Xem mẫu
Líi c£m ìn
Tæi c£m ìn s¥u s›c GS. TSKH. Nguy„n Hœu Vi»t H÷ng, ng÷íi ¢ truy•n ⁄t nhi•u b i håc qu‰ b¡u v t⁄o nhœng i•u ki»n tŁt nh§t ” tæi håc t“p v nghi¶n cøu.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn PGS. TS. L¶ Minh H , TS. Vª Thà Nh÷ Quýnh v TS. Phan Ho ng Chìn ¢ nhi»t t…nh gióp ï, gâp þ v cung c§p cho tæi nhi•u t i li»u phong phó.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c thƒy, cæ trong Bº mæn ⁄i sŁ-H…nh håc-Tæpæ ¢ gióp ï v câ nhœng líi khuy¶n qu‰ gi¡ trong vi»c nghi¶n cøu Khoa håc. Tæi công xin gßi líi c£m ìn tîi c¡c thƒy, cæ trong Khoa To¡n-Cì-Tin håc, tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n H Nºi.
CuŁi còng, tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn ‚n gia …nh tæi, nhœng ng÷íi luæn ıng hº v gióp ï ” tæi y¶n t¥m l m vi»c.
i
B£ng k‰ hi»u
F2
Vk
BVk
GLk = GL(Vk)
H(X) H(X) A
Ext (F2;F2)
TorA(F2;F2)
Tr÷íng vîi 2 phƒn tß
2- nhâm abel sì c§p h⁄ng k
Khæng gian ph¥n lo⁄i cıa nhâm Vk
Nhâm tuy‚n t‰nh tŒng qu¡t cıa Vk
çng i•u cıa khæng gian tæpæ X vîi h» sŁ F2
Łi çng i•u cıa khæng gian tæpæ X vîi h» sŁ F2
⁄i sŁ Steenrod (modulo 2)
Łi çng i•u cıa ⁄i sŁ Steenrod
çng i•u cıa ⁄i sŁ Steenrod
ii
Mð ƒu
X†t çng c§u Hurewicz H : s(S0) = (Q0S0) ! H(Q0S0), trong â Q0S0 l mºt th nh phƒn li¶n thæng cıa khæng gian vÆng l°p væ h⁄n 1S1 = limn nSn vîi tæpæ compact mð. Gi£ thuy‚t cŒ i”n v• lîp cƒu dü o¡n r‹ng ch¿ câ c¡c phƒn tß vîi b§t bi‚n Hopf b‹ng 1 v c¡c phƒn tß vîi b§t bi‚n Kervaire b‹ng 1 n‹m trong £nh cıa çng c§u Hurewicz. (Xem Curtis [8], Snaith-Tornehave [34], Wellington [35].)
Trong cæng tr…nh [22], Lannes v Zarati x¥y düng c¡c çng c§u
’k : Extk;k+i(F2;F2) ! (F2 Dk);
nh÷ l mºt ph¥n b“c li¶n k‚t cıa çng c§u Hurewicz H : s(S0) (Q0S0) ! H(Q0S0). — ¥y, Dk l ⁄i sŁ Dickson gçm t§t c£ c¡c phƒn tß cıa F2[t1;:::;tk] b§t bi‚n d÷îi t¡c ºng cıa GLk. C¡c phƒn tß vîi b§t bi‚n Hopf b‹ng 1 v b§t bi‚n Kervaire b‹ng 1 ÷æc ⁄i i»n bði c¡c chu tr…nh v¾nh cßu n o â t÷ìng øng trong Ext1;(F2;F2) v trong Ext2;(F2;F2), m ð â ’1 v ’2 kh¡c 0 (xem Adams [2], Browder [6], Lannes-Zarati [22]). Tł â, Nguy„n H. V. H÷ng ¢ ÷a ra gi£ thuy‚t nâi r‹ng çng c§u Lannes-Zarati bà tri»t ti¶u t⁄i måi phƒn tß câ gŁc i d÷ìng, vîi k > 2 (xem [11]). Gi£ thuy‚t n y ÷æc bi‚t ‚n nh÷ l d⁄ng ⁄i sŁ cıa gi£ thuy‚t cŒ i”n v• lîp cƒu.
Trong [31], Singer x¥y düng Łi ng¤u cıa ⁄i sŁ lambda theo lþ thuy‚t b§t
bi‚n. Gåi k = Dk[Qk;0] l àa ph÷ìng hâa cıa Dk b‹ng c¡ch l m nghàch £o Qk;0 v k l mæun con cıa k, sinh bði c¡c ìn thøc = Qk;0Qk;1 :::Qk;k 1, vîi i0 2 Z;i1;:::;ik 1 0 v i0 + deg 0. Singer ¢ ch¿ ra r‹ng ^ = k ^ l mºt
Łi ⁄i sŁ vi ph¥n v flng c§u vîi Łi ng¤u cıa ⁄i sŁ lambda, , ÷æc x¥y düng n«m 1966 bði 6 t¡c gi£ [5]. V… v“y, Hk( ^) TorA(F2;F2).
Sau â, Nguy„n H. V. H÷ng [13] ¢ x¥y düng mºt bi”u di„n ð c§p º d¥y chuy•n cho Łi ng¤u cıa çng c§u Lannes-Zarati v o n«m 2001. Cö th”, æng khflng ành
iii
r‹ng ph†p nhóng Dk ^ l mºt bi”u di„n ð c§p º d¥y chuy•n cıa Łi ng¤u cıa çng c§u Lannes-Zarati. Tr¶n cì sð ành lþ n y, gi£ thuy‚t v• sü tri»t ti¶u cıa çng c§u Lannes-Zarati vîi k > 2 t÷ìng ÷ìng vîi gi£ thuy‚t nâi r‹ng n‚u q 2 D+ th… [q] = 0 trong TorA(F2;F2) vîi k > 2. Do â, h…nh thøc t÷ìng ÷ìng nâi tr¶n cıa d⁄ng ⁄i sŁ cıa gi£ thuy‚t v• lîp cƒu ch¿ ra mºt con ÷íng chøng minh gi£ thuy‚t â m khæng cƒn dòng tîi sü x¡c ành t÷íng minh cıa nhâm Extk (F2;F2). Nh›c l⁄i r‹ng, cho tîi nay nhâm Extk (F2;F2) mîi ch¿ ÷æc x¡c ành t÷íng minh cho c¡c b“c çng i•u k 5.
