Xem mẫu
- Pi
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------
THÂN VĂN CƯƠNG
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Pii
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------
THÂN VĂN CƯƠNG
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Chuyên ngành: Công nghệ sinh học
Mã số: 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Hà Huy Khoái
THÁI NGUYÊN – 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Piii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 1
M cl c
M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
M đ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 M T S KI N TH C CƠ B N 3
1.1. M t s k t qu c a s h c trong gi i phương trình nghi m
nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Phương trình Điôphăng tuy n tính . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Phương trình Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1. Các b s Pitago . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2. Phương trình Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3. Phương trình Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 M T S D NG PHƯƠNG TRÌNH NGHI M
NGUYÊN 23
2.1. Phương pháp gi i phương trình nghi m nguyên b ng cách
phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1. Mô t phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2. M t s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Phương pháp l a ch n Modulo . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1. Mô t phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2. M t s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Phương pháp s d ng các tính ch t cơ b n c a s h c . 34
2.3.1. Mô t phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2. M t s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4. Phương pháp lùi vô h n (phương pháp xu ng thang) . . 42
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 2
2.4.1. Mô t phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2. M t s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5. Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.1. Mô t phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.2. M t s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Đ I H C THÁI NGUYÊN
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C
THÂN VĂN CƯƠNG
M TS D NG PHƯƠNG TRÌNH NGHI M NGUYÊN
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P
MÃ S : 60.46.40
LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C
Ngư i hư ng d n khoa h c: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI
Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Lu n văn đư c hoàn thành t i
Trư ng Đ i h c khoa h c - Đ i h c Thái Nguyên
Ngư i hư ng d n khoa h c: GS.TSKH. Hà Huy Khoái
Ph n bi n 1: PGS.TS Đàm Văn Nh , Đ i h c sư ph m Hà
N i ..................................................................
....................................................................
Ph n bi n 2: PGS. TS Nông Qu c Chinh, Đ i h c khoa h c,
Đ i h c Thái Nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................
Lu n văn đư c b o v trư c h i đ ng ch m lu n văn h p t i
Trư ng Đ i h c khoa h c - Đ i h c Thái Nguyên
Ngày 09 tháng 09 năm 2011
Có th tìm hi u t i
Trung tâm h c li u - Đ i h c Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 1
M đ u
S h c là m t trong nh ng lĩnh v c c xưa nh t c a Toán h c, và
cũng là lĩnh v c t n t i nhi u nh t nh ng bài toán, nh ng gi thuy t
chưa có câu tr l i. Trên con đư ng tìm ki m l i gi i cho nh ng gi
thuy t đó, có nhi u tư tư ng l n, nhi u lí thuy t l n c a toán h c đã
n y sinh. Hơn n a, trong nh ng năm g n đây, S h c không ch là m t
lĩnh v c c a toán h c lí thuy t, mà còn là lĩnh v c có nhi u ng d ng,
đ c bi t trong lĩnh v c b o m t thông tin. Vì th , vi c trang b nh ng
ki n th c cơ b n v s h c ngay t trư ng ph thông là h t s c c n
thi t. Không như nhi u ngành khác c a toán h c, có r t nhi u thành
t u hi n đ i và quan tr ng c a S h c có th hi u đư c ch v i nh ng
ki n th c ph thông đư c nâng cao m t bư c. Do đó, đây chính là lĩnh
v c thu n l i đ đưa h c sinh ti p c n nhanh v i khoa h c hi n đ i. Tuy
nhiên, trong chương trình S h c trư ng ph thông hi n nay, môn S
h c chưa đư c giành nhi u th i gian. Cũng vì th mà h c sinh thư ng
r t lúng túng khi gi i bài toán S h c, đ c bi t là trong các kì thi ch n
h c sinh gi i.
