Xem mẫu
- Đ I H C THÁI NGUYÊN
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C
Bùi Đ c Dương
V M T PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN SƠ C P
Chuyên ngành:Phương Pháp Toán Sơ C p
Mã s : 60 46 0113
LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C
Ngư i hư ng d n khoa h c
GS.TSKH. Hà Huy Khoái
Thái Nguyên - 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 1
L i c m ơn
Lu n văn đư c th c hi n và hoàn thành t i trư ng Đ i h c Khoa h c
- Đ i h c Thái Nguyên dư i s hư ng d n khoa h c c a GS. TSKH. Hà
Huy Khoái. Qua đây, tác gi xin đư c g i l i c m ơn sâu s c đ n th y giáo,
ngư i hư ng d n khoa h c c a mình, GS.TSKH. Hà Huy Khoái, ngư i đã
đưa ra đ tài và t n tình hư ng d n trong su t quá trình nghiên c u c a
tác gi . Đ ng th i tác gi cũng chân thành c m ơn các th y cô trong khoa
Toán - Tin h c trư ng Đ i h c Khoa h c, Đ i h c Thái Nguyên, đã t o
m i đi u ki n cho tác gi v tài li u và th t c hành chính đ tác gi hoàn
thành b n lu n văn này. Tác gi cũng g i l i c m ơn đ n gia đình, BGH
trư ng THPT Yên Th y B-Yên Th y-Hòa Bình và các b n trong l p Cao
h c K4, đã đ ng viên giúp đ tác gi trong quá trình h c t p và làm lu n
văn.
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 1
M cl c
M đ u 3
1 Đ nh nghĩa và tính ch t c a s ph c 5
1.1 Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Tính ch t s ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Các tính ch t liên quan đ n phép c ng . . . . . . . 6
1.2.2 Các tính ch t liên quan đ n phép nhân . . . . . . . 6
1.3 D ng đ i s c a s ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Đ nh nghĩa và tính ch t . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Gi i phương trình b c hai . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Ý nghĩa hình h c c a các s ph c và modun . . . . 12
1.3.4 Ý nghĩa hình h c c a các phép toán đ i s . . . . . 13
1.4 D ng lư ng giác c a s ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 T a đ c c trong m t ph ng . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 T a đ c c c a s ph c . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3 Các phép toán s ph c trong t a đ c c . . . . . . 16
1.4.4 Ý nghĩa hình h c c a phép nhân . . . . . . . . . . 17
1.4.5 Căn b c n c a đơn v . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 S d ng s ph c trong gi i toán sơ c p 25
2.1 S ph c và các bài toán hình h c . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 M t vài khái ni m và tính ch t . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Đi u ki n th ng hàng , vuông góc và cùng thu c
m t đư ng tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Tam giác đ ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.4 Tam giác đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 2
2.1.5 Hình h c gi i tích v i s ph c . . . . . . . . . . . . 35
2.1.6 Tích th c c a hai s ph c . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.7 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 S ph c và các bài toán đ i s , lư ng giác . . . . . . . . . 45
2.2.1 Các bài toán lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Các bài toán đ i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.3 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 S ph c và các bài toán t h p . . . . . . . . . . . . . . . 55
K t lu n 62
Tài li u tham kh o 63
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 3
M Đ U
1. Lí do ch n đ tài
Trong chương trình toán h c c p THPT s ph c đư c đưa vào gi ng
d y ph n gi i tích toán l p 12. Toàn b ph n s ph c m i ch đưa ra
đ nh nghĩa s ph c và m t vài tính ch t đơn gi n c a nó. ng d ng s
ph c trong gi i toán m i ch d ng l i m t vài bài t p hình h c đơn gi n.
Nh m giúp các em h c sinh khá gi i có cái nhìn toàn di n hơn v s ph c,
đ c bi t s d ng s ph c đ gi i m t s bài toán sơ c p: hình h c, đ i
s , t h p, lư ng giác nên tôi đã ch n đ tài lu n văn: V m t phương
pháp gi i toán sơ c p.
