Xem mẫu
-
Luận văn tốt nghiệp
Hệ thống các độ đo gần đúng và lập
luận xấp xỉ
- Lêi nãi ®Çu
Nhu cÇu cña con ng−êi vÒ viÖc gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò thùc tÕ dùa trªn
nhiÒu m« h×nh ngµy cµng phøc t¹p ®· gia t¨ng dÉn ®Õn sù cÇn thiÕt ph¶i thu
thËp c¸c d÷ liÖu phøc t¹p. Ph©n tÝch kü l−ìng qu¸ tr×nh thùc tÕ thu thËp th«ng
tin, chóng ta nhËn thÊy r»ng rÊt nhiÒu th«ng tin ®−îc thu thËp kh«ng ph¶i lµ
nh÷ng sè liÖu chÝnh x¸c vµ râ rµng. TÝnh kh«ng chÝnh x¸c vµ ch−a râ rµng
trong qu¸ tr×nh thu thËp th«ng tin xuÊt ph¸t tõ nhiÒu nguyªn nh©n kh¸c nhau:
dông cô ®o kh«ng hoµn h¶o, hoÆc th«ng th−êng h¬n lµ nguån d÷ liÖu th«ng tin
®−îc thu thËp tõ mét hoÆc mét vµi c¸ nh©n mµ do ®ã th«ng tin lµ kh«ng chÝnh
x¸c, kh«ng m¹ch l¹c vµ ch−a ®Çy ®ñ. §èi víi nh÷ng tr−êng hîp nh− thÕ,
ph−¬ng ph¸p xö lý hoµn toµn t−îng tr−ng sÏ kh«ng ®¸p øng ®Çy ®ñ yªu cÇu
cña viÖc xö lý th«ng tin. B¾t ®Çu tõ nh÷ng n¨m 1960 ®· h×nh thµnh vµ ph¸t
triÓn c¸c khÝa c¹nh lý thuyÕt vµ kü thuËt liªn quan ®Õn vÊn ®Ò biÓu diÔn tÝnh
kh«ng chÝnh x¸c vµ kh«ng ch¾c ch¾n. HiÖn nay, c¸c ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu
c¸c néi dung trªn ®©y ®· ®ãng gãp nh÷ng thµnh c«ng quan träng ®èi víi sù
ph¸t triÓn cña khoa häc m¸y tÝnh.
Kh«ng chØ n¶y sinh khã kh¨n khi mong muèn c¸c phÐp ®o ®−îc tiÕn
hµnh mét c¸ch chÝnh x¸c, mµ thËm chÝ ngay c¶ trong nh÷ng t×nh huèng cã thÓ
tiÕn hµnh ®−îc phÐp ®o th× kÕt qu¶ thu ®−îc l¹i Ýt h÷u Ých: hoÆc ý nghÜa sö
dông thÊp hoÆc l¹i rÊt khã kh¨n khi diÔn gi¶i hay lµm s¸ng tá c¸c th«ng tin thu
thËp ®−îc. Khã kh¨n t−¬ng tù còng x¶y ra khi tiÕn hµnh ph©n tÝch ho¹t ®éng
cña mét hÖ thèng phøc t¹p hoÆc hÖ thèng ®a chiÒu (many-dimensional
system). Trong nhiÒu t×nh huèng nh− thÕ viÖc ®−a ra mét ph−¬ng ph¸p chung
®Ó nhËn ®−îc th«ng tin h÷u Ých mét c¸ch kÞp thêi trë nªn cã ý nghÜa h¬n nhiÒu
so víi viÖc t×m kiÕm mét ph−¬ng ph¸p qu¸ chi tiÕt vµ chÝnh x¸c. Khi ®é phøc
t¹p cña hÖ thèng t¨ng lªn, kh¶ n¨ng x©y dùng nh÷ng ph¸t biÓu chÝnh x¸c vµ cã
ý nghÜa vÒ ho¹t ®éng cña hÖ thèng sÏ gi¶m bít cho ®Õn khi ®¹t ®−îc mét
-1-
- "ng−ìng" nµo ®ã, mµ trong ng−ìng ®ã, tÝnh chÝnh x¸c vµ tÝnh cã ý nghÜa trë
nªn thèng nhÊt.
Nguyªn lý c¬ b¶n cña sù kh«ng t−¬ng thÝch nh− ®· tr×nh bµy trªn ®©y
phï hîp víi c¸ch con ng−êi lÜnh héi vµ suy luËn: chóng ta chñ yÕu sö dông
c¸ch tr×nh bµy thùc tÕ mét c¸ch gi¶n l−îc, vµ v× vËy, viÖc tr×nh bµy nh− thÕ
nhÊt ®Þnh lµ kh«ng chÝnh x¸c vµ chung chung theo suy nghÜ chñ quan cña mçi
ng−êi.
Nh− vËy, mét ph−¬ng ph¸p t èt cÇn ph¶i ®¹t ®−îc mét sù tho¶ hiÖp,
trong ®ã, tr¸nh bÊt kú ®ßi hái sù chÝnh x¸c qu¸ møc còng nh− l¹m dông sù tïy
høng (hay còng vËy, tÝnh kh«ng ch¾c ch¾n) mét c¸ch qu¸ møc. TÝnh kh«ng
chÝnh x¸c thËm chÝ cßn ®−îc n¶y sinh do kh¶ n¨ng hiÓu biÕt cña c¸ nh©n mçi
con ng−êi lµ bÞ giíi h¹n.
Gi¶i tÝch kho¶ng vµ lý thuyÕt x¸c xuÊt lµ hai c¸ch tiÕp cËn truyÒn
thèng ®Ó tr×nh bÇy th«ng tin kh«ng hoµn h¶o tuy nhiªn chóng l¹i kh«ng thÝch
øng ®Ó gi¶i quyÕt nh÷ng vÊn ®Ò míi ®−îc n¶y sinh. Gi¶i tÝch kho¶ng ®−îc ¸p
dông chØ trong t×nh huèng khi xö lý d÷ liÖu sè kh«ng ®óng. §èi víi th«ng tin
kh«ng hoµn h¶o, lý thuyÕt x¸c suÊt ®−îc sö dông víi môc ®Ých ®−a ra mét
khung mang tÝnh qui chuÈn vµ quan t©m ®Õn sù ph¸n quyÕt kh«ng ch¾c ch¾n.
Lý thuyÕt kh¶ n¨ng ®−îc x©y dùng dùa trªn kh¸i niÖm tËp mê, vµ ®−îc
Zadeh khëi sinh tõ nh÷ng n¨m 1960. Khi ¸p dông lý thuyÕt kh¶ n¨ng, mét ®èi
t−îng cã thÓ ®−îc t−¬ng øng víi mét ph¹m trï ch¾c ch¾n mµ ®èi t−îng sÏ
®−îc ®¸nh gi¸ theo ph¹m trï ®ã. Khi møc ®é kh¶ n¨ng nhËn c¸c gi¸ trÞ hoÆc 0
hoÆc 1 th× sù tÝnh to¸n chÝnh x¸c trong lý thuyÕt kh¶ n¨ng trïng hîp víi gi¶i
tÝch kho¶ng, trong ®ã th«ng tin kh«ng chÝnh x¸c ®−îc tr×nh bµy d−íi d¹ng tËp
c¸c gi¸ trÞ cã thÓ (thay v× tËp c¸c gi¸ trÞ chÝnh x¸c). Khi nghiªn cøu vÒ lý
thuyÕt kh¶ n¨ng, chóng ta quan t©m ®Õn mèi quan hÖ kÐp: mét mÆt, quan hÖ
gi÷a lý thuyÕt kh¶ n¨ng vµ lý thuyÕt tËp hîp, vµ mÆt kh¸c, quan hÖ gi÷a lý
thuyÕt kh¶ n¨ng vµ kh¸i niÖm ®é ®o. Trong c¸c nghiªn cøu lý thuyÕt kh¶ n¨ng,
-2-
- tÝnh kh«ng chÝnh x¸c ®−îc tr×nh bµy d−íi d¹ng c¸c tËp mê vµ viÖc x¸c ®Þnh
tÝnh kh«ng ch¾c ch¾n ®−îc th«ng qua viÖc x¸c ®Þnh cÆp ®é ®o kh¶ n¨ng vµ ®é
®o cÇn thiÕt.
ViÖc nghiªn cøu c¸c ®é ®o trong c¸c hÖ thèng kh«ng hoµn h¶o ®−îc
quan t©m ngay tõ thêi ®iÓm khëi ®Çu cña lÜnh vùc nghiªn cøu réng lín nµy
cña Tin häc. Mçi mét m« h×nh míi vÒ c¸c hÖ thèng kh«ng hoµn h¶o th−êng
g¾n víi mét líp ®é ®o nµo ®ã. §· cã rÊt nhiÒu c«ng tr×nh khoa häc nghiªn cøu
vÒ c¸c ®é ®o trong c¸c hÖ thèng kh«ng hoµn h¶o ®−îc ®−a ra. HiÖn t¹i, vÊn ®Ò
nghiªn cøu vÒ c¸c ®é ®o vÉn mang tÝnh thêi sù, liªn quan ®Õn nhiÒu lÜnh vùc
kh¸c nhau trong Tin häc vµ ®Æc biÖt, liªn quan mËt thiÕt ®Õn lÜnh vùc khai ph¸
d÷ liÖu vµ t×m kiÕm tri thøc.
LuËn v¨n "HÖ thèng c¸c ®é ®o gÇn ®óng vµ lËp luËn xÊp xØ" ®Þnh h−íng
tíi c¸c néi dung vÒ ®é ®o trong hÖ thèng kh«ng hoµn h¶o, trong lËp luËn gÇn
®óng vµ t×m kiÕm tri thøc. Néi dung cña b¶n luËn v¨n ®−îc chia lµm 4 ch−¬ng:
- Ch−¬ng 1 víi tiªu ®Ò "TËp mê vµ c¸c ®é ®o kh«ng chÝnh x¸c" tr×nh
bÇy c¸c néi dung c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt tËp mê, c¸c phÐp to¸n c¬ b¶n cña tËp mê,
c¸c ®é ®o trong hÖ thèng kh«ng hoµn h¶o. C¸c ®é ®o ®−îc tr×nh bµy trong
ch−¬ng nµy nh−: ®é ®o kh¶ n¨ng, ®é ®o cÇn thiÕt vµ c¸c mèi liªn hÖ gi÷a c¸c
®é ®o, gi÷a tËp mê vµ ®é ®o kh¶ n¨ng còng ®−îc xem xÐt. LuËn v¨n còng tr×nh
bµy nh÷ng nÐt kh¸i qu¸t vÒ c¸c ph−¬ng ph¸p thùc tÕ x©y dùng hµm thµnh viªn,
x©y dùng c¸c tËp mê tõ d÷ liÖu thèng kª. Mèi liªn hÖ gi÷a ph©n phèi kh¶ n¨ng
vµ x¸c suÊt... còng ®−îc xem xÐt. ViÖc x©y dùng hµm thµnh viªn µG ®o møc
®é t−¬ng thÝch gi÷a gi¸ trÞ ®¸nh gi¸ c¸c ®èi t−îng vµ ý muèn cña ng−êi ra
quyÕt ®Þnh ®−îc bµn luËn. §Ó ®¹t ®−îc môc tiªu chung cÇn kÕt hîp tõ nhiÒu
tiªu chuÈn kh¸c nhau vµ dÉn ®Õn viÖc cÇn x©y dùng c¸c hµm tæ hîp c¸c tiªu
chuÈn ®ã l¹i.
- Ch−¬ng 2 cã tiªu ®Ò "C¸c ph−¬ng ph¸p lËp luËn xÊp xØ trong c¸c hÖ
chuyªn gia" tr×nh bµy mét sè m« h×nh suy luËn gÇn ®óng trong c¸c hÖ chuyªn
-3-
- gia. Dùa theo nÒn t¶ng lý thuyÕt c¬ b¶n ®−îc giíi thiÖu trong ch−¬ng 1, c¸c ®é
®o tin cËy, ®é ®o hîp lý ®−îc tr×nh bµy. Kh¸i niÖm vÒ mÖnh ®Ò kh«ng râ rµng
vµ c¸ch −íc l−îng gi¸ trÞ ®óng ®¾n cña mét mÖnh ®Ò ®−îc xem xÐt t−¬ng ®èi
kü l−ìng. C¸ch tiÕp cËn logic vµ tiÕp cËn hµm x©y dùng c¸c m« h×nh suy luËn
trong hÖ chuyªn gia tõ c¸c tiÒn ®Ò kh«ng ch¾c ch¾n sö dông c¸c luËt Modus
ponens vµ Modus tollens ®· ®−îc nghiªn cøu kh¸ c¬ b¶n trong ch−¬ng nµy.