Trong ph n S h c, các bài toán v Phương trình nghi m nguyên
đóng vai trò quan tr ng trong vi c hình thành và nghiên c u lí thuy t
đ hoàn thi n. Vi c gi i các bài toán v phương trình nghi m nguyên
chính là vi c áp d ng các ki n th c c a s h c. Đây là m t trong nh ng
bài toán cơ b n đư c đ c p nhi u trong các kì thi ch n h c sinh gi i
c p t nh (thành ph ), Qu c gia, Qu c t .
M c đích chính c a lu n văn là nêu ra đư c m t s d ng phương trình
nghi m nguyên và phương pháp gi i c a t ng d ng. C th là phân lo i
đư c các d ng phương trình thông qua h th ng bài t p gi i phương
trình nghi m nguyên. Đ ng th i đưa ra đư c h th ng các bài t p tham
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 2
kh o cho t ng d ng.
N i dung c a lu n văn g m 2 chương
Chương 1: Trình bày các ki n th c cơ b n trong vi c áp d ng gi i
phương trình nghi m nguyên.
Chương 2: M t s d ng phương trình nghi m nguyên và phương pháp
gi i.
Lu n văn này đư c hoàn thành v i s hư ng d n và ch b o t n tình
c a GS.TSKH. Hà Huy Khoái - Vi n Toán H c Hà N i. Th y đã dành
nhi u th i gian hư ng d n và gi i đáp các th c m c c a tôi trong su t
quá trình làm lu n văn. Tôi xin đư c bày t lòng bi t ơn sâu s c đ n
Th y.
Tôi xin c m ơn t i S N i V , S Giáo d c và Đào t o t nh B c Giang,
trư ng THPT Tân Yên 2, t Toán trư ng THPT Tân Yên 2 đã t o đi u
ki n giúp đ tôi hoàn thành khóa h c này.
Tôi xin g i t i các Th y Cô khoa Toán, phòng Đào t o sau Đ i h c
Trư ng Đ i H c Khoa H c - Đ i H c Thái Nguyên, cũng như các Th y
cô tham gia gi ng d y khóa Cao h c 2009-2011 l i c m ơn sâu s c v
công lao d y d trong su t quá trình giáo d c, đào t o c a nhà trư ng.
Đ ng th i tôi xin g i l i c m ơn t i t p th l p Cao H c Toán K3A
Trư ng Đ i H c Khoa H c đã đ ng viên giúp đ tôi trong quá trình h c
t p và làm lu n văn này.
Tuy nhiên do s hi u bi t c a b n thân và khuôn kh c a lu n văn
th c sĩ, nên ch c r ng trong quá trình nghiên c u không tránh kh i
nh ng thi u sót, tôi r t mong đư c s đóng góp ý ki n c a các Th y Cô
và đ c gi quan tâm t i lu n văn này.
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 6 năm 2011
Tác gi
THÂN VĂN CƯƠNG
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 3
Chương 1
M TS KI N TH C CƠ B N
Trong chương này trình bày m t s ki n th c cơ b n c a m t s
lo i phương trình như phương trình Điôphăng tuy n tính, phương trình
Fermat, phương trình Pell...
1.1. M t s k t qu c a s h c trong gi i phương
trình nghi m nguyên
Đ nh lý 1.1.1. (Đ nh lý cơ b n v s nguyên t ).
Cho n là s nguyên dương l n hơn 1. Khi đó n luôn có
th bi u di n đư c m t cách duy nh t dư i d ng sau:
n = pα1 .pα2 .....pαk
1 2 k .
Trong đó k, αi (i = 1, 2, ..., k) là các s t nhiên và pi là các s nguyên
t th a mãn: 1 < p1 < p2 < .... < pk .
Đ nh lý 1.1.2. (Đ nh lý Euclid.) T n t i vô h n s nguyên t .
Đ nh lý 1.1.3. (Đ nh lý cơ b n v m i liên h gi a tính chia h t và s
nguyên t ). Gi s a, b là hai s nguyên dương, còn p là s nguyên t sao
. . .
cho ab. Khi đó ta ph i có ho c là a. ho c là b.
.p. .p, .p.