2. M c đích nghiên c u
H th ng hóa các d ng bài t p hình h c, đ i s , t h p, lư ng giác đư c
gi i b ng phương pháp s ph c đ ng th i n m đư c m t s kĩ thu t tính
toán liên quan.
3. Nhi m v đ tài
Đưa ra đ nh nghĩa và tính ch t c a s phưc. Đ c bi t s d ng s ph c
đ gi i m t s d ng toán: hình h c, đ i s , t h p, lư ng giác.
4. Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u
Nghiên c u các bài toán hình h c, đ i s , t h p, lư ng giác trên t p
h p s ph c và các ng d ng liên quan.
Nghiên c u các tài li u b i dư ng h c sinh gi i, k y u h i th o chuyên
toán, t sách chuyên toán...
5. Ý nghĩa khoa h c và th c ti n c a đ tài
T o đư c m t đ tài phù h p cho vi c gi ng d y, b i dư ng h c sinh
trung h c ph thông. Đ tài đóng góp thi t th c cho vi c h c và d y các
chuyên đ toán trong trư ng THPT, đem l i ni m đam mê sáng t o trong
vi c d y và h c toán.
6. C u trúc lu n văn
Lu n văn g m 3 chương
Chương 1: Đ nh nghĩa và tính ch t c a s ph c
Chương 2: Các d ng bi u di n s ph c
Chương 3: S d ng s ph c trong gi i toán sơ c p
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 4
Do th i gian và kh i lư ng ki n th c l n, ch c ch n b n lu n văn không
th tránh kh i nh ng thi u sót, tác gi r t mong nh n đư c s ch b o t n
tình c a các th y cô và b n bè đ ng nghi p, tác gi xin chân thành c m ơn!
Thái Nguyên, năm 2012
Tác gi
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 5
Chương 1
Đ nh nghĩa và tính ch t c a s ph c
1.1 Đ nh nghĩa
Gi thi t ta đã bi t đ nh nghĩa và các tính ch t cơ b n c a t p s th c R
Ta xét t p h p
R2 = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R } .
Hai ph n t (x1 , y1 ) và (x2 , y2 ) b ng nhau khi và ch khi
x1 = x2
y1 = y 2
Các phép toán c ng và nhân đư c đ nh nghĩa trên R2 như sau :
z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 .
và
z1 .z2 = (x1 , y1 ) . (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 .
v i m i z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 và z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 . Ph n t z1 + z2 g i là
t ng c a z1 , z2 , ph n t z1 .z2 ∈ R2 g i là tích c a z1 , z2 .
Nh n xét
1) N u z1 = (x1 , 0) ∈ R2 và z2 = (x2 , 0) ∈ R2 thì z1 z2 = (x1 x2 , 0).
2))N u z1 = (0, y1 ) ∈ R2 và z2 = (0, y2 ) ∈ R2 thì z1 z2 = (−y1 y2 , 0).
Đ nh nghĩa 1.1.1. T p h p R2 cùng v i phép c ng và nhân g i là t p s
ph c, kí hi u C. M i ph n t z = (x, y) ∈ C đư c g i là m t s ph c.
Kí hi u C∗ đ ch t p h p C\ {(0, 0)} .
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 6
1.2 Tính ch t s ph c
1.2.1 Các tính ch t liên quan đ n phép c ng
Phép c ng các s ph c th a mãn các đi u ki n sau đây
Tính giao hoán : z1 + z2 = z2 + z1 v i m i z1 , z2 ∈ C.
Tính k t h p :(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) v i m i z1 , z2 , z3 ∈ C.
Ph n t đơn v : Có duy nh t m t s ph c 0 = (0, 0) ∈ C đ z + 0 = 0 + z
v i m i z = (x, y) ∈ C.
Ph n t đ i : M i s ph c z = (x, y) ∈ C có duy nh t s ph c −z =
(−x, −y) ∈ C sao cho z + (−z) = (−z) + z = 0.
1.2.2 Các tính ch t liên quan đ n phép nhân
Phép nhân các s ph c th a mãn các đi u ki n sau đây
Tính giao hoán: z1 z2 = z2 z1 v i m i z1 , z2 ∈ C.
Tính k t h p: (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) v i m i z1 , z2 , z3 ∈ C.
Ph n t đơn v : Có duy nh t s ph c 1 = (1, 0) ∈ C th a mãn z.1 =
1.z = z . S ph c 1 = (1, 0) g i là ph n t đơn v v i m i z ∈ C.
Ph n t ngh ch đ o:M i s ph c z = (x, y) ∈ C,z = 0 có duy nh t s
ph c z −1 = (x, , y , ) ∈ C sao cho z.z −1 = z −1 z = 1 s ph c z −1 = (x, , y , )
g i là ph n t ngh ch đ o c a s ph c z = (x, y) ∈ C.
Lũy th a v i s mũ nguyên c a s ph c z ∈ C∗ đư c đ nh nghĩa như
sau z 0 = 1 ; z 1 = z ; z 2 = z.z ,và z n = z.z...z v i m i s nguyên n > 0
n lâ n
n −1 −n
và z = (z ) v i m i s nguyên n < 0.
M i s ph c z1 , z2 , z3 ∈ C∗ và m i s nguyên m, n ta có các tính ch t
sau
1) z m .z n = z m+n ;
zm
2) n = z m−n ;
z
3) (z m )n = z mn ;
4) (z1 z2 )n = z1 z2 ;
n n
z1 n z1 n
5) = n;
z2 z2
Khi z = 0 ta đ nh nghĩa 0n = 0 v i m i s nguyên n > 0.
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 7
Tính phân ph i : z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 v i m i z1 , z2 , z3 ∈ C∗ .
Trên đây là nh ng tính ch t c a phép c ng và phép nhân,th y r ng t p
h p C các s ph c cùng v i các phép toán trên l p thành m t trư ng.
1.3 D ng đ i s c a s ph c
1.3.1 Đ nh nghĩa và tính ch t
M i s ph c đư c bi u di n như m t c p s s p th t , nên khi th c
hi n các bi n đ i đ i s thư ng không đư c thu n l i. Đó là lí do đ tìm
d ng khác khi vi t
Ta s đưa vào d ng bi u di n đ i s m i. Xét t p h p R × {0} cùng v i
phép toán c ng và nhân đư c đ nh nghĩa trên R2 .
Hàm s
f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0)
là m t song ánh và ngoài ra (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) và (x, 0).(y, 0) =
(xy, 0).
Ngư i đ c s không sai l m n u chú ý r ng các phép toán đ i s trên
R × {0} đ ng nh t v i các phép toán trên R; vì th chúng ta có th đ ng
nh t c p s (x, 0) v i s x, v i m i x ∈ R. Ta s d ng song ánh trên và kí
hi u (x, 0) = x.
Xét i = (0, 1) ta có
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1)
= x + yi = (x, 0) + (0, 1).(y, 0)
T trên ta có m nh đ
M nh đ 1.3.1. M i s ph c z = (x, y) có th bi u di n duy nh t dư i
d ng
z = x + yi
V i x, y ∈ R.
H th c i2 = −1 đư c suy ra t đ nh nghĩa phép nhân i2 = i.i =
(0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1.
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 8
Bi u th c x + yi đư c g i là bi u di n đ i s (d ng) c a s ph c z =
(x, y). Vì th ta có th vi t C = x + yi |x ∈ R, y ∈ R , i2 = −1 . T
gi ta kí hi u z = (x, y) b i z = x + yi. S th c x = Re(z) đư c g i là
ph n th c c a s ph c z, y = Im(z) đư c g i là ph n o c a z . S ph c
có d ng yi , y ∈ R∗ g i là s thu n o, s phưc i g i là s đơn v o.
T các h th c trên ta d dàng có các k t qu sau:
a) z1 = z2 khi và ch khi Re(z1 ) = Re(z2 ) và Im(z1 ) = Im(z2 ).
b) z ∈ R khi và ch khi Im(z) = 0.
c) z ∈ C\R khi và ch khi Im(z) = 0.
S d ng d ng đ i s , các phép toán v s ph c đư c th c hi n như sau:
Phép c ng
z1 + z2 = (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i ∈ C.
D th y t ng hai s ph c là m t s ph c có ph n th c là t ng các ph n
th c, có ph n o là t ng các ph n o:
Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 );
Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ).
Phép tr
z1 − z2 = (x1 + y1 i) − (x2 + y2 i) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )i ∈ C.
Ta có
Re(z1 − z2 ) = Re(z1 ) − Re(z2 );
Im(z1 − z2 ) = Im(z1 ) − Im(z2 ).
Phép nhân
z1 .z2 = (x1 + y1 i).(x2 + y2 i) = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 ) i ∈ C.
Ta có
Re(z1 z2 ) = Re(z1 ) Re(z2 ) − Im(z1 ) Im(z2 );
Im(z1 z2 ) = Im(z1 ) Re(z2 ) + Im(z2 ) Re(z1 ).
M i s th c λ, s ph c z = x + yi, λz = λ(x + yi) = λx + λyi ∈ C là
tích c a m t s th c v i m t s ph c. Ta có các tính ch t sau
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 9
1) λ(z1 + z2 ) = λz1 + λz2 ;
2) λ1 (λ2 z) = (λ1 λ2 )z;
3)(λ1 + λ2 )z = λ1 z + λ2 z.
Lũy th a c a s i
Các công th c cho s ph c v i lũy th a là s nguyên đư c b o toàn đ i
v i d ng đ i s z = x + yi. Xét z = i, ta thu đư c
i0 = 1 ; i1 = i ; i2 = −1 ; i3 = i2 .i = −i
i4 = i3 .i = 1; i5 = i4 .i = i ; i6 = i5 .i = −1; i7 = i6 .i = −i
Ta có th t ng quát các công th c trên đ i v i s mũ nguyên dương n
i4n = 1 ; i4n+1 = i ; i4n+2 = −1 ; i4n+3 = −i
Vì th in ∈ {−1 , 1 , −i , i} v i m i s nguyên n 0. N u n là s
nguyên âm ta có:
−n
−1 −n 1
i n
= i = = (−i)−n .
i
S ph c liên h p
M i s ph c z = x + yi đ u có s ph c z = x − yi, s ph c đó đư c g i
là s ph c liên h p ho c s ph c liên h p c a s ph c z.
M nh đ 1.3.2. 1) H th c z = z đúng khi và ch khi z ∈ R;
2)M i s ph c z ta luôn có đ ng th c z = z;
3)M i s ph c z ta luôn có z.z là m t s th c không âm ;
4)z1 + z2 = z1 + z2 (s ph c liên h p c a m t t ng b ng t ng các s ph c
liên h p);
5)z1 .z2 = z1 .z2 (s ph c liên h p c a m t tích b ng tích các s ph c liên
h p);
6)M i s ph c z khác 0 đ ng th c sau luôn đúng z −1 = z −1 ;
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 10
z1 z1
7) = , z2 = 0 (liên h p c a m t thương b ng thương các liên
z2 z2
h p);
z+z z−z
8)Công th c Re(z) = và Im(z) = , đúng v i m i s ph c
2 2i
z ∈ C.
