Xem mẫu
- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………..
LUẬN VĂN
Một số vấn đề về modun
extending và modun lifting
trong phạm trù M
- 1
M CL C
Trang
M c l c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
M đ u ..................................................... 2
Chương I. Ki n th c chu n b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1 Ph m trù σ [M ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Môđun Noether và môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Môđun đ u (uniform) và chi u uniform, môđun
lõm (hollow) và chi u hollow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Môđun n i x và môđun x nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Bù giao và bù c ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Căn và đ ................................................ 9
Chương II. M t s tính ch t c a môđun extending
và môđun lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1 Môđun extending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Môđun lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Chương III. Kh o sát môđun M có m i môđun h u h n
sinh trong ph m trù σ [M ] là extending ho c lifting . . . 14
3.1 Môđun M có m i môđun h u h n sinh trong
ph m trù σ [M ] là extending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Môđun t a x nh M có m i môđun h u h n sinh trong
ph m trù σ [M ] là lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
- 2
M ĐU
Môđun extending (hay còn đư c g i là CS-môđun) là m t
d ng t ng quát hóa c a môđun n i x đư c nghiên c u r ng rãi
trong vài ch c năm tr l i đây. Cùng v i môđun extending, ngư i
ta còn nghiên c u môđun lifting, m t tính ch t đ i ng u c a
extending và là m t tính ch t có quan h g n v i tính ch t x
nh. Tuy nhiên trong khi m i môđun M đ u có bao n i x thì
chưa ch c ph x nh c a nó đã t n t i. Xét m t khía c nh khác,
đ i v i môđun con N c a m t môđun M , bù giao c a N trong M
luôn t n t i theo B đ Zorn nhưng chưa ch c đã t n t i bù c ng
c a N trong M . Đi u này ch c ch n s t o ra s không đ i x ng
trong quan h đ i ng u gi a môđun extending và môđun lifting.
Các k t qu liên quan đ n môđun lifting đư c các nhóm nhà
toán h c Nh t, n Đ , Th Nhĩ Kỳ đi sâu nghiên c u. Các
tính ch t extending và lifting trên môđun đư c s d ng đ đ c
trưng hay kh o sát m t s l p vành g n v i các l p vành Noether
ho c Artin. Quan tâm đ n l p các môđun này, chúng tôi ch n đ
tài nghiên c u "M t s v n đ v môđun lifting và môđun
extending trong ph m trù σ (M )".
N i dung chính c a lu n văn đư c trình bày trong 3 chương
Chương I. Ki n th c chu n b
Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lư c v các ki n th c
cơ s liên quan đ n n i dung c a lu n văn, các đ nh nghĩa và các
tính ch t...
Chương II. M t s tính ch t c a môđun extending và môđun
lifting
Trong chương này, chúng tôi trình bày m t s tính ch t c a
môđun extending và môđun lifting. Trên cơ s các tính ch t c a
- 3
môđun extending, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không
các tính ch t đ i ng u tương ng.
Chương III. Kh o sát môđun M có m i môđun h u h n sinh
trong ph m trù σ [M ] là extending ho c lifting.
Trong chương này, chúng tôi kh o sát môđun M có tính ch t
m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending và
kh o sát môđun t a x nh M mà m i môđun h u h n sinh trong
σ [M ] là lifting
M c dù tác gi đã r t c g ng trong h c t p và nghiên c u
khoa h c cũng như c n th n trong khâu ch b n, song do ít nhi u
h n ch v th i gian và trình đ hi u bi t nên trong quá trình
th c hi n lu n văn không th tránh kh i nh ng thi u sót. Tác gi
r t mong nh n đư c s ch b o c a quý th y cô và nh ng đóng
góp c a b n đ c đ lu n văn đư c hoàn thi n hơn.
Quy Nhơn, 3-2008
- 4
Chương I
KI N TH C CHU N B
Trong su t lu n văn này, các vành đư c xét là vành k t h p
có đơn v , thư ng kí hi u b i R. Các môđun là R-môđun ph i
Unita, đư c g i đơn gi n là R-môđun.
1.1 Ph m trù σ [M ]
1.1.1 Đ nh nghĩa. M t R-môđun N đư c g i là M -sinh n u
nó là nh đ ng c u c a m t t ng tr c ti p các b n sao c a M .
1.1.2 Đ nh nghĩa. Ph m trù σ [M ] là ph m trù con đ y c a
ph m trù các R-môđun mà các v t c a nó là các R-môđun đ ng
c u v i môđun con c a môđun M -sinh.
1.2 Môđun Noether và môđun Artin
1.2.1 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là Noether
n u m i t p con không r ng các môđun con c a nó đ u có ph n
t t i đ i.
(ii) M t R-môđun M đư c g i là Artin n u m i t p con không
r ng các môđun con c a nó đ u có ph n t t i ti u.
1.2.2 Đ nh lý. [1, tr 99-100] (i) Gi s A là môđun con c a
M . Các đi u sau là tương đương:
(1) M Noether;
(2) A và M/A Noether;
(3) M i chu i tăng A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ ... nh ng môđun con c a
M đ u d ng.
A là môđun con c a M , các đi u sau là tương
(ii) Gi s
đương:
(1) M Artin;
- 5
(2) A và M/A Artin;
(3) M i chu i gi m A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... nh ng môđun con
c a M đ u d ng.
1.3 Môđun đ u (uniform) và chi u uniform, môđun
lõm (hollow) và chi u hollow
1.3.1 Đ nh nghĩa. (i) Môđun con A c a M đư c g i là c t
y u (hay l n) trong M n u v i m i môđun con khác không B c a
M ta đ u có A ∩ B = 0 (M t cách tương đương, n u A ∩ B = 0
thì B = 0).
Khi đó ta cũng nói M là m r ng c t y u c a A, kí hi u
⊂∗
A M.
(ii) Môđun con A c a M đư c g i là đ i c t y u (hay bé) trong
M n u v i m i môđun con E = M ta đ u có A + E = M (M t
cách tương đương, n u A + E = M thì E = M ). Khi đó ta kí hi u
A ⊂o M .
1.3.2 Tính ch t. [1, tr 51-53] (i) Cho A, B, C là các môđun
con c a M. Khi đó:
(1) N u A ⊂ B ⊂ C thì A ⊂∗ M kéo theo B ⊂∗ C .
(2) N u A ⊂∗ M và B ⊂∗ M thì A ∩ B ⊂∗ M .
(3) N u ϕ : M → N là đ ng c u môđun và A ⊂∗ N thì
ϕ−1 (A) ⊂∗ M .
(ii) Cho A, B, C là các môđun con c a M. Khi đó:
(1) N u A ⊂ B ⊂ C thì B ⊂o C kéo theo A ⊂o M .
(2) N u A ⊂o M và B ⊂o M thì A + B ⊂o M .
(3) N u ϕ : M → N là đ ng c u môđun và A ⊂o M thì
ϕ(A) ⊂o N .
1.3.3 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun con K c a M đư c g i
là đóng (closed) trong M n u nó không có m r ng c t y u th c
- 6
s trong M .
(ii) Cho L ⊂ M , L đư c g i là đ i đóng (coclosed) trong M
n u L không có môđun con th c s K sao cho L/K ⊂o M/K .
1.3.4 Đ nh nghĩa. (i) Môđun M khác không đư c g i là
môđun đ u (uniform) n u m i môđun con khác không c a nó đ u
c t y u trong M .
(ii) Môđun M đư c g i là môđun lõm (hollow) n u m i môđun
th c s c a nó đ u đ i c t y u trong M .
1.3.5 Đ nh nghĩa. (i) Môđun M đư c g i là có chi u uniform
h u h n (haychi u Goldie h u h n) n u t n t i s nguyên dương
n
n và các môđun con đ u U1 , ..., Un sao cho ⊕ Ui là c t y u trong
i=1
M.
n m
N u M có chi u uniform h u h n và ⊕ Ui ⊂∗ M , ⊕ Vj ⊂∗ M
i=1 j =1
v i Ui , Vj là các môđun con đ u c a M thì m = n. Ngư i ta g i
n là chi u uniform c a M và kí hi u u. dim(M ) = n.
N u M = 0, ta vi t u dim(M ) = 0, n u M không có chi u
uniform h u h n ta vi t u dim(M ) = ∞.
(ii) Môđun M đư c g i là có chi u hollow h u h n n u t n t i
n
s nguyên dương n và các môđun con H1 , ..., Hn sao cho Hi là
i=1
đ i c t y u trong M và M/Hi là lõm v i m i 1 ≤ i ≤ n.
n m
Hi ⊂o M , Kj ⊂o M
N u M có chi u hollow h u h n và
i=1 j =1
v i Hi , Kj là các môđun con c a M sao cho M/Hi và M/Kj là
lõm v i m i 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m thì m = n. Ngư i ta g i n là
chi u hollow c a M và kí hi u h. dim(M ) = n.
N u M = 0 ta vi t h. dim(M ) = 0, n u M không có chi u
hollow h u h n ta vi t h. dim(M ) = ∞.
- 7
1.4 Môđun n i x và môđun x nh
1.4.1 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là n i x
n u v i m i đ ng c u f : A → M và v i m i đơn c u g : A → B
c a nh ng môđun trên R t n t i m t đ ng c u h : B → M sao
cho h.g = f .
(ii) M t R-môđun M đư c g i là x nh n u v i m i đ ng c u
f : M → B và v i m i toàn c u g : A → B c a nh ng môđun
trên R t n t i m t đ ng c u h : M → A sao cho g.h = f .
1.4.2 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là N-n i x
n u v i m i đ ng c u f : A → M và v i m i đơn c u g : A → N
v i A là m t môđun trên R đ u t n t i m t đ ng c u h : N → M
sao cho h.g = f .
(ii) M t R-môđun M đư c g i là N-x nh n u v i m i đ ng
c u f : M → B và v i m i toàn c u g : N → B v i B là m t
môđun trên R đ u t n t i m t đ ng c u h : M → N sao cho
g.h = f .
1.4.3 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là t a n i
x (hay t n i x ) n u nó là M -n i x .
(ii) M t R-môđun M đư c g i là t a x nh (hay t x nh)
n u nó là M -x nh.
1.4.4 M nh đ . M i môđun t a n i x M th a mãn các tính
ch t sau:
(C1 ) M i môđun con c a M là c t y u trong m t h ng t c a
M.
(C2 ) N u môđun con A c a M đ ng c u v i m t h ng t c a
M thì A là m t h ng t c a M.
Đ i ng u v i các tính ch t (C1 ), (C2 ) ta có các tính ch t sau:
- 8
(D1 ) V i m i môđun con A c a M , t n t i s phân tích M =
M1 ⊕ M2 sao cho M1 ⊆ A và A ∩ M2 ⊂o M .
(D2 ) N u A là môđun con c a M sao cho M/A đ ng c u v i
m t h ng t tr c ti p c a M thì A là m t h ng t tr c ti p c a
M.
nh có tính ch t (D2 ).
1.4.5 M nh đ . M i môđun t a x
1.4.6 Nh n xét. Như đã bi t, m i môđun t a n i x đ u có
(C1 ) và (C2 ). Trong khi đó, không ph i m i môđun t a x nh
đ u có (D1 ).
1.5 Bù giao và bù c ng
1.5.1 Đ nh nghĩa. (i) Cho A là môđun con b t kì c a M .
M t môđun con B c a M đư c g i là bù giao c a A trong M, n u
B là môđun con t i đ i trong t p các môđun con C c a M tho
mãn C ∩ A = 0.
M t môđun con K c a M đư c g i là bù giao trong M, n u
nó là bù giao c a môđun con nào đó c a M .
(ii) Cho A là môđun con b t kì c a M . M t môđun con B c a
M đư c g i là bù c ng c a A trong M, n u B là môđun con t i
ti u trong t p các môđun con P c a M th a mãn A + P = M .
M t môđun con L c a M đư c g i là bù c ng n u nó là bù
c ng c a m t môđun con nào đó c a M .
Ta nói môđun M có tính bù c ng n u v i b t kỳ hai môđun
con A, B c a M mà A + B = M thì B ch a bù c ng c a A.