Đ nh nghĩa 1.1.1. Cho hai s nguyên a và b. Ta nói r ng a đ ng dư
vơi b theo Modulo m (m nguyên dương) và ký hi u a ≡ b(mod m) khi
.
và ch khi (a − b).
.m.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 4
Các tính ch t cơ b n c a đ ng dư
Tính ch t 1. N u a ≡ b(mod m) và c ≡ d(mod m) thì a + c ≡ b + d(mod
m) và ac ≡ bd(mod m).
Tính ch t 2. N u p là s nguyên t và ab ≡ 0 (mod p) thì a ≡ 0(mod p)
hay b ≡ 0(mod p).
Đ nh lý 1.1.4. (Đ nh lý Fermat). N u p là m t s nguyên t và a là
m t s nguyên tùy ý thì
.
(ap − a).
.p.
Khi (a, p) = 1, thì ap−1 ≡ 1(modp).
Đ nh lý 1.1.5. (Đ nh lý Euler) N u m là s nguyên dương và (a, m) = 1,
thì
aφ(m) ≡ 1(mod m)
đây φ(m) là s các s nguyên dương nh hơn m và nguyên t cùng
nhau v i m. ( φ(m) g i là Phi-hàm Euler)
Đ nh lý 1.1.6. (Đ nh lý Wilson). p là s nguyên t khi và ch khi
(p − 1)! + 1 chia h t cho p
Đ nh lý 1.1.7. (Đ nh lý Fermat-Euler). N u p = 4k + 1, thì t n t i các
s nguyên dương a, b sao cho p = a2 + b2 .
Đ nh lý 1.1.8. (Đ nh lý ph n dư Trung Hoa). Gi s r và s là các s
nguyên dương nguyên t cùng nhau, a và b là hai s nguyên tùy ý. Khi
đó t n t i m t s nguyên N sao cho N ≡ a(mod r) và N ≡ b(mod s).
Ngoài ra N đư c xác đ nh m t cách duy nh t.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 5
1.2. Phương trình Điôphăng tuy n tính
1.2.1. Đ nh nghĩa
Phương trình Điôphăng tuy n tính là phương trình có d ng:
ax + by = c (1)
trong đó a, b, c là các s nguyên, các giá tr x, y cũng nh n các giá tr
nguyên. Gi i phương trình Điôphăng (1) t c là tìm các c p s nguyên
(x, y) th a mãn (1)
Đ nh lý 1.2.1. Gi s a, b là các s nguyên, d là ư c chung l n nh t
c a a và b. Khi đó phương trình ax + by = c không có nghi m nguyên
n u d không là ư c c a c. N u d|c thì phương trình có vô s nghi m.
Hơn n a n u x = x0 , y = y0 là m t nghi m nào đó c a phương trình thì
m i nghi m c a phương trình có d ng:
b
x = x0 + ( d )n, y = y0 + a n.
d
Trong đó n là s nguyên.
Ch ng minh. Gi s (x, y) là nghi m c a phương trình . Do d|a, d|b
nên d|c. Như v y , n u d không là ư c c a c thì phương trình không có
nghi m nguyên.
Vì (a, b) = d nên t n t i s nguyên t và s sao cho d = as + bt(2)
Cũng do d|c nên t n t i e nguyên sao cho de = c. Nhân hai v c a (2)
v i c ta đư c :
c = de = (as + bt)e = a(se) + b(te).
Như v y, ta có m t nghi m c a phương trình cho b i x = x0 = se, y =
y0 = te.
Ta s ch ng minh t n t i vô s nghi m. Đ t x = x0 + d n, y = y0 − a n
b
d
trong đó n nguyên. Ta th y c p (x, y) xác đ nh như trên là m t nghi m,
vì
ax + by = ax0 + a. d n + by0 − b a n = ax0 + by0 = c
b
d
Ta ch còn ph i ch ng minh r ng, m i nghi m c a phương trình ph i có
d ng nêu trên. Gi s (x, y) là m t nghi m tùy ý, t c là x.y nguyên và
th a mãn ax + by = c. Khi đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 6
(ax + by) − (ax0 + by0 ) = 0 suy ra a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0
T c là a(x − x0 ) = b(y − y0 )
Chia hai v c a đ ng th c này cho d, ta đư c
a b
d (x − x0 ) = d (y − y0 ) (3)
Do d = (a, b) nên a và d nguyên t cùng nhau. T đó suy ra y0 − y
d
b
chia h t cho a , t c là t n t i n nguyên sao cho a n = y0 − y. Suy ra
d d
a
y = y0 − d n. Thay giá tr này c a y vào phương trình (3) ta đư c
b
x = x0 + d n.
Đ nh lý trên giúp ta tìm đư c nghi m c a phương trình Điôphăng
tuy n tính.
Ví d 1.2.1. Gi i phương trình nghi m nguyên sau:
3x + 17y = 159 (1)
L i gi i.
Ta nh n th y ư c chung l n nh t c a 3 và 17 b ng 1 nên d = 1. Gi
s (x0 , y0 ) là nghi m nguyên th a mãn phương trình (1). Ta nh n th y
. .
159 và 3x đ u chia h t cho 3 nên 17y . do đó y .
.3 .3.
Đ t y0 = 3t0 , t ∈ Z thay vào phương trình ta đư c
3x0 + 17.3t0 = 159
⇔ x0 + 17t0 = 53
Do đó:
x = 53 − 17t
y = 3t
V i t nguyên tùy ý
Đ o l i thay các bi u th c c a x và y vào phương trình ta đư c nghi m
đúng.
V y phương trình (1) có vô s nghi m nguyên đư c xác đ nh b i công
th c trên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 7
1.3. Phương trình Fermat
1.3.1. Các b s Pitago
B ba s nguyên dương (x, y, z) th a mãn phương trình:
x2 + y 2 = z 2
đư c g i là m t b s Pitago - Tên g i đó xu t phát t Đ nh lý Pitago
quen thu c. Như v y, (x, y, z) là m t b s Pitago khi và ch khi t n
t i tam giác vuông có s đo hai c nh góc vuông là x và y , s đo c nh
huy n b ng z (V i x, y, z là các s nguyên dương). Gi s các b s
(3, 4, 5), (6, 8, 10).....là các b s Pitago.
Rõ ràng là n u (x, y, z) là b Pitago thì (kx, ky, kz) cũng là m t b s
Pitago v i m i s t nhiên k. Do đó, ta ch c n xét b ba s nguyên t
cùng nhau.
Đ nh nghĩa 1.3.1. B s Pitago (x, y, z) đư c g i là nguyên th y n u
(x, y, z) = 1.
Ví d 1.3.1. : Các b s (3, 4, 5), (5, 12, 13) là nguyên th y, b s
(6, 8, 10) không nguyên th y.
N u b ba s (x, y, z) là không nguyên th y, ch ng h n (x, y, z) = d,
thì ( x , y , d ) là m t b s Pitago nguyên th y. Đ tìm b s Pitago
d d
z
nguyên th y ta dùng B đ sau đây
B đ 1.3.1. N u (x, y, z) là m t b Pitago nguyên th y thì (x, y) =
(y, z) = (z, x) = 1.(ký hi u (x, y, z, ...) = d đư c hi u là UCLN c a các
s x, y, z, .....).
Ch ng minh. Gi s (x, y, z) là m t b s Pitago nguyên th y và (x, y) >
1. Khi đó t n t i s nguyên p sao cho p|(x, y). Vì p|x và p|y nên p|(x2 +
y 2 ) = z 2 . Do p nguyên t mà p|z 2 nên p|z. T đó d n đ n mâu thu n
v i gi thi t (x, y, z) = 1.
V y (x, y) = 1. Tương t (x, z) = (y, z) = 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 8
B đ 1.3.2. Gi s (x, y, z) là b s Pitago nguyên th y. Khi đó x
ch n, y l ho c x l , y ch n.
