Xem mẫu
- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………..
LUẬN VĂN
Một số vấn đề về modun
extending và modun lifting
trong phạm trù M
- 1
M CL C
Trang
M c l c ........................................................... 1
M đ u ............................................................2
Chương I. Ki n th c chu n b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.1 Ph m trù σ [M ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.2 Môđun Noether và môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.3 Môđun đ u (uniform) và chi u uniform, môđun lõm (hollow)
và chi u hollow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Môđun n i x và môđun x nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Bù giao và bù c ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Căn và đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Chương II. M t s tính ch t c a môđun extending
và môđun lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Môđun extending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Môđun lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương III. Kh o sát môđun M có m i môđun h u h n
sinh trong ph m trù σ [M ] là extending ho c lifting . . . . . . . . . . 28
3.1 Môđun M có m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ]
là extending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
nh M có m i môđun h u h n sinh trong
3.2 Môđun t a x
ph m trù σ [M ] là lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
- 2
M ĐU
Môđun extending (hay còn đư c g i là CS-môđun) là m t d ng t ng
quát hóa c a môđun n i x đư c nghiên c u r ng rãi trong vài ch c
năm tr l i đây. Cùng v i môđun extending, ngư i ta còn nghiên c u
môđun lifting, m t tính ch t đ i ng u c a extending và là m t tính ch t
có quan h g n v i tính ch t x nh. Tuy nhiên trong khi m i môđun
M đ u có bao n i x thì chưa ch c ph x nh c a nó đã t n t i. Xét
m t khía c nh khác, đ i v i môđun con N c a m t môđun M , bù giao
c a N trong M luôn t n t i theo B đ Zorn nhưng chưa ch c đã t n
t i bù c ng c a N trong M . Đi u này ch c ch n s t o ra s không đ i
x ng trong quan h đ i ng u gi a môđun extending và môđun lifting.
Các k t qu liên quan đ n môđun lifting đư c các nhóm nhà toán h c
Nh t, n Đ , Th Nhĩ Kỳ đi sâu nghiên c u. Các tính ch t extending
và lifting trên môđun đư c s d ng đ đ c trưng hay kh o sát m t s
l p vành g n v i các l p vành Noether ho c Artin. Quan tâm đ n l p
các môđun này, chúng tôi ch n đ tài nghiên c u "M t s v n đ v
môđun extending và môđun lifting trong ph m trù σ (M )".
N i dung chính c a lu n văn đư c trình bày trong 3 chương
Chương I. Ki n th c chu n b
Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lư c v các ki n th c cơ s
liên quan đ n n i dung c a lu n văn, các đ nh nghĩa và các tính ch t...
Chương II. M t s tính ch t c a môđun extending và môđun lifting
Trong chương này, chúng tôi trình bày m t s tính ch t c a môđun
extending và môđun lifting. Trên cơ s các tính ch t c a môđun extend-
ing, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không các tính ch t đ i
ng u tương ng.
Chương III. Kh o sát môđun M có m i môđun h u h n sinh trong
ph m trù σ [M ] là extending ho c lifting.
- 3
Trong chương này, chúng tôi kh o sát môđun M có tính ch t m i
môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending và kh o sát
nh M mà m i môđun h u h n sinh trong σ [M ] là lifting.
môđun t a x
M c dù tác gi đã r t c g ng trong h c t p và nghiên c u khoa h c
cũng như c n th n trong khâu ch b n, song do ít nhi u h n ch v th i
gian và trình đ hi u bi t nên trong quá trình th c hi n lu n văn không
th tránh kh i nh ng thi u sót. Tác gi r t mong nh n đư c s ch b o
c a quý th y cô và nh ng đóng góp c a b n đ c đ lu n văn đư c hoàn
thi n hơn.
Quy Nhơn, 3-2008
- 4
Chương I
KI N TH C CHU N B
Trong su t lu n văn này, các vành đư c xét là vành k t h p có đơn
v , thư ng kí hi u b i R. Các môđun là R-môđun ph i Unita, đư c g i
đơn gi n là R-môđun.
1.1 Ph m trù σ [M ]
1.1.1 Đ nh nghĩa. M t R-môđun N đư c g i là M -sinh n u nó là
nh đ ng c u c a m t t ng tr c ti p các b n sao c a M .
1.1.2 Đ nh nghĩa. Ph m trù σ [M ] là ph m trù con đ y c a ph m
trù các R-môđun mà các v t c a nó là các R-môđun đ ng c u v i môđun
con c a môđun M -sinh.
1.2 Môđun Noether và môđun Artin
1.2.1 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là Noether n u m i
t p con không r ng các môđun con c a nó đ u có ph n t t i đ i.
(ii) M t R-môđun M đư c g i là Artin n u m i t p con không r ng
các môđun con c a nó đ u có ph n t t i ti u.
1.2.2 Đ nh lý. [1, tr 99-100] (i) Gi s A là môđun con c a M .
Các đi u sau là tương đương:
(1) M Noether;
(2) A và M/A Noether;
(3) M i chu i tăng A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ ... nh ng môđun con c a M đ u
d ng.
(ii) Gi s A là môđun con c a M , các đi u sau là tương đương:
(1) M Artin;
(2) A và M/A Artin;
- 5
(3) M i chu i gi m A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... nh ng môđun con c a M đ u
d ng.
1.3 Môđun đ u (uniform) và chi u uniform, môđun
lõm (hollow) và chi u hollow
1.3.1 Đ nh nghĩa. (i) Môđun con A c a M đư c g i là c t y u (hay
l n) trong M n u v i m i môđun con khác không B c a M ta đ u có
A ∩ B = 0 (M t cách tương đương, n u A ∩ B = 0 thì B = 0). Khi đó
ta cũng nói M là m r ng c t y u c a A, kí hi u A ⊂∗ M .
(ii) Môđun con A c a M đư c g i là đ i c t y u (hay bé) trong M
n u v i m i môđun con E = M ta đ u có A + E = M (M t cách tương
đương, n u A + E = M thì E = M ). Khi đó ta kí hi u A ⊂o M .
1.3.2 Tính ch t. [1, tr 51-53] (i) Cho A, B, C là các môđun con
c a M. Khi đó:
(1) N u A ⊂ B ⊂ C thì A ⊂∗ M kéo theo B ⊂∗ C .
(2) N u A ⊂∗ M và B ⊂∗ M thì A ∩ B ⊂∗ M .
(3) N u ϕ : M → N là đ ng c u môđun và A ⊂∗ N thì ϕ−1 (A) ⊂∗ M .
(ii) Cho A, B, C là các môđun con c a M. Khi đó:
(1) N u A ⊂ B ⊂ C thì B ⊂o C kéo theo A ⊂o M .
(2) N u A ⊂o M và B ⊂o M thì A + B ⊂o M .
(3) N u ϕ : M → N là đ ng c u môđun và A ⊂o M thì ϕ(A) ⊂o N .
1.3.3 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun con K c a M đư c g i là đóng
(closed) trong M n u nó không có m r ng c t y u th c s trong M .
(ii) Cho L ⊂ M , L đư c g i là đ i đóng (coclosed) trong M n u L
không có môđun con th c s K sao cho L/K ⊂o M/K .
1.3.4 Đ nh nghĩa. (i) Môđun M khác không đư c g i là môđun đ u
(uniform) n u m i môđun con khác không c a nó đ u c t y u trong M .
(ii) Môđun M đư c g i là môđun lõm (hollow) n u m i môđun th c
- 6
s c a nó đ u đ i c t y u trong M .
1.3.5 Đ nh nghĩa. (i) Môđun M đư c g i là có chi u uniform h u
h n (haychi u Goldie h u h n) n u t n t i s nguyên dương n và các
n
môđun con đ u U1 , ..., Un sao cho ⊕ Ui là c t y u trong M.
i=1
n m
N u M có chi u uniform h u h n và ⊕ Ui ⊂∗ M , ⊕ Vj ⊂∗ M v i
i=1 j =1
Ui , Vj là các môđun con đ u c a M thì m = n. Ngư i ta g i n là chi u
uniform c a M và kí hi u u. dim(M ) = n.
N u M = 0, ta vi t u dim(M ) = 0, n u M không có chi u uniform
h u h n ta vi t u dim(M ) = ∞.
(ii) Môđun M đư c g i là có chi u hollow h u h n n u t n t i s
n
nguyên dương n và các môđun con H1 , ..., Hn sao cho Hi là đ i c t
i=1
y u trong M và M/Hi là lõm v i m i 1 ≤ i ≤ n.
n m
Hi ⊂o M , Kj ⊂o M v i
N u M có chi u hollow h u h n và
i=1 j =1
Hi , Kj là các môđun con c a M sao cho M/Hi và M/Kj là lõm v i m i
1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m thì m = n. Ngư i ta g i n là chi u hollow c a M
và kí hi u h. dim(M ) = n.