- "T×m kiÕm tri thøc vµ ®é ®o gÇn ®óng" lµ tiªu ®Ò cña ch−¬ng 3. Néi
dung cña ch−¬ng nªu lªn quan ®iÓm c¸c ®é ®o gÇn ®óng còng lµ kÕt qu¶ cña
khai ph¸ d÷ liÖu vµ t×m kiÕm tri thøc. C¸c néi dung c¬ b¶n cña t×m kiÕm tri
thøc mµ mét trong nh÷ng tri thøc ®ã lµ c¸c ®é ®o trong lÜnh vùc lËp luËn gÇn
®óng ®· ®−îc tr×nh bµy. Mét sè ®é ®o liªn quan ®Õn lÜnh vùc lËp luËn xÊp xØ,
®Æc biÖt c¸c ®é ®o liªn quan ®Õn kh¸i niÖm tËp th« ®−îc hÖ thèng hãa. Gi¸ trÞ
t×m ®−îc tõ c¸c ®é ®o nãi trªn cho phÐp ®−a ra mét sè ®¸nh gi¸ vÒ ®é tin cËy
trong suy luËn gÇn ®óng.
- Ch−¬ng 4 víi tiªu ®Ò "§Ò xuÊt mét ®é ®o gÇn ®óng vµ ¸p dông" lµ
b−íc ph¸t triÓn néi dung cña ch−¬ng 3. §é ®o ®−îc ®Ò xuÊt tuy ch−a ®−îc
®¸nh gi¸ so s¸nh víi c¸c ®é ®o ë ch−¬ng 3 song ®é ®o ®ã vÉn cã ý nghÜa trong
mét líp m« h×nh kh«ng qu¸ h¹n hÑp.
LuËn ¸n nµy hoµn thµnh ®−îc tr−íc hÕt lµ nhê cã sù gióp ®ì h−íng dÉn
khoa häc tËn t×nh cña PTS. Hµ Quang Thôy, PTS. §ç V¨n Thµnh. V× vËy, víi
tÊt c¶ tÊm lßng cña m×nh t«i xin bÇy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c cña m×nh tíi hai
ng−êi thÇy ®· trùc tiÕp gióp ®ì h−íng dÉn t«i lµm luËn ¸n. Vµ t«i còng xin
ch©n thµnh göi lêi c¸m ¬n cña m×nh tíi c¸c thÇy c« gi¸o khoa C«ng nghÖ
th«ng tin, c¸c thÇy c« gi¸o thuéc Phßng §µo t¹o sau ®¹i häc-tr−êng §¹i häc
Khoa häc tù nhiªn ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn gióp ®ì t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc.
Ngoµi ra t«i còng v« cïng c¶m ¬n mäi ng−êi trong gia ®×nh vµ c¸c b¹n bÌ th©n
cña t«i, ®· cho t«i nhiÒu sù ®éng viªn khÝch lÖ ®Ó t«i cã thÓ hoµn thµnh luËn ¸n
cña m×nh.
-4-
- Víi tÊt c¶ mäi tËp thÓ vµ c¸ nh©n ®· gióp ®ì t«i ë trªn, t«i xin ch©n
thµnh göi c¸m ¬n cña m×nh tíi tÊt c¶ mäi ng−êi.
-5-
- Ch−¬ng 1
TËp mê vµ c¸c ®é ®o kh«ng chÝnh x¸c
1. ®é ®o kh¶ n¨ng vµ tËp mê
Mét trong nh÷ng c¸ch tiÕp cËn kh«ng truyÒn thèng ®èi víi tÝnh kh«ng
chÝnh x¸c vµ tÝnh kh«ng ch¾c ch¾n lµ c¸ch tiÕp cËn tíi phÐp ®o kh¶ n¨ng.
Tr−íc hÕt, chóng ta xem xÐt c¸c kh¸i niÖm tÝnh kh«ng chÝnh x¸c vµ tÝnh
kh«ng ch¾c ch¾n.
1.1. kh¸i niÖm vÒ tÝnh kh«ng chÝnh x¸c vµ tÝnh kh«ng ch¾c ch¾n
TÝnh kh«ng chÝnh x¸c vµ tÝnh kh«ng ch¾c ch¾n cã thÓ ®−îc coi lµ hai
khÝa c¹nh c¬ b¶n cña tÝnh chÊt x¸c thùc liªn quan ®Õn th«ng tin kh«ng hoµn
h¶o. Mét môc (gãi) th«ng tin cã thÓ lµ ®−îc tr×nh bÇy nh− lµ mét mÖnh ®Ò
logic vµ mét kho tri thøc ®−îc thu gom tõ c¸c môc th«ng tin tõ c¸c c¸ nh©n
(hoÆc mét hÖ thèng m¸y tÝnh, hoÆc mét nhãm c¸ nh©n) vµ liªn quan ®Õn Ýt
nhÊt mét vÊn ®Ò.
Nh÷ng kh¼ng ®Þnh xuÊt hiÖn trong qu¸ tr×nh biÓu diÔn th«ng tin cã thÓ
®−îc gi¶i thÝch nh− lµ nh÷ng tËp con cña mét miÒn tham kh¶o. Mét mÖnh ®Ò
còng cã thÓ ®−îc coi lµ mét x¸c nhËn liªn quan tíi sù xuÊt hiÖn cña mét sù
kiÖn. Nh÷ng sù kiÖn nh− vËy cã thÓ tù ®−îc tr×nh bÇy nh− lµ nh÷ng tËp con
cña miÒn tham kh¶o, v× vËy ®−îc gäi lµ sù kiÖn ch¾c ch¾n. Chóng ta cã ba
c¸ch t−¬ng ®−¬ng ®Ó thu thËp c¸c môc th«ng tin: hoÆc dùa theo cÊu tróc (khÝa
c¹nh logic), hoÆc dùa theo néi dung môc th«ng tin (khÝa c¹nh lý thuyÕt tËp),
hoÆc dùa theo mèi liªn hÖ cña c¸c môc th«ng tin víi c¸c sù kiÖn thùc (khÝa
c¹nh thùc tÕ).
Theo quan ®iÓm thùc tÕ, mét môc th«ng tin ®−îc ®Þnh nghÜa lµ mét bé-
bèn (thuéc tÝnh, ®èi t−îng, gi¸ trÞ, ®é tin cËy).