Ch ng minh. Gi s (x, y, z) là m t b Pitago nguyên th y. Do B đ
1.2.1 (x, y) = 1, nên x và y không th cùng ch n. N u x, y cùng l thì ta
có
x2 ≡ y 2 ≡ 1 (mod 4)
Nên z 2 = x2 + y 2 ≡ 2.(mod 4)
Đi u đó vô lý. V y x và y không cùng tính ch n l .
B đ 1.3.3. Gi s r, s, t là các s nguyên dương sao cho (r, s) = 1 và
rs = t2 . Khi đó t n t i các s nguyên h, l sao cho r = l2 và s = h2 .
Ch ng minh. N u r = 1 ho c s = 1 thì B đ là hi n nhiên. Ta gi s
r > 1 và s > 1. Gi s các phân tích r, s, t ra th a s nguyên t ta đư c
các d ng sau
r = pα1 pα2 pα3 ....pαn
1 2 3 n
α α
s = pn+1 pn+2 ....pαm
n+1 n+2
m
β β β
t = q1 1 q2 2 ....qk k
Vì (r, s) = 1 nên các s nguyên t xu t hi n trong
phân tích c a r và s là khác nhau. Do r.s = t2 nên
αn+1 αn+2 2β 2β 2β
pα1 pα2 pα3 ....pαn pn+1 pn+2 ....pαm = q1 1 q2 2 ....qk k .
1 2 3 n m
T Đ nh lý cơ b n c a S h c ta suy ra r ng, các lũy th a nguyên
t xu t hi n hai v c a đ ng th c ph i như nhau. V y m i pi ph i
b ng m t qj nào đó, đ ng th i αi = 2βj . Do đó, m i s mũ αi đ u ch n
nên αi nguyên. T đó suy ra r = l2 , s = h2 , trong đó l, h là các s nguyên:
2
α1 α2 αn
l = p1 p2 ....pn2
2 2
αn+1 αn+2 αm
h = pn+1 pn+2 ....pm
2 2 2
Đ nh lý sau mô t t t c các b s Pitago nguyên th y.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 9
Đ nh lý 1.3.1. Các s nguyên dương (x, y, z) l p thành m t b Pitago
nguyên th y, v i y ch n, n u và ch n u t n t i các s nguyên dương
nguyên t cùng nhau m, n v i m > n, m l , n ch n ho c m ch n, n l
sao cho
x = m2 − n2
y = 2mn
z = m2 + n2
.
Ch ng minh. Gi s x, y, z là m t b s Pitago nguyên th y. T B đ
1.2.2 cho th y x l , y ch n, ho c ngư c l i. Vì ta gi thi t y ch n nên
x, z đ u l . Do x + z và z − x đ u là s ch n, nên các s x+z = r, z−x = s
2 2
đ u là s nguyên.
Vì x2 + y 2 = z 2 nên y 2 = z 2 − x2 = (z + x)(z − x). V y
( y )2 = ( z+x )( z−x ) = rs
2 2 2
Ta đ ý r ng (r, s) = 1. Th t v y, n u (r, s) = d thì do d|r, d|s nên
d|(r + s) = z và d|(r − s) = x. Đi u đó có nghĩa là d|(z, x) = 1 nên
d = 1.
Áp d ng B đ 1.2.3 ta th y r ng t n t i các s nguyên m, n sao cho
r = m2 , s = n2 . Vi t x, y, z thông qua m, n ta có
x = r − s = m2 − n2
√ √
y = 4rs = 4m2 n2 = 2mn
z = r + s = m2 + n2
Ta cũng có (m, n) = 1, vì m i ư c chung c a m và n cũng là ư c c a
x = m2 − n2 , y = 2mn, z = m2 + n2 , nên là ư c chung c a (x, y, z). Mà
x, y, z nguyên t cùng nhau nên (m, n) = 1. M t khác, m và n không
đ ng th i là hai s l nên m ch n, n l ho c ngư c l i. V y m i b s
Pitago nguyên th y có d ng đã nêu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 10
Đ ch ng t r ng b ba s
x = m2 − n2
y = 2mn
z = m2 + n2
. Trong đó m, n là các s nguyên dương, m > n, (m, n) = 1 và m = n
và m ≡ n(mod 2) l p thành m t b s Pitago nguyên th y, trư c tiên
ta nh n xét r ng
x2 + y 2 = (m2 − n2 )2 + (2mn)2
= (m4 − 2m2 n2 + n4 ) + 4m2 n2
= m4 + 2m2 n2 + n4
= (m2 + n2 )2
= z2.