D⁄ng ⁄i sŁ cıa gi£ thuy‚t v• c¡c lîp cƒu ¢ ÷æc chøng minh trong c¡c tr÷íng hæp ri¶ng sau ¥y:
(1) çng c§u Lannes-Zarati thø k tri»t ti¶u tr¶n måi phƒn tß ph¥n t‰ch ÷æc trong Extk (F2;F2) vîi k > 2 (xem H÷ng-Peterson [16].)
(2) çng c§u Lannes-Zarati thø k tri»t ti¶u tr¶n £nh cıa çng c§u chuy”n cıa Singer vîi k > 2 (xem H÷ng-Nam [15].)
(3) çng c§u Lannes-Zarati thø 3 v thø 4 tri»t ti¶u tr¶n måi phƒn tß câ gŁc d÷ìng (xem Nguy„n H. V. H÷ng [14] v [11].)
(4) Gƒn ¥y, Nguy„n H. V. H÷ng, Vª T. N. Quýnh, v t¡c gi£ lu“n v«n n y ¢ chøng minh trong [18] r‹ng çng c§u Lannes-Zarati thø 5 tri»t ti¶u tr¶n måi phƒn tß câ gŁc d÷ìng.
Lu“n v«n ÷æc chia l m 3 ch÷ìng.
Trong ch÷ìng 1, chóng tæi tr…nh b y c¡c ki‚n thøc cì b£n bao gçm ⁄i sŁ Steenrod, lþ thuy‚t b§t bi‚n v ⁄i sŁ lambda.
Trong ch÷ìng 2, chóng tæi tr…nh b y c¡ch x¥y düng çng c§u Lannes-Zarati v nâi v• d⁄ng ⁄i sŁ cıa gi£ thuy‚t cŒ i”n v• c¡c lîp cƒu. çng thíi, chóng tæi công tr…nh b y l⁄i cæng tr…nh cıa Nguy„n H. V. H÷ng [13] nâi v• bi”u di„n ð c§p º d¥y chuy•n cıa Łi ng¤u cıa çng c§u Lannes-Zarati.
Trong ch÷ìng 3, chóng tæi tr…nh b y v• c¡c to¡n tß squaring v øng döng trong nghi¶n cøu çng c§u Lannes-Zarati. Cö th”, trong Ti‚t 3.2 chóng tæi tr…nh b y l⁄i cæng tr…nh cıa Nguy„n H. V. H÷ng [14] nâi r‹ng to¡n tß squaring cŒ i”n giao ho¡n thæng qua çng c§u Lannes-Zarati vîi to¡n tß squaring tr¶n Łi ng¤u cıa h» sinh tŁi ti”u cıa ⁄i sŁ Dickson xem nh÷ mºt A-mæun. Trong Ti‚t 3.3 chóng tæi tr…nh b y l⁄i chøng minh cıa Nguy„n H. V. H÷ng cho sü tri»t ti¶u cıa çng c§u Lannes-Zarati thø 3 v thø 4. CuŁi còng, Ti‚t 3.4 d nh cho vi»c tr…nh b y cæng tr…nh gƒn ¥y cıa Nguy„n H. V. H÷ng, Vª T. N. Quýnh, v t¡c gi£ lu“n v«n cho sü tri»t ti¶u cıa çng c§u Lannes-Zarati thø 5.
iv
Möc löc
B£ng k‰ hi»u ii
1 Ki‚n thøc chu`n bà 1 1.1 ⁄i sŁ Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 ành ngh¾a v t‰nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 C§u tróc cıa ⁄i sŁ Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Lþ thuy‚t b§t bi‚n v ⁄i sŁ lambda . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Lþ thuy‚t b§t bi‚n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Phøc d¥y chuy•n ^M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Mºt mð rºng cıa ⁄i sŁ lambda . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 C¡c b§t bi‚n cıa GLs v
1.2.5 C¡c b§t bi‚n cıa GLs v
Łi ng¤u cıa
Łi ng¤u cıa
. . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . 14
2 D⁄ng ⁄i sŁ cıa gi£ thuy‚t cŒ i”n v• c¡c lîp cƒu 17 2.1 çng c§u Lannes-Zarati v d⁄ng ⁄i sŁ cıa gi£ thuy‚t cŒ i”n v•
c¡c lîp cƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 çng c§u Lannes-Zarati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 D⁄ng ⁄i sŁ cıa gi£ thuy‚t cŒ i”n v• c¡c lîp cƒu . . . . . . 22
2.2 Bi”u di„n ð c§p º d¥y chuy•n cıa Łi ng¤u cıa çng c§u Lannes-Zarati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 To¡n tß squaring v çng c§u Lannes-Zarati 33 3.1 C¡c to¡n tß squaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.1 To¡n tß squaring cŒ i”n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2 To¡n tß squaring Kameko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.3 To¡n tß squaring tr¶n Łi ng¤u cıa ⁄i sŁ Dickson . . . . . 37
3.2 T‰nh giao ho¡n cıa c¡c to¡n tß squaring qua çng c§u Lannes-Zarati 38
v
...
- tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn