆ t.
´
ch´ ¯ . `
u a a
.
Nhˆn xe t 1.4.
a ´
.
Nˆ u pi = 2, v´.i moi i = 1, 2, · · · , n, thı khi d´ k = 0 ho˘c k = 1.
´
e o ` ¯o a
. .
.i k = 0, ta co
+ V´
o ´
(pi−1−k ) (1) 1
(x − xi )l
1 1 1 (l)
T =T =
Wi (x) Wi (x) Wi (x) l!
(x=xi )
l=0
(x=xi ) (x=xi )
1 W (xi )
−i
= (x − xi )
Wi (xi ) Wi2 (xi )
1 W (xi )
(x − xi ) , v´.i i = 1, 2, · · · , n.
1− i
= o
Wi (xi ) Wi (xi)
+ V´.i k = 1, ta co
o ´
(pi−1−k ) (0) 0
(x − xi )l
1 1 1 (l)
T =T =
Wi (x) Wi (x) Wi (x) l!
(x=xi )
l=0
(x=xi ) (x=xi )
1 W (xi) 1
−i
= (x − xi ) = .
Wi (xi ) Wi2 (xi) Wi (xi)
Khi d´ , ta co
¯o ´
(pi −1−k )
n 1
(x − xi )k 1
H (x) = aki Wi (x)T
k! Wi (x)
i=1 k =0 (x=xi )
(1) (0)
n
1 1
= a0i Wi (x)T +a1i (x − xi )Wi(x)T
Wi (x) Wi (x)
i=1 (x=xi ) (x=xi )
n
1 W (xi ) 1
1− i
= Wi (x) a0i (x − xi ) +a1i (x − xi )
Wi (xi ) Wi (xi) Wi(xi )
i=1
n
Wi (x) W (xi )
a0 i 1 − i
= (x − xi ) +a1i (x − xi )
Wi (xi ) Wi (xi )
i=1
n
Wi (x) W (xi )
a0 i − a0 i i
= − a1i (x − xi ) .
Wi (xi ) Wi (xi )
i=1
- 9
Ngoai ra, trong phˆn bai toan nˆi suy Lagrange, ta d˜ biˆ t r˘ ng
´`
`
` a`´ o ¯a e a
.
n
x − xj
Li (x) = ; i = 1, 2, · · · , n
xi − x j
j =1,j =i
va
`
1, khi i = j
Li (xj ) =
0, khi i = j.
Do d´
¯o
Li (xi) ≡ 1, ∀i = 1, n.
Vˆy
a
.
n
(x − xj )2
Wi (x)
= L2 (x); i = 1, n.
= i
(xi − xj )2
Wi (xi)
j =1,j =i
Dao ham theo x hai vˆ cua d ˘ng th´.c trˆn, ta d u.o.c
-. ` ’
´
e ’ ¯a u e ¯.
Wi (x)
= 2Li(x)Li (x) = 2Li(xi ).
Wi (xi)
Do d´ , d a th´.c nˆi suy Hermite trong tru.`.ng ho.p nay co dang
¯o ¯ uo o `´.
. .
n
L2(x) a0i − 2a0i Li (xi) − a1i (x − xi ) .
H (x) = i
i=1
Du.´.i d ˆy la mˆt vai minh hoa cho viˆc vˆn dung cac cˆng th´.c nˆi suy (do tac gia sang
’´
o ¯a ` o ` ea ´o uo ´
. . .. . .
tac)
´
Bai toa n 1.1. Cho d a th´.c P (x) bˆc 4, thoa ma n cac d iˆu kiˆn sau:
˜ ´ ¯`
’
` ´ ¯ u a e e
. .
P (−1) = 3a + 1 (a > 0) ; P (0) = 0;
P (3)(−2) = −48;
P (1) = 4(3 + a);
P (4)(2008) = 24.
Ch´.ng minh r˘ ng:
`
u a
Q(x) = P (x) + P (x) + P (x) + P (3)(x) + P (4) (x) > 0. ∀x ∈ R.
Bai toa n 1.2. Cho d a th´.c P (x) bˆc n, thoa ma n:
˜
’
` ´ ¯ u a
.
P (2007) < 0; −P (2007) ≤ 0, P (2007) ≤ 0, · · · , (−1)nP (n) ≤ 0;
P (2008) > 0, P (2008) ≥ 0, P (2008) ≥ 0, · · · , P (n)(2008) ≥ 0.
Ch´.ng minh r˘ ng cac nghiˆm thu.c cua P (x) thuˆc (2007; 2008).
` ’
u a ´ e o
. . .
- 10
Chu.o.ng 2
Mˆt sˆ u.ng dung cua cˆng th´.c
´ ˙
’o
o o´ u
. .
nˆi suy
o
.
Chu.o.ng nay trı `nh bay mˆt sˆ u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy, trong d´ d` cˆp
.´ ’´o
` ` o o´ uo ¯o ¯ˆ a
e.
. .
.n d ˆ i v´.i cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, cˆng th´.c co nhiˆu u.ng dung dˆ giai mˆt
’
´ `´ ¯e ’
sˆu ho ¯o o o
a uo o u´ e o
. . .
. hˆ phˆ thˆng chuyˆn toan.
’
´ ´’ .
sˆ bai toan kho o e o o
o` ´ e ´
Vˆ n d` u.ng dung cˆng th´.c nˆi suy trong u.´.c lu.o.ng va xˆ p xı ham sˆ la hai nˆi dung
´e ´ ’` ´
a ¯ˆ ´ o uo o `a o` o
. . . .
quan trong va tu.o.ng d ˆ i kho, v´.i nh˜.ng ky thuˆt ch´.ng minh kha ph´.c tap, d u.o.c trı
˜
´
` ¯o ´o u a u ´ u . ¯. `nh
. .
bay o. chu.o.ng sau.
`’
Mˆt sˆ u.ng dung cu a cˆng th´.c nˆi suy Lagrange
´ ˙
’o
2.1 o o´ u o
. . .
Cˆng th´.c nˆi suy Lagrange
2.1.1 o u o
.
-. ˜ ´ ´ ´
Dinh nghı a 2.1. Cho n sˆ x1 , x2, · · · , xn phˆn biˆt va n sˆ a1 , a2, · · · , an tuy ´ . Thˆ
o a e` o `y e
.
.c P (x) v´.i bˆc khˆng vu.o.t qua n − 1, thoa ma n˜
`` . ´ o¯ ’
thı tˆn tai duy nhˆ t mˆt d a th´
o a u oa o ´
. . .
P (xj ) = aj ; ∀j = 1, 2, · · · , n. (2.1)
Da th´.c co dang
- u´.
n n
x − xi
aj (2.2)
xj − x i
j =1 i=1,ı=j
Da th´.c (2.2) d u.o.c goi la d a th´.c nˆi suy Lagrange ho˘c cˆng th´.c nˆi suy Lagrange.
- u ¯. . `¯ uo ao uo
. . .
.o.c goi la cac nut nˆi suy.
´
Cac sˆ x1 , x2, · · · , xn d u .
´o ¯ . `´ ´ o .
( ) T`. cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, ta co
uo uo ´
.
Dinh nghı a 2.2. Cho n sˆ x1 , x2, · · · , xn phˆn biˆt. Thˆ thı moi d a th´.c P (x) v´.i bˆc
-. ˜ ´ ´
o a e e ` .¯ u oa
. .
khˆng vu.o.t qua n − 1 d` u co thˆ viˆ t du.´.i dang
´
o ´ ¯ˆ ´ e e
e o.
.
n n
x − xi
P (x) = P (xj ) . (2.3)
xj − x i
j =1 i=1,i=j
- 11
´ ˜ `nh hoc)
Nhˆn xe t 2.1. (Y nghı a hı
a ´ .
.
Da th´.c (2.3) va (2.4) kha quen thuˆc trong chu.o.ng trı toan phˆ thˆng. Ta thu. d i
- ’ ’¯
u ` ´ o `nh ´ oo
.
˜a hı ’ ng han (2.4).
’
tı ´ nghı `nh hoc cua chung, ch˘
`m y ´ a
. .
. r˘ ng, trˆn m˘t ph˘ng toa d ˆ Oxy cho 3 d iˆ m A(x1; y1 ), B (x2; y2), C (x2; y2), v´.i
’
` ’
’’
Gia su a e a a . ¯o ¯e o
. .
.ng d ˆi mˆt.
x1 , x2.x3 khac nhau t`
´ u ¯o o .
Thˆ thı theo (2.1) va (2.2) tˆn tai duy nhˆ t mˆt d u.`.ng cong y = P (x), trong d´ la
´ `. ´
e `, ` o a o ¯o ¯o `
.
.c v´.i degP (x) ≤ 2, thoa ma n ˜
’
d a th´ o
¯ u
P (x1 ) = y1 (nghı a la d u.`.ng cong qua d iˆ m A);
’
˜ `¯ o ¯e
P (x2 ) = y2 (nghı a la d u.`.ng cong qua d iˆ m B);
’
˜ `¯ o ¯e
P (x3 ) = y3 (nghı a la d u.`.ng cong qua d iˆ m C).
’
˜ `¯ o ¯e
Ho.n n˜.a, d u.`.ng cong con co phu.o.ng trı cu thˆ la y = P (x), tron d´ P (x) co dang
’
u ¯o `´ `nh . e ` ` ¯o ´.
.´
(2.4) va cac hˆ sˆ aj chı
`´ eo ´nh la yj , j = 1, 2, 3.
`
.i degP (x) = 2, d` thi y = P (x) la parabol d i qua 3 d iˆ m A, B, C.
’
+ V´ o ¯ˆ .
o ` ¯ ¯e
+ V´.i degP (x) = 1, d` thi y = P (x) la d u.`.ng th˘ng d i qua 3 d iˆ m A, B, C, khˆng
’
’
o ¯ˆ .
o `¯ o a ¯ ¯e o
.o.ng v´.i truc hoanh.
cung phu
` o `
.
.i degP (x) = 0, d` thi y = P (x) la d u.`.ng th˘ng d i qua 3 d iˆ m A, B, C, cung
’
’
+ V´ o ¯ˆ .
o `¯o a ¯ ¯e `
.o.ng v´.i truc hoanh.
phu o `
.
.c nˆi suy Lagrange chı ´nh la ”cac gˆ c” cua mˆt sˆ phu.o.ng trı d u.`.ng cong
´ .´
’
Cˆng th´ o
o u. `´o oo `nh ¯ o
.`.ng th˘ng) d i qua cac d iˆ m cho tru.´.c trong m˘t ph˘ng toa d ˆ.
’
’ ’
(ho˘c d u o
a¯ a ¯ ´ ¯e o a a . ¯o
. . .
Nhˆn xe t 2.2.
a ´
.
V´.i d a th´.c P (x) co degP (x) ≤ n − 1 cho tru.´.c, cac sˆ aj trong (2.2) d u.o.c thay bo.i
´ ’
o¯ u ´ o ´o ¯.
.i j = 1, 2, · · · , n.
P (xj ), v´
o
Bˆy gi`. ta thu. d i tı mˆt u.ng dung cua (2.5).
’ ¯ `m o ´ ’
a o . .
. x , x , · · · , x la n sˆ thu.c phˆn biˆt, n ≥ 2. Xe d a th´.c
´.
’’
Gia su 1 2 n` o a e ´t ¯ u
.
n
P (x) = xn − (x − xi ). (2.4)
i=1
T`. d´ , ´ p dung (2.5), ta co
u ¯o a ´
.
n n
xnj
= xj . (2.5)
n
i=1,i=j (xj − xi )
j =1 j =1
Bˆy gi`., ta ha y tı mˆt u.ng dung cua (2.15) dˆ tao ra nh˜.ng d ˘ng th´.c m´.i.
’
˜ `m o ´ ’
’
a o ¯e . u ¯a u o
. .
. lai v´.i d a th´.c P (x) = a xn + a n −1
’
Tro . o ¯ u n −1 x + .. + a1 x + a0 , an = 0, n ≥ 2, co n
´
n
.c phˆn biˆt x1 , x2, ..., xn.
nghiˆm thu
e a e
. . .
.i n gia tri phˆn biˆt x , x , ..., x , ´ p dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange d ˆ i v´.i d a
´
V´o ´.a e12 na o uo ¯o o ¯
. . .
th´.c f (x) = x , k n − 1, ta co
k
u ´
n
k
xk ωj (x)
x= j
j =1
- 12
Ta co
´
n
n n
xk
xk ω (x) i=1,i=j (x − xi )
j j
xk = = an .
(x − xj )ω (xj ) P (xj )
j =1 j =1
Biˆ u th´.c cuˆ i cung la mˆt d a th´.c co hˆ sˆ cua xn−1 la
’ ´ .´
u ´ eo ’
e u o` ` o¯ `
.
n
xk
j
an .
P (xj )
j =1
So sanh cac hˆ sˆ cua d a th´.c xk , ta d u.o.c cac d ˘ng th´.c sau:
’
.´
´ eo ’ ¯
´ u ¯ . ´ ¯a u
n
xk
j
= 0, ∀k ∈ {0, 1, 2, ..., n − 2}; (2.6)
P (xj )
j =1
n
xk 1
, v´.i k = n − 1.
j
= o (2.7)
P (xj ) an
j =1
Mˆt sˆ u.ng dung
´
2.1.2 o o´
. .
` `
’
Phˆn trong tˆm cua phˆn nay tˆp trung vao viˆc ´ p dung mˆt cach kha linh hoat
a a a`a ` ea o´ ´
. . . . . .
.c nˆi suy Lagrange dˆ giai mˆt sˆ bai toan kho, trong d´ co cac d` thi chon hoc
’’ ´` ´
cˆng th´ o
o u. ¯e oo ´ ¯o ´ ´ ¯ˆ e
. . .
.´.c, khu vu.c va quˆ c tˆ .
´´
’
sinh gioi trong nu o .`oe
Bai toa n 2.1. Xac d. nh d a th´.c bˆc hai nhˆn gia tri b˘ ng 3; 1; 7, tai x b˘ ng −1; 0; 3
` `
` ´ ´ ¯i ¯ ua a ´.a a
. . .
.o.ng u.ng.
tu ´
Bai toa n 2.2. Cho a1 , a2, ..., an la n sˆ khac nhau. Ch´.ng minh r˘ ng nˆ u d a th´.c f (x)
`
´ ´
` ´ ` o´ u a e¯ u
.n ho.n n − 2, thı
co bˆc khˆng l´
´a o o `:
.
f (a1) f (an )
T= + ... + = 0.
(a1 − a2 )(a1 − a3)...(a1 − an ) (an − a1 )(an − a2 )...(an − an−1 )
Bai toa n 2.3. Ch´.ng minh r˘ ng nˆ u d a th´.c bˆc hai nhˆn gia tri nguyˆn tai ba gia tri
` ´
` ´ u a e¯ ua a ´. e. ´.
. .
.c nhˆn gia tri nguyˆn tai moi x nguyˆn.
´’ ´´
nguyˆn liˆn tiˆ p cua biˆ n sˆ x, thı d a th´
ee e eo `¯ u a ´. e. e
. .
´ ``
Bai toa n 2.4.
` ´ Cho a1 , a2, ..., an la n sˆ khac nhau. Goi Ai (i = 1, 2, ..., n) la phˆn
` o´ a
.
. trong phe chia d a th´.c f (x) cho x − a . Ha y tı phˆn du. r(x) trong phe chia f (x)
˜ `m `
du ´p ¯ u a ´p
i
cho (x − a1 )(x − a2)...(x − an ).
´ `nh Du.o.ng, 2001)
a´
Bai toa n 2.5. (Vˆ d .ch Chˆu A Tha i Bı
` ´ o ¯i
Trong m˘t ph˘ ng v´.i hˆ truc toa d ˆ vuˆng goc, mˆt d iˆ m d u.o.c goi la d iˆ m hˆn ho.p
’ ’
’ ˜
a a o e . . ¯o o ´ o ¯e ¯ . . `¯e o
. . . . .
’m d´ la sˆ h˜.u tı , thanh phˆn kia la sˆ vˆ
´ ` . ¯o ’ ¯ e ´ ` ´
nˆ u mˆt trong hai thanh phˆn toa d ˆ cua d iˆ ¯o ` o u ’
e o ` a ` a `oo
. .
.c co hˆ sˆ thu.c sao cho d` thi cua mˆi d a th´.c d´ khˆng ch´.a
˜¯
´ .´
’ `m a ’ ´ ¯ ¯ˆ . ’
tı . Tı tˆ t ca cac d a th´ ´ e o .
u o o u ¯o o u
’m hˆn ho.p nao ca.
˜
´ `’
bˆ t ky d iˆ
a `¯e o .
Bai toa n 2.6. Tı tˆ t ca cac c˘p d a th´.c P (x) va Q(x) co bˆc ba v´.i cac hˆ sˆ thu.c
´ .´
`m a ’ ´ a ¯
` ´ u ` ´a o ´ eo .
. .
˜ ¯`
’
thoa ma n 4 d iˆu kiˆn:
e e
.
a) Ca hai d a th´.c nhˆn gia tri 0 ho˘c 1 tai cac d iˆ m x = 1, 2, 3, 4;
’
’ ¯ u a ´. a . ´ ¯e
. .
- 13
´
b) Nˆ u P (1) = 0 ho˘c P (2) = 1, thı Q(1) = Q(3) = 1;
e a `
.
´
c) Nˆ u P (2) = 0 ho˘c P (4) = 0, thı Q(2) = Q(4) = 0;
e a `
.
´
d) Nˆ u P (3) = 1 ho˘c P (4) = 1, thı Q(1) = 0.
e a `
.
˜
Bai toa n 2.7. (Vˆ d .ch My - 1975)
` ´ o ¯i
1
Da th´.c P (x) bˆc n thoa ma n cac d ˘ ng th´.c P (k) = , v´.i k = 0, 1, 2, ..., n.
- ˜ ´ ¯a ’
’
u a u o
. k
Cn+1
Tı P (n + 1).
´nh
Bai toa n 2.8. Gia su. d a th´.c c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn co gia tri h˜.u tı khi x h˜.u tı .
’ ’¯ ´´.u ’ u’
` ´ u
.ng minh r˘ ng, tˆ t ca cac hˆ sˆ c0, c1, c2, ..., cn la nh˜.ng sˆ h˜.u tı .
` ´ .´ ´
a ’´ eo ou ’
Ch´
u a `u
Bai toa n 2.9. Cho p la mˆt sˆ nguyˆn tˆ va P (x) ∈ Z [x] la d a th´.c bˆc s thoa ma n cac
˜´
.´ ´ ’
` ´ `oo e o` `¯ ua .
¯`
d iˆu kiˆn
e e
.
1) P (0) = 0, P (1) = 1.
2) P (n) ho˘c chia hˆ t cho p ho˘c co sˆ du. b˘ ng 1, v´.i moi n ∈ Z + .
`
´ ´
a e a ´o a o
. . .
.ng minh r˘ ng: s ≥ p − 1.
`
Ch´ u a
Bai toa n 2.10. Tı tˆ t ca cac d a th´.c P (x) co bˆc nho ho.n n (n ≥ 2) va thoa ma n
’˜
´
`m a ’ ´ ¯ ’
` ´ u ´a `
.
¯`
d iˆu kiˆn
e e
.
n
(−1)n−k−1 Cn P (k) = 0.
k
k =0
Bai toa n 2.11. Cho sˆ tu. nhiˆn s va da y cac d a th´.c Pn (x) co bˆc khˆng vu.o.t s. Gia
`˜ ´¯
´ ’
` ´ o. e u ´a o
. .
e` ’ ˜ ¯`
´a ´
thiˆ t r˘ ng ham sˆ g (x) xac d. nh trong (0; 1) va thoa ma n d iˆu kiˆn
` o ´ ¯i ` e e
.
1
| g (x) − Pn (x) |< ; ∀x ∈ (0; 1); n = 1, 2, ...
n
Ch´.ng minh r˘ ng khi d´ tˆn tai d a th´.c Q(x) bˆc khˆng vu.o.t s trung v´.i g (x) trong
` ¯o `
u a o .¯ u a o ` o
. .
(0; 1).
Bai toa n 2.12. Cho n sˆ nguyˆn du.o.ng d ˆi mˆt khac nhau x1 , x2, ..., xn. Goi pj =
´
` ´ o e ¯o o ´
. .