-6-
- §èi t−îng (object) chØ ra ®−îc phÇn tö trong mét tËp tæng thÓ c¸c ®èi
t−îng ®ang ®−îc chóng ta quan t©m, nghiªn cøu. Trong môc th«ng tin, thµnh
phÇn ®èi t−îng ®−îc tr×nh bµy lµ tªn ®èi t−îng cô thÓ liªn quan ®Õn môc th«ng
tin ®· cho.
Thuéc tÝnh (attribute) ®−îc ®Ò cËp nh− mét hµm g¾n mét gi¸ trÞ (hoÆc
mét tËp gi¸ trÞ) víi ®èi t−îng (object). Thuéc tÝnh th−êng liªn quan ®Õn mét
"tÝnh chÊt" nµo ®ã cña c¸c ®èi t−îng ®ang ®−îc xem xÐt.
Gi¸ trÞ (value) thuéc vÒ mét tËp con cña vïng tham kh¶o liªn quan víi
thuéc tÝnh. Trong môc th«ng tin, thµnh phÇn gi¸ trÞ lµ mét phÇn tö (hoÆc mét
tËp con c¸c phÇn tö) liªn quan ®Õn ®èi t−îng cô thÓ trong môc th«ng tin.
§é tin cËy (confident) x¸c ®Þnh ®é x¸c thùc cña môc th«ng tin.
Môc th«ng tin cã thÓ ®−îc më réng theo h−íng mçi mét thµnh phÇn
trong ®ã cã thÓ lµ tæ hîp (mét vµi ®èi t−îng, mét vµi thuéc tÝnh, m¶ng n-tÝnh
chÊt, c¸c møc ®é tin cËy kh¸c nhau).
Trong ng÷ c¶nh nµy, chóng ta cã thÓ nhËn thÊy sù ph©n biÖt râ rµng
kh¸i niÖm kh«ng chÝnh x¸c (imprecision) víi kh¸i niÖm kh«ng ch¾c ch¾n
(uncertainty): tÝnh kh«ng chÝnh x¸c liªn quan tíi néi dung mét môc th«ng tin
(thµnh phÇn gi¸ trÞ), cßn trong khi ®ã, tÝnh kh«ng ch¾c ch¾n liªn quan tíi tÝnh
®óng ®¾n cña môc th«ng tin, ®−îc hiÓu nh− lµ tÝnh x¸c thùc (thµnh phÇn tin
cËy).
* TÝnh kh«ng ch¾c ch¾n
TÝnh kh«ng ch¾c ch¾n cña mét môc th«ng tin cã thÓ ®−îc ®¸nh gi¸
th«ng qua nh÷ng tõ nh−: “cã thÓ” (probable), “kh¶ n¨ng”, “cÇn thiÕt”, “hîp
lý” hoÆc “®¸ng tin” mµ chóng ta mong muèn cè g¾ng g¸n cho chóng mét ý
nghÜa chÝnh x¸c nµo ®ã. M« h×nh “cã thÓ” ®· tõng ®−îc nghiªn cøu réng r·i vµ
nã liªn quan tíi hai ý nghÜa kh¸c nhau. ý nghÜa ®Çu tiªn lµ ý nghÜa vËt lý, rµng
buéc tíi c¸c thÝ nghiÖm thèng kª, vµ liªn quan tíi tÇn sè xuÊt hiÖn cña mét sù
-7-
- kiÖn. ý nghÜa thø 2 (epistemic) lµ: ë ®©y “cã thÓ” nãi ®Õn mét c¸ch ®¸nh
gi¸ chñ quan nµo ®ã.
§èi víi nh÷ng m« h×nh “kh¶ n¨ng” vµ “cÇn thiÕt”, ta nhÊn m¹nh tÝnh
®èi ngÉu cña chóng, nÕu mét sù kiÖn lµ cÇn thiÕt, th× sù kiÖn ®èi ngÉu lµ
kh«ng cã kh¶ n¨ng. Tr¸i ng−îc víi kh¸i niÖm “cã thÓ” vµ “kh¶ n¨ng”, kh¸i
niÖm “cÇn thiÕt” th−êng xuyªn ®−îc coi nh− lµ ph¹m trï “tÊt c¶ hoÆc kh«ng cã
g×”. Nh−ng, còng gièng nh− “cã thÓ”, “kh¶ n¨ng” cã hai c¸ch gi¶i thÝch: vËt
lý, vµ ”epistemic”. MÆt kh¸c “cÇn thiÕt” lµ mét kh¸i niÖm m¹nh h¬n nhiÒu,
trong mçi ý nghÜa vËt lý hoÆc “epistemic” . Nh÷ng kh¸i niÖm “hîp lý” vµ
“®¸ng tin” lµ ®Æc biÖt “epistemic” vµ liªn quan lÇn l−ît ®Õn c¸c kh¸i niÖm
“kh¶ n¨ng” vµ “cÇn thiÕt”. Tõng kh¸i niÖm t−¬ng øng tíi mét c¸ch thøc suy
luËn dùa trªn mét kho tri thøc ®−îc ®−a ra: bÊt cø ®iÒu g× mµ cã thÓ suy luËn
tõ kho tri thøc lµ “®¸ng tin”; bÊt cø ®iÒu g× mµ kh«ng m©u thuÉn víi kho tri
thøc lµ ”hîp lý” (khÝa c¹nh qui n¹p).
D−íi ®©y lµ mét vµi vÝ dô vÒ nh÷ng mÖnh ®Ò kh«ng ch¾c ch¾n:
- Cã thÓ Nam cao Ýt nhÊt 1.70 m.
(®é cao, Nam, ≥1.7 m, cã thÓ)
-X¸c suÊt l−îng m−a ngµy mai ®¹t10 mm lµ 0.5
(l−îng, m−a ngµy mai, 10 mm, x¸c suÊt = 0.5)
* TÝnh kh«ng chÝnh x¸c
Mét môc cña th«ng tin sÏ ®−îc gäi lµ chÝnh x¸c khi tËp con t−¬ng øng
víi thµnh phÇn “gi¸ trÞ” kh«ng thÓ chia nhá thªm. Dùa trªn khÝa c¹nh cña
th«ng tin ®ang ®−îc nhÊn m¹nh, chóng ta cã thÓ ph¸t biÓu mét mÖnh ®Ò s¬
cÊp, cña mét “singleton” (khÝa c¹nh lý thuyÕt tËp), hoÆc lµ mét sù kiÖn c¬ b¶n.