Ghi chú
a) ph n t ngh ch đ o c a s ph c z ∈ C∗ có th đư c tính như sau
1 z x − yi x y
= = 2 = 2 − 2 i.
z z.z x + y2 x + y2 x + y2
b) S ph c liên h p đư c s d ng trong vi c tìm thương c a hai s ph c
như sau:
z1 z1 .z2 (x1 + y1 i) (x2 − y2 i) x1 x2 + y1 y2 −x1 y2 + x2 y1
= = 2 + y2 = + i.
z2 z2 z2 x2 2 x2 + y2
2
2 x 2 + y2
2
2
Modun c a s ph c
S |z| = x2 + y 2 đư c g i là modun c a s ph c z = x + yi.
M nh đ 1.3.3. 1) − |z| Re(z) |z| và − |z| Im(z) |z|;
2) |z| 0 , ∀ z ∈ C,ngoài ra |z| = 0 khi và ch khi z = 0;
3) |z| = |−z| = |z|;
4) z.z = |z|2 ;
5)|z1 z2 | = |z1 | . |z2 | (mô đun c a m t tích b ng tích các mô đun);
6) |z1 | − |z2 | |z1 + z2 | |z1 | + |z2 |;
−1 −1
7) z = |z| , z = 0;
z1 |z1 |
8) = , z2 = 0 (mô đun c a m t tích b ng tích các mô đun);
z2 |z2 |
9)|z1 | − |z2 | |z1 − z2 | |z1 | + |z2 | .
1.3.2 Gi i phương trình b c hai
Bây gi chúng ta có th gi i phương trình b c hai v i h s th c:
ax2 + bx + c = 0 , a = 0
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 11
trong trư ng h p bi t th c ∆ = b2 − 4ac nh n giá tr âm.
B ng cách bi n đ i, d dàng đưa phương trình v d ng tương đương
sau
b 2 −∆
a x+ + 2 = 0.
2a 4a
Do đó √
2 2
b 2 −∆
x+ −i = 0.
2a 2a
Vì th √ √
−b + i −∆ −b − i −∆
x1 = , x2 = .
2a 2a
Các nghi m trên là các s ph c liên h p c a nhau và ta có th phân tích
thành th a s như sau
ax2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2 ) .
Bây gi chúng ta xét phương trình b c hai t ng quát v i h s ph c
az 2 + bz + c = 0 , a=0
S d ng các bi n đ i đ i s như trư ng h p phương trình b c hai v i h
s th c ta đư c:
b 2 −∆
a z+ + 2 = 0.
2a 4a
Đ ng th c trên tương đương v i
2
b ∆
z+ =
2a 4a2
ho c (2az + b)2 = ∆.
V i ∆ = b2 − 4ac cũng đư c g i là bi t th c c a phương trình b c hai.
Đ t y = 2az + b phương trình trên đư c rút g n v d ng
y 2 = ∆ = u + vi
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 12
v i u,v là các s th c
Phương trình trên có l i gi i
r+u r−u
y1,2 = ± + (sgn v) i ,
2 2
V i r = |∆| ,và sgnv là d u c a s th c v
Nghi m ban đ u c a phương trình là:
1
z1,2 = (−b + y1,2 ) .
2a
Ta có m i liên h gi a các nghi m và h s :
b c
z1 + z2 = − , z1 .z2 = .
a a
Khi phân tích ra th a s
az 2 + bz + c = a (z − z1 ) (z − z2 ).
Như v y các tính ch t trên đư c b o toàn khi các h s c a phương trình
thu c trư ng s ph c C.
1.3.3 Ý nghĩa hình h c c a các s ph c và modun
Ý nghĩa hình h c c a s ph c
Chúng ta đ nh nghĩa s ph c z = (x, y) = x + yi là m t c p s th c
s p th t (x, y) ∈ R × R, vì th hoàn toàn t nhiên khi xem m i s ph c
z = x + yi là m t đi m M (x, y) trong không gian R × R.
Xét P là t p h p các đi m c a không gian v i h tr c t a đ xOy
và song ánh φ : C → P , φ (z) = M (x, y) .
Đi m M (x; y)đư c g i là d ng hình h c c a s ph c z = x + yi. S
ph c z = x + yi đư c g i là t a đ ph c c a đi m M (x; y). Chúng ta kí
hi u M (z) đ ch t a đ ph c c a đi mM là s ph c z.
D ng hình h c c a s ph c liên h p z c a sô ph c z = x + yi là đi m
M (x, −y) đ i x ng v i M (x, y) qua truc t a đ Ox.
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 13
D ng hình h c c a s đ i -z c a s ph c z = x+yi là đi m M (−x, −y)
đ i x ng v i M (x, y) qua g c t a đ .
Song ánh φ t t p R lên tr c Ox ta g i là tr c th c, lên tr c Oy ta g i
là tr c o.
Không gian cùng v i các đi m đư c đ ng nh t v i s ph c g i là
không gian ph c.
−→
−
Ta cũng có th đ ng nh t các s ph c z = x + yi v i véc tơ → = OM
−v
, v i M (x, y) là d ng hình h c c a s ph c z.
G i V0 là t p h p các véc tơ có đi m g c là g c t a đ O. Ta có th đ nh
−→
− →
− →
− → →
− −
nghĩa song ánh φ : C → V0 , φ (z) = OM = x i + y j , v i i , j là các
véc tơ đơn v trên tr c t a đ Ox, Oy.
Ý nghĩa hình h c c a modun
Xét s ph c z = x + yi bi u di n hình h c trong m t ph ng làM (x, y).
Kho ng cách Ơclit OM cho b i công th c
OM =(xM − xO )2 + (yM − yO )2 .
Vì th OM = x2 + y 2 = |z| = |→| mô đun |z| c a s ph c z = x + yi
−
v
→
− →
−
là đ dài c a đo n th ng OM ho c là đ l n c a véc tơ → = x i + y j .
−
v
Chú ý
a) M i s th c dương r, t p h p các s ph c có mô đun r tương đương
v i đư ng trònC (O; r) tâm O bán kính r trong m t ph ng.
b) Các s ph c z v i |z| < r là các đi m n m bên trong đư ng tròn
C(O; r). Các s ph c z v i|z| > r là các đi m n m bên ngoài đư ng tròn
C(O; r).
1.3.4 Ý nghĩa hình h c c a các phép toán đ i s
a) Phép c ng và phép tr
Xét hai s ph c z1 = x1 + y1 i và z2 = x2 + y2 i tương đương v i hai véc
→ = x → + y → và → = x → + y →.
−
tơ v1
− − − − −
1 i 2 j v2 2 i 2 j
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 14
T ng c a hai s ph c là
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) i.
T ng hai véc tơ
→ + → = (x + x ) → + (y + y ) →.
− −
v1 v2
− −
1 2 i 1 2 j
Vì th z1 + z2 tương đương v i → + →.
− −
v1 v2
Hoàn toàn tương t đ i v i phép tr
Hi u c a hai s ph c là
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) i.
Hi u hai véc tơ
→ − → = (x − x ) → + (y − y ) →.
− −
v1 v2
− −
1 2 i 1 2 j
Vì th z1 − z2 tương đương v i → − →.
− −
v1 v2
Chú ý
Kho ng cách gi a M1 (x1 , y1 ) và M2 (x2 , y2 ) b ng mô đun c a s ph c
z1 − z2 ho c đ dài c a véc tơ → − →. V y :
− −
v1 v2
M1 M2 = |z1 − z2 | = |→ − →| =
− −
v1 v2 (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
b) Tích c a s th c và s ph c
→
− →
−
Xét s ph c z = x + yi tương đương v i véc tơ → = x i + y j . N u
−v
λ là s th c , thì tích s th c λz = λx + λyi tương đương v i véc tơ
−
→ →
− →
−
λv = λx i + λy j .
−
→
Chú ý: N u λ > 0 thì véc tơ λv và → cùng hư ng và |λ→| = λ |→|,
−v −v −v
−
→ → ngư c hư ng và |λ→| = −λ |→|. T t nhiên
− − −
n u λ < 0 thì véc tơ λv và v v v
→ = →.
−
λ = 0 thì λ v
−
0
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 15
1.4 D ng lư ng giác c a s ph c
1.4.1 T a đ c c trong m t ph ng
Xét m t ph ng t a đ v i M (x, y) không trùng g c t a đ . S th c
r = x2 + y 2 g i là bán kính c c c a đi m M . Góc đ nh hư ng t∗ ∈ [0, 2π)
−→
−
gi a véc tơ OM v i chi u dương c a tr c t a đ Ox g i là argumen c c c a
đi m M . C p s (r, t∗ ) g i là t a đ c c c a đi m M . Ta s vi t M (r, t∗ ).
Chú ý hàm s
h : R × R\ {(0, 0)} → (0, ∞) x [0, 2π) , h ((x, y)) = (r, t∗ )
là song ánh.
G c t a đ O là đi m duy nh t sao cho r = 0 , argumen t∗ c a g c
không đư c đ nh nghĩa.
M i đi m M trong m t ph ng , có duy nh t giao đi m P c a tia v i
đư ng tròn đơn v g c O. Đi m P gi ng như argument c c t∗ . S d ng
đ nh nghĩa hàm sin và cos ta có
x = r cos t∗ , y = r sin t∗ .
Vì th ta d dàng có t a đ Đ Các c a m t đi m t t a đ c c
Ngư c l i, xét đi m M (x, y). Bán kính c c là r = x2 + y 2 . Ta xác
đ nh argument c c trong các trư ng h p sau
y
a)N u x = 0 , t tan t∗ = ta suy ra
x
y
t∗ = arctan + kπ
x
V i
0 khi x > 0 , y 0
k = 1 khi x < 0 , y ∈ R
2 khi x > 0 , y < 0
b)N u x = 0 và y = 0 thì
π
khi y > 0
2
∗
t = 3π
khi y < 0
2
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 16
1.4.2 T a đ c c c a s ph c
M i s ph c z = x + yi ta có th vi t dư i d ng c c
z = r (cos t∗ + i sin t∗ ) ,
v i r ∈ [0, ∞) và t∗ ∈ [0, 2π) đó là t a đ c c d ng hình h c c a s ph c
z.
Argument c c c a d ng hình h c c a s ph c z đư c g i là argument
c a z , kí hi u là arg z . Bán kính c c c a d ng hình h c c a s ph c z
b ng mô đun cua z . Khi z = 0 mô đun và argument c a z đư c xác đ nh
m t cách duy nh t.
Xét z = r (cos t∗ + i sin t∗ ) và t = t∗ + 2kπ v i k là s nguyên thì
z = r (cos (t − 2kπ) + i sin (t − 2kπ)) = r (cos t + i sin t) .
M i s ph c z có th bi u di n như z = r (cos t + i sin t) v i r 0 và
∗
t ∈ R. T p h p Arg z = {t = t + 2kπ , k ∈ Z} đư c g i là arguent m
r ng c a s ph c z.
Vì th , hai s ph c z1 , z2 = 0 có d ng
z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 ) v à z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 )
b ng nhau khi và ch khi r1 = r2 v à t1 − t2 = 2kπ , v i k là s nguyên.
Chú ý Các d ng sau nên nh
π π
1 = cos0 + i sin 0 , i = cos + i sin
2 2
3π 3π
−1 = cosπ + i sin π , −i = cos + i sin .
2 2
1.4.3 Các phép toán s ph c trong t a đ c c
Phép nhân Gi s r ng
z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 ) v à z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 )
thì
z1 z2 = r1 r2 (cos (t1 + t2 ) + i sin (t1 + t2 )) .
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 17
Lũy th a c a m t s ph c (De moirve) Cho z = r (cos t + i sin t) ,
n ∈ N, ta có
z n = rn (cos nt + i sin nt) .
Phép chia Gi s r ng
z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 ) v à z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 )
thì
z1 r1
= (cos (t1 − t2 ) + i sin (t1 − t2 )) .
z2 r2
1.4.4 Ý nghĩa hình h c c a phép nhân
Xét
z1 = r1 (cos t∗ + i sin t∗ )
1 1
và
z2 = r2 (cos t∗ + i sin t∗ ) .
2 2
Bi u di n hình h c c a chúng là M1 (r1 , t∗ ) , M2 (r2 , t∗ ). G i P1 , P2 l n
1 2
lư t là giao đi m c a C(O, 1) v i các tia (OM1 và (OM2 . L y P3 ∈ C(O, 1)
v i argument c c là t∗ +t∗ v à ch n M3 ∈ (OP3 sao cho OM3 = OM1 .OM2 .
1 2
L y z3 có t a đ M3 . Đi m M3 (r1 r2 , t∗ + t∗ ) là d ng hình h c z1 .z2
1 2
L y A là d ng hình h c c a s ph c 1 . Vì
OM3 OM2 OM3 OM2
= ⇔ =
OM1 1 OM2 OA
và M2 OM3 = AOM1 nên hai tam giác M2 OM3 và AOM1 đ ng d ng.
Khi bi u di n d ng hình h c c a m t thương chú ý r ng d ng hình h c
z3
c a là đi m M1 .
z2
1.4.5 Căn b c n c a đơn v
Cho s nguyên dương n 2 và s ph c z0 = 0, gi ng như trên trư ng
s th c, phương trình
Z n − z0 = 0
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 18
đư c s d ng đ nh nghĩa căn b c n c a s z0 . Vì v y m i m t giá tr Z
th a mãn phương trình trên là m t căn b c n c a z0 .
Đ nh lý 1.4.1. Cho z0 = r (cos t∗ + i sin t∗ ) là s ph c v i r > 0 và
t∗ ∈ [0, 2π) S ph c z0 có n căn b c n phân bi t cho b i công th c
√
n
t∗ + 2kπ t∗ + 2kπ
Zk = r cos + i sin
n n
v i k = 0, n − 1.
Ch ng minh:S d ng d ng c c c a s ph c v i argument xác đ nh
Z = ρ (cosφ + i sin φ) . Theo đ nh nghĩa Z n = z0 hay
ρn (cosnφ + i sin nφ) = r (cos t∗ + i sin t∗ ) .
√
Ta có ρn = r và nφ = t∗ + 2kπ v i k ∈ Z . Vì th ρ = n
r và
t∗ 2π
φk = + k. v i k ∈ Z. Do đó nghi m c a (1) là
n n
√
n
t∗ + 2kπ t∗ + 2kπ
Zk = r cos + i sin
n n
v i k ∈ Z.
Nh n th y r ng 0 φ0 < φ1 ... < φn−1 , vì th các s φk , k ∈
{0, 1...., n − 1} chính là các argument và φ∗ = φk . Ta có n giá tr căn phân
k
bi t c a z0 :Z0 , Z1 , ...., Zn−1 . Cho k là s nguyên và r ∈ {0, 1, ..., n − 1},
thì r đ ng dư v i k theo modn. Khi đó k = nq + r ∈ Z và
t∗ 2π t∗ 2π
φk = + (nq + r) = + r + 2qπ = φr + 2qπ.
n n n n
Nh n th y Zk = Zr do đó
{Zk : k ∈ Z} = {Z0 , Z1 , ..., Zn−1 } .
V y có chính xác n giá tr phân bi t c a căn b c n.
Bi u di n hình h c các giá tr c a căn b c n là các đ nh c a m t n giác
√
đ u n i ti p trong đương tròn có tâm là g c t a đ , bán kính là n r.
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
nguon tai.lieu . vn
