Xem mẫu
- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………..
LUẬN VĂN
Phương pháp sử dụng
tính chất hàm lồi
- 1
Mu c Lu c
. .
Mo. d` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
’ ¯ˆa
Chu.o.ng 1. Phu.o.ng pha p su. dung tı o˜
’. `
´ ´nh chˆt ham lˆi (lo m) . . . . . . . . . . 5
a`
1.1 Th´. tu. s˘p d .o.c cua da y bˆ t d ˘ng th´.c sinh bo.i ham lˆi (lo m) 5
´ ’˜ ´’ ’``˜
u . a ¯u . a ¯a u o
.c Karamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
´’
1.2 Bˆ t d ˘ng th´
a ¯a u
.i thiˆu mˆt sˆ ham lˆi va ham lo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
oo` ``` ˜
.´
1.3 Gi´o e o
.
oo` `
.´
1.3.1 Mˆt sˆ ham lˆi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
o
oo` ˜
.´
1.3.1 Mˆt sˆ ham lo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Bai tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
`a .
Chu.o.ng 2 Phu.o.ng pha p lu.a chon tham sˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
´
´ o
. .
.a tham sˆ d ˆc lˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
´..
2.1 Cac dang toan ch´
´. ´ u o ¯o a
2.1.1 Tham sˆ chı thuˆc mˆt vˆ cua bˆ t d ˘ng th´.c . . . . . . . . . . . 25
´’
´ .´
o’ o e ’ a ¯a
o u
.
.c . . . . . . . . . . . . . 30
´’
´ ´
e ’ a ¯a
2.1.2 Tham sˆ co trong hai vˆ cua bˆ t d ˘ng th´
o´ u
.a tham phu thuˆc vao tham sˆ khac . . . . . . . . . 36 ´
2.2 Cac dang toan ch´
´. ´ u o` o´
. .
2.3 Bai tˆp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
`a .
Chu.o.ng 3 Phu.o.ng pha p su. dung tı ´nh chˆ t cua ham d o.n d iˆu . . . . 45
’. ´ ’
´ a `¯ ¯e .
.n d eu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1 Ham d o ¯iˆ
`¯ .
.n d eu cua ham cac d ai lu.o.ng trung bı . . . . . . . . . . . . . . 49
´nh ¯o ¯iˆ ’ `
3.2 Tı d ´ ¯. `nh
. .
.o.ng trung bı
3.2.1 Cac d . i lu .
´ ¯a `nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2 Cac d . i lu.o.ng trung bı suy rˆng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
´ ¯a `nh o
. .
.n d eu cua ham cac d a th´.c d ˆ i x´.ng so. cˆ p . . . . . . . . . . 55
´ ´
´nh ¯o ¯iˆ ’ `
3.3 Tı d ´¯ u ¯o u a
.
Chu.o.ng 4 Phu.o.ng pha p hı ´ `nh hoc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
.
.o.ng trung bı
4.1 Hı hoc hoa cac d . i lu .
`nh . ´ ´ ¯a `nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
.o.ng phap khac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
.´
4.2 Mˆt sˆ phu
oo ´ ´
4.1 Bai tˆp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
`a .
´ ’
Kˆ t luˆn cua luˆn v˘n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
e a a a
. .
’
Tai liˆu tham khao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
`e .
- 2
Mo. d` u
’ ¯ˆa
Bˆ t d ang th´.c (BDT) la mˆt trong nh˜.ng nˆi dung quan trong trong chu.o.ng
-
´’
a ¯˘ u `o u o
. . .
’ thˆng, no v`.a la d o i tu.o.ng d e nghiˆn c´.u ma cu ng v`.a la mˆt
’ `˜
´
trı
`nh toan phˆ o
´ o ´ u ` ¯ˆ ¯ˆ eu u`o
. .
.c, v´.i nh˜.ng u.ng dung trong nhiˆu lı nh vu.c khac nhau cua toan hoc.
´ `˜ ’
cˆng cu d ˘c lu
o . ¯a . o u´ e ´ ´
. . .
. cac cˆ p, nh˜.ng bai toan vˆ ch´.ng minh
Trong cac d` thi chon hoc sinh gioi toan o ´ a ´ `´`u
’ ´’
´ ¯ˆ e u e
. .
- T thu.`.ng xuˆ t hiˆn nhu. mˆt dang toan kha quen thuˆc, nhu.ng d e tı ra l`.i ’
´
BD o a e o. ´ ´ o ¯ˆ `m o
. . .
e ˜`
’ ’`o
giai khˆng phai la mˆt viˆc dˆ dang.
o .e
.
.o.c kha nhiˆu tai liˆu d` cˆp va cac bai tˆp vˆ BDT cu ng
´ - ¯a ¯ ` ` e ¯ˆ a ` ´ ` a ` -
Ly thuyˆ t BDT d˜ d u . ˜
´ e ´ e e. e
. .
kha phong phu, d dang, trong d´ cac phu.o.ng phap ch´.ng minh BDT la phˆn nˆi - ``
´ ´ ¯a . ¯o ´ ´ u ao .
.`.ng g˘p trong nhiˆu tai liˆu.
``e
dung quan trong thu o a e
. . .
.ng phu.o.ng phap ch´.ng minh BDT ho˘c sang tao ra nh˜.ng BDT
- -
Mˆt trong nh˜
o u ´ u a´ u
. . .
m´.i la viˆc lam ch˘t BDT. a-
o`e` . .
. ta co (ho˘c cˆn ch´.ng minh) BDT A < B (tu.o.ng tu. v´.i BDT A > B, A ≤
- .o -
a`
’’
Gia su ´ .a u
.o.c biˆ u th´.c C sao cho A < C < B , thı ta noi r˘ ng BDT -
’ `
´
B, A ≥ B ). Nˆ u tı d . e `m ¯u e u ` ´a
th´. nhˆ t d˜ d u.o.c lam ch˘t (nghiˆm ng˘t) bo.i BDT th´. hai va hiˆ n nhiˆn, BDT - -
’
´ ’
u a ¯a ¯ . ` a e a u `e e
. .
th´. nhˆ t d .o.c suy ra t`. BDT th´. hai. Viˆc ch´.ng minh d .o.c BDT th´. hai cho
u- -
´
u a ¯u . u e u ¯u . u
.
.ng minh BDT th´. nhˆ t va d` ng th`.i sang tao ra nh˜.ng BDT m´.i.
- -
´
ta mˆt cach ch´
o´ u u a ` ¯ˆ o o´ u o
. .
Do d´ , viˆc tı ra cac phu.o.ng phap d e lam ch˘t BDT la rˆ t co ´ nghı a. a-
’ ˜
´
¯o e `m ´ ´ ¯ˆ ` ` a ´y
. .
-o ˜
D´ cu ng la nˆi dung ma luˆn v˘n nay d` cˆp.
`o ` a a ` ¯ˆ a e.
. .
Luˆn v˘n day 74 trang, gˆm cac phˆn muc luc, Mo. d` u, 4 chu.o.ng nˆi dung, Kˆ t
` ` ´
’ ¯ˆ
aa` o´ a a o e
. .. .
’
luˆn va Tai liˆu tham khao.
a ``e
. .
Chu.o.ng 1: Phu.o.ng phap su. dung tı chˆ t cua ham lˆi (lo m) .
´nh a ’ ` ` ˜
´
’.
´ o
Dˆy la phu.o.ng phap co. ban va quan trong nhˆ t dˆ lam ch˘t BDT ma mˆt sˆ
-a ` -
’
´ .´
’`
´ a ¯e ` a `oo
. .
tai liˆu hiˆn hanh cu ng d˜ d` cˆp, d ac biˆt la tai liˆu [1]. Phˆn d´ ng gop cua luˆn
˜ ` ¯o ’
`e e` ¯a ¯ˆ a ¯˘
e. e `` e a ´ a
. . . . . .