P (xj ), trong d´
¯o
n
P (x) = (x − xj ).
j =1
Ch´.ng minh r˘ ng da y (uk ) xac d. nh theo cˆng th´.c
` ˜
u a ´ ¯i o u
n
xk
i
uk =
pi
i=1
`o˜o ´
la mˆt da y sˆ nguyˆn.
e
.
Bai toa n 2.13. 1) Cho d a th´.c f (x) co bˆc n v´.i cac hˆ sˆ thu.c va hˆ sˆ bˆc cao nhˆ t
.´ .´. ´
` ´ ¯ u ´a o ´ eo . `eoa a
.
` ng a. Gia su. f (x) co n nghiˆm phˆn biˆt x1, x2, ..., xn khac 0. Ch´.ng minh r˘ ng
`
’’
b˘
a ´ e a e ´ u a
. .
n n
(−1)n−1 1 1
= .
x2 f
ax1 x2...xn xk (xk )
k =1 k
k =1
- 14
2) Co tˆn tai hay khˆng mˆt d a th´.c f (x) bˆc n le v´.i hˆ sˆ bˆc cao nhˆ t a = 1
´` . .´. ´
’o eoa
o o o¯ u a a
. .
’˜
ma f (x) co n nghiˆm phˆn biˆt x1 , x2, ..., xn khac 0 thoa ma n
` ´ e a e ´
. .
1 1 1 1
+ + ... + + = 0?
x1 f (x1) x2 f (x2) xn f (xn ) x1 x2 ...xn
Mˆt sˆ u.ng dung cu a c´c cˆng th´.c nˆi suy kh´c
´ ˙
’ao
2.2 o o´ u o a
. . .
Cˆng th´.c nˆi suy Taylor
2.2.1 o u o
.
Cˆng th´.c nˆi suy Taylor cho ta cˆng th´.c d o.n gian va cu ng rˆ t tˆ ng quat dˆ xac
´’ ’
’ `˜
o uo o u¯ ao ´ ¯e ´
.
´nh cua ham sˆ . Do d´ , dˆ tı gi´.i han, ngu.`.i ta thu.`.ng dung cˆng th´.c
’
` ´
’`
d inh phˆn chı
¯. a o ¯o ¯e `m o . o o ` o u
.i mˆt cˆ p nao d´ . Du.´.i d ˆy la mˆt sˆ vı du minh hoa.
’ . ´ ` ¯o .´
khai triˆ n Taylor t´ o a
e o o ¯a ` o o ´ . .
Bai toa n 2.14. Tı gi´.i han
` ´ ´nh o .
√
sin(sin x) − x 3 1 − x2
lim .
x5
x→0
Bai toa n 2.15. Tı gi´.i han
` ´ ´nh o .
3
lim (cos(x.ex) − ln(1 − x) − x)cot x .
x→0
Mˆt u.ng dung kha quan trong cua cˆng th´.c nˆi suy Taylor la viˆc xˆ p xı ham sˆ . Vˆ n
. ´ ’` ´a ´
’o
o´ ´ uo `ea o
. . . .
.o.c trı . chu.o.ng sau.
¯ˆ ` ˜ ¯
d` nay se d u . `’
e `nh bay o
Cˆng th´.c nˆi suy Newton
2.2.2 o u o
.
Bai toa n 2.16. Cho 3 bˆ sˆ thu.c (x1; a1), (x2; a2), (x3; a3). Tı d a th´.c N (x) v´.i
.´.
` ´ oo `m ¯ u o
˜ ¯`
`’
degN (x) ≤ 2 va thoa ma n d iˆu kiˆn
e e
.
N (x1) = a1, N (x2 ) = a2 , N (x3 ) = a3
Bai toa n 2.17. Cho (n + 1) c˘p sˆ (xj , yj ) (j = 0, . . ., n). V´.i i = k ta d. nh nghı a
˜
´
` ´ ao o ¯i
.
y i − yk
([xi , xk ] d u.o.c goi la sai phˆn tach bˆc nhˆ t);
´
[x i , x k ] = ¯. .` a´ a a
.
xi − x k
[xi+p, . . . , xi+1 ] − [xi+p−1 , . . . , xi]
[xi+p , xi+p−1 , . . . , xi+1, xi] =
xi + p − x i
([xi+p , xi+p−1, . . . , xi+1, xi ] d u.o.c goi la sai phˆn tach bˆc p).
¯. .` a´ a
.
’˜
´ y (x) la ham kha vi liˆn tuc dˆ n bˆc n thoa ma n
´a
’
Cho x0 < x1 < . . . < xn va cho ham sˆ
` ` o `` e . ¯e .
d iˆu kiˆn y (xj ) = yj (j = 0, 1, . . ., n). Ch´.ng minh r˘ ng `
¯` e e u a
.
y (n) (x∗)
[x n , x n − 1 , . . . , x 0 ] = ,
n!
v´.i x∗ la mˆt d iˆ m nao d´ trong (x0, xn ).
’
o ` o ¯e ` ¯o
.
