Xem mẫu
- B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O
TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN
Võ Qu c Thành
M T S TÍNH CH T
C A DÃY SINH B I HÀM S
VÀ ÁP D NG
Lu n văn th c sĩ toán h c
Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ c p
Mã s : 60 46 40
Ngư i hư ng d n khoa h c:
GS.TSKH. Nguy n Văn M u
QUY NHƠN, NĂM 2008
- 2
M cl c
M đ u...................................... 1
Chương 1 M t s tính ch t cơ b n c a dãy s 3
1.1 C ps .................................... 3
1.1.1 C p s c ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 C p s nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 C p s đi u hoà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn .................... 6
1.2.1 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn c ng tính . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . 7
1.3 Dãy tuy n tính và phân tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng s ....... 8
1.3.2 Dãy phân th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 M t s bài toán áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2 Hàm chuy n đ i m t s dãy s đ c bi t 27
2.1 Hàm chuy n ti p các c p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Hàm b o toàn các c p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Hàm chuy n đ i các c p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Dãy sinh b i m t s hàm s sơ c p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
- 0
2.2.1 Dãy sinh b i nh th c b c nh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Dãy sinh b i tam th c b c hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 Dãy sinh b i hàm phân tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.4 Dãy sinh b i hàm s lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 M t s bài toán áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Chương 3 M t s tính toán trên các dãy s 73
3.1 Gi i h n c a dãy s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 M t s ư c lư ng t ng và tích vô h n ph n t . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 Tính ch t c a m t s dãy s phi tuy n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
- 1
M đu
Chuyên đ dãy s và các v n đ liên quan đ n dãy s là m t ph n quan tr ng
c a đ i s và gi i tích toán h c. Có nhi u d ng toán lo i khó liên quan đ n chuyên
đ này. Đ i v i h c sinh ph thông, nh ng khái ni m dãy s thư ng khó hình dung
v c u trúc đ i s trên t p các dãy s , đ c bi t là các phép tính đ i v i các dãy có
ch a tham s , các phép bi n đ i dãy và đ i s các dãy,...
Dãy s có v trí đ c bi t trong toán h c không ch như là nh ng đ i tư ng đ
nghiên c u mà còn đóng vai trò như là m t công c đ c l c c a gi i tích toán h c.
Trong nhi u kỳ thi h c sinh gi i qu c gia, thi Olympíc toán qu c t , các bài toán
liên quan đ n dãy s cũng hay đư c đ c p và thư ng thu c lo i r t khó. Các bài
toán v ư c lư ng và tính giá tr các t ng, tích cũng như các bài toán c c tr và xác
đ nh gi i h n c a m t bi u th c cho trư c thư ng có m i quan h ít nhi u đ n các
đ c trưng c a dãy tương ng. Các bài toán v dãy s đã đư c đ c p các giáo trình
cơ b n v gi i tích toán h c và m t s tài li u b i dư ng giáo viên và h c sinh chuyên
toán b c trung h c ph thông.
Luân văn M t s tính ch t c a dãy sinh b i hàm s và áp d ng nh m cung c p
m t s ki n th c cơ b n v dãy s và m t s v n đ liên quan đ n dãy s . Đ ng th i
cũng cho phân lo i m t s d ng toán v dãy s theo d ng cũng như phương pháp gi i.
Trong quá trình hoàn thành lu n văn , tác gi đã không ng ng n l c đ h c h i,
tìm tòi và kh o sát m t s bài toán v dãy s .
Lu n văn g m ph n m đ u và ba chương.
Chương 1: M t s tính ch t cơ b n c a dãy s .
N i dung c a chương này nh m trình bày đ nh nghĩa các dãy s đ c bi t và các tính
ch t liên quan. Đ ng th i trình bày m t s bài toán áp d ng liên quan đ n c p s
c ng, c p s nhân và các tính ch t đ c bi t c a chúng. Nêu m t s tính ch t cơ b n
- 2
c a dãy s và các bài toán xác đ nh các dãy s liên quan đ n các hàm sơ c p ph
thông.
Chương 2: Hàm chuy n đ i m t s dãy s đ c bi t.
Chương này nh m gi i thi u m t s l p hàm b o toàn các dãy s đ c bi t nêu
chương 1 và nêu các m i liên h gi a các hàm đã cho. Đ ng th i nêu xét các dãy tu n
hoàn và ph n tu n hoàn và kh o sát m t s tính ch t c a các hàm chuy n đ i các
dãy s đ c bi t
Chương 3 nh m kh o sát m t s tính ch t và tính toán trên dãy s .
M c dù b n thân đã có nh ng c g ng vư t b c, nhưng s không tránh kh i
nh ng khi m khuy t, r t mong s góp ý c a quý Th y Cô và nh ng b n đ c quan
tâm đ n lu n văn.
- 3
Chương 1
M t s tính ch t cơ b n c a dãy s
Ta nh c l i m t s đ nh nghĩa trong chương trình toán b c ph thông.
1.1 C ps
1.1.1 C p s c ng
Đ nh nghĩa 1.1. Dãy s {un } th a mãn đi u ki n
u1 − u0 = u2 − u1 = · · · = un+1 − un
đư c g i là m t c p s c ng.
Khi dãy s {un } l p thành m t c p s c ng thì hi u d = u1 − u0 đư c g i là công
sai c a c p s c ng đã cho.
Nh n xét 1.1. N u có m t dãy s có h u h n các ph n t
u1, u2 , . . . , un
th a mãn tính ch t
u 1 − u 0 = u 2 − u 1 = · · · = u n − u n −1 (1.1)
thì dãy s un đư c g i là m t c p s c ng v i d = u1 − u0 đư c g i là công sai. Dãy
s {un } là m t c p s c ng v i công sai d = 0 thì un = un+1 v i m i n, khi đó ta g i
{un } là dãy h ng (dãy không đ i).
Kí hi u
S n = u1 + u2 + · · · + un
- 4
Sn đư c g i là t ng c a n s h ng đ u tiên c a m t c p s c ng.
un đư c g i là s h ng t ng quát c a c p s c ng {un }.
Nh n xét 1.2. Cho {un } là m t c p s c ng công sai d, ta có
un = un−1 + d = u1 + (n − 1)d,
2uk = uk−1 + uk+1 , k 2,
và
n(n − 1)d ( u1 + un ) n
Sn = nu1 + = .
2 2
Bài toán 1.1. Cho {un } là m t c p s c ng mà các s h ng đ u là các s nguyên
dương. Gi s trong dãy có m t s chính phương. Ch ng minh r ng dãy đã cho có vô
h n s chính phương là bình phương c a các s nguyên dương.
Gi i. Gi s dãy {un } có công sai d > 0 và x là m t s chính phương trong dãy, và
x = m2 . Khi đó
(m + kd)2 = m2 + 2mkd + k 2d2 = x + d(2mk + k 2 d),
đi u này ch ng t dãy đã cho có vô h n s chính phương là bình phương c a các s
nguyên dương.
Bài toán 1.2. Cho các s dương u1, u2 , . . . , un t