TÝnh chÝnh x¸c dùa trªn c¸ch x¸c ®Þnh miÒn tham kh¶o. Trong mét sè tr−êng
hîp, chóng ta cã thÓ ph¸t biÓu th«ng tin kh«ng chÝnh x¸c (imprecise).
Trong ng«n ng÷ tù nhiªn cã nh÷ng tõ liªn quan tíi tÝnh kh«ng chÝnh
x¸c, vÝ dô nh− “kh«ng râ rµng”, “mê”, “tæng qu¸t”. “Tæng qu¸t” còng lµ mét
-8-
- d¹ng kh«ng chÝnh x¸c gièng víi qu¸ tr×nh trõu t−îng ho¸. Mét môc th«ng tin
®−îc gäi lµ tæng qu¸t nÕu nã chØ dÉn mét líp ®èi t−îng mµ c¸c ®èi t−îng ®ã
cïng biÓu diÔn mét tÝnh chÊt chung. Nh−ng gi÷a tÝnh kh«ng râ rµng vµ tÝnh
mê trong mét môc th«ng tin lµ kh«ng cã mét ng¨n c¸ch râ rµng khi xem xÐt
tËp gi¸ trÞ ®−îc g¾n tíi c¸c ®èi t−îng liªn quan.
1.2 §é ®o tin t−ëng (confidence)
Trong viÖc nghiªn cøu kho tri thøc kh«ng chÝnh x¸c vµ kh«ng ch¾c
ch¾n, sù kiÖn lµ tËp con cña mét tËp tham kh¶o Ω cho tr−íc.
TËp rçng ®−îc ®ång nhÊt víi sù kiÖn kh«ng cã kh¶ n¨ng.
Gi¶ sö r»ng víi mét sù kiÖn A ⊆ Ω cho t−¬ng øng víi mét sè thùc g(A)
®−îc gäi lµ ®é tin t−ëng vÒ kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn sù kiÖn A (qui −íc, g(A) t¨ng
cïng víi sù t¨ng ®é tin cËy). Thùc tÕ g(A) ®−îc cung cÊp tõ ng−êi së h÷u kho
tri thøc (hoÆc tõ mét thñ tôc xö lý d÷ liÖu ®−îc ¸p dông ®èi víi th«ng tin ®−îc
l−u gi÷ trong bé nhí cña mét hÖ thèng m¸y tÝnh).
H¬n n÷a, nÕu A lµ mét sù kiÖn ch¾c ch¾n th× g(A)=1, vµ nÕu A lµ mét
sù kiÖn kh«ng cã kh¶ n¨ng, th× g(A)=0, ®Æc biÖt
g(∅)=0 vµ g(Ω)=1 (1.1)
Tuy nhiªn, g(A)=1 (hoÆc 0) kh«ng nhÊt thiÕt cã nghÜa lµ A lµ ch¾c ch¾n
(hoÆc kh«ng cã kh¶ n¨ng).
Tiªn ®Ò 1.1 (Tiªn ®Ò ®¬n ®iÖu yÕu):
Gi¶ sö Ω lµ tËp tham kh¶o, víi mäi sù kiÖn A ⊆ Ω th× g(A) ®o ®é tin
t−ëng kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn sù kiÖn A. Khi ®ã:
∀A ⊆ B g(A) ≤ g(B) (1.2)
§Þnh nghÜa 1.1 (®é ®o confident):
-9-
- Gi¶ sö Ω lµ tËp tham kh¶o, víi mäi sù kiÖn A ⊆ Ω th× g(A) ®o ®é tin
t−ëng kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn sù kiÖn A. Khi ®ã nÕu g tho¶ m·n tiªn ®Ò ®¬n ®iÖu
yÕu (tiªn ®Ò 1.1) th× g ®−îc gäi lµ ®é ®o confident.
Tiªn ®Ò 1.2 (Tiªn ®Ò liªn tôc):
Khi Ω lµ mét tËp tham kh¶o v« h¹n, khi ®ã víi mäi d·y lång nhau (An)n
c¸c tËp, gi¶ sö:
A0 ⊆ A1 ⊆ ... ⊆ An ⊆ ..., hoÆc A0 ⊇ A1 ⊇ ... An ⊇ ...
th×
⎛ ⎞
lim g(A n ) = g⎜ lim(A n )⎟ (1.3)
⎜ ⎟
n→∞ ⎝n→∞⎠
Mét ®é ®o confidence ®−îc coi lµ tho¶ m·n tiªn ®Ò liªn tôc nÕu nã tháa
m·n Ýt nhÊt mét hoÆc hai kiÓu d·y t¨ng hoÆc gi¶m.
1.2.1. ®é ®o kh¶ n¨ng vµ ®é ®o cÇn thiÕt
Nh÷ng bÊt ®¼ng thøc d−íi ®©y lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña tiªn ®Ò ®¬n ®iÖu
(1.2), vµ liªn quan tíi c¸c phÐp hîp (A∪B) vµ giao (A∩B) cña c¸c sù kiÖn:
∀A,B ⊆ Ω, g(A∪B) ≥ max (g(A), g(B))
g(A∩B) ≤ min (g(A), g(B))
Mét trong nh÷ng bµi to¸n ®Æt ra lµ t×m kiÕm mét c¸ch tù nhiªn, nh÷ng
tr−êng hîp h¹n chÕ c¸c phÐp ®o confidence. Sau ®©y ta sÏ giíi thiÖu hai ®é ®o
kh¶ n¨ng vµ ®é ®o cÇn thiÕt.
*§é ®o kh¶ n¨ng:
§Þnh nghÜa 1.2:
Ký hiÖu Π lµ mét ®é ®o confident tho¶ m·n:
∀A,B, Π(A∪B) = max (Π(A), Π(B)) (1.4)
Khi ®ã Π ®−îc gäi lµ ®é ®o kh¶ n¨ng, trong ®ã A, B kh«ng nhÊt thiÕt
ph¶i lµ c¸c tËp rêi nhau.
- 10 -
- DÔ dµng kiÓm tra nhËn thÊy r»ng nÕu (1.4) lµ ®óng ®èi víi mäi cÆp A, B
rêi nhau (A∩B = ∅) th× nã ®óng cho mäi cÆp c¸c sù kiÖn. Tõ nhËn ®Þnh nµy,
viÖc kiÓm tra mét ®é ®o cã lµ ®é ®o kh¶ n¨ng hay kh«ng chØ h¹n chÕ trªn c¸c
cÆp tËp rêi nhau.