.o.ng phap nay b˘ ng nh˜.ng vı du
’ `
´ ´
’e ` e . e´ ´ e’
v˘n, chu yˆ u la viˆc cu thˆ hoa ly thuyˆ t cua phu
a ´ `a u ´.
.
’, co thˆ tach riˆng thanh nh˜.ng bai tˆp vˆ BDT kha phong phu.
`a`-
’
va bai tˆp cu thˆ ´ e ´
``a . e e ` u e ´ ´
. .
.`.ng ho.p riˆng cua cac BDT d˜ d u.o.c tao ra t`.
- - ¯a ¯ . .
` ’´
Kha nhiˆu BDT quen thuˆc, la tru o
´ e o` e u
. .
.ng minh hoa nay. Trong phˆn cuˆ i chu.o.ng, luˆn v˘n cu ng d˜ d u.a ra d .o.c kha
aa˜
` ´
nh˜u .` a o ¯a ¯ ¯u . ´
.
- 3
-
’ ’
e``˜
` `
nhiˆu ham lˆi (lo m) dˆ ban d . c co thˆ ´ p dung sang tao ra nhiˆu BDT khac.
o ¯e . ¯o ´ e a ´ e ´
. .
.o.ng 2: Phu.o.ng phap lu.a chon tham sˆ . ´
Chu ´. o
.
.o.ng cua phu.o.ng phap nay bo.i mˆt vı du sau d ay: Gia su.
’
Co thˆ minh hoa ´ tu ’ ’ ’ ’’
´e .y ´ ` o´. ¯ˆ
.
a, b, c la 3 sˆ khˆng ˆm co tˆ ng b˘ ng 3. Dˆ dang ch´.ng minh d .o.c bˆ t d ˘ng th´.c
’ ` ˜` ´’
´oa
` o ´o a e u ¯u . a ¯a u
√
√ √
a + b + c ≥ ab + bc + ca.
1
Nhu. vˆy, v´.i k ≥ thı BDT sau d ay luˆn d´ ng
`-
a o ¯ˆ o ¯u
. 2
ak + bk + ck ≥ ab + bc + ca.
1
Mˆt cˆu hoi tu. nhiˆn d u.o.c d ˘t ra, v´.i k < thı khi nao BDT trˆn vˆn d´ ng?
- ˜
’.
oa e ¯ . ¯a o ` ` e a ¯u
. . 2
1
Viˆc tı d .o.c sˆ k (k < ) nho nhˆ t sao cho BDT trˆn vˆn d´ ng cho ta mˆt
- ˜
´ ´
’
e `m ¯u . o a e a ¯u o
. .
2
.o.ng phap d e lam ch˘t BDT. -
’
phu ´ ¯ˆ ` a
.
D´ cu ng la nˆi dung ma luˆn v˘n d` cˆp trong chu.o.ng nay, trong d´ tham sˆ
-o ˜ ´
`o ` a a ¯ˆ a e. ` ¯o o
. .
k d u.o.c xet o. hai dang, la tham sˆ d ˆc lˆp ho˘c con phu thuˆc vao mˆt tham sˆ khac.
´.. ´
¯. ´’ ` o ¯o a a` o` o o´
. . . . .
Chu.o.ng 3: Phu.o.ng phap su. dung tı chˆ t cua ham d o.n d iˆu.
´
’. ´nh a ’ ` ¯
´ ¯e .
.o.ng phap nay cu ng d˜ d u.o.c mˆt sˆ tai liˆu d` cˆp, d ac biˆt la tai liˆu [1].
˜ ´ ` e ¯ˆ a ¯˘
Phu ´ ` ¯a ¯ . oo e. e `` e
. . . . .
. chu.o.ng nay chu yˆ u la viˆc hˆ thˆ ng hoa mˆt sˆ
` ¯o ´ ..´ .´
’ a a’ ’e `e e o
Phˆn d´ ng gop cua luˆn v˘n o
a ´ ` ´ oo
.
.o.ng phap s˘p th´. tu. cac d i lu.o.ng trung bı ’
´ ´’
phu ´a u . ´ ¯a `nh va cu thˆ hoa ly thuyˆ t cua
`. e´ ´ e
. .
phu.o.ng phap b˘ ng nh˜.ng vı du va bai tˆp cu thˆ . Kha nhiˆu BDT m´.i d .o.c luˆn
-
’
` `
´ a u ´.``a . e ´ e o ¯u . a
. .
. dung phu.o.ng phap nay.
a- ` ’
v˘n sang tac, thˆng qua viˆc lam ch˘t BDT b˘ ng cach su .
a´ ´ o e` a ´ ´ `
. .
Chu.o.ng 4: Phu.o.ng phap hı hoc.´ `nh .
.o.ng nay d` cˆp dˆ n mˆt sˆ phu.o.ng phap lam ch˘t BDT d ai sˆ -
´ .´ ´
Nˆi dung chu
o ` ¯ˆ a ¯e
e. oo ´` a ¯. o
. .
.ng u.´.c lu.o.ng tru.c quan t`. hı hoc, v´.i nh˜.ng vı du minh hoa kha
thˆng qua nh˜
o u o u `nh . o u ´. ´
. . .
’
cu thˆ .
.e
Luˆn v˘n d u.o.c hoan thanh du.´.i su. hu.´.ng dˆn khoa hoc cua Tiˆ n sy Trinh
˜ e˜
´
’
a a ¯. ` ` o. o a
. . .
.`.i Thˆy rˆ t nghiˆm kh˘c va tˆn tˆm trong cˆng viˆc, ngu.`.i Thˆy
-a ´
´ `a
a´ `
D`o Chiˆ n - Ngu o
e e a `a a o e o a
. .
khˆng chı giup d ˜., cung cˆ p tai liˆu, go.i mo. cho tac gia nhiˆu ´ tu.o.ng hay va
´ `y
’ ´ ¯o ’ ’ ’
o a`e ´ e `
. .
.c quı bau, cu ng nhu. nh˜.ng kinh nghiˆm nghiˆn c´.u khoa
˜
` ¯. ` ´
truyˆn d at nhiˆu kiˆ n th´
e e e u ´´ u e eu
.
´
’’ ’ ’
hoc ma con chı bao cho tac gia trong tac phong lam viˆc, thˆng cam, khuyˆ n khı
`` ´ ´ ` e o e ´ch
. .
d ˆng viˆn tac gia vu.o.t qua nh˜.ng kho kh˘n trong chuyˆn mˆn va cuˆc sˆ ng. Chı .´
’
¯o e´ u ´a e o`oo ´nh
. .
.n chˆn thanh va su. kı phuc sˆu s˘c d ˆ i v´.i
´´
´
’ o ’`
vı vˆy ma tac gia luˆn to long biˆ t o
`a `´ e a ` ` . ´nh . a a ¯o o
.
.´.ng dˆn - Tiˆ n sy Trinh Dao Chiˆ n.
e ˜ . -`
˜
` ´ ´
thˆy giao hu o
a ´ a e
Nhˆn d ˆy, tac gia cu ng xin bay to long biˆ t o.n chˆn thanh d e n Ban Giam Hiˆu
’˜ ´ ´
` ’`
a ¯a ´ e a ` ¯ˆ ´ e
.
