Xem mẫu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------------------
Đoàn Công Thắng
NHÓM LIE VÀ BIỂU DIỄN ĐỐI PHỤ HỢP
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ ANH VŨ
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, chúng tôi xin chân thành cảm ơn chân thành đến Thầy Cô
Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận
tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Anh Vũ,
người thầy đã gợi mở hương nghiên cứu, hướng giải quyết vấn đề một cách
khoa học, đọc và chỉnh sửa tỉ mỉ cho luận văn của tôi.
Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý thầy cô phòng sau đại học đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành chương trình học.
Tôi xin chân thành cảm ơn NCS Dương Quang Hòa đã giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, quý thầy cô, đồng nghiệp
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai tỉnh Bến Tre đã tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi đi học.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, bạn bè,
những người luôn động viên, chia sẻ và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu.
Tp HCM, ngày 7 tháng 6 năm 2012
Đoàn Công Thắng
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN....................................................................................................................... 2
BẢNG KÍ HIỆU ................................................................................................................... 4
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 5
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................................... 7
1.1.
Nhắc lại khái niệm cơ bản về đa tạp khả vi ........................................................... 7
1.1.1.
Cấu trúc khả vi trên không gian tôpô ............................................................. 7
1.1.2.
Các ví dụ ........................................................................................................ 8
1.1.3.
Tích các đa tạp khả vi .................................................................................... 8
1.1.4.
Ánh xạ khả vi ................................................................................................. 9
1.1.5.
Không gian vectơ tiếp xúc với M tại một điểm ............................................. 9
1.1.6.
Trường vectơ tiếp xúc của đa tạp khả vi ...................................................... 10
1.2.
Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie .............................................................. 12
1.2.1 Định nghĩa và ví dụ ........................................................................................... 12
1.2.2 Nhóm Lie con. Đồng cấu và đẳng cấu nhóm Lie ............................................ 13
1.2.3 Nhóm Lie thương .............................................................................................. 15
1.3.
Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie .............................................................. 15
1.3.1.
Định nghĩa .................................................................................................... 15
1.3.2.
Các ví dụ ...................................................................................................... 16
1.3.3.
Đồng cấu đại số Lie ..................................................................................... 17
1.3.4.
Biểu diễn chính quy của đại số Lie .............................................................. 18
1.3.5.
Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh .................................................. 19
1.4.
Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie ............................................................... 21
1.4.1.
Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho .......................................... 21
1.4.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie ................................... 22
1.4.3
Ánh xạ mũ exponent .................................................................................... 22
Chương 2. BIỂU DIỄN NHÓM LIE .................................................................................. 24
2.1
Khái niệm cơ bản về biểu diễn............................................................................. 24
2.2
Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số ........................ 25
2.2.1
K-biểu diễn của một nhóm Lie .................................................................... 25
2.2.2
Các MD-nhóm và MD-đại số ...................................................................... 32
2.3
Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo ........................................................ 33
Chương 3. MÔ TẢ K-QUỸ ĐẠO CỦA MỘT LỚP CON CÁC MD5-NHÓM LIÊN
THÔNG ĐƠN LIÊN ............................................................................................................ 37
3.1 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều .................................. 37
3.2
Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương
ứng với các MD5-đại số đã xét ........................................................................................ 41
KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 49
BẢNG KÍ HIỆU
Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V.
Aut G : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G.
: trường số phức.
C ∞ (V ) : không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V.
End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V.
exp : ánh xạ mũ exp.
G* : không gian đối ngẫu của đại số Lie G.
GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực.
Mat(n; R) : tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực.
: trường số thực.
TeG là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e.
Ω F : quỹ đạo Kirillove qua F.
MỞ ĐẦU
Một trong những bài toán cơ bản và quan trọng nhất của lý thuyết biểu
diễn chính là bài toán phân loại biểu diễn. Cụ thể là cho trước một nhóm Lie
G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác một
đẳng cấu).
Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số
Lie. Vấn đề nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie là
một hướng nghiên cứu lớn trong Hình học – Tôpô và có rất nhiều ứng dụng
trong Vật lý, đặc biệt là vật lý lượng tử. Để giải quyết bài toán này, năm 1962,
A.A.Kirillove đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo để nghiên cứu lý thuyết
biểu diễn nhóm Lie, phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu
diễn unita bất khả quy của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ
các K-quỹ đạo nguyên của nó.
Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillove chính là các
K-quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (hay còn gọi là K-biểu diễn). Do đó,
việc mô tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông
giải được, có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.
Đó cũng là lý do chúng tôi chọn đề tài: “ Nhóm Lie và biểu diễn đối
phụ hợp”
Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần
kết luận. Cụ thể
Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và lý do chọn đề tài .