Sù tån t¹i ®é ®o kh¶ n¨ng cã thÓ ®−îc kh¼ng ®Þnh tõ c¸ch x©y dùng mét
®é ®o kh¶ n¨ng nh− sau:
- Gi¶ sö r»ng E ⊆ Ω lµ mét sù kiÖn ®−îc coi lµ ch¾c ch¾n. Mét hµm Π
lÊy gi¸ trÞ trong {0, 1} vµ tho¶ m·n (1.4), lµ dÔ dµng ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau:
Π(A) = 1 nÕu A∩E ≠ ∅
nÕu A∩E = ∅
=0
HiÓn nhiªn Π ®−îc x©y dùng nh− vËy lµ mét ®é ®o kh¶ n¨ng
TÝnh chÊt 1.1:
NÕu A vµ A lµ hai sù kiÖn tr¸i ng−îc ( A lµ phÇn bï cña A trong Ω), khi
®ã ta cã:
max(Π(A), Π( A )) =1
TÝnh chÊt trªn cã thÓ ®−îc chøng minh dÔ dµng nh− sau:
max(Π(A), Π( A )) = Π(A∪ A ) = Π(Ω) = 1
§Þnh nghÜa 1.3:
Gi¶ sö Ω lµ h÷u h¹n, khi ®ã mäi ®é ®o kh¶ n¨ng Π cã thÓ ®−îc ®Þnh
nghÜa d−íi d¹ng theo gi¸ trÞ cña nã trªn c¸c phÇn tö cña Ω nh− sau:
∀A Π(A) = sup {π(ω)|ω ∈ A} (1.5)
trong ®ã π(ω) = Π({ω}); π lµ mét ¸nh x¹ tõ Ω vµo [0, 1] ®−îc gäi lµ ph©n phèi
kh¶ n¨ng.
§Þnh nghÜa 1.4:
π lµ mét ph©n phèi kh¶ n¨ng. Khi ®ã π ®−îc gäi lµ chuÈn ho¸ nÕu
∃ω, π(ω) = 1 (1.6)
- 11 -
- v× Π(Ω) = 1.
Trªn thùc tÕ, chóng ta lu«n lu«n b¾t ®Çu víi mét ph©n phèi kh¶ n¨ng vµ
x©y dùng Π nhê (1.5).
Nãi chung, ®é ®o kh¶ n¨ng kh«ng tho¶ m·n tiªn ®Ò liªn tôc (1.3) ®èi
víi d·y c¸c tËp lång nhau gi¶m dÇn.
TÝnh chÊt 1.2:
NÕu Π lµ ®é ®o kh¶ n¨ng th× Π tho¶ m·n tÝnh chÊt sau:
Π(A) + Π( A ) ≥ 1
*§é ®o cÇn thiÕt:
T−¬ng tù, ta ®Þnh nghÜa ®é ®o cÇn thiÕt (d−íi ®©y ®−îc ký hiÖu bëi N)
dùa theo quan hÖ sau:
§Þnh nghÜa 1.5:
Gi¶ sö N lµ mét ®é ®o confident tho¶ m·n:
∀A,B, N(A∩B) = min (N(A), N(B)) (1.7)
Khi ®ã N ®−îc gäi lµ ®é ®o kh¶ n¨ng
Mét hµm N víi nh÷ng gi¸ trÞ trong {0, 1} cã thÓ dÔ dµng ®−îc x©y dùng
nhê mét sù kiÖn ch¾c ch¾n E nh− sau:
nÕu E ⊆ A
N(A) = 1
nÕu E ⊄ A
=0
Râ rµng lµ hµm N ®−îc x©y dùng nh− vËy lµ mét ®é ®o cÇn thiÕt.
N(A) = 1 mang ý nghÜa A lµ ch¾c ch¾n.
MÖnh ®Ò 1.1:
Mét hµm tËp N tho¶ m·n (1.7) nÕu vµ chØ nÕu hµm Π ®−îc ®Þnh nghÜa
bëi
∀A, Π(A) = 1 - N( A ) (1.8)
lµ mét phÐp ®o kh¶ n¨ng.
- 12 -
- Ph−¬ng tr×nh (1.8) tr×nh bµy sù biÓu diÔn sè mèi quan hÖ ®èi ngÉu gi÷a
c¸c m« h×nh kh¶ n¨ng vµ m« h×nh cÇn thiÕt. Quan hÖ ®èi ngÉu cho phÐp chóng
ta lu«n x©y dùng ®−îc mét hµm cÇn thiÕt tõ mét ph©n phèi kh¶ n¨ng th«ng
qua biÓu thøc:
N(A) = inf{1- π(ω)| ω ∉ A} (1.9)
Ta cã mét sè tÝnh chÊt sau:
min(N(A), N( A )) = N(A∩( A )) = N(∅) = 0
TÝnh chÊt 1.3:
∀A⊆Ω, Π(A) ≥ N(A)
TÝnh chÊt 1.4:
Chøng minh:
∀A⊆Ω, Π(A)=1-N( A )-N(A)+N(A)
=(1-(N( A )+N(A)))+N(A) ≥ N(A)
TÝnh chÊt 1.3 cho mét nhËn xÐt trùc gi¸c r»ng mét sù kiÖn lµ cã kh¶
n¨ng tr−íc khi lµ cÇn thiÕt. Ngoµi ra ta cßn cã c¸c quan hÖ sau:
N(A) > 0 ⇒ Π(A) = 1
TÝnh chÊt 1.5:
Chøng minh:
N(A) > 0 ⇒ N( A ) = 0 (do min(N(A), N( A )) = 0)
⇒ Π(A) = 1- N( A ) = 1
T−¬ng tù ta cã:
Π(A) < 1 ⇒ N(A) = 0
TÝnh chÊt 1.6:
N(A) + N( A ) ≤ 1
TÝnh chÊt 1.7:
1.2.2. kh¶ n¨ng vµ x¸c suÊt
§Þnh nghÜa 1.6:
Sù kiÖn xuÊt hiÖn th«ng qua viÖc quan s¸t th−êng xuyªn c¸c sù kiÖn c¬
b¶n nhËn ®−îc mét ®é ®o confidence P tho¶ m·n tiªn ®Ò céng mét c¸ch tù
nhiªn:
∀A, ∀B, vµ A∩B = ∅, P(A∪B) = P(A) + P(B) (1.10)
- 13 -
- Th× ®é ®o P ®−îc gäi lµ ®é ®o x¸c suÊt.
MÖnh ®Ò 1.2:
Gi¶ sö Ω h÷u h¹n ta cã
∑ p(ω)
P(A) = (1.11)
ω∈ Ω
trong ®ã p(ω) = P({ω}).
§Þnh nghÜa 1.7:
Gi¶ sö P lµ ®é ®o x¸c suÊt. Khi ®ã nÕu p tho¶ m·n p(ω) = P({ω}) th× p
®−îc gäi lµ chuÈn ho¸ nÕu tho¶ m·n:
∑ p(ω) = 1
ω∈ Ω
TÝnh chÊt 1.8:
P lµ ®é ®o x¸c suÊt th×:
P(A) + P( A ) = 1 (1.12)
*Mét sè ®iÓm kh¸c nhau chÝnh yÕu gi÷a ®é ®o kh¶ n¨ng vµ ®é ®o x¸c
suÊt:
-X¸c suÊt cña mét sù kiÖn hoµn toµn x¸c ®Þnh x¸c suÊt cña sù kiÖn ®èi
lËp.
-Kh¶ n¨ng hoÆc sù cÇn thiÕt cña mét sù kiÖn, vµ cña sù kiÖn ®èi lËp, lµ
®−îc liªn kÕt yÕu. Do ®ã ®Ó ®Þnh râ ®Æc ®iÓm kh«ng ch¾c ch¾n cña mét sù
kiÖn A chóng ta cÇn c¶ hai sè Π(A) vµ N(A).
Trong m« h×nh ph¸n quyÕt kh«ng ch¾c ch¾n, ta mong muèn kh«ng lµm
cøng nh¾c mèi quan hÖ gi÷a nh÷ng dÊu hiÖu chóng ta cã cña mét sù kiÖn.
Trong t×nh huèng nµy kh¸i niÖm x¸c suÊt d−êng nh− lµ kÐm linh ®éng h¬n
kh¸i niÖm kh¶ n¨ng.
*Ph−¬ng ph¸p x©y dùng hµm ph©n phèi kh¶ n¨ng th«ng qua x¸c suÊt:
Gi¶ sö tiªn ®Ò céng lµ ®−îc tho¶ m·n, ta cã thÓ x©y dùng ®−îc nh÷ng
phÐp ®o kh¶ n¨ng vµ cÇn thiÕt nh− sau:
- 14 -
- Gi¶ sö E 1 , E 2 , K , E p lµ nh÷ng tËp con kh¸c nhau tõng ®«i mét (nh−ng cã
thÓ giao nhau) cña Ω ( Ω lµ h÷u h¹n), lÇn l−ît cã c¸c x¸c suÊt
m(E 1 ), m(E 2 ), K , m(E p ) tho¶ m·n:
p
∑ m( E i ) = 1 (1.13)
i =1
vµ
∀i, m( E i ) > 0 (1.14)
C¸c sù kiÖn E i nh− trªn ®−îc gäi lµ c¸c phÇn tö träng t©m (focal
element), ®−îc sö dông ®Ó x©y dùng m« h×nh kh«ng chÝnh x¸c.
Khi ®ã x¸c suÊt cña mét sù kiÖn A sÏ lµ kh«ng chÝnh x¸c, vµ sÏ n»m
trong mét kho¶ng [P*(A), P*(A)], ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau:
∑ m( E i )
P∗ (A) = (1.15)
Ei ⊆ A
∑ m( E i )
P ∗ (A) = (1.16)
Ei ∩ A ≠ ∅
HiÓn nhiªn:
∀A, P*(A) = 1 - P*( A ) (1.17)
Ta c«ng nhËn kÕt qu¶ r»ng c¸c hµm P* vµ P* tho¶ m·n lÇn l−ît c¸c tiªn
®Ò (1.4) vµ (1.7), khi ®ã P* lµ mét ®é ®o kh¶ n¨ng (hoÆc P* lµ mét ®é ®o cÇn
thiÕt) nÕu vµ chØ nÕu c¸c E i t¹o thµnh mét d·y c¸c tËp bao nhau (nhê tiªn ®Ò
yÕu (1.2)).
§Æc biÖt, nÕu E 1 ⊂ E 2 , K ⊂ E p , cã thÓ ®Þnh nghÜa mét ph©n phèi kh¶
n¨ng π nh− sau:
p
∀ω, π(ω) = P ∗ ({ω}) = ∑ m( E i ) nÕu ω ∈ E i ω∉ E i − 1
j=i
- 15 -
- nÕu ω ∈ Ω - Ep
=0 (1.18)
MÆt kh¸c, nÕu nh÷ng phÇn tö träng t©m lµ c¬ b¶n (v× thÕ kh«ng giao
nhau), th×:
∀A, P*(A) = P*(A) = P(A)
khi ®ã P lµ mét phÐp ®o x¸c suÊt.
Tõ c¸c c«ng thøc (1.15) vµ (1.16) ta cã mét líp c¸c phÐp ®o P tho¶
m·n:
P = {P| ∀A , N(A) ≤ P(A) ≤ Π(A)} (1.19)
1.3.TËp mê
Kh¸i niÖm tËp mê cã thÓ ®−îc ®Þnh nghÜa theo c¸ch kh«ng liªn quan tíi
c¸c ®é ®o kh«ng ch¾c ch¾n nhê viÖc thay ®æi x¸c ®Þnh møc ®é thµnh viªn
(hµm thµnh viªn) thay cho ®Þnh nghÜa hµm ®Æc tr−ng. §©y lµ mét c¸ch nh×n
nhËn logic. Tuy nhiªn, víi mét biÕn x vµ mét con tËp A cña miÒn tham kh¶o,
tån t¹i mét ®é kh«ng ch¾c ch¾n trong tri thøc cña c¸ nh©n mçi ng−êi vÒ mèi
quan hÖ x∈A.
* TËp mê theo ®Þnh nghÜa trùc tiÕp
§Þnh nghÜa 1.7:
Mét tËp mê F lµ t−¬ng ®−¬ng víi cÆp (®−a ra mét tËp tham kh¶o Ω vµ
µF (ω) , mµ ω∈Ω, lµ ®−îc diÔn gi¶i nh− lµ
µF tõ Ω vµo [0, 1].
mét ¸nh x¹,
møc thµnh viªn cña ω trong tËp mê F.
µF (ω) biÓu diÔn møc t−¬ng thÝch cña ω víi tËp mê F . NÕu Ω = R (sè
thùc) th× F lµ mét l−îng mê (fuzzy quantity).
µF (ω) ∈ {0, 1}∀ω, F t−¬ng tù nh− mét tËp con b×nh th−êng cña Ω.