- 4
tru.`.ng Dai hoc Quy Nho.n, Phong d `o tao Dai hoc va sau Dai hoc, khoa Toan, quı
-. . ` ¯a . - . . ` -. .
o ´ ´
.c tiˆ p giang day d˜ tao moi d ` u kiˆn thuˆn lo.i trong th`.i gian tac
` o´ ´ ’
Thˆy cˆ giao tru e
a . ¯a . . ¯iˆe e a. o ´
. . .
’
gia tham gia khoa hoc.´ .
- ` ng th`.i tac gia cu ng xin bay to long biˆ t o.n d e n UBND Tı nh Gia Lai, So.
’˜ ´ ´
` ’` ’ ’
Dˆ o o´ e ¯ˆ
.`.ng THPT Ia Grai, d˜ d ˆng
’
Giao duc va d ao tao Tı nh Gia Lai, Ban Giam Hiˆu tru o
´ . ` ¯` . ´ e ¯a ¯o
. .
.i dˆ tac gia co nhiˆu th`.i gian nghiˆn c´.u va
’
¯` `
’´
viˆn va tao moi d iˆu kiˆn thuˆn lo ¯e ´
e `. e e a. e o eu`
. . .
hoan thanh d` tai.
` ` ¯ˆ `
e
Trong qua trı hoan thanh luˆn v˘n nay, tac gia con nhˆn d .o.c su. quan tˆm
’`
´ `nh ` ` aa`´ a ¯u . . a
. .
., cac anh chi em trong gia d`nh, cac ban d` ng nghiˆp, cac anh
e’
d ˆng viˆn cua me , vo ´
¯o ¯ı ´ . ¯ˆ o e´
. .. . .
.p cao hoc khoa VII, VIII, IX cua tru.`.ng Dai hoc Qui Nho.n. Tac gia
-. .
’ ’
chi em trong l´ o ´ o ´
. .
.n tˆ t ca su. quan tˆm va d ˆng viˆn d´ .
´
xin chˆn thanh cam o a ’ .
’
a ` a ` ¯o e ¯o
.
Dˆ hoan thanh luˆn v˘n, tac gia d˜ rˆ t cˆ g˘ng tˆp trung nghiˆn c´.u, song do
-e `
’ ´ ´´
’ ¯a a o a
` aa´ a eu
. .
´t nhiˆu han chˆ vˆ th`.i gian, cu ng nhu. vˆ n˘ng lu.c nˆn ch˘c ch˘n trong luˆn v˘n
˜ ´ ´
` e` o
´e `a
ı e. e .e a a aa
.
.a d` cˆp d e n va kho tranh khoi nh˜.ng thiˆ u sot nhˆ t d inh.
con nhiˆu vˆ n d` chu ¯ˆ a ¯ˆ ` ´ ´
` ´e ´ ´ ´
’
` e a ¯ˆ e. u e´ a ¯.
.o.c su. chı bao cua quı thˆy cˆ va nh˜.ng gop ´ cua ban
´ ´ ` o` u
’a ’’ ’ ´y’
Tac gia rˆ t mong nhˆn d . .
´ a ¯u a
. .
¯. ` a a `
d oc vˆ luˆn v˘n nay.
e.
Quy Nho.n, thang 02 n˘m 2008
´ a
’
Tac gia
´
- 5
Chu.o.ng 1
Phu.o.ng ph´p su. dung t´ ´
˙’
a ınh chˆt
a
.
a`
h`m lˆi (l˜m)
oo
Th´. tu. s˘p d .o.c cua da y bˆ t dang th´.c
´ ˜ ’
´
’
1.1 u . a ¯u . a ¯˘ u
sinh bo.i ham lˆi (lo m)
o˜
``
’
Tru.´.c hˆ t, v´.i hai sˆ thu.c a ≥ b, ta su. dung kı hiˆu I (a; b) d e ngˆm d .nh mˆt
’a
´ ´. ¯ˆ ` ¯i
’.
oe o o ´e o
. .
.p (a; b), [a; b), (a; b] va [a; b].
´.
trong bˆ n tˆp ho
oa `
.
Trong [1], hai kˆ t qua sau d ˆy d˜ d u.o.c ch´.ng minh:
´ ’
e ¯a ¯a ¯ . u
Dinh ly 1.1.1. Gia su. cho tru.´.c ham sˆ y = f (x) co f (x) ≥ 0 (ham lˆi) trˆn
-. ´ ``
’’
´ o` o ´ o e
. x , x ∈ I (a; b) v´.i x < x . Khi d´ , v´.i moi da y sˆ t˘ng dˆn {u }
. ˜ oa ´ `
`’’
I (a; b) va gia su 1 2 o1 ¯o o a
2 k
x1 + x2
trong x1 ; :
2
x1 + x2
x1 = u0 < u1 < u2 < ... < un < (1.1)
2
x1 + x2
`˜ o ’ ´ `
va da y sˆ giam dˆn {vk } trong
a ; x2 :
2
x1 + x2
< vn < vn−1 < ... < v1 < v0 = x2 (1.2)
2
sao cho
uj + vj = x1 + x2, ∀j = 0, 1, ..., n (1.3)
ta d` u co
¯ˆ ´
e
f (u0 ) + f (v0 ) ≥ f (u1 ) + f (v1 ) ≥ ... ≥ f (un ) + f (vn ). (1.4)
˜ `o˜ ’
Noi cach khac: Da y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, ..., n, la mˆt da y giam.
´´ ´ .
- 6
Dinh ly 1.1.2. Gia su. cho tru.´.c ham sˆ y = f (x) co f (x) 0 (ham lo m) trˆn
-. `˜
´
’’
´ o` o ´ e
. x , x ∈ I (a; b) v´.i x < x . Khi d´ , v´.i moi da y sˆ t˘ng dˆn {u }
. ˜ oa ´ `
`’’
I (a; b) va gia su 1 2 o1 ¯o o a
2 k
x1 + x2
trong x1 ; :
2
x1 + x2
x1 = u0 < u1 < u2 < ... < un <
2
x1 + x2
`˜ o ’ ´ `
va da y sˆ giam dˆn {vk } trong
a ; x2 :
2
x1 + x2
< vn < vn−1 < ... < v1 < v0 = x2
2
sao cho
uj + vj = x1 + x2, ∀j = 0, 1, ..., n,
ta d` u co
¯ˆ ´
e
f (u0 ) + f (v0 ) f (u1 ) + f (v1 ) ... f (un ) + f (vn ). (1.5)
˜ `o˜a
Noi cach khac: Da y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, ..., n, la mˆt da y t˘ng.
´´ ´ .
Nhˆn xe r˘ ng, d e co d u.o.c nh˜.ng kˆ t qua t`. Dinh lı 1.1.1 ho˘c Dinh lı 1.1.2,
’ u -. a -.
’
` ´
a ´t a ¯ˆ ´ ¯ . u e ´ ´
. .
.´.c hˆ t la phai xˆy du.ng trˆn I (a; b) hai da y {u } va {v } thoa
˜
¯` ´ ’a ’
d iˆu quan trong tru o e `
e e `k
. . k
ma n nh˜.ng d ` u kiˆn cua d .nh lı Sau d´ la viˆc tı nh˜.ng ham sˆ y = f (x) co
˜ ´
’ ¯i
u ¯iˆe e ´. ¯o ` e `m u ` o ´
. .
’
f (x) ≥ 0 ho˘c f (x) 0 trˆn I (a; b) d e ´ p dung.
a e ¯ˆ a
. .
.´.i d ay la mˆt vai minh hoa cho hai d nh lı trˆn, v´.i nh˜.ng da y sˆ va ham ˜ o``´
Du o ¯ˆ ` o ` ¯i ´e o u
. . .
sˆ d o.n gian nhˆ t. Ban d . c co thˆ tı ra nh˜.ng kˆ t qua khac, phong phu ho.n.
’
´ ´ ´
’ ’´
o¯ a . ¯o ´ e `m u e ´
.i hai sˆ thu.c cho tru.´.c x < x , hı `nh anh cua cac d iˆ m uj va vj lˆn lu.o.t
’
´. `
’ ’ ´ ¯e
V´o o o1 ` a .
2
x1 + x2 .ng
’
”tiˆ n d` u” vˆ trung d iˆ m cua d . n [x1x2 ] la
´e ` ´
’ ¯oa
e ¯ˆ e ¯e ` trˆn truc sˆ giup ta xˆy du
e .o´ a .
2
.o.c hai da y {u } va {v } thoa ma n nh˜.ng d ` u kiˆn cua Dinh lı 1.1.1 va Dinh lı
’ -. -.
˜ ’˜
du .
¯ `k u ¯iˆe e ´ ` ´
.
k
. sau:
1.1.2 nhu
Vı du 1.1.
´.
x2 − x1 x2 − x1 (n + 2)x1 + nx2
u0 = x1 , u1 = x1 + , . . . , u n = x1 + n = ;
2.(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1)
x2 − x1 x2 − x1 nx1 + (n + 2)x2
v0 = x2, v1 = x2 − , . . . , vn = x 2 − n = .
2.(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1)
Bˆy gi`., xe ham sˆ
´
a o ´t ` o
f (x) = x2; x ∈ R.
Ta co
´
f (x) = 2 > 0; ∀x ∈ R.
-.
Do d´ , theo Dinh lı 1.1.1, ta co
¯o ´ ´
- 7
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.1.
’
´
a ¯a u
(2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)x2 2 2nx1 + 2x2 2 2x1 + 2nx2
2 2
x2 + x2 ≥ + ≥ + ···
1 2
2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1)
(n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2 x1 + x2
2 2 2
; ∀x1, x2 ∈ R.
≥ + ≥
2(n + 1) 2(n + 1) 2
´ ´ ´
Tiˆ p tuc, nˆ u xe ham sˆ
e. e ´t ` o
1
f ( x) = ; x > 0.
x
Ta co
´
2
f ( x) = > 0; ∀x > 0.
x3
-.
Do d´ , theo Dinh lı 1.1.1, ta co
¯o ´ ´
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.2.
’
´
a ¯a u
1 1 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1)
+ ≥ + ≥ + ≥ ···
x1 x2 (2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)x2 2nx1 + 2x2 2x1 + 2nx2
2(n + 1) 2(n + 1) 4
≥ + ≥ ; ∀x1, x2 > 0, n ≥ 1.
(n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2 x1 + x2
Bˆy gi`., xe ham sˆ
´
a o ´t ` o
√
f ( x) = x; x > 0.
Ta co
´
1
√ > 0; ∀x > 0.
f ( x) = −
4x x
-.
Do d´ , theo Dinh lı 1.1.1, ta co
¯o ´ ´
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.3.
’
´
a ¯a u
√ √ (2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)3x2 2nx1 + 2x2 2x1 + 2nx2
x1 + x2 + +
2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1)
(n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2 x1 + x2
··· + ≤ ; ∀x1, x2 > 0 n ≥ 1.
2(n + 1) 2(n + 1) 2
´ ´ ´
Tiˆ p tuc, nˆ u xe ham sˆ
e. e ´t ` o
sinx
f ( x) = ; x ∈ (0; π ).
1 + sinx
Ta co
´
sinx + 1 + cos2 x
f ( x) = − < 0; ∀x ∈ (0; π ).
(1 + sinx)3
-.
Do d´ , theo Dinh lı 1.1.1, ta co
¯o ´ ´
- 8
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.4.
’
´
a ¯a u
(2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)x2
sin sin
sinx1 sinx2 2(n + 1) 2(n + 1)
+ ≤ + ···
(2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)x2
1 + sinx1 1 + sinx2
1 + sin 1 + sin
2(n + 1) 2(n + 1)
(n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2
sin sin
2(n + 1) 2(n + 1)
+
(n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2
1 + sin 1 + sin
2(n + 1) 2(n + 1)
x1 + x2
sin
2
≤2 x1 + x2 ; ∀x1, x2 ∈ (0; π ), n ≥ 1
1 + sin
2
Bˆy gi`., tro. lai v´.i Dinh lı 1.1.1 va Dinh lı 1.1.2. Co thˆ ch´.ng minh d u.o.c
’ . o -. ` -. ’
a o ´ ´ ´eu ¯.
.i mˆt gia thiˆ t manh ho.n.
` ˜
´ ´ ´
’ ’ ’
r˘ ng kˆ t qua (1.4) va (1.5) vˆn d´ ng nˆ u thay (1.3) bo
a e ` a ¯u e o e
. .
´ ’
Ta co cac kˆ t qua sau d ˆy:
´´ e ¯a
Dinh ly 1.1.3. Gia su. cho tru.´.c ham sˆ y = f (x) co f (x) ≥ 0 (ham lˆi) trˆn
-. ´ ``
’’
´ o` o ´ o e
. x , x ∈ I (a; b) v´.i x < x . Khi d´ , v´.i moi da y sˆ t˘ng dˆn {u }
. ˜ oa ´ `
`’’
I (a; b) va gia su 1 2 o1 ¯o o a
2 k
x1 + x2
trong x1 ; :
2
x1 + x2
x1 = u0 < u1 < u2 < ... < un <
2
x1 + x2
`˜ o ’ ´ `
va da y sˆ giam dˆn {vk } trong
a ; x2 :
2
x1 + x2
< vn < vn−1 < ... < v1 < v0 = x2
2
sao cho
x1 + x2 = u0 + v0 ≥ u1 + v1 ≥ · · · ≥ un + vn , (1.6)
ta d` u co
¯ˆ ´
e
f (u0) + f (v0 ) ≥ f (u1 ) + f (v1 ) ≥ · · · ≥ f (un ) + f (vn ).
˜ `o˜ ’
Noi cach khac: Da y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, · · · , n, la mˆt da y giam.
´´ ´ .
Ch´.ng minh. V´.i mˆi j ∈ {0, 1, · · · , n}, t`. cac gia thiˆ t, ta co
˜ ´
’
u oo u´ e ´
uj +1 + vj +1 u0 + v0 x1 + x2
uj < uj +1 < = < vj +1 < vj .
2 2 2
- 9
Bˆy gi`., v´.i mˆi j ∈ {0, 1, ..., n}, d at
˜
a oo o ¯˘
.
u
j +1 − uj = j +1
vj − vj +1 = δj +1 .
´
Thˆ thı
e`
0< δj +1 ; ∀j ∈ {0, 1, ..., n}.
j +1
Bˆy gi`., v´.i mˆi j ∈ {0, 1, ..., n}, theo Dinh lı Lagrange, ta co
-.
˜
a oo o ´ ´
.i c
f (uj +1 ) − f (uj ) = f (cj +1 )(uj +1 − uj ) = f (cj +1 ) j +1 , v´ j +1 ∈ (uj ; uj +1);
o
f (vj ) − f (vj +1 ) = f (dj +1 )(vj − vj +1 ) = f (dj +1 )δj +1 , v´.i dj +1 ∈ (vj +1 ; vj ).
o
.n n˜.a, vı c
Ho u ` j +1 < dj +1 ; ∀j ∈ {0, 1, ..., n} va f (x) ≥ 0, nˆn ta co
` e ´
f (cj +1 ) f (dj +1 ); ∀j ∈ {0, 1, ..., n}.
Do d´ , ta co
¯o ´
f (uj +1 ) − f (uj ) f (vj ) − f (vj +1 ); ∀j ∈ {0, 1, ..., n},
hay
f (uj ) + f (vj ) ≥ f (uj +1 ) + f (vj +1 ); ∀j ∈ {0, 1, ..., n}.
Ta co d ` u phai ch´.ng minh.
’
´ ¯iˆ
e u
Tu.o.ng tu., ta co
´
.
Dinh ly 1.1.4. Gia su. cho tru.´.c ham sˆ y = f (x) co f (x) 0 (ham lo m) trˆn
-. `˜
´
’’
´ o` o ´ e
. x , x ∈ I (a; b) v´.i x < x . Khi d´ , v´.i moi da y sˆ t˘ng dˆn {u }
. ˜ oa ´ `
`’’
I (a; b) va gia su 1 2 o1 ¯o o a
2 k
x1 + x2
trong x1 ; :
2
x1 + x2
x1 = u0 < u1 < u2 < · · · < un <
2
x1 + x2
`˜ o ’ ´ `
va da y sˆ giam dˆn {vk } trong
a ; x2 :
2
x1 + x2
< vn < vn−1 < · · · < v1 < v0 = x2
2
sao cho
x1 + x2 = u0 + v0 ≥ u1 + v1 ≥ · · · ≥ un + vn ,
ta d` u co
¯ˆ ´
e
f (u0) + f (v0 ) f (u1 ) + f (v1 ) ··· f (un ) + f (vn ).
˜ `o˜a
Noi cach khac: Da y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, · · · , n, la mˆt da y t˘ng.
´´ ´ .
- 10
Bˆy gi`., v´.i hai sˆ thu.c cho tru.´.c x1 < x2 , hı anh cua cac d e m uj va vj lˆn
’
´. `
`nh ’ ’ ´ ¯iˆ
a oo o o ` a
.o.t ”tiˆ n chˆm dˆn d` u” vˆ trung d e m cua d n [x x ] la x1 + x2 trˆn truc sˆ
’
´ ` ¯ˆ ` ´
’ ¯oa
lu . e a a e e ¯iˆ 12 ` e .o
. . 2
giup ta xˆy du.ng d u.o.c hai da y {uk } va {vk } thoa ma n nh˜.ng d ` u kiˆn cua Dinh
e ’ -.
˜ ’˜
´ a ¯. ` u ¯iˆ
e
. .
. sau:
- inh lı 1.1.4 nhu
lı 1.1.3 va D.
´ ` ´
Vı du 1.2.
´.
x2 − x1
u0 = x1, u1 = x1 + , ...,
22
(2n+1 − 2n + 1)x1 + (2n − 1)x2
x2 − x1 x2 − x1
un = x1 + + · · · + n+1 = ;
22 2n+1
2
x2 − x1
v0 = x2 , v1 = x2 − ,··· ,
22
(2n − 1)x1 + (2n+1 − 2n + 1)x2
x2 − x1 x2 − x1
vn = x2 − − · · · − n+1 = .
22 2n+1
2
Ngoai ra, co thˆ phˆ i ho.p cac cach tao da y nhu. trˆn, ta thu d .o.c cac c˘p da y
’´ .˜ ¯u . ´ a ˜
` ´eo.´´ e .
.ng d ` u kiˆn cua Dinh lı 1.1.3 va Dinh lı 1.1.4, ch˘ng
’ -. ` -.
’˜ ’
{uk } va {vk } thoa ma n nh˜
` u ¯iˆ
e e ´ ´ a
.
han:
.
Vı du 1.3.
´.
x2 − x1 x2 − x1
u0 = x1 , u1 = x1 + −2 ,··· ,
2(n + 1) 2 (n + 1)
x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1
un = x1 + n − +3 + · · · + n+1
2 (n + 1)
2(n + 1) 2 2 (n + 1) 2 (n + 1)
(n + 1)2n+1 − (n − 1)2n − 1 x1 + (n − 1)2n + 1 x2
= ;
(n + 1)2n+1
x2 − x1 x2 − x1 nx1 + (n + 2)x2
v0 = x2, v1 = x2 − , · · · , vn = x2 − n = .
2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1)
Cuˆ i cung, v´.i viˆc chon cac ham sˆ y = f (x) co f (x) ≥ 0 ho˘c f (x)
´ ´
o` o e .´` o ´ a 0
. .
trˆn I (a; b), ta se thu d u.o.c kha nhiˆu vı du phong phu.
˜ `´.
e ¯. ´ e ´
- ˆ i v´.i cac ham sˆ lˆi ho˘c lo m, ngoai cac d .nh lı nˆu trˆn, cac dang cua Bˆ t
a˜
´ o`
´o ´
’
Do o ´ ` ` ´ ¯i ´e e´. a
.
.c Karamata con cho ta nh˜.ng phu.o.ng phap lam ch˘t bˆ t d ˘ng th´.c rˆ t
’ .´’ ´
d ˘ng th´
¯a u ` u ´` a a ¯a ua
hiˆu qua. Sau d ay la cac kˆ t qua cˆ d iˆ n, d˜ d u.o.c trı
’’
´
’ ’ o ¯ e ¯a ¯ .
e ¯ˆ ` ´ e `nh bay trong [1], ma ta co
` ` ´
.
’ .´
e o’ o
thˆ mˆ ta thˆng qua mˆt sˆ vı du.
o o´ .
- 11
Bˆ t dang th´.c Karamata
’
´
1.2 a ¯˘ u
Dinh ly 1.2.1. (Bˆ t d a ng th´.c Karamata)
-. ´’
´ a ¯˘ u
´ ´
Cho ham sˆ y = f (x) co d ao ham cˆ p hai tai moi x ∈ (a; b) sao cho f (x) > 0
` o ´ ¯. ` a . .
.i moi x ∈ (a; b).
v´
o .
Gia su. a1, a2, · · · , an va x1 , x2, · · · , xn la cac sˆ thuˆc [a;b], thoa ma n d iˆu kiˆn
’ ˜ ¯`
´
’’ ` `´ o o e e
. .
x 1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn ,
a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an
va
`
x1 ≥ a1
x + x ≥ a + a
1
2 1 2
...
x1 + x2 + ... + xn−1 ≥ a1 + a2 + ... + an−1
x1 + x2 + ... + xn = a1 + a2 + ... + an
Khi d´ , ta luˆn co
¯o o´
n n
f ( xk ) ≥ f (ak ).
k =1 k =1
Nhˆn xe r˘ ng, cac gia thiˆ t cua hai da y {xk } va {ak } la kha nhiˆu. V´.i nh˜.ng
a ´t ` ˜
´ `
’ e’
a ´ ` `´ e o u
.
.c co. ban vˆ d ai sˆ tuyˆ n tı .ng minh kˆ t qua sau d ˆy
’
´ ’ ` ¯. o ´ ´ ´ ’
kiˆ n th´
e u e e ´nh, ta co thˆ ch´
´eu e ¯a
-.
Dinh ly 1.2.2. (I.Schur)
´
Diˆu kiˆn cˆn va d u dˆ hai bˆ da y sˆ d o.n d iˆu giam {xk , ak ; k = 1, 2, · · · , n},
-` ’ o ˜ o¯
e ` ` ¯ ’ ¯e ´ ’
e .a ¯e
. .
’ ˜ ´ ¯`
thoa ma n cac d iˆu kiˆn
e e
.
x1 ≥ a1
x + x ≥ a + a
1
2 1 2
...
x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ a1 + a2 + · · · + an−1
x1 + x2 + · · · + xn = a1 + a2 + · · · + an
la gi˜.a chung co mˆt phe biˆ n d o i tuyˆ n tı dang
’
´ ´
`u ´ ´o ´p e ¯ˆ e ´nh .
.
n
ai = tij xj ; i = 1, 2, · · · , n,
j =1
- 12
trong d´
¯o
n n
tkl ≥ 0, tkj = 1, tjl = 1; k, l = 1, 2, · · · , n.
j =1 j =1
’
´ e o’
Co thˆ mˆ ta ma trˆn (tij ) qua mˆt vı du sau d ˆy:
a o´. ¯a
. .
’
´t ˜ o o a `
´ ´
Vı du 1.4.
´. Xe da y sˆ khˆng ˆm bˆ t ky α1 , α2 , · · · , αn co tˆ ng b˘ ng α > 0.
a` ´o a
V´.i mˆi i = 1, 2, · · · , n, ta d ˘t
˜
o o ¯a.
αi
= ai
α
Thˆ thı ma trˆn (aij ); i, j = 1, 2, · · · , n, co thˆ xac d. nh nhu. sau
’
´
e` a ´ e ´ ¯i
.
´
aij = ai+j −1 ; nˆ u i + j n + 1
e
´
aij = ai+j −n−1 ; nˆ u i + j > n + 1.
e
Gia su. la 3 sˆ du.o.ng co tˆ ng b˘ ng 1. Chon k thoa ma n
’ ` ’˜
´
’’
Vı du 1.5.
´. 1, 2, ` o ´o a .
3
1 1 1
0 k min{ ; ; }.
1 (1 − 1) 2 (1 − 2) 3 (1 − 3)
Thˆ thı ma trˆn (aij ); i, j = 1, 2, · · · , n, co thˆ xac d. nh nhu. sau
’
´
e` a ´ e ´ ¯i
.
aij = k 2 − k i + 1 ; nˆ u i = j
´
e
i
´
aij = k i j ; nˆ u i = j.
e
Tu.o.ng tu. Dinh lı 1.2.5, ta co
. -. ´ ´
-. ´ ´
Dinh ly 1.2.3.
´ Cho ham sˆ y = f (x) co d ao ham cˆ p hai tai moi x ∈ (a; b)
` o ´ ¯. ` a . .
.i moi x ∈ (a; b).
sao cho f (x) < 0 v´ o .
’ su. a1, a2, · · · , an va x1 , x2, · · · , xn la cac sˆ thuˆc [a;b], thoa ma n d iˆu kiˆn
’ ˜ ¯`
´
’
Gia ` `´ o o e e
. .
x1 x2 ··· xn ,
a1 a2 ··· an
va
`
x1 a1
x + x
1 a1 + a2
2
...
x1 + x2 + · · · + xn−1 a1 + a2 + · · · + an−1
x1 + x2 + · · · + xn = a1 + a2 + · · · + an
Khi d´ , ta luˆn co
¯o o´
n n
f ( xk ) f (ak ).
k =1 k =1
- 13
´ ´
’
Tuy nhiˆn, khi gia thiˆ t cuˆ i cung
e e o`
x1 + x2 + · · · + xn = a1 + a2 + · · · + an
trong Dinh lı 1.2.1 va Dinh lı 1.2.2 bi pha v˜., cˆn phai co nh˜.ng kˆ t qua manh ho.n
-. ´ `-. ´ . ´o` ´
’´ u ’.
a e
’ ´ ´ ’
dˆ thay thˆ . Ta co hai kˆ t qua sau d ˆy
¯e e ´ e ¯a
-. ´ ´
Dinh ly 1.2.4.
´ Cho ham sˆ y = f (x) co d ao ham cˆ p hai tai moi x ∈ (a; b)
` o ´ ¯. ` a . .
.i moi x ∈ [a; b] va f (x) > 0 v´.i moi x ∈ (a; b).
sao cho f (x) ≥ 0 v´ o ` o
. .
. a , a , · · · , a va x , x , · · · , x la cac sˆ thuˆc [a;b], d` ng th`.i thoa ma n
’˜
´
’’
Gia su 1 2 `12 `´ o o ¯ˆ
o o
.
n n
´ ¯`
cac d iˆu kiˆn
e e
.
a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an ,
x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn
va
`
x1 ≥ a1
x + x ≥ a + a
1 2 1 2
...
x1 + x2 + · · · + xn ≥ a1 + a2 + · · · + an
Khi d´ , ta luˆn co
¯o o´
n n
f ( xk ) ≥ f (ak ).
k =1 k =1
-. ´ ´
Dinh ly 1.2.5.
´ Cho ham sˆ y = f (x) co d ao ham cˆ p hai tai moi x ∈ (a; b)
` o ´ ¯. ` a . .
.i moi x ∈ [a; b] va f (x) < 0 v´.i moi x ∈ (a; b).
sao cho f (x) ≥ 0 v´ o ` o
. .
. a , a , · · · , a va x , x , · · · , x la cac sˆ thuˆc [a;b], d` ng th`.i thoa ma n
’˜
´
’’
Gia su 1 2 `12 `´ o o ¯ˆ
o o
.
n n
´ ¯`
cac d iˆu kiˆn
e e
.
a1 a2 ··· an ,
x1 x2 ··· xn
va
`
x1 a1
x + x a1 + a2
1 2
...
x1 + x2 + · · · + xn a1 + a2 + · · · + an
Khi d´ , ta luˆn co
¯o o´
n n
f ( xk ) f (ak ).
k =1 k =1
- 14
Ta thˆ y r˘ ng, d o i v´.i cac dang cua bˆ t d ˘ng th´.c Karamata, viˆc tı ra cac
a` ´’
´a ´ ’ a ¯a
¯ˆ o ´ . u e `m ´
.
a˜ ’ ˜ ¯iˆ
c˘p da y {ak } va {xk } thoa ma n d ` u kiˆn cua d .nh lı la rˆ t quan trong. Sau d ay
´
’ ¯i
` e e ´`a ¯ˆ
. . .
.ng cac da y nay.
´˜
` o o´ .` e a
.´
la mˆt sˆ vı du vˆ viˆc xˆy du
e. `
.
Gia su. cho tru.´.c da y sˆ giam
o˜o’ ´
’’
Vı du 1.6.
´.
x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn .
¯o o ` . ˜ o o a ´
Khi d´ , luˆn tˆn tai da y sˆ khˆng ˆm α1 , α2 , · · · , αn−1 sao cho
o
x 1 − α 1 ≥ x 2 + α 1 − α 2 ≥ · · · ≥ x n −1 + α n −2 − α n −1 ≥ x n + α n −1 .
Thˆt vˆy, ta chı cˆn chon da y α1 , α2, · · · , αn−1 nhu. sau
.˜
’`
aa a
..
x1 − x2 x2 − x3 x n −1 − x n
0 α1 , 0 α2 , · · · , 0 α n −1 .
2 2 2
Ch˘ng han, xe da y sˆ {xn }, v´.i xn = −n, n = 1, 2, · · ·
’ ´t ˜ o ´
a o
.
Khi d´ , ta co x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn .
¯o ´
.i moi n ≥ 2, ta co
Ngoai ra, v´
` o ´
.
x n −1 − x n 1
=.
2 2
.˜o
´ ´
Vˆy, nˆ u chon da y sˆ α1 , α2 , · · · , αn−1 , trong d´
a e ¯o
.
1
αn = ;n ≥ 2
2n
thı ta co
` ´
1
0 < αn ; ∀n ≥ 2
2
va
`
1
α n −2 − α n −1 = ; ∀n ≥ 3.
2(n − 2)(n − 1)
´
Thˆ thı ta co
e `, ´
x 1 − α 1 ≥ x 2 + α 1 − α 2 ≥ · · · ≥ x n −1 + α n −2 − α n −1 ≥ x n + α n −1 .
Bˆy gi`., xe ham lˆi f (x) = x2 ; x ∈ R. Thˆ thı theo nhˆn xe trˆn, ta co kˆ t
o ´t ` ` ´ ´
a o e `, a ´t e ´e
.
’
qua sau d ˆy
¯a
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.5.
’
´
a ¯a u
1 1
2 2
x2 + x2 + · · · + x2 ≥ x1 − + x2 + +···
1 2 n
2 4
1 1
2 2
+ x n −1 + + xn +
2(n − 2)(n − 1) 2(n − 1)
v´.i moi sˆ thu.c x1 , x2, · · · , xn .
´
o .o.
- 15
Gia su. a1, a2, · · · , an la cac sˆ thu.c du.o.ng.
´
’’
Vı du 1.7.
´. `´ o .
˜
.’
Ta xe bˆ b = b1, b2, · · · , bn la bˆ hoan vi cua da y lna1, lna2, · · · , lnan
´t o `o ´
. .
. tu. giam dˆn. V´.i mˆi i ∈ {1, · · · , n}, co thˆ coi b = lna , v´.i
’
˜
´ `
’
xˆ p theo th´ .
e u a o o ´e o
i ki
` ´ . ` ¯o ’
k1 , k2 , · · · , kn la hoan vi nao d´ cua (1, 2, · · · , n).
., ta lai xe bˆ c = c , c , · · · , c la bˆ hoan vi cua da y
`o ´ .’ ˜
Bˆy gi`
a o . ´t o . .
12 n
a2 −1 a2
2 2
a1 a2 n
,ln n
ln ,ln , · · · ,ln
a2 a3 an a1
a2
xˆ p theo th´. tu. giam dˆn. V´.i mˆi i ∈ {1, · · · , n}, co thˆ coi ci = ln i , v´.i
k
’
˜
´ `
’
e u. a o o ´e o
a ki +1
` ´ . ` ¯o ’
k1 , k2 , · · · , kn la hoan vi nao d´ cua (1, 2, · · · , n).
Dˆ dang kiˆ m tra d u.o.c r˘ ng c˘p da y {ck } va {bk } thoa ma n d iˆu kiˆn cua D. nh
e ’ -i
’
˜` ` a˜ ’ ˜ ¯`
e e ¯. a ` e
. .
lı 1.2.1.
´
Bˆy gi`., xe ham lˆi f (x) =ln 1 + ex , x ∈ R. Thˆ thı theo Dinh lı 1.2.1, ta
-.
o ´t ` ` ´
a o e `, ´
co
´
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.6.
’
´
a ¯a u
a2 a2 a2
1+ 1 2
··· 1 + n
1 + a1 1 + a2 · · · 1 + an 1+
a2 a3 a1
v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.
´
o .o.
’
Hˆ qua 1.2.1.
e
.
a2 a2 a2
1 2
··· 1 + n
1 + a1 1 + a2 · · · 1 + an 1+ 1+
a2 a3 a1
a4 a3 a4a4 a4 a2
1 2
· · · 1 + n4
1+ 1+ ···
a4 a4 a1
2 3
v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.
´
o .o.
Ta thˆ y r˘ ng, v´.i c˘p da y {ck } va {bk } trˆn, nˆ u chon ham sˆ phu ho.p, ta
a` oa˜
´a ´ ´
` e e ` o `.
. . √
se thu d u.o.c nhiˆu bˆ t d ang th´.c khac. Ch˘ng han, xe ham lˆi f (x) = 1 + ex,
˜ ´’ ’
` ´t ` `
¯. e a ¯˘ u ´ a o
.
x ∈ R, ta d u.o.c
¯.
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.7.
’
´
a ¯a u
a2 a2 a2
√ √ √ 1 2 n
1 + a1 + 1 + a2 + · · · + 1 + an 1+ + 1+ + ··· + 1+ ,
a2 a3 a1
v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.
´
o .o.
- 16
’
Hˆ qua 1.2.2.
e
.
a2 a2 a2
√ √ √ 1 2 n
1 + a1 + 1 + a2 + · · · + 1 + an 1+ + 1+ + ··· + 1+
a2 a3 a1
a4a3 a4a4 a4 a2
1 2 n
1+ + 1+ + ··· + 1+ ···
a4 a4 a4
2 3 1
v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.
´
o .o.
Tru.´.c hˆ t, ta co nhˆn xe r˘ ng: Nˆ u hai da y sˆ {xk , yk ∈
` ˜
´ ´ ´
Vı du 1.8.
´. o e ´ a ´t a e o
.
’ ˜ ´ ¯`
I (a; b); k = 1, 2, · · · , n} thoa ma n cac d iˆu kiˆn
e e
.
x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn ,
y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn
va
`
xi yi
≥ ; ∀i < j,
xj yj
’ -i ´
’ ˜ ¯`
thı chung thoa ma n d iˆu kiˆn cua D. nh lı 1.2.1.
`´ e e
.
Ch´.ng minh. .´
u Thˆt vˆy, xet hai bˆ sˆ (x1 , x2, · · · , xn ) va (y1, y2, · · · , yn ).
aa´ oo `
..
.i i lˆn lu.o.t b˘ ng 1, 2, · · · , n, ta co
.`
V´ `
o a a ´
xi yi
≥.
x1 y1
Cˆng cac bˆ t d ˘ng th´.c nay theo vˆ , ta co
´’ ´
o ´ a ¯a u` e ´
.
x1 + x2 + · · · + xn y1 + y2 + · · · + yn
≥ .
x1 y1
Suy ra
x1 ≥ y1 .
Bˆy gi`., tiˆ p tuc xet hai bˆ sˆ (x1 + x2, x3 , · · · , xn ) va (y1 + y2, y3 , · · · , yn ).
´ .´
a oe.´ oo `
Ch´.ng minh tu.o.ng tu., ta co
u ´
.
x1 + x2 ≥ y1 + y2.
Tiˆ p tuc qua trı tu.o.ng tu., ta co
´
e. ´ `nh ´
.
x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + · · · + yn−1
- 17
Nhu. vˆy, cung v´.i nh˜.ng gia thiˆ t ban d` u, nhˆn xet trˆn d˜ d u.o.c kh˘ng d inh.
’
´
’
a` o u e ¯ˆ
a a´ e ¯a ¯ . a ¯.
. .
Bˆy gi`., xe a1, a2, ..., an la cac sˆ thu.c du.o.ng. V´.i mˆi i ∈ {1, ..., n}, ta d ˘t
˜
´.
a o ´t `´ o oo ¯a.
ai
yi = ,
a1 + a2 + · · · + an
a2
i
xi = 2 .
2
a1 + a2 + · · · + a2
n
Khi d´
¯o
x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · · + yn = 1.
Khˆng mˆ t tı tˆ ng quat, gia su. a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an . Khi d´
’
´ ’’
o a ´nh o ´ ¯o
x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn ,
y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn .
Ngoai ra, v´.i moi i ≥ j , ta co
` o ´
.
a2
xi ai yi
= i≥ =.
2
xj aj aj yj
Nhu. vˆy, theo nhˆn xe trˆn, c˘p da y sˆ {xk } va {yk } thoa ma n d ` u kiˆn cua
a˜o ’ ˜ ¯iˆ
´ e’
a a ´t e ` e
. . . .
.i ham sˆ lˆi
- inh lı 1.2.1 va do d´ , v´ ` ´`
D. ´ ` ¯o o oo
x
f ( x) = ; x > 0,
1−x
´ ’
ta co kˆ t qua sau
´e
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.8.
’
´
a ¯a u
a2 a2
a1 an 1 n
+...+ +· · ·+ 2 ,
a2 + a2 + · · · + a2 a1 + a2 + · · · + a2 −1
a2 + a3 + · · · + an a1 + a2 + · · · + an−1 2 3 n 2 n
v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.
´
o .o.
’
Hˆ qua 1.2.3.
e
.
a2 a2
a1 an 1 n
+· · ·+ +...+ 2
2 2
a1 + a2 + ... + a2 −1
2
2
a2 + a3 + · · · + an a1 + a2 + · · · + an−1 a2 + a3 + · · · + an n
a4 a4
1 n
+ ··· + 4 ··· ,
a4 + a4 + · · · + a4 a1 + a4 + · · · + a4 −1
2 3 n 2 n
.i moi sˆ thu.c du.o.ng a , a , · · · , a .
´
v´
o .o. 1 2 n
- 18
Lu.u ´ : Ngu.`.i ta d˜ ch´.ng minh d .o.c r˘ ng, cac kˆ t qua cua Dinh lı 1.2.1
’ ’ -.
` ´
y o ¯a u ¯u . a ´e ´
`-. ˜ ` ¯ˆ
a´ ´
’
va Dinh lı 1.2.4 vˆn d´ ng ma khˆng cˆn d e n gia thiˆ t
´ a ¯u `o e
x 1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn .
Diˆu nay cu ng tu.o.ng tu. d ˆ i v´.i gia thiˆ t
-`e`˜ ´ ´
’
. ¯o o e
x1 x2 ··· xn
´ -. `-.
trong cac Dinh lı 1.2.3 va Dinh lı 1.2.5.
´ ´
Khi d´ , ta quy u.´.c goi cac d .nh lı tu.o.ng tu. lˆn lu.o.t la Dinh lı 1.2.1a, Dinh lı
. `-. -.
.`
¯o o . ´ ¯i ´ a ´ ´
-. `-.
1.2.3a, Dinh lı 1.2.4a va Dinh lı 1.2.5a.
´ ´
-.
Ngoai ra, trong [1] cu ng d˜ trı
˜ . ´´ ’`´
` ¯a `nh bay mˆt sˆ kˆ t qua vˆ cac dang Dinh lı
` ooe e ´
.
Karamata mo. rˆng ma ban d . c co thˆ tham khao.
’
’o ’
` . ¯o ´ e
.
.n n˜.a, kha nhiˆu kˆ t qua vˆ d ˆ gˆn d` u va th´. tu. s˘p d .o.c cua mˆt da y
´ o˜
` ´ ’ ` ¯o ` ¯ˆ ` u . a ¯u . ’
Ho u ´ ee e.a e .
.o.c d` cˆp trong [1]. Dˆy chı la mˆt phu.o.ng phap kha
-a
cac tam giac cu ng d˜ d u . ¯ˆ a
´˜
´ ¯a ¯ e. ´nh ` o ´ ´
.
h˜.u hiˆu d e lam ch˘t cac bˆ t d ˘ng th´.c lu.o.ng giac cua tam giac. Vı du sau d ˆy
’ ´’ ’
u e ¯ˆ ` a ´ a ¯a u ´ ´ ´. ¯a
. . .
.n gian vˆ vˆ n d` nay.
˜ ’ ` a ¯ˆ `
e´ e
se cho ta mˆt minh hoa d o
o .¯
.
Xe tam giac ABC . Khˆng mˆ t tı tˆ ng quat, co thˆ gia su.
’ ’
´ ´ ´e’’
Vı du 1.9.
´. ´t ´ o a ´nh o
A ≥ B ≥ C.
-a
D˘t A = 2A − B , B = 2B − C , C = 2C − A.
.
Ro rang A > 0 va B > 0. Do d´ , nˆ u thˆm gia thiˆ t C > 0 (t´.c la A < 2C ),
˜` ´ ´
’
` ¯o e e e u`
.n n˜.a, ta co
thı A , B , C c˜ ng la 3 goc cua mˆt tam giac. Ho
’
` u ` ´ o ´ u ´
.
A ≥A
A +B ≥ A+B
A +B +C =A+B+C
o˜ o ’ ˜ ´ ¯`
´ ’
Do d´ , hai bˆ da y sˆ {A, B, C } va {A , B , C } thoa ma n cac d iˆu kiˆn cua
¯o ` e e
. .
-i ´
D. nh lı 1.2.1a.
Bˆy gi`., nˆ u xe ham sˆ lˆi f (x) = sinx; x ∈ (0; π ), thı ta co kˆ t qua sau
´ o`
´o ´ ’
a o e ´t ` ` ´e
Bˆ t d a ng th´.c 1.9. Gia su. tam giac ABC co goc l´.n nhˆ t nho ho.n hai lˆn
’
´ ´ `
’’ ’
a ¯˘ u ´ ´´ o a a
´ ´
’a
goc nho nhˆ t. Thˆ thı ta co
´ e `, ´
sin(2A − B ) + sin(2B − C ) + sin(2C − A) ≥ sinA + sinB + sinC.
Phˆn nay se d u.o.c khep lai v´.i viˆc gi´.i thiˆu mˆt sˆ ham lˆi, lo m d e ban d . c
’
a ` ˜¯ . o o ` ` ˜ ¯ˆ . ¯o
` .´
´.oe o e o
. .
’
co thˆ ´ p dung.
´ ea .
- 19
Gi´.i thiˆu mˆt sˆ h`m lˆi v` h`m l˜m
ooa`aa
´
1.3 o e o o
. .
oo` `
´
1.3.1 Mˆt sˆ ham lˆi
o
.
f (x) = xα ; x > 0, α < 0.
f (x) = (S − x)α ; S > 0, x ∈ (0; S ), α < 0.
1α
f ( x) = x + ; x > 0, α > 1.
x
x2
f ( x) = ; S > 0, x ≥ 0.
x+S
1
f (x) = 2 ; x > 0.
x
x
f ( x) = ; S > 0, x ∈ (0; S ).
S−x
f (x) = eαx ; x ∈ R, α > 0.
1
f ( x) = ; x ≥ 0, α ≥ 1.
1 + eαx
12
f (x) = ex + x ; x ∈ R.
e
1
f (x) =ln 1 + ; x > 0.
x
f (x) =ln 1 + eαx ; x ∈ R, α > 0.
1
f (x) =ln ex + x ; x ∈ R.
e
f (x) =sink x ; x ∈ (0; π ), k < 0.
1
f (x) =ln 1 + ; x ∈ (0; π ).
sin2 x
π
f (x) =cosk x ; x ∈ 0; , k < 0.
2
π
f (x) =tank x ; x ∈ 0; , k ≥ 1.
2
f (x) =arcsinx ; x ∈ (0; 1).
f (x) =arctan(ex ) ; x < 0.
x
f (x) =arctan ; S > 0, x ∈ (0; S ).
S−x
˜
´
1.3.2 Mˆt sˆ ham lo m
oo`
.
f (x) = xα ; x > 0, 0 < α < 1.
f (x) = (S − x)α ; S > 0, x ∈ (0; S ), 0 < α < 1.
f (x) =lnx1/n ; x > 1, n = 1, 2, ...
f (x) =ln eαx − 1 ; x > 0, α > 0.
f (x) =lnx ; x > 0.
f (x) =sink x ; x ∈ (0; π ), k ∈ (0; 1].
f (x) =ln(sinx) ; x ∈ (0; π ).
nguon tai.lieu . vn
