Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa số hạng Memory ở một phần biên trái

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Bằng Phong PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA SỐ HẠNG MEMORY Ở MỘT PHẦN BIÊN TRÁI. Chuyên ngành Mã số : Toán Giải tích : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh 2009 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi đến TS. Nguyễn Thành Long, lời cám ơn sâu sắc về sự giúp đỡ tận tình của Thầy đối với tôi trong suốt khóa học và nhất là trong việc hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cám ơn PGS. TS Nguyễn Bích Huy và TS. Lê Thị Phương Ngọc, cùng tất cả quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và cho những ý kiến quý báu cũng như những lời phê bình bổ ích đối với luận văn của tôi. Tôi cũng xin cám ơn tất cả quý Thầy Cô Khoa Toán của Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt những kiến thức bổ ích trong suốt khóa học tại Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. Xin cám ơn quý Thầy Cô công tác tại Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi về mặt thủ tục hành chính cho tôi trong suốt khóa học. Xin gởi lời cám ơn đến Ban Giám hiệu và đồng nghiệp của Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận đã tạo điều kiện và khích lệ tôi trong suốt quá trình học. Xin chân thành cám ơn các bạn trong nhóm sinh hoạt chuyên môn, nhất là các anh Phạm Thanh Sơn, ThS Nguyễn Văn Ý - những người đã đóng góp cho tôi những ý kiến hết sức quý báu về chuyên môn, cũng như tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin cám ơn các bạn học viên Cao học Khóa 17 và các bạn đồng nghiệp đã hỗ trợ tôi trong thời gian học. Cuối cùng, tôi xin gởi lời cám ơn sâu sắc đến gia đình tôi, là chỗ dựa cho tôi về mọi mặt và dành mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và hoàn thành luận văn này. Nguyễn Bằng Phong 1 Chương 1. PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận văn này chúng tôi xét bài toán sau: Tìm một cặp hàm u,P! thỏa: "utt # (t)uxx $ !ut $F(u) % f(x,t), 0 & x &1, 0 &t &T, ` (t)ux (0,t) % P(t), ` (t)ux (1,t)$hu(1,t) % 0, `u(x,0) % u0(x), ut(x,0) % u1(x), trong đó t P(t) % g(t)$ * k(t #s)u(0,s)ds, 0 (1.1) (1.2) !,h là các hằng số cho trước, , u0, u1, g, f, F, k là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Trong [5], Nguyen Thanh Long, Le Van Ut và Nguyen Thi Thao Truc đã thiết lập một định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán (1.1)(1), (1.1)(4) với điều kiện biên: `u(0,t) % 0, `# (t)ux (1,t) %Q(t), trong đó t (1.3) Q(t) % K1(t)u(1,t)$!1(t)ut(1,t)#g(t)# * k(t #s)u(1,s)ds, (1.4) 0 g, K1, ! là các hàm cho trước. Tổng quát hóa kết quả trong [5], Le Thi Phuong Ngoc, Le Nguyen Kim Hang, Nguyen Thanh Long đã xét một dạng khác của bài toán (1.1)(1), (1.1)(4) với điều kiện biên: " t ` (0,t)ux(0,t) % g0(t)$ 0 k0(t #s)u(0,s)ds, t `# (1,t)ux (1,t) % g1(t)$ * k1(t #s)u(1,s)ds, mà (1.3)- (1.4) được xét như một trường hợp riêng. (1.5) 2 Bài toán (1.1)- (1.2) được khảo sát trong luận văn này là một sự tổng quát hóa một phần kết quả trong [5] với F là một hàm theo u , đồng thời đây cũng là một dạng khác của bài toán được khảo sát trong [9]. Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của bài toán (1.1)-(1.2). Việc chứng minh được dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin, các kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm cùng với các kỹ thuật hội tụ yếu dựa vào tính compact. Dựa vào kết quả này, chúng tôi tiến đến việc khảo sát tính trơn, tính ổn định của nghiệm theo một bộ dữ liệu ! j, j, hj, gj, kj, fj ! với F, u0, u1 là các hàm cố định cho trước. Cuối cùng là kết quả về việc nghiên cứu khai triển tiệm cận theo một tham số ! khi ! + 0$ cho bài toán: "Lu , utt # (t)uxx % #F(u)# !ut $ f(x,t), 0 & x & 1 0 & t &T, Q! !`L0u , (t)ux (0,t) % P(t), Lu , (t)ux (1,t) % #hu(1,t), `u(x,0) % u0(x), ut(x,0) % u1(x), t trong đóP(t) % g(t)$ * k(t #s)u(0,s)ds. 0 Theo kết quả về khai triển tiệm cận của bài toán %! !, chúng tôi đã xấp xỉ được nghiệm yếu u(t) trong bài toán (1.1)-(1.2) dưới dạng một đa thức theo !: N u(x,t) - Ui(x,t)!i trong đó Ui(x,t) là các hàm được xác định từ những hệ i%0 phương trình vi phân tuyến tính đơn giản hơn. Các kết quả liên quan đến bài toán xấp xỉ tiệm cận theo một tham số đã được một số các tác giả quan tâm, chẳng hạn như: Ngoc, Hang, Long [9], Long, Ngoc [7], Long, Ut, Truc [5]. Luận văn được trình bày theo các chương mục sau: Chương 1: Phần mở đầu nêu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn. Chương 2: Chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại 3 một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm. Chương 3: Chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1.1)-(1.2) cho trường hợp u0 / H1, u1 / L . Chương 4: Chúng tôi khảo sát tính trơn của nghiệm khi u0 / H2, u1 / H1 . Chương 5: Chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của nghiệm bài toán (1.1)-(1.2) theo bộ dữ liệu !, , h, g, k, f! với F, u0, u1 là những hàm cố định cho trước. Chương 6: Chúng tôi nghiên cứu bài toán khai triển tiệm cận của nghiệm khi ! + 0$ . Kế đến là phần kết luận của của luận văn và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo. ... - tailieumienphi.vn