N u M = 0 ta vi t h. dim(M ) = 0, n u M không có chi u hollow h u
h n ta vi t h. dim(M ) = ∞.
1.4 Môđun n i x và môđun x nh
1.4.1 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là n i x n u v i
m i đ ng c u f : A → M và v i m i đơn c u g : A → B c a nh ng
môđun trên R t n t i m t đ ng c u h : B → M sao cho h.g = f , nghĩa
1.4.1 i
là bi u đ sau giao hoán
g
A B
0
f h
M
- M
7
(ii) M t R-môđun M đư c g i là x nh n u v i m i đ ng c u
f .4.1 ii→ B và v i m i toàn c u g : A → B c a nh ng môđun trên R
1:M
t n t i m t đ ng c u h : M → A sao cho g.h = f , nghĩa là bi u đ sau
giao hoán
M
h f
B
A 0
g
1.4.2 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là N-n i x n u v i
m i đ ng c u f : A → M và v i m i đơn c u g : A → N v i A là m t
môđun trên R đ u t n t i m t đ ng c u h : N → M sao cho h.g = f ,
nghĩa là bi u đ sau giao hoán
g
N
A
0
f h
M
(ii) M t R-môđun M đư c g i là N-x nh n u v i m i đ ng c u
f : M → B và v i m i toàn c u g : N → B v i B là m t môđun trên R
Ng
đ u t n t i m t đ ng c u 0 : M →N sao cho g.h = f , nghĩa là bi u đ
h B
sau giao hoán f h
M
M
h f
N B 0
g
1.4.3 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là t a n i x (hay
t n i x ) n u nó là M -n i x .
(ii) M t R-môđun M đư c g i là t a x nh (hay t x nh) n u nó
là M -x nh.
- L L/K 0
p
8
L1 / K
1.4.4 M nh đ . M i môđun t a h i x M th a mãn các tính ch t
n
sau: 0
L/K
L p
(C1 ) M i môđun con c a M là c t y u trong m t h ng t c a M.
(C2 ) N u môđun con A c a M đ ng c u v i m t h ng t c a M thì A
T
là m t h ng t c a M.
q
Ch ng minh. (C1 ) G i N là m t môđun con c a M , trư c h t ta ch ng
minh f (M ) ⊂ M v i mLi fπ∈ EndSoc( L) trong đó E (M ) là bao đóng
0
L / (E (M ))
n i x c a M.
Đ t X = {x ∈ M |f (x) ∈ M } ⊂ M . Xét bi u đ
i
M
X
0
ϕ f
M f
E (M )
Đ t ϕ = f |X , vì M t a n i x nên t n t i đ ng c u f : M → M sao
M
cho ϕ = f .i. Khi đó, ta có f (M ) ⊂ M . Gi s x ∈ M ∩ (f − f )(M )f t n t i
,
U M
0
p
f
y ∈ M sao cho x = (f − f )(y ) = f (y ) − f (y ), suy ra f (y ) = p + f (y ) ∈ M ,
x
g
B đó y M XA
∈/.
do π 0
U /V
Ta có x = f (y ) − f (y ) = f (y ) − f (y ) = 0 nên M ∩ (f − f )(M ) = 0. Vì
M ⊂∗ E (M ), M ∩ (f − f )(M ) = 0 nên (f − f )(M ) = 0 hay f (M ) = f (M )
mà f (M ) ⊂ M cho nên f (M ) ⊂ M .
Ta có E (M ) = E1 ⊕ E2 v i E1 = E (N ). Vì f (M ) ⊂ M v i m i
f ∈ End(E (M )) nên M = M ∩ E1 ⊕ M ∩ E2 . G i U là môđun con khác
không c a M ∩ E1 , ta có U là môđun con c a E1 , mà N ⊂∗ E1 nên
N ∩ U = 0, do đó N ⊂∗ M ∩ E1 . V y, (C1 ) đã đư c ch ng minh.
(C2 ) Gi s A ⊆ M và A M v i M là m t h ng t tr c ti p c a
M , khi đó t n t i đơn c u f : M → M sao cho Imf = A. Vì M là t a
n i x , M là h ng t tr c ti p c a M nên M là M -n i x , suy ra t n
- 9
t i đ ng c u g : M → M sao cho g.f = idM . Ta có:
M = Imf ⊕ Kerg = A ⊕ Kerg
hay A là h ng t tr c ti p c a M .