- 15
Bai toa n 2.18. Ch´.ng minh r˘ ng d a th´.c
`¯
` ´ u a u
Pn (x) = y0 + [x1, x0](x − x0 ) + [x2, x1, x0](x − x0)(x − x1 )
(2.8)
+ . . . + [xn , xn−1 , . . . , x0](x − x0)(x − x1 ) . . . (x − xn )
thoa ma n cac hˆ th´.c
’˜´eu .
Pn (xj ) = yj ∀j ∈ {0, . . ., n}.
Nhˆn xe t 2.3. Cˆng th´.c (2.8) cu ng chı´nh la mˆt cach viˆ t khac cua d a th´.c nˆi suy
˜ ´ ’¯
a ´ o u `o´ e ´ u o
. .
.
.o.c trı
Newton d˜ d u . `´`´
¯a ¯ `nh bay trong phˆn cac bai toan nˆi suy.
` a o
.
Cˆng th´.c nˆi suy Hermite
2.2.3 o u o
.
Nhˆn xe t 2.4. Trong bai toan nˆi suy Hermite, nˆ u n = 2 thı i = 1 ho˘c i = 2. Gia su.
´ ’’
a´ `´ o e ` a
. .
.
´
p1 = 1 va p2 = 3. Thˆ thı p1 + p2 = 4 = N .
` e`
Khi d´¯o
´
+ Nˆ u i = 1, thı k = 0, 1, . . . , P1 − 1. Vˆy k = 0.
e ` a
.
´
+ Nˆ u i = 2, thı k = 0, 1, . . . , P2 − 1. Vˆy k = 0, k = 1, k = 2.
e ` a
.
Bˆy gi`., gia su.
’’
a o
a01 = 1, a02 = a12 = a22 = 0.
Ta co bai tˆp sau
´`a .
Bai toa n 2.19. Cho hai sˆ thu.c x1 = x2. Ha y xac d. nh d a th´.c H (x) co bˆc degH (x) ≤ 3
˜ ´ ¯i ¯
´
` ´ o. u ´a .
˜ n cac d iˆu kiˆn
va thoa ma ´ ¯ `
`’ e e
.
H (x1) = 1, H (x2) = H (x2) = H (x2 ) = 0.
Mˆt cach tˆ ng quat, ta co bai toan du.´.i d ˆy v´.i cach giai gˆn gu i v´.i chu.o.ng trı phˆ
’ ’
’` ˜o
o´ o ´ ´` ´ o ¯a o ´ a `nh o
.
thˆng.
o
Bai toa n 2.20. Cho hai sˆ phˆn biˆt x0 va x1 . Tı tˆ t ca cac d a th´.c P (x) v´.i
´ ´
`m a ’ ´ ¯
` ´ o a e ` u o
.
∗ ˜ ´ ¯`
’
degP (x) ≤ n (n ∈ N ) thoa ma n cac d iˆu kiˆn
e e
.
P (x0 ) = 1
P ( k)(x1) = 0, k ∈ {0, 1, . . ., n − 1}.
Nhˆn xe t 2.5. Trong bai toan nˆi suy Hermite, nˆ u n = 2 thı i = 1 ho˘c i = 2. Gia su.
´ ’’
a´ `´ o e ` a
. .
.
´
p1 = 2 va p2 = 3. Thˆ thı p1 + p2 = 5 = N . Khi d´
` e` ¯o
´
+ Nˆ u i = 1, thı k = 0, 1, . . . , P1 − 1. Vˆy k = 0, k = 1.
e ` a
.
´
+ Nˆ u i = 2, thı k = 0, 1, . . . , P2 − 1. Vˆy k = 0, k = 1, k = 2.
e ` a
.
Bˆy gi`., gia su.
’’
a o
a01 = a11 = 1, a02 = a12 = a22 = 0.
Ta d u.o.c bai tˆp sau
¯. ` a .
- 16
Bai toa n 2.21. Cho hai sˆ thu.c x1 = x2. Ha y xac d. nh d a th´.c H (x) co bˆc degH (x) ≤ 4
˜ ´ ¯i ¯
´
` ´ o. u ´a .
˜ ´ ¯`
`’
va thoa ma n cac d iˆu kiˆn
e e
.
H (x ) = H (x ) = 1
1 1
H (x ) = H (x ) = H (x ) = 0.
2 2 2
Mˆt cach tˆ ng quat, ta cu ng co bai toan du.´.i d ˆy, v´.i cach giai gˆn gu i v´.i chu.o.ng trı
’ ˜ ’` ˜o
o´ o ´ ´` ´ o ¯a o´ a `nh
.
’
toan phˆ thˆng.
´ oo
Bai toa n 2.22. Cho hai sˆ phˆn biˆt x0 va x1 . Tı tˆ t ca cac d a th´.c P (x) v´.i
´ ´
`m a ’ ´ ¯
` ´ o a e ` u o
.
degP (x) ≤ n + 1 (n ∈ N∗ ) thoa ma n cac d iˆu kiˆn
˜ ´ ¯`
’ e e
.
P (x0) = 1, P (x0 ) = 1,
P ( k)(x1) = 0, k ∈ {0, 1, . . ., n − 1}.
2.3 Bai tˆp
`a .
Luˆn v˘n d˜ d` xuˆ t 10 bai tˆp do tac gia sang tac ho˘c su.u tˆm.
e´ `
’´
a a ¯a ¯ˆ a `a ´ ´ a a
. . .
- 17
Chu.o.ng 3
´.
U ng dung cˆng th´.c nˆi suy d e’˙
o u o ¯ˆ
. .
u.´.c lu.o.ng v` xˆp xı h`m sˆ
´ ´
˙a
’
o aa o
.
Mˆt trong nh˜.ng u.ng dung quan trong cua cac cˆng th´.c nˆi suy la u.´.c lu.o.ng va xˆ p
´
’´o
o u´ uo `o `a
. . . . .
.ng tru.`.ng ho.p
o -a ` o o
´ ´
’`
xı ham sˆ . Dˆy la mˆt nˆi dung quan trong trong ly thuyˆ t ham. Nh˜
´ e` u o
. . . .
. thanh nh˜.ng bai toan kho o. phˆ thˆng va thu.`.ng xuˆ t hiˆn
’
nho cua vˆ n d` nay d˜ tro `
´e ´
’ ’ a ¯ˆ ` ¯a ’ ´’
u `´ oo ` o a e
.
´ ´´
’
trong cac ky thi hoc sinh gioi quˆ c gia va quˆ c tˆ ,
´` o `oe
.
Trong pham vi cua chu.o.ng trı`nh phˆ thˆng chuyˆn toan, chu.o.ng nay se d` cˆp dˆ n
’ ` ˜ ¯ˆ a ¯e ´
’ oo e ´ e.
.
cac u.ng dung nˆu trˆn
´´ e e
.
.
U ´.c lu.o.ng h`m sˆ
´
3.1 o a o
.
.
U ´.c lu.o.ng h`m sˆ theo c´c n´t nˆi suy Lagrange
´
3.1.1 o a o auo
. .
Bai toa n 3.1. Cho tam th´.c bˆc hai f (x) = ax2 + bx + c thoa ma n d iˆu kiˆn:
˜ ¯`
’
` ´ ua e e
. .
| f (x) | 1, khi | x | 1.
` ng v´.i moi M ≥ 1, ta co:
Chung minh r˘
´ a o ´
.
2
| f (x) | 2M − 1, khi | x | M .
Bai toa n 3.2. Cho d a th´.c P (x) bˆc khˆng vu.o.t qua 2n va thoa ma n d iˆu kiˆn
’ ˜ ¯`
` ´ ¯ u a o ´ ` e e
. . .
| P (k) | 1; ∀k ∈ {−n, −n + 1, ..., n − 1, n}.
Ch´.ng minh r˘ ng
`
u a
4n ; ∀x ∈ {−n; n}.
| P (x) |
Bai toa n 3.3. Cho d a th´.c f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e thoa ma n d iˆu kiˆn | f (x) | 1
˜ ¯`
’
` ´ ¯ u e e
.
.ng minh r˘ ng v´.i moi M > 1 cho tru.´.c ta d` u co
`
khi | x | 1. Ch´ u a o o ¯ˆ ´
e
.
32 4 32 2
| f (x) | M − M + 1, khi | x | M .
3 3
. cho tru.´.c cac sˆ nguyˆn x < x < ... < x . Ch´.ng minh r˘ ng `
´
’’
Bai toa n 3.4. Gia su
` ´ o´o e u a
0 1 n
.a cac gia tri cua d a th´.c xn + a xn−1 + ... + a tai cac d iˆ m x , x , ..., x luˆn tı
’
´.’¯
gi˜ ´
u u ´ ¯e o `m
n.
1 01 n
n!
d u.o.c mˆt sˆ ma gia tri tuyˆt d ˆ i cua no khˆng be ho.n n .
.´ .´
e ¯o ’ ´ o
¯. oo`´. ´
2
- 18
Bai toa n 3.5. Cho d a th´.c P (x) bˆc ’ ˜ ¯`
` ´ ¯ u a 2n thoa ma n d iˆu kiˆn
e e
. .
|P (k)| 1, k = −n, −(n − 1), . . ., 0, 1, . . ., n.
Ch´.ng minh r˘ ng
`
u a
2n ∀x ∈ [−n, n].
|P (x)|
.
U ´.c lu.o.ng h`m sˆ theo c´c n´t nˆi suy Chebyshev
´
3.1.2 o a o a uo
. .
3.1.2.1 Da th´.c Chebyshev
- u
Dinh nghı a 3.1. Cac d a th´.c Tn (x) (n ∈ N) d u.o.c xac d. nh nhu. sau
-. ˜ ´¯ u ¯ . ´ ¯i
T (x) = 1; T (x) = x,
0 1
T (x) = 2xT (x) − T (x) ∀n > 1
n+1 n n −1
d u.o.c goi la cac d a th´.c Chebyshev (loai 1).
¯. . `´ ¯ u .
Dinh nghı a 3.2. Cac d a th´.c Un (x) (n ∈ N) xac d. nh nhu. sau
-. ˜ ´¯ u ´ ¯i
U (x) = 0; U (x) = 1,
0 1
U (x) = 2xU (x) − U (x) ∀n > 1
n+1 n n −1
d u.o.c goi la cac d a th´.c Chebyshev (loai 2).
¯. . `´ ¯ u .
´nh chˆ t cua ca c d th´.c Tn (x)
´ ’ ´ ¯a u
3.1.2.2 Tı a
´nh chˆ t 3.1. Tn (x) = cos(n arccos x) v´.i moi x ∈ [−1, 1]
´
Tı a o .
˜
´nh chˆ t 3.2. Tn (x) ∈ Z[x] bˆc n co hˆ sˆ bˆc cao nhˆ t b˘ ng 2n−1 va la ham ch˘n khi
a`
´ .´. ´a
Tı a a ´eoa `` ` a
.
˜ `` ’ ’
n ch˘n; la ham le khi n le.
a
´
Tı
´nh chˆ t 3.3. Tn (x) co d´ ng n nghiˆm phˆn biˆt trˆn [-1, 1 ] la
a ´ ¯u e a ee `
. .
2k + 1
xk = cos π (k = 0, 1, . . ., n − 1).
2n
kπ
´
Tı
´nh chˆ t 3.4. |Tn(x)|
a , k ∈ Z.
1 ∀x ∈ [−1, 1] va |Tn (x)| = 1 khi x = cos
`
n
´nh chˆ t 3.5. Da th´.c T ∗(x) = 21−n Tn (x) la d a th´.c bˆc n v´.i hˆ sˆ bˆc cao nhˆ t
-
´ .´. ´
Tı a u `¯ ua o eoa a
.
.i 0 trˆn [−1, 1] la nho nhˆ t trong tˆ t ca cac d a th´.c bˆc n v´.i
` ´ ´
’ a ’´¯
b˘ ng 1 va co d ˆ lˆch so v´
a ` ´ ¯o e o e ` a ua o
.. .
´`
.´.
hˆ sˆ bˆc cao nhˆ t b˘ ng 1.
eoa aa
´nh chˆ t cua d th´.c Un (x)
´ ’ ¯a u
3.1.2.3 Tı a
sin(n arccos x) .
´ √
Tı
´nh chˆ t 3.6. Un (x) =
a v´ i moi x ∈ (−1, 1).
o .
1 − x2
- 19
1 sin nt
, cos t = x, d a th´.c bˆc n − 1 co hˆ sˆ bˆc cao
´ .´.
Tı
´nh chˆ t 3.7. Un (x) = Tn (x) =
a ¯ ua ´eoa
.
n sin t
˜ ˜
nhˆ t b˘ ng 2n−1 va la ham ch˘n khi n le; la ham le khi n ch˘n.
a`
´a ’`` ’
`` ` a a
´
Tı
´nh chˆ t 3.8. Tn (x) co d´ ng n nghiˆm phˆn biˆt trˆn [-1, 1 ] la
a ´ ¯u e a ee `
. .
2k + 1
xk = cos π (k = 0, 1, . . ., n − 1).
2n
n2 ∀x ∈ [−1, 1].
´
Tı
´nh chˆ t 3.9. |Un (x)|
a n ∀x ∈ [−1, 1] va |Tn (x)|
`
Du.´.i d ˆy la mˆt sˆ bai toan ´ p dung.
.´
o ¯a ` o o ` ´ a .
Bai toa n 3.6. Cho d a th´.c Pn−1 (x) bˆc n − 1 v´.i hˆ sˆ bˆc cao nhˆ t a0 , thoa ma n
˜
.´. ´ ’
` ´ ¯ u a o eoa a
.
¯`
d iˆu kiˆn
e e
.
1 − x2 |Pn−1 (x)| 1, ∀x ∈ [−1, 1].
Ch´.ng minh r˘ ng
`
u a
2n − 1 .
|a0 |
Bai toa n 3.7. Cho d a th´.c Pn−1 (x) bˆc n − 1 v´.i hˆ sˆ bˆc cao nhˆ t a0 , thoa ma n
˜
.´. ´ ’
` ´ ¯ u a o eoa a
.
¯`
d iˆu kiˆn
e e
.
1 − x2 |Pn−1 (x)| 1, ∀x ∈ [−1, 1].
Ch´.ng minh r˘ ng khi d´
`
u a ¯o
|Pn−1 (x)| n, ∀x ∈ [−1, 1].
Bai toa n 3.8. Cho d a th´.c lu.o.ng giac
` ´ ¯ u ´
.
P (t) = a1 sin t + a2 sin 2t + . . . + an sin(nt)
’ ˜ ¯`
thoa ma n d iˆu kiˆn
e e
.
1 ∀t ∈ R \ {. . . , −2π, −π, 0, π, 2π, . . .}.
|P (t)|
Ch´.ng minh r˘ ng
`
u a
P (t)
n ∀t ∈ R \ {. . . , −2π, −π, 0, π, 2π, . . .}.
sin t
Bai toa n 3.9. Cho d a th´.c lu.o.ng giac
` ´ ¯ u ´
.
n
P (x) = (aj cos jx + bj sin jx)
j =0
thoa ma n d iˆu kiˆn |P (x)| 1 v´.i moi x ∈ R.
’ ˜ ¯` e e o
. .
.ng minh r˘ ng |P (x)| n v´.i moi x ∈ R.
`
Ch´u a o .
nguon tai.lieu . vn
