Luận văn tốt nghiệp Toán: Các dạng hội tụ của dãy hàm đo được

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 1 - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP LỜI NÓI ĐẦU Các dạng hội tụ của dãy hàm đo được là một phần nhỏ trong lĩnh vực Độ đo và tích phân Lebesgue. Đây là một trong các mảng giải tích được ứng dụng nhiều trong thực tế, và đặc biệt là nền tảng cho giải tích hiện đại. Do đó, việc nghiên cứu về nó là rất cần thiết. Vì thời gian để hoàn thành luận văn này tương đối ngắn nên không thể nghiên cứu sâu hơn, và chắc còn nhiều sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và quý bạn đọc. Em xin chân thành cám ơn Bộ môn Toán đã tạo điều kiện cho em nghiên cứu. Xin cám ơn cô Trần Thị Thanh Thúy đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp em sửa chữa kịp thời các sai sót trong luận văn này. Sinh viên thực hiện Huỳnh Việt Khánh Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 2 - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... Cần Thơ, ngày…… tháng……năm 2008 Trần Thị Thanh Thúy Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 3 - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... Cần Thơ, ngày….. tháng….. năm 2008 Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 4 - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP MỤC LỤC MỞ ĐẦU.................................................................................................................7 1. Lý do chọn đề tài..............................................................................................7 2. Giới hạn của đề tài............................................................................................7 3. Mục tiêu đề tài..................................................................................................7 NỘI DUNG.............................................................................................................9 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ........................................................................9 1.1 ĐỘ ĐO..........................................................................................................9 1.1.1 Đại số tập hợp..........................................................................................9 1.1.2. σ- Đại số.................................................................................................9 1.1.3. σ- Đại số Borel......................................................................................10 1.1.4. Độ đo trên một đại số tập hợp...............................................................11 1.1.5 Mở rộng độ đo.......................................................................................13 1.1.6 Độ đo trên r .........................................................................................15 1.2- HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC..................................................................................17 1.2.1 Định nghĩa.............................................................................................17 1.2.2 Một số tính chất của hàm số đo được.....................................................18 1.2.3 Các phép toán trên các hàm số đo được..................................................20 1.3- TÍCH PHÂN LEBESGUE ..........................................................................23 1.3.1. Tích phân của hàm đơn giản không âm.................................................23 1.3.2 Tích phân của hàm đo được không âm...................................................24 1.3.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ.........................................................26 1.3.4 Tính chất................................................................................................26 1.3.5 Giới hạn qua dấu tích phân.....................................................................27 Chương 2: SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC.............................................30 2.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC....................................30 2.1.1 Hội tụ hầu khắp nơi (converges almost everywhere)..............................30 2.1.2 Hội tụ đều (converges uniformly)...........................................................31 2.1.3 Hội tụ đều hầu khắp nơi (converges uniformly almost everywhere)........32 2.1.4 Hội tụ theo độ đo (converges in measure)..............................................32 2.1.5 Hội tụ trung bình (converges in the mean).............................................34 2.1.6 Hội tụ hầu như đều (converges almost uniformly)..................................35 2.2 CÁC DẠNG DÃY CƠ BẢN........................................................................36 2.2.1 Dãy cơ bản hầu khắp nơi (Cauchy almost everywhere, hoặc fundamental almost everywhere).........................................................................................36 2.2.2 Dãy cơ bản đều ( uniformly Cauchy).....................................................37 2.2.3 Dãy cơ bản hầu như đều (almost uniformly Cauchy).............................37 2.2.4 Dãy hàm cơ bản trung bình (Cauchy in the mean hoặc mean fundamental) .......................................................................................................................37 2.2.5 Dãy cơ bản trong độ đo (Cauchy in measure, hoặc fundamental in measure).........................................................................................................37 Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 5 - ... - tailieumienphi.vn