1.5.2 Nh n xét. i) Cho A là môđun con c a M . Vì t p các
môđun con C ⊆ M v i C ∩ A = 0 là khác r ng và s p th t theo
quan h bao hàm nên theo b đ Zorn, m i môđun con A ⊆ M
đ u có bù giao trong M . Tuy nhiên bù c ng c a A trong M chưa
- 9
ch c đã t n t i.
ii) N u M có tính bù c ng thì m i môđun con c a M đ u có
bù c ng.
1.5.3 M nh đ . Cho A và B là các môđun con c a M . B là
bù c ng c a A n u và ch n u M = A + B và A ∩ B ⊂o B .
1.6 Căn và đ
1.6.1 Đ nh nghĩa. (i) Ta g i giao c a t t c các môđun con
t i đ i c a MR là căn Jacobson (hay đơn gi n là căn) c a môđun
MR và kí hi u b i Rad(MR ). N u MR không có môđun con t i
đ i thì ta quy ư c Rad(MR ) = MR .
(ii) Ta g i t ng c a t t c các môđun con đơn c a MR là đ
c a môđun MR và kí hi u b i Soc(MR ). N u MR không có môđun
con đơn thì ta quy ư c Soc(MR ) = 0.
1.6.2 Đ nh lý [1, tr 125]. Đ i v i môđun MR ta có:
(i) Rad (MR ) = B , trong đó B ch y kh p t p các môđun
con đ i c t y u c a MR .
(ii) Soc (MR ) = C , trong đó C ch y kh p t p các môđun
con c t y u c a MR .
- 10
Chương II
M T S TÍNH CH T C A MÔĐUN
EXTENDING VÀ MÔĐUN LIFTING
Trong chương này, trư c h t chúng tôi trình bày đ nh nghĩa
và m t s tính ch t c a môđun extending: các đi u ki n tương
đương, m i quan h gi a môđun extending và môđun đ u, t ng
tr c ti p c a các môđun extending... Trên cơ s các tính ch t c a
môđun extending, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không
các tính ch t đ i ng u tương ng, n u không có thì c n b sung
thêm các đi u ki n gì đ đ t đư c tính ch t y...
2.1 Môđun extending
2.1.1 Đ nh nghĩa. M t R-môđun M đư c g i là môđun ex-
tending (hay CS-môđun) n u m i môđun con c a M là c t y u
trong m t h ng t tr c ti p c a M .
2.1.2 Đ nh lý. Cho M là m t R-môđun. Khi đó, các đi u ki n
sau là tương đương:
(1) M là extending;
(2) M i môđun con N c a M đ u có s phân tích M = M1 ⊕M2
sao cho N ⊆ M1 và N + M2 ⊂∗ M ;
(3) M i môđun con đóng c a M là m t h ng t tr c ti p c a
nó.
qu . M t R-môđun M không phân tích đư c là
2.1.3 H
extending n u và ch n u M là môđun đ u.
2.1.4 Đ nh lý. N u M là môđun extending và M = M1 ⊕ M2
thì M1 , M2 là các môđun extending.
- 11
2.1.5 Đ nh lý. Cho M = M1 ⊕ M2 v i M1 , M2 là các môđun
extending. Khi đó M là extending n u và ch n u m i môđun con
đóng K ⊂ M v i K ∩ M1 = 0 ho c K ∩ M2 = 0 là m t h ng t
tr c ti p c a M .
2.1.6 M nh đ . Cho M = M1 ⊕ M2 v i M1 , M2 là các môđun
extending. N u M1 là M2 -n i x và M2 là M1 -n i x thì M là
extending.
2.1.7 M nh đ . Cho M là R-môđun có chi u uniform h u
n
h n. N u M là môđun extending thì M = ⊕ Mi , v i Mi là các
i=1
môđun đ u và n = u. dim(M ).
2.1.8 M nh đ . Cho M là môđun chu i v i chu i h p thành
duy nh t 0 ⊂ U ⊂ V ⊂ M . Khi đó M ⊕ (U/V ) không extending.
2.2 Môđun lifting
2.2.1 Đ nh nghĩa. Cho M là m t R-môđun, M đư c g i là
môđun lifting n u v i m i môđun con A c a M , t n t i h ng t
tr c ti p X c a M sao cho X ⊆ A và A/X ⊂o M/X .