Ta ch ng minh x, y, z nguyên t cùng nhau. Gi s ngư c l i (x, y, z) =
d > 1. Khi đó t n t i s nguyên t p sao cho p|(x, y, z). Ta th y r ng
p 2 vì x l ( do x = m2 − n2 trong đó m2 và n2 không cùng tính ch n
l ). L i do p | x, p | z nên p | (z + x) = 2m2 và p | (z − x) = 2n2 . V y
p | m và p | n: Mâu thu n v i (m, n) = 1. Do đó (x, y, z) = 1 t c là
(x, y, z) là m t b s Pitago nguyên th y.
Ví d 1.3.2. L y m = 5, n = 2 ta tìm đư c x = 21, y = 20, z = 29 là
m t b s Pitago nguyên th y.
1.3.2. Phương trình Fermat
Ta th y r ng phương trình
x+y =z
Có vô h n nghi m nguyên (x, y, z). Các b s Pitago cũng cho ta vô
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 11
h n nghi m nguyên c a phương trình
x2 + y 2 = z 2
C như v y n u s mũ c a các bi n tăng lên, li u r ng phương trình
xn + y n = z n
v i n ≥ 3 có nghi m nguyên hay không? n u có thì s nghi m là h u
h n hay vô h n?
Đ nh lý 1.3.2. (Đ nh lý Fermat)
Phương trình xn + y n = z n không có nghi m nguyên x, y, z khác 0 khi
n là s nguyên, n ≥ 3.
Đ nh lý Fermat đư c ch ng minh năm 1993 b i A. Wiles, v i vi c s
d ng nh ng ki n th c cao nh t c a nhi u ngành toán h c khác nhau.
Trong ph n này chúng ta s ch ng minh Đ nh lý l n Fermat cho trư ng
h p n = 4. M t trong nh ng m u ch t c a phương pháp lùi vô h n do
Fermat đ xu t.
Đ nh lý 1.3.3. Phương trình
x4 + y 4 = z 4
không có nghi m nguyên x, y, z khác 0.
Ch ng minh. Gi s phương trình trên có nghi m nguyên x, y, z khác 0.
Vì ta có th thay bi n tùy ý b i s đ i c a nó nên ta có th xem x, y, z
là các s nguyên dương.
Ta gi thi t (x, y) = 1. Th t v y, n u (x, y) = d thì x = dx1 , y = dy1 ,
trong đó x1 , y1 là các s nguyên dương.
Ta s ch ra phương trình x4 + y 4 = z 2 không có nghi m nguyên dương
vì v y phương trình x4 + y 4 = z 4 cũng không có nghi m nguyên dương.
Vì x4 + y 4 = z 2 nên
(dx1 )4 + (dy1 )4 = z 2
do đó: d4 (x4 + y1 ) = z 2
1
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 12
V y d4 | z 2 , suy ra d2 | z, nghĩa là z = d2 z1 v i z1 là s nguyên dương.
Do đó
d4 (x4 + y1 ) = (d2 z1 )2 = d4 z1
1
4 2
nên x4 + y1 = z1
1
4 2
Ta nh n đư c nghi m x4 + y 4 = z 2 v i các s nguyên dương
x = x1 , y = y1 , z = z1 , trong đó (x1 , y1 ) = 1.
Bây gi ta gi s x = x0 , y = y0 , z = z0 là nghi m c a phương trình
x4 + y 4 = z 2 , trong đó (x0 , y0 ) = 1. Ta s ch ra t n t i nghi m khác
g m các s nguyên dương x = x1 , y = y1 , z = z1 v i (x1 , y1 ) = 1 sao cho
z1 < z0 .