Khi
Trong tr−êng hîp nµy F ®−îc gäi lµ mét tËp con crisp cña Ω.
- 16 -
- Trong tr−êng hîp ng−îc l¹i, cã thÓ chän mét ng−ìng α∈]0, 1] vµ ®Þnh
nghÜa tËp:
µF (ω) ≥ α }
Fα = {ω∈Ω| (1.20)
§Þnh nghÜa 1.8:
Mét tËp Fα ®−îc gäi lµ nh¸t c¾t møc α (“α-level cut” hoÆc “α-cut”) NÕu
Fα lµ tËp ®−îc ®Þnh nghÜa bëi c«ng thøc (1.20).
Fα bao gåm tÊt c¶ nh÷ng phÇn tö cña Ω mµ t−¬ng thÝch víi A t¹i møc Ýt
nhÊt lµ α.
MÖnh ®Ò 1.3:
Hä C(F) = { Fα | α∈]0, 1]} lµ ®¬n ®iÖu:
0 < α ≤ β ≤ 1 ⇒ Fα ⊇ Fβ (1.21)
TÝnh ®¬n ®iÖu cho phÐp tr×nh bÇy F theo c¸ch thøc vÉn ¸p dông ®èi víi
tËp truyÒn thèng vµ ta cã tÝnh chÊt sau:
TÝnh chÊt 1.8:
µF (ω) = sup{α| ω ∈ Fα }
∀ω, (1.22)
Ng−îc l¹i, ta cã:
MÖnh ®Ò 1.4:
Mét hä ®¬n ®iÖu h÷u h¹n nh÷ng tËp { Fα ,...., Fα } ®−îc g¸n cho
m
1
nh÷ng träng sè αi tho¶ m·n (1.21), t¹o thµnh tËp c¸c nh¸t c¾t α cña mét tËp
mê ®−îc ®Þnh bëi (1.22).
§Þnh nghÜa 1.9:
Nh¸t c¾t Fα tho¶ m·n:
µF (ω) > α},
Fα ={ω∈Ω| α∈[0, 1[
khi ®ã Fα ®−îc gäi lµ nh¸t c¾t α m¹nh.
- 17 -
- D−íi ®©y ta ®Þnh nghÜa hai d¹ng nh¸t c¾t Fα d−íi ®©y th−êng ®−îc sö
dông:
§Þnh nghÜa 1.10:
Nh¸t c¾t α møc 1 ký hiÖu F tho¶ m·n:
&
µF (ω) =1}
F ={ω∈Ω|
&
®−îc gäi lµ mét core hoÆc peak.
§Þnh nghÜa 1.11:
Nh¸t c¾t α m¹nh cña F t¹i møc 0, ®−îc gäi lµ support, ®−îc ký hiÖu:
µF (ω) >0}
S(F) = {ω∈Ω|
* TËp mê theo c¸ch tiÕp cËn ®é ®o kh¶ n¨ng
C¸ch nh×n thø hai lµ coi tËp mê nh− lµ “vÕt “ cña mét ®é ®o kh¶ n¨ng
trªn mçi phÇn tö cña Ω.
Mét tËp E ⊂ Ω cho t−¬ng øng mét ®é ®o kh¶ n¨ng, kÝ hiÖu lµ Π E .
Trong ®ã Π E (A) =1 nÕu vµ chØ nÕu E ∩ A≠∅, vµ Π E = 0 nÕu ng−îc l¹i.
-Khi ®é ®o kh¶ n¨ng cã gi¸ trÞ trong kho¶ng ®¬n vÞ, cã thÓ coi ph©n
phèi π cña nã nh− lµ mét hµm thµnh viªn cña mét tËp mê F.
Ký hiÖu [0,1]Ω lµ tËp tÊt c¶ c¸c tËp con mê cña Ω,
∀Π, ∃F∈ [0,1]Ω , ∀ω∈Ω, µF (ω) = Π({ω})=π(ω) (1.23)
- Ng−îc l¹i, tõ mét tËp mê ®−îc chuÈn ho¸:
µF (ω) =1
∃ω, (1.24)
cã thÓ nhËn ®−îc mét hµm kh¶ n¨ng. NÕu kh«ng nhÊt thiÕt b¾t buéc ®iÒu kiÖn
Π(Ω)=1, th× tõ (1.5) ta cã:
Π({ω})=π(ω)= µF (ω)
∀F∈ [0,1]Ω , ∃Π, ∀ω∈Ω, (1.25)
MÖnh ®Ò 1.5:
- 18 -
- NÕu hµm kh¶ n¨ng ®−îc ®Þnh nghÜa th«ng qua mét träng sè x¸c suÊt m,
th× nh÷ng phÇn tö träng t©m t¹o thµnh hä c¸c nh¸t c¾t α cña mét tËp mê.
*Khi ®ã ta cã thÓ biÓu diÔn mét tËp mê th«ng qua x¸c suÊt nh− sau:
Gi¶ sö r»ng {A1 ⊆.....⊆Ap} lµ c¸c phÇn tö träng t©m, th×
p
A i = Fα hoÆc αi = ∑ m(A j )
i
j= i
Nãi c¸ch kh¸c,
µ F (ω) = ∑
∀ω, (1.26)
m(Fα )
ω∈Fα i
i
1.4. Nh÷ng phÐp to¸n c¬ b¶n cña tËp mê
PhÐp to¸n chøa:
µF (ω) ≤ µG (ω)
F⊆G ∀ω, (1.27)
PhÐp to¸n c©n b»ng:
µF (ω) = µG (ω)
∀ω,
F=G (1.28)
PhÐp bï: tËp mê F , phÇn bï cña F trong Ω, ®−îc ®Þnh nghÜa bëi:
µ F (ω) = 1 - µF (ω)
∀ω (1.29)
PhÐp giao:
µF∩G (ω) = min(µF (ω), µG (ω))
∀ω (1.30)
PhÐp hîp:
µF∪G (ω) = max(µF (ω),µG (ω))
∀ω (1.31)
*Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña c¸c phÐp to¸n tËp mê:
TÝnh chÊt 1.8:
PhÐp to¸n chøa ®−îc ®Þnh nghÜa bëi (1.28) lµ ph¶n x¹ vµ b¾c cÇu.
TÝnh chÊt 1.9:
PhÐp to¸n bï (1.30) tho¶ m·n sù n©ng lªn luü thõa F =F
- 19 -
nguon tai.lieu . vn