Đ i ng u v i các tính ch t (C1 ), (C2 ) ta có các tính ch t sau:
(D1 ) V i m i môđun con A c a M , t n t i s phân tích M = M1 ⊕ M2
sao cho M1 ⊆ A và A ∩ M2 ⊂o M .
(D2 ) N u A là môđun con c a M sao cho M/A đ ng c u v i m t h ng
t tr c ti p c a M thì A là m t h ng t tr c ti p c a M .
nh có tính ch t (D2 ).
1.4.5 M nh đ . M i môđun t a x
nh, A ⊆ M và M/A
Ch ng minh. Gi s M là môđun t x Mvi
M là m t h ng t tr c ti p c a M . Khi đó t n t i toàn c u f : M → M
sao cho Kerf = A. Vì M là t a x nh, M là h ng t tr c ti p c a
nh, suy ra t n t i đ ng c u g : M → M sao cho
M nên M là M -x
f.g = idM . Ta có M = Kerf ⊕ Img = A ⊕ Img hay A là h ng t tr c
ti p c a M.
1.4.6 Nh n xét. Như đã bi t, m i môđun t a n i x đ u có (C1 )
và (C2 ). Trong khi đó, không ph i m i môđun t a x nh đ u có (D1 ).
nh nhưng không có tính ch t (D1 ). Th t
Ch ng h n Z-môđun Z là x
v y, vì Z-môđun Z là t do nên theo [1, tr 64] ZZ là x nh. Xét A
là môđun con khác không c a Z, A = mZ v i M ∈ N∗ . Vì Z không
phân tích đư c nên Z có s phân tích duy nh t Z = Z ⊕ 0. G i B là
môđun con c a Z, B = nZ, v i n ∈ N∗ , n > 1 sao cho (m; n) = 1. Ta có
A + B = mZ + nZ = Z nhưng nZ = Z Do đó A ∩ Z = A không đ i c t
y u trong Z hay ZZ không có tính ch t (D1 ).
- 10
1.5 Bù giao và bù c ng
1.5.1 Đ nh nghĩa. (i) Cho A là môđun con b t kì c a M . M t môđun
con B c a M đư c g i là bù giao c a A trong M, n u B là môđun con
t i đ i trong t p các môđun con C c a M tho mãn C ∩ A = 0.
M t môđun con K c a M đư c g i là bù giao trong M, n u nó là bù
giao c a môđun con nào đó c a M .
(ii) Cho A là môđun con b t kì c a M . M t môđun con B c a M
đư c g i là bù c ng c a A trong M, n u B là môđun con t i ti u trong
t p các môđun con P c a M th a mãn A + P = M .
M t môđun con L c a M đư c g i là bù c ng n u nó là bù c ng c a
m t môđun con nào đó c a M .
Ta nói môđun M có tính bù c ng n u v i b t kỳ hai môđun con A, B
c a M mà A + B = M thì B ch a bù c ng c a A.
1.5.2 Nh n xét. i) Cho A là môđun con c a M . Vì t p các môđun
con C ⊆ M v i C ∩ A = 0 là khác r ng và s p th t theo quan h bao
hàm nên theo b đ Zorn, m i môđun con A ⊆ M đ u có bù giao trong
M . Tuy nhiên bù c ng c a A trong M chưa ch c đã t n t i.
ii) N u M có tính bù c ng thì m i môđun con c a M đ u có bù c ng.
1.5.3 M nh đ . Cho A và B là các môđun con c a M . B là bù c ng
c a A n u và ch n u M = A + B và A ∩ B ⊂o B .
Ch ng minh. Gi s B là bù c ng c a A và D là môđun con c a B
sao cho A ∩ B + D = B . Khi đó M = A + B = A + A ∩ B + D = A + D.
Do tính t i ti u c a B nên B = D hay A ∩ B ⊂o B .
Ngư c l i, gi s M = A + B và P là môđun con c a B tho mãn
A + P = M . Khi đó, ta có B = B ∩ (A + P ) = A ∩ B + P , mà A ∩ B ⊂o B
nên P = B hay B là môđun t i ti u c a M tho mãn A + B = M . V y
B là bù c ng c a A.
- 11
1.6 Căn và đ
1.6.1 Đ nh nghĩa. (i) Ta g i giao c a t t c các môđun con t i đ i
c a MR là căn Jacobson (hay đơn gi n là căn) c a môđun MR và kí
hi u b i Rad(MR ). N u MR không có môđun con t i đ i thì ta quy ư c
Rad(MR ) = MR .
(ii) Ta g i t ng c a t t c các môđun con đơn c a MR là đ c a
môđun MR và kí hi u b i Soc(MR ). N u MR không có môđun con đơn
thì ta quy ư c Soc(MR ) = 0.
1.6.2 Đ nh lý [1, tr 125]. Đ i v i môđun MR ta có:
(i) Rad (MR ) = B , trong đó B ch y kh p t p các môđun con đ i
c t y u c a MR .
(ii) Soc (MR ) = C , trong đó C ch y kh p t p các môđun con c t
y u c a MR .
- 12
Chương II
M TS TÍNH CH T C A MÔĐUN
EXTENDING VÀ MÔĐUN LIFTING
Trong chương này, trư c h t chúng tôi trình bày đ nh nghĩa và m t
s tính ch t c a môđun extending: các đi u ki n tương đương, m i quan
h gi a môđun extending và môđun đ u, t ng tr c ti p c a các môđun
extending... Trên cơ s các tính ch t c a môđun extending, chúng tôi
xét xem môđun lifting có hay không các tính ch t đ i ng u tương ng,
n u không có thì c n b sung thêm các đi u ki n gì đ đ t đư c tính
ch t y...
2.1 Môđun extending
2.1.1 Đ nh nghĩa. M t R-môđun M đư c g i là môđun extending
(hay CS-môđun) n u m i môđun con c a M là c t y u trong m t h ng
t tr c ti p c a M .
2.1.2 Đ nh lý. Cho M là m t R-môđun. Khi đó, các đi u ki n sau là
tương đương:
(1) M là extending;
(2) M i môđun con N c a M đ u có s phân tích M = M1 ⊕ M2 sao
cho N ⊆ M1 và N + M2 ⊂∗ M ;
(3) M i môđun con đóng c a M là m t h ng t tr c ti p c a nó.
Ch ng minh. (1) ⇒ (2) Gi s N là m t môđun con c a M . Vì M
là extending nên N c t y u trong m t h ng t M1 c a M . Do đó, ta
có s phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho N ⊂∗ M1 , mà M2 ⊂∗ M2 nên
N + M2 ⊂∗ M .
(2) ⇒ (3) Gi s N là m t môđun con đóng c a M , ta có s phân
tích M = M1 ⊕ M2 sao cho N ⊆ M1 và N + M2 ⊂∗ M . G i U là m t
- 13
môđun con c a M1 tho mãn N ∩ U = 0, ta có U ⊆ M và
(N + M2 ) ∩ U = N ∩ U + M2 ∩ U = 0.
Vì N + M2 ⊂∗ M nên U = 0, suy ra N ⊂∗ M1 . Mà N là môđun con
đóng c a M nên N = M1 hay N là m t h ng t c a M .
(3) ⇒ (1) Gi s N là m t môđun con c a M . G i B là t p h p các
m r ng c t y u c a N trong M . Vì N ∈ B nên B khác r ng, m t khác
m i b ph n s p th t theo quan h bao hàm c a B đ u có c n trên
nên theo b đ Zorn, B có ph n t t i đ i là M1 . G i K là m t m r ng
c t y u c a M1 , ta có N ⊂∗ M1 , M1 ⊂∗ K nên N ⊂∗ K hay K ∈ B . Do
tính t i đ i c a M1 trong B nên K = M1 hay M1 là môđun con đóng
c a M , vì v y M1 là m t h ng t tr c ti p c a M do đó M là extending.
2.1.3 H qu . M t R-môđun M không phân tích đư c là extending
n u và ch n u M là môđun đ u.
Ch ng minh. G i N là m t môđun con khác không c a M . Vì M là
môđun extending nên có s phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho N ⊂∗ M1 .
Mà M không phân tích đư c và M1 = 0 nên M1 = M , hay M là môđun
đ u.
Ngư c l i, g i N là m t môđun con c a M . N u N = 0 thì
N ⊂∗ N = 0 là h ng t tr c ti p c a M . N u N = 0 thì vì M đ u nên
N ⊂∗ M . V y, M là extending.
2.1.4 Đ nh lý. N u M là môđun extending và M = M1 ⊕ M2 thì M1 ,
M2 là các môđun extending.
Ch ng minh. G i A là m t môđun con đóng c a M1 , trư c h t ta
ch ng minh A đóng trong M . Gi s A ⊂∗ B v i B là môđun con nào
đó c a M . Xét phép chi u p : M = M1 ⊕ M2 → M1 . Ta có
A = p(A) ⊂∗ p(B ) ⊆ M1 ,
- 14
mà A đóng trong M1 nên A = p(B ) ⊆ B và do đó (1 − p)(B ) ⊆ B .
Vì
(1 − p)(B ) ∩ p(B ) = (1 − p)(B ) ∩ A = 0
và A ⊂∗ M1 nên (1 − p)(B ) = 0, do đó B = p(B ) ⊆ M1 . M t khác, A
đóng trong M1 nên A = B hay A đóng trong M .
Vì M là extending nên theo 2.1.2, A là h ng t tr c ti p c a M , ta
có s phân tích M = A ⊕ D v i D là m t môđun con c a M . Khi đó,
M1 = (A ⊕ D) ∩ M1 = A ⊕ D ∩ M1 hay A là h ng t tr c ti p c a M1 .
V y M1 là extending.
2.1.5 Đ nh lý. Cho M = M1 ⊕ M2 v i M1 , M2 là các môđun extend-
ing. Khi đó M là extending n u và ch n u m i môđun con đóng K ⊂ M
v i K ∩ M1 = 0 ho c K ∩ M2 = 0 là m t h ng t tr c ti p c a M .
Ch ng minh. Đi u ki n c n là hi n nhiên theo 2.1.2. Ngư c l i, gi s
m i môđun con đóng K c a M v i K ∩ M1 = 0 ho c K ∩ M2 = 0 là
m t h ng t tr c ti p c a M . Cho L là môđun con đóng c a M , t n
t i bù giao H trong L sao cho L ∩ M2 ⊂∗ H . Ta có H đóng trong M và
H ∩ M1 = 0 nên H là h ng t tr c ti p c a M , ta có th vi t M = H ⊕ H
v i H là m t môđun con c a M . Khi đó, L = L ∩ (H ⊕ H ) = H ⊕ (L ∩ H )
nên L ∩ H đóng trong M . Ta có (L ∩ H ) ∩ M2 = 0 nên theo gi thi t
L ∩ H là m t h ng t tr c ti p c a M nên L ∩ H cũng là h ng t
tr c ti p c a H . V y L là h ng t tr c ti p c a M hay M là môđun
extending.
2.1.6 M nh đ . Cho M = M1 ⊕ M2 v i M1 , M2 là các môđun ex-
tending. N u M1 là M2 -n i x và M2 là M1 -n i x thì M là extending.
Ch ng minh. Gi s M = M1 ⊕ M2 , M1 là M2 -n i x , M2 là M1 -n i x
và M1 , M2 là các môđun extending. Ta ch ng minh M extending b ng
cách áp d ng đ nh lý 2.1.5.
- 15
G i K ⊂ M là m t môđun con đóng c a M và K ∩ M1 = 0. Gi s
πi : M → Mi , i = 1, 2 là các phép chi u chính t c. Xét bi u đ sau
α
K M2
0
β f
M1
trong đó, α = π2 |K và β = π1 |K .
Theo gi thi t M1 là M2 -n i x nên t n t i f : M2 → M1 sao cho
f.α = β . Đ t
M = {f (m) + m|m ∈ M2 },
khi đó ta có M là môđun con c a M , hơn n a M = M1 ⊕ M và K ⊂ M .
Th t v y n u x ∈ K , x = x1 + x2 v i x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 thì
x1 = π1 (x) = β (x) = f (α(x)); α(x) = π2 (x) = x2 ,
do đó x = f (x2 ) + x2 ∈ M , cho nên K ⊂ M
Ta có M M2 , vì v y M là extending. B i gi thi t K đóng trong
M nên K đóng trong M . Th thì K là m t h ng t tr c ti p c a M
kéo theo K là m t h ng t tr c ti p c a M .
Tương t ch ng minh đư c n u H đóng trong M và H ∩ M2 = 0 thì
H là m t h ng t tr c ti p c a M .
Bây gi áp d ng đ nh lý 2.1.5 ta có M là extending.
2.1.7 M nh đ . Cho M là R-môđun có chi u uniform h u h n. N u
n
M là môđun extending thì M = ⊕ Mi , v i Mi là các môđun đ u và
i=1
n = u. dim(M ).
Ch ng minh. Trư c h t ta ch ng minh n u R-môđun M có chi u
k
k
uniform h u h n và M = ⊕ Mi thì u. dim(M ) = u. dim(Mi ).
i=1 i=1
Th t v y, v i m i 1 ≤ i ≤ k ta có u. dim(Mi ) ≤ u. dim(M ). N u t n
t i i0 , 1 ≤ i0 ≤ k sao cho u. dim(Mi0 ) = ∞ thì u. dim(M ) = ∞, mâu
- 16
thu n, do đó u. dim(Mi ) = ni < ∞ v i m i 1 ≤ i ≤ k . V i m i 1 ≤ i ≤ k
ni
t n t i các môđun con đ u Ui1 , ..., Uini sao cho ∩ Uij ⊂∗ Mi .
j =1
Khi đó t n t i phép nhúng
ni
fi : ⊕ Uij → Mi
j =1
Đ t f = (f1 , ..., fk ), ta có phép nhúng
ni
k k
f: ⊕ ⊕ Uij → M = ⊕ Mi ,
i=1 j =1 i=1
k
do đó u. dim(M ) = u. dim(Mi ).
i=1
Ta ch ng minh đ nh lý b ng phương pháp quy n p theo n = u. dim(M ).
N u u. dim(M ) = 1 thì M không phân tích đư c, mà M extending nên
theo 2.1.3, M là môđun đ u. Cho n ≥ 1, gi s đi u c n ch ng minh
là đúng v i m i R-môđun có s chi u nh hơn ho c b ng n. Gi s
u. dim(M ) = n + 1, vì M là môđun extending không đ u nên có s phân
tích M = M1 ⊕ M2 v i M1 , M2 là các môđun con khác không c a M .
Ta có:
u. dim(M ) = u. dim(M1 ) + u. dim(M2 ) = n + 1.
Đ t u1 = u. dim(M1 ) và u2 = u. dim(M2 ), suy ra u1 ≤ n và u2 ≤ n
u1 u2
nên M1 , M2 có th đư c vi t M1 = ⊕ Ui , M2 = ⊕ Vj , v i Ui , Vj là
i=1 j =1
các môđun đ u v i m i 1 ≤ i ≤ u1 , 1 ≤ j ≤ u2 . V y ta đã có đi u ph i
ch ng minh.
2.1.8 M nh đ . Cho M là môđun chu i v i chu i h p thành duy
nh t 0 ⊂ U ⊂ V ⊂ M . Khi đó M ⊕ (U/V ) không extending.
Ch ng minh. Vì M là môđun chu i và U/V là môđun đơn nên chúng
có các vành t đ ng c u đ a phương. Đ t X = M ⊕ (U/V ), xét bi u đ
- M f
E (M ) 17
M f
U M
0
p
p g
/A 0
U /V
trong đó, p : U → U/V là phép chi u chính t c, f : U → M là phép
nhúng. Trư c h t ta ch ng minh p có th đư c m r ng thành m t đ ng
c u g : M → U/V .
Đt
N = {x − p(x)|x ∈ U } ⊆ M ⊕ (U/V )
U là môđun con đ u c a X . Vì X = M ⊕ (U/V )
Khi đó, N
và U ⊆ M nên N ∩ (U/V ) = 0, do đó t n t i h ng t tr c ti p K
c a X sao cho N ⊂∗ K . Theo đ nh lý Krull-Schmidt [2, 12.9] ta có
X = K ⊕ M hay X = K ⊕ (U/V )). Gi s X = K ⊕ M , khi đó p(x) = 0
v i m i x = 0 hay p đơn c u, mâu thu n. V y X = K ⊕ (U/V ). Xét
π : X = K ⊕ (U/V ) → U/V là phép chi u chính t c. Khi đó t n t i
g = π |M : M → U/V là m r ng c a p. Vì U/V là đơn nên Kerg = M
ho c Kerg = U , mâu thu n. V y X không extending.
2.2 Môđun lifting
2.2.1 Đ nh nghĩa. Cho M là m t R-môđun, M đư c g i là môđun
lifting n u v i m i môđun con A c a M , t n t i h ng t tr c ti p X c a
M sao cho X ⊆ A và A/X ⊂o M/X .
2.2.2 Đ nh lý. Cho M là m t R-môđun. Khi đó các đi u ki n sau là
tương đương:
(1) M là lifting;
(2) M có tính ch t (D1 ), nghĩa là v i m i môđun con N c a M đ u
có s phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho M1 ⊆ N và N ∩ M2 ⊂o M ;
(3) V i m i môđun con N c a M đ u có th vi t đư c dư i d ng
N = N1 ⊕ N2 , trong đó N1 là m t h ng t tr c ti p c a M và N2 ⊂o M ;
- 18
(4) M có tính bù c ng và m i môđun con đ i đóng c a M là m t h ng
t c a M;
(5) M có tính bù c ng và m i môđun con bù c ng c a M là m t h ng
t c a M.
Ch ng minh. (1) ⇒ (2) Gi s N là m t môđun con c a M . Vì M là
lifting nên có s phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho
M1 ⊆ N, N/M1 ⊂o M/M1 .
N ∩ M2 nên N ∩ M2 ⊂o
M2 và N/M1 = (M1 ⊕ N ∩ M2 )/M1
Vì M/M1
M2 , do đó N ∩ M2 ⊂o M .
(2) ⇒ (3) V i m i môđun con N c a M đ u có s phân tích
M = M1 ⊕M2 sao cho M1 ⊆ N và N ∩M2 ⊂o M , do đó N = M1 ⊕N ∩M2 .
Đ t N1 = M1 , N2 = N ∩ M2 ta có (3).
(3) ⇒ (4) Gi s M = K + L v i K , L là các môđun con c a M ,
ta s ch ng minh r ng K ch a bù c ng c a L. Vì K là môđun con c a
M nên K có th đư c vi t K = N ⊕ H , trong đó N là m t h ng t
tr c ti p c a M và H ⊂o M , khi đó M = L + N . Cũng theo (3) ta có
L ∩ N = N1 ⊕ S v i S ⊂o M và N1 là m t h ng t tr c ti p c a M ,
t c là M = N1 ⊕ P1 , v i P1 là môđun con c a M . Th thì S ⊂o N và
N = N1 ⊕ N2 v i N2 = N ∩ P1 . Ta ch ra N2 là m t bù c ng c a N1 + S
trong N . Gi s X là môđun con c a N2 sao cho N = X + N1 + S . Vì
S ⊂o N nên N = X + N1 , l i có N2 là m t bù c ng c a N1 trong N suy
ra X = N2 , do đó N2 là m t bù c ng c a N1 + S = L ∩ N trong N . Khi
đó ta có
M = L + N = L + (L ∩ N ) + N2 = L + N2 .
Hơn n a L ∩ N2 = (L ∩ N ) ∩ N2 ⊂o N2 nên theo 1.5.3, N2 là bù c ng
c a L hay M có tính bù c ng.
G i N là môđun con đ i đóng c a M , ta có s phân tích N = N1 ⊕ N2 ,
trong đó N1 là m t h ng t tr c ti p c a M và N2 ⊂o M . Gi s N1 = N ,
- 19
vì N là đ i đóng nên t n t i môđun con P c a M sao cho N + P = M
và N1 + P = M . Ta có
M = N + P = N1 + N2 + P,
mà N2 ⊂o M nên N1 + L = M , mâu thu n. V y N1 = N hay N là m t
h ng t tr c ti p c a M .
(4) ⇒ (5) Gi s N là môđun con bù c ng c a M , khi đó t n t i môđun
con L c a M sao cho N là môđun con t i ti u th a mãn N + L = M .
V i m i môđun con K ⊆ N sao cho N/K ⊂o M/K , vì N + L = M nên
K + L = M . Do tính t i ti u c a N ta có K = N hay N là môđun con
đ i đóng c a M .
(5) ⇒ (1) Gi s A là m t môđun con c a M , vì M có tính bù c ng
nên A có bù c ng là B , theo (4), B là h ng t tr c ti p c a M . G i M1
là bù c ng c a B trong M , ta có M1 ⊆ A và M1 là m t h ng t tr c
ti p c a M . Đ t M = M1 ⊕ M2 , ta có
A/M1 = (M1 ⊕ A ∩ M2 )/M1 A ∩ M2
và A = (M1 + B ) ∩ A = M1 + A ∩ B .
Vì B là bù c ng c a A trong M nên A + B = M và A ∩ B ⊂o B ,
mà B là h ng t tr c ti p c a M suy ra A ∩ B ⊂o M . Xét phép chi u
p : M = M1 ⊕ M2 → M2 , vì A ∩ B ⊂o B nên p(A ∩ B ) ⊂o p(M ) = M2 .
M t khác
p(A ∩ B ) = p(M1 + A ∩ B ) = p(A) = A ∩ M2 ,
cho nên A ∩ M2 ⊂o M2 hay A/M1 ⊂o M/M1 . V y, M là lifting.
2.2.3 H qu . M t R-môđun M không phân tích đư c là lifting n u
và ch n u M là lõm.
Ch ng minh. G i N là m t môđun con th c s c a M , vì M là lifting
nguon tai.lieu . vn
