Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn GS. TS Đặng Đức Trọng. Thầy đã dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn em thực hiện luận văn. Có ai đó đã nói rằng: “ép một người uống nước không bằng làm cho người đó khát”, chính những lần seminar, những vấn đề và những câu hỏi thầy đặt ra đã làm em khát thật sự. Điều này tiếp thêm động lực cho em, một học viên chuyên ngành giải tích, bước đầu tiếp xúc với toán thống kê có thể từng bước thực hiện và hoàn thành đề tài. Em xin gửi lời cảm ơn đến TS. Chu Đức Khánh, TS. Đinh Ngọc Thanh, hai thầy đã tạo điều kiện và góp nhiều ý kiến quý báo trong quá trình em thực hiện luận văn. Em cũng xin cảm ơn anh Dương Thanh Phong, bạn Cao Thị Hồng Nhung và các anh chị trong nhóm seminar đã trao đổi với em về đề tài này. Em cảm ơn các thầy trong Khoa Toán – tin trường Đại học Sư phạm TPHCM, đã tận tình giảng dạy chúng em, cùng các thầy cô Phòng Sau đại học đã tạo điều kiện cho chúng em trong hai năm học Cao học vừa qua. Con xin gửi những tình cảm thân thương nhất đến ba mẹ. Ba mẹ luôn quan tâm và dõi theo sự trưởng thành của con. Ba mẹ là bến đổ bình yên nhất trong những lần con gặp khó khăn. Ba mẹ là điểm tựa vững chắc nhất để con tiếp tục cố gắng. Con thương ba mẹ nhiều lắm. Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN PHẦN MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ...............................................................................1 1.1. Thống kê..............................................................................................................1 1.2. Jacobians của phép biến đổi trong m ...............................................................4 1.3. Giải tích phức......................................................................................................7 1.4. Quá trình ngẫu nhiên.........................................................................................16 Chương 2: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN LAGUERRE..29 2.1. Phân phối của định thức ma trận Laguerre......................................................29 2.1.1. Ma trận Laguerre.......................................................................................29 2.1.2. Hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Laguerre...........30 2.1.3. Phân phối của định thức ma trận Laguerre...............................................32 2.2. Dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Laguerre.......................................33 Chương 3: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN JACOBI.........52 3.1. Phân phối của định thức ma trận Jacobi...........................................................52 3.1.1. Ma trận Jacobi............................................................................................52 3.1.2. Hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Jacobi................57 3.1.3. Phân phối của định thức ma trận Jacobi ....................................................58 3.2. Dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Jacobi ............................................59 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ma trận ngẫu nhiên xuất hiện đầu tiên trong toán thống kê bởi hai nhà toán học Hsu và Wishart. Nhiều tính chất của một số ma trận ngẫu nhiên đã được Wigner nghiên cứu trong những năm 1950 đặt trong mối liên hệ với vật lý hạt nhân. Trong thống kê nhiều chiều, các ma trận ngẫu nhiên Laguerre và Jacobi là các ma trận đối xứng nảy sinh trong quá trình thao tác trên mẫu ngẫu nhiên (xây dựng các ước lượng, kiểm định…). Một cách cụ thể, ma trận ngẫu nhiên Laguerre liên quan đến ma trận hiệp phương sai mẫu, trong khi ma trận ngẫu nhiên Jacobi phát sinh trong phân tích phương sai nhiều chiều. Định thức của các ma trận trên đã được Muirhead, Anderson và nhiều nhà toán học khác sử dụng để xây dựng nhiều kiểm định trong thống kê. Gần đây, sự phát triển các lý thuyết và ứng dụng của ma trận ngẫu nhiên mở ra yêu cầu nghiên cứu tiệm cận của định thức các ma trận này. Được sự hướng dẫn của GS. TS Đặng Đức Trọng và dựa trên bài báo [13], chúng tôi nghiên cứu, tìm hiểu đề tài: “DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN” 2. Mục đích của đề tài Đề tài “DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN” hướng đến hai mục đích: Thứ nhất, xác định phân phối của định thức các ma trận ngẫu nhiên Laguerre và Jacobi bằng cách sử dụng các tính chất của phép biến đổi Mellin và Jacobians của phép biến đổi trong m . Thứ hai, dựa trên các định lý giới hạn của quá trình ngẫu nhiên và một số ước lượng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên Laguerre và Jacobi. ... - tailieumienphi.vn