Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán về Poset Tôpô trên một tập cố định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------------- Trần Thanh Phong MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ POSET TÔPÔ TRÊN MỘT TẬP CỐ ĐỊNH Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CÁM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - người đã từng bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học cao học. Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này. Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả đã vài lần liên lạc với các nhà toán học nước ngoài, đặc biệt là giáo sư Offia T. Alas đã tận tình giải đáp các vấn đề liên quan. Xin chân thành cám ơn giáo sư. Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Văn Trỗi Tỉnh Tây Ninh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học cao học. Xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình luôn động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý và động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn. TP. HCM tháng 8 năm 2010 Tác giả Trần Thanh Phong MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vào năm 1936, Garnett Birkhoff đưa ra ý kiến cho rằng việc nghiên cứu tôpô là so sánh hai tôpô khác nhau trên cùng một tập. Trong công trình của mình: “G. Birkhoff, On the combination of topologies, Fund. Math. 26 (1936) 156-166”, Birkhoff mô tả rõ ràng sự so sánh này bằng cách sắp xếp họ tất cả các tôpô trên một tập hợp cho trước và nhìn vào kết quả được hình thành được gọi là dàn. Về bản chất, đây là sự so sánh hai tôpô, nghĩa là nếu  và  là hai tôpô trên cùng một tập hợp cho trước thì  thô hơn hoặc bằng với  nếu  là một tập con của . Đối với hai tôpô bất kì  và  trên tập hợp, có một tôpô   (kí hiệu chính xác hơn là  ) gọi tôpô lớn nhất được chứa trong hai tôpô  và , có một tôpô  gọi là tôpô bé nhất chứa cả hai tôpô  và . Dàn này có phần tử lớn nhất là tôpô rời rạc và phần tử nhỏ nhất là tôpô thô (tôpô chí có tập rỗng và chính tập hợp đang xét). Dàn của tất cả các tôpô trên một tập được gọi là dàn đầy đủ, tức là có một tôpô lớn nhất được chứa trong mỗi phần tử của một họ các tôpô và có một tôpô nhỏ nhất chứa mỗi phần tử của họ các tôpô. Các bài toán về dàn các tôpô được nhiều nhà Toán học quan tâm vào những năm 60 của thế kỉ trước. Chẳng hạn như công trình của N.Smythe và C.A. Wilkins về các không gian Hausdorff cực tiểu và compact cực đại (1963); công trình của Anne K. Stiener về phần bù trong các dàn tôpô 1, cấu trúc và phần bù trên dàn các tôpô (1966); công trình của A. R. Padmanabhan và B.V. Rao về Idean trên dàn các tôpô (1969)…Đặc biệt là vào năm 1967, Garnett Birkhoff đã cho xuất bản quyển sách “lý thuyết dàn”. Đến năm 1975, Roland E. Larson và Suan J. Andima đã khảo sát và tổng hợp đầy đủ về dàn của các tôpô. Do đó, công trình này được nhiều nhà toán học quan tâm, nó dùng làm tài liệu tra cứu rất hữu ích trong quá trình nghiên cứu dàn của các tôpô. Trong quá trình nghiên cứu về dàn các tôpô, ta thấy có khái niệm về poset (partially ordered set) của các tôpô. Và gần đây đã có nhiều công trình nghiên cứu về poset của các tôpô. Ví như D.W. McIntyre và W.S. Watson (2004) quan tâm đến các khoảng vô hạn trong poset của các tôpô có số chiều 0, các tôpô Tychonoff, các tôpô chính quy; Offlia T. Alas và Richard G.Wilson (2004) quan tâm về tôpô dưới và tôpô trên trong dàn của các tôpô 1. Nathan Carlson (2007) quan tâm về tôpô dưới và tôpô trên của poset của các tôpô 2. Bài toán về poset tôpô được nhiều nhà toán học quan tâm và còn rất nhiều bài toán mở. Nghiên cứu các bài toán về poset tôpô là vấn đề mang tính thời sự. Đề tài nghiên cứu của chúng tôi đặc biệt quan đến vấn đề này với tên đề tài là “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ POSET TÔPÔ TRÊN MỘT TẬP CỐ ĐỊNH” nhằm nghiên cứu một số vấn đề được quan tâm trong thời gian gần đây. 2. Mục đích Nghiên cứu poset của tôpô Hausdorff ( 2 ) trên một tập cố định. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các bài toán về tôpô dưới và tôpô trên trong các poset của các tôpô 2 . Tìm các ví dụ cụ thể đối với các tôpô dưới và tôpô trên. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Nghiên cứu và trình bày chứng minh một số bài toán về tôpô dưới và tôpô trên góp phần hoàn thiện các tính chất trong poset của tôpô 2, dàn của các tôpô 1, dàn của các tôpô. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và phần kết luận. Phần chính của luận văn được tập trung ở chương 2, 3. Cụ thể: Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát về đề tài. Chương 1: Nêu khái niệm poset, dàn và nhắc lại một số kiến thức về tôpô đại cương. Chương 2: Nêu dàn của các tôpô 1, nêu poset của các tôpô 2 , trình bày mở đầu về tôpô dưới và tôpô trên trong 2(X). Chương 3: Trình bày kiến thức: một tôpô không cực tiểu trong 2 (X) thuộc CH không phải là tôpô trên và cho các ví dụ về tôpô trên. Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và các vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau đề tài. Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, luận văn trình bày lại các kiến thức tôpô đại cương có liên quan đến các chương sau và mở đầu về khái niệm dàn trên tập hợp. Ở đây, các định lí, các hệ quả, các bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh. Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài. 1.1. Một số kiến thức về lý thuyết tập hợp 1.1.1. Tập hợp được sắp 1.1.1.1. Thứ tự bộ phận và tập được sắp bộ phận (poset) Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là một thứ tự bộ phận nếu thỏa các tính chất sau: (i) Phản xạ: xRx,x X , (ii) Phản đối xứng: Nếu xRy vaøyRx thì x  y, x,yX, (iii) Bắc cầu: Nếu xRy vaø yRz thì xRz, x,y,zX. Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận R được gọi là một tập hợp được sắp bộ phận (viết tắt là poset) và được ký hiệu (X, R). Thứ tự bộ phận thường được ký hiệu là  và poset được ký hiệu làX,. 1.1.1.2. Phần tử cực tiểu, cực đại Cho poset X,, phần tử aX được gọi là phần tử cực tiểu nếu trong X không có phần tử x nào sao cho x  a. Phần tử bX được gọi là phần tử cực đại nếu trong X không có phần tử x nào sao cho b x. Một poset có thể không có, có thể có một hoặc có nhiều phần tử cực tiểu hay cực đại. 1.1.1.3. Cận dưới, cận trên Cho poset X,, A X. Phần tử aX được gọi là phần tử cận dưới của A nếu a x với xA. Phần tử bX được gọi là phần tử cận trên của A nếu x  b với xA. Nếu A có cận dưới thì A được gọi là bị chặn dưới. Nếu A có cận trên thì A được gọi là bị chặn trên. Nếu A bị chặn dưới và bị chặn trên thì A được gọi là bị chặn. ... - tailieumienphi.vn