Vì x4 + y0 = z0 nên (x2 )2 + (y0 )2 = z0 ,
0
4 2
0
2 2
t c là (x2 , y0 , z0 ) là m t b s Pitago. Hơn n a, (x2 , y0 ) = 1, vì n u p là
0
2
0
2
s nguyên t , p | x2 , p | y0 thì p | x0 , p | y0 , mâu thu n v i (x0 , y0 ) = 1.
0
2
Như v y, x2 , y0 , z0 là m t b s Pitago nguyên th y, t n t i các s
0
2
nguyên dương m, n v i (m, n) = 1, m ≡ n(mod2) và
x2 = m2 − n2
0
2
y0 = 2mn
z0 = m2 + n2
Trong đó có th xem y0 là s ch n. (n u c n thì đ i ký hi u x2 và y0 ).
2
0
2
T đ ng th c c a x2 ta đư c:
0
x2 + n2 = m2
0
Do (m, n) = 1 nên (x0 , n, m) là m t b s Pitago nguyên th y. T n t i
các s nguyên dương r, s v i (r, s) = 1, r ≡ s(mod 2) và
x 2 = r 2 − s2
0
n = 2rs
m = r2 + s2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 13
2
Vì m l và (m, n) = 1, ta có (m, 2n) = 1. Do y0 = (2n)m nên t n t i
các s nguyên dương z1 và w v i m = z1 , 2n = w2 . Vì w ch n, w = 2u,
2
trong đó u là s nguyên dương, nên
u2 = n = rs
2
Do (r, s) = 1, t n t i các s nguyên dương x1 , y1 sao cho r = x2 , s = y1 .
1
2
1
4 2
Chú ý r ng vì (r, s) = 1 nên d suy ra (x1 , y1 ) = 1. Như v y, x4 +y1 = z1 ,
trong đó x1 , y1 , z1 là các s nguyên dương v i (x1 , y1 ) = 1. Hơn n a, ta
có z1 < z0 vì
z1 ≤ z1 = m2 < m2 + n2 = z0
4
Đ k t thúc ch ng minh đ nh lý, gi s x4 + y 4 = z 4 có ít nh t m t
nghi m nguyên. Do nguyên lý s p th t t t, trong s các nghi m
nguyên dương, t n t i nghi m nguyên v i giá tr z0 bé nh t. Tuy nhiên
ta đã ch ra r ng, t nghi m này ta có th tìm nghi m khác v i giá tr
bé hơn c a bi n z. T đó d n đ n mâu thu n. Như v y ta đã đư c đi u
ph i ch ng minh.
* V Đ nh lý l n Fermat
Ta bi t có vô s b ba s nguyên dương th a mãn phương trình
x2 + y 2 = z 2 . Đương nhiên xu t hi n m t câu h i: có ba s nguyên
dương nào th a mãn phương trình x3 + y 3 = z 3 không?
Vào năm 1637, nhà toán h c Pháp Fermat (Pierre de Fermat, 1601 –
1665) đã nêu lên m nh đ sau, đư c g i là đ nh lý l n Fermat:
Phương trình xn + y n = z n (v i n là s nguyên l n hơn 2) không có
nghi m nguyên dương.
Fermat đã vi t vào l cu n S h c c a Điôphăng, c nh m c gi i phương
trình x2 +y 2 = z 2 “Không th phân tích đư c m t l p phương đúng thành
t ng c a hai l p phương, không th phân tích đư c m t trùng phương
thành t ng c a hai trùng phương, và nói chung v i b t c lũy th a nào
l n hơn 2 thành t ng c a hai lũy th a cùng b c. Tôi đã tìm đư c cách
ch ng minh kì di u m nh đ này, nhưng l sách này quá ch t nên không
th ghi l i đư c.”
Năm 1670, năm năm sau khi Fermat m t, con trai ông đã công b m nh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
nguon tai.lieu . vn