2.2.2 Đ nh lý. Cho M là m t R-môđun. Khi đó các đi u ki n
sau là tương đương:
(1) M là lifting;
(2) M có tính ch t (D1 ), nghĩa là v i m i môđun con N c a
phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho M1 ⊆ N và
M đ u có s
⊂o
N ∩ M2 M;
(3) V i m i môđun con N c a M đ u có th vi t đư c dư i
d ng N = N1 ⊕ N2 , trong đó N1 là m t h ng t tr c ti p c a M
và N2 ⊂o M ;
(4) M có tính bù c ng và m i môđun con đ i đóng c a M là
m t h ng t c a M ;
- 12
(5) M có tính bù c ng và m i môđun con bù c ng c a M là
m t h ng t c a M .
qu . M t R-môđun M không phân tích đư c là
2.2.3 H
lifting n u và ch n u M là lõm.
2.2.4 Nh n xét. M i môđun n i x đ u là môđun extending
nhưng không ph i m i môđun x nh đ u là môđun lifting. Ch ng
h n Z-môđun Z là x nh nhưng không là lifting như đã ch ng
minh trong nh n xét 1.4.6.
Các k t qu ti p theo s đ c p đ n v n đ : khi nào m t
môđun x nh là lifting và v i đi u ki n nào c a vành R thì m i
R-môđun x nh đ u là lifting.
2.2.5 Đ nh lý. N u M là môđun x nh và m i môđun con
c a M đ u có bù c ng thì M là môđun lifting.
2.2.6 Đ nh nghĩa. (i) R-môđun M g i là có ph x nh n u
nh P và toàn c u g : P → M v i Kerg ⊂o P .
có m t R-môđun x
(ii) Vành R g i là hoàn ch nh ph i n u m i R-môđun ph i đ u
có ph x nh.
2.2.7 Đ nh lý. Đ i v i m t vành R, các đi u ki n sau đây là
tương đương:
(1) R là vành hoàn ch nh ph i;
(2) M i R-môđun có tính bù c ng;
(3) M i R-môđun t a x nh có (D1 ) và (D2 );
(4) M i môđun con c a m t R-môđun t do b t kỳ đ u có bù
c ng.
2.2.8 Đ nh lý. N u M là môđun lifting và M = M1 ⊕ M2 thì
M1 , M2 là các môđun lifting.
Chi u ngư c l i c a đ nh lý là không đúng. Ch ng h n cho
- 13
các Z−môđun A = Z/8Z, B = Z/2Z. Ta có A, B là các môđun
lõm nên A và B là các môđun lifting nhưng M = A ⊕ B không
là môđun lifting. Th t v y, cho U là môđun con c a M sinh b i
(2 + 8Z, 1 + 2Z). Khi đó U không đ i c t y u trong M và U không
ch a h ng t tr c ti p khác không nào c a M .
V y v i đi u ki n nào thì t ng tr c ti p c a hai môđun lifting
là lifting, ta có k t qu sau
2.2.9 Đ nh lý. Cho M = M1 ⊕ M2 v i M1 , M2 là các môđun
lifting, M1 là M2 −x nh và M2 là M1 −x nh. Khi đó, M là
lifting.
2.2.10 M nh đ . Cho M là R-môđun có chi u hollow h u
n
h n. N u M là môđun lifting thì M = ⊕ Mi , v i Mi là các môđun
i=1
lõm và n = h. dim(M ).
2.2.11 Đ nh nghĩa. R-môđun M đư c g i là có tính ch t th
h u h n n u v i m i h h u h n R-môđun {Ai |i = 1, 2, ..., n}, v i
n
m i môđun N sao cho M ⊕ N = ⊕ Ai , t n t i các môđun con
i=1
n
Bi ⊆ Ai , i = 1, 2, ..., n th a mãn M ⊕ N = M ⊕ ( ⊕ Bi ).
i=1
Theo [8, 1.21], m i R-môđun t a n i x đ u có tính ch t th
h u h n. Do đó, m i môđun đơn đ u có tính ch t th h u h n.
2.2.12 M nh đ . Cho M là môđun chu i v i chu i h p thành
duy nh t 0 ⊂ U ⊂ V ⊂ M . Khi đó M ⊕ (U/V ) không lifting.
- 14
Chương III
KH O SÁT MÔĐUN M CÓ M I MÔĐUN H U
H N SINH TRONG PH M TRÙ σ [M ] LÀ
EXTENDING HO C LIFTING
Trong chương này, chúng tôi kh o sát môđun M có tính ch t
m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending và
môđun t a x nh M mà m i môđun h u h n sinh trong σ [M ] là
lifting. K t qu chính c a chương là các đ nh lý 3.1.3 và 3.2.3. Đ
ch ng minh đư c các đ nh lý này, trư c h t, chúng tôi gi i thi u
và ch ng minh các b đ có liên quan.
3.1 Môđun M có m i môđun h u h n sinh trong
ph m trù σ [M ] là extending.
Cho M là R-môđun. M i môđun con c a môđun thương c a
M đư c g i là môđun thương con (subfactor) c a M .
Ta có các k t qu sau đây:
đ . Cho M là môđun h u h n sinh sao cho m i
3.1.1 B
môđun thương con cyclic c a M là extending. Khi đó m i môđun
thương c a M có chi u uniform h u h n.
3.1.2 B đ . Cho M là R-môđun ph i h u h n sinh, extend-
ing. N u M/Soc(M ) có chi u uniform h u h n thì M có chi u
uniform h u h n.
3.1.3 Đ nh lý. Cho M là R-môđun ph i h u h n sinh có m i
môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending. Khi đó
M là Noether.
Đ t M = R, ch c n gi thi t r ng m i R-môđun ph i h u
h n sinh là extending ta có h qu sau.
- 15
3.1.4 H qu . Cho R là vành có m i R-môđun ph i h u h n
sinh là extending. Khi đó R là Noether ph i và J (R)2 = 0.
3.2 Môđun t a x nh M có m i môđun h u h n
sinh trong ph m trù σ [M ] là lifting
đ . Cho L là R-môđun ph i v i vành t đ ng c u
3.2.1 B
End(L) đ a phương và S là m t R-môđun ph i, đơn. Gi s M =
L ⊕ S là lifting. Khi đó, m i bi u đ
S
h
L L/K 0
p
v i K là m t môđun con c a L, p : L → L/K là toàn c u t
nhiên, h : S → L/K là đ ng c u khác không và không toàn c u
thì luôn t n t i đ ng c u h : S → /L sao cho p.h = h.
L1 K
h
3.2.2 M nh đ . Cho M là R-môđun ph i có m i môđun h u
h n sinh trong σ [M ] là L p Gi/ K L là 0
lifting. L s môđun đ a phương t a
nh trong σ [M ]. Khi đó L là đơn ho c Soc(L) = Rad(L).
x
T
3.2.3 Đ nh lý. Cho M là R-môđun ph i t a x nh h u h n
q
sinh. Gi s m i môđun h u h n sinh trong σ [M ] là lifting. Khi
đó, M có s phân tích π L / Soc( L) 0
L
M = M1 ⊕ ... ⊕ Mn ,
i
trong đó Mi là đơn ho c đ a phương v iM (Mi ) = Rad(Mi ),
X
0 Soc
ϕ f
i = 1, 2, ...., n.
M f
N u MR = RR , ta ch c n gi thi t r ng m i R-môđun ph i
h u h n sinh là lifting, ta có k t qu sau:
E (M )
M f
U M
0
p
f
p g
M/A
B 0
- 16
3.2.4 Đ nh lý. Cho R là vành mà m i R-môđun ph i h u h n
sinh là lifting. Khi đó R là vành n a nguyên t v i J (R)2 = 0.
3.2.5 H qu . Cho R là vành có chi u uniform ph i h u h n,
m i R-môđun ph i h u h n sinh là lifting. Khi đó R là Artin ph i
v i J (R)2 = 0.
- 17
K T LU N
Trong lu n văn"M t s v n đ v môđun lifting và môđun
extending trong ph m trù σ [M ]" tác gi đã trình bày m t
cách có h th ng các v n đ sau đây:
1. Trình bày t ng quan các k t qu chính v tính ch t c a
môđun extending. ([3], [8])
2. Trên cơ s các tính ch t c a môđun extending, xét xem
môđun lifting có hay không các tính ch t đ i ng u tương ng.
3. Kh o sát môđun M có tính ch t m i môđun h u h n sinh
trong ph m trù σ [M ] là extending. ([5] , [6] , [7])
4. Kh o sát môđun t a x nh M có tính ch t m i môđun
h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là lifting.
Trong lu n văn này, đóng góp chính c a tác gi là các đ nh lý
2.2.2, 2.2.5, 2.2.7, 2.2.9, 2.2.12, các ph n ví d , ch ng minh chi
ti t các b đ 3.1.1, 3.1.2, các phép ch ng minh 3.2.1, 3.2.2.
Trong khuôn kh c a m t lu n văn Th c sĩ và ít nhi u h n
ch v th i gian cũng như trình đ hi u bi t nên có nhi u ý tư ng
mà chúng tôi chưa nghiên c u đ n như: nh ng tính ch t ph n đ i
x ng gi a môđun extending và môđun lifting, mô t môđun M
có tính ch t m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là
lifting... Trong th i gian t i, chúng tôi s ti p t c nghiên c u đ
có th b sung và phát tri n lu n văn này. M c dù đã h t s c c
g ng nhưng ch c ch n v n không th tránh kh i nh ng sai sót
ngoài ý mu n, tác gi r t mong nh n đư c s lư ng th , ch b o
k p th i c a quý th y cô và các b n đ c đ lu n văn đư c hoàn
thi n hơn.
- 18
L I C M ƠN
Lu n văn đư c hoàn thành, tác gi xin bày t lòng bi t ơn
chân thành đ n TS. Mai Quý Năm, ngư i th y đã t m tâm, nhi t
tình hư ng d n khoa h c và giúp đ tác gi trong quá trình h c
t p, nghiên c u. Bên c nh đó, tác gi cũng xin c m ơn Ban giám
hi u, Phòng Đào t o đ i h c và sau đ i h c trư ng Đ i h c Quy
Nhơn, các th y cô giáo đã tham gia gi ng d y và hư ng d n khoa
h c cho l p Cao h c Toán khoá VIII cùng gia đình, b n bè, đ ng
nghi p đã quan tâm, đ ng viên, chia s và t o m i đi u ki n thu n
l i nh t đ tác gi h c t p, nghiên c u và hoàn thành lu n văn
này.
- 19
TÀI LI U THAM KH O
Ti ng Vi t
1.Nguy n Ti n Quang, Nguy n Duy Thu n (2001), Cơ s lý
thuy t môđun và vành, Nhà xu t b n Giáo d c, Hà N i.
Ti ng Anh
2. F.W.Anderson and K.R.Fuller (1991), Rings and Categories
of Modules, Spring - Verlag, Berlin.
3. N.V.Dung, D.V.Huynh, P.F.Smith and R.Wisbauer (1994),
Extending modules, Pitman, London.
4. Carl Faith (1981), Algebra I Rings, Modules and Categories,
Spring - Verlag, Berlin Heidelberg New York.
5. D.V.Huynh, N.V.Dung and R.Wisbauer (1991), "On mod-
ules with finite uniform and Krull dimension", Arch Math, 57, pp
122-132.
6. D.V.Huynh, S.T.Rizvi and M.F.Yousif (1996), "Rings whose
finitely generated modules are extending", Journal of Pure and
Applied Algebra, 111, pp 325-328.
7. D.V.Huynh, P.F.Smith and R.Wisbauer (1990), "A note on
GV-modules with Krull dimension", Glasgow Math, 32, pp 389-
390.
..
8. S.H.Mohamed and B.J.Muller (1990), Continuous and Dis-
crete Modules, London Math.
9. B.L.Osofsky and P.F.Smith (1991), "Cyclic modules whose
quotients have all complement submodules", J.Algebra, 139, pp
342-354.
10. S.H.Rim and K.Takemori (1993), "On dual Goldie dimen-
sion", Comm. Algebra, 21, pp 665-674.
11. Yongduo Wang and Nanqing Ding (2006), "Generalized
lifting modules", International Journal of Mathematics and Math-
ematical Sciences, pp 1-9.
12. R.Wisbauer (1991), Foundations of Module and Ring The-
ory, Gordon and Breach, Reading, MA.
nguon tai.lieu . vn