Chương 1: Nều lại kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi, nhóm Lie, đại số
Lie, các ví dụ minh họa về nhóm Lie, đại số Lie, sự liên hệ
giữa nhóm Lie và đại số Lie.
nguon tai.lieu . vn
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------------------
Đoàn Công Thắng
NHÓM LIE VÀ BIỂU DIỄN ĐỐI PHỤ HỢP
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ ANH VŨ
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, chúng tôi xin chân thành cảm ơn chân thành đến Thầy Cô
Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận
tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Anh Vũ,
người thầy đã gợi mở hương nghiên cứu, hướng giải quyết vấn đề một cách
khoa học, đọc và chỉnh sửa tỉ mỉ cho luận văn của tôi.
Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý thầy cô phòng sau đại học đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành chương trình học.
Tôi xin chân thành cảm ơn NCS Dương Quang Hòa đã giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, quý thầy cô, đồng nghiệp
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai tỉnh Bến Tre đã tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi đi học.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, bạn bè,
những người luôn động viên, chia sẻ và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu.
Tp HCM, ngày 7 tháng 6 năm 2012
Đoàn Công Thắng
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN....................................................................................................................... 2
BẢNG KÍ HIỆU ................................................................................................................... 4
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 5
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................................... 7
1.1.
Nhắc lại khái niệm cơ bản về đa tạp khả vi ........................................................... 7
1.1.1.
Cấu trúc khả vi trên không gian tôpô ............................................................. 7
1.1.2.
Các ví dụ ........................................................................................................ 8
1.1.3.
Tích các đa tạp khả vi .................................................................................... 8
1.1.4.
Ánh xạ khả vi ................................................................................................. 9
1.1.5.
Không gian vectơ tiếp xúc với M tại một điểm ............................................. 9
1.1.6.
Trường vectơ tiếp xúc của đa tạp khả vi ...................................................... 10
1.2.
Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie .............................................................. 12
1.2.1 Định nghĩa và ví dụ ........................................................................................... 12
1.2.2 Nhóm Lie con. Đồng cấu và đẳng cấu nhóm Lie ............................................ 13
1.2.3 Nhóm Lie thương .............................................................................................. 15
1.3.
Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie .............................................................. 15
1.3.1.
Định nghĩa .................................................................................................... 15
1.3.2.
Các ví dụ ...................................................................................................... 16
1.3.3.
Đồng cấu đại số Lie ..................................................................................... 17
1.3.4.
Biểu diễn chính quy của đại số Lie .............................................................. 18
1.3.5.
Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh .................................................. 19
1.4.
Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie ............................................................... 21
1.4.1.
Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho .......................................... 21
1.4.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie ................................... 22
1.4.3
Ánh xạ mũ exponent .................................................................................... 22
Chương 2. BIỂU DIỄN NHÓM LIE .................................................................................. 24
2.1
Khái niệm cơ bản về biểu diễn............................................................................. 24
2.2
Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số ........................ 25
2.2.1
K-biểu diễn của một nhóm Lie .................................................................... 25
2.2.2
Các MD-nhóm và MD-đại số ...................................................................... 32
2.3
Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo ........................................................ 33
Chương 3. MÔ TẢ K-QUỸ ĐẠO CỦA MỘT LỚP CON CÁC MD5-NHÓM LIÊN
THÔNG ĐƠN LIÊN ............................................................................................................ 37
3.1 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều .................................. 37
3.2
Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương
ứng với các MD5-đại số đã xét ........................................................................................ 41
KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 49
BẢNG KÍ HIỆU
Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V.
Aut G : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G.
: trường số phức.
C ∞ (V ) : không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V.
End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V.
exp : ánh xạ mũ exp.
G* : không gian đối ngẫu của đại số Lie G.
GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực.
Mat(n; R) : tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực.
: trường số thực.
TeG là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e.
Ω F : quỹ đạo Kirillove qua F.
MỞ ĐẦU
Một trong những bài toán cơ bản và quan trọng nhất của lý thuyết biểu
diễn chính là bài toán phân loại biểu diễn. Cụ thể là cho trước một nhóm Lie
G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác một
đẳng cấu).
Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số
Lie. Vấn đề nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie là
một hướng nghiên cứu lớn trong Hình học – Tôpô và có rất nhiều ứng dụng
trong Vật lý, đặc biệt là vật lý lượng tử. Để giải quyết bài toán này, năm 1962,
A.A.Kirillove đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo để nghiên cứu lý thuyết
biểu diễn nhóm Lie, phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu
diễn unita bất khả quy của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ
các K-quỹ đạo nguyên của nó.
Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillove chính là các
K-quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (hay còn gọi là K-biểu diễn). Do đó,
việc mô tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông
giải được, có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.
Đó cũng là lý do chúng tôi chọn đề tài: “ Nhóm Lie và biểu diễn đối
phụ hợp”
Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần
kết luận. Cụ thể
Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và lý do chọn đề tài .
Chương 1: Nều lại kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi, nhóm Lie, đại số
Lie, các ví dụ minh họa về nhóm Lie, đại số Lie, sự liên hệ
giữa nhóm Lie và đại số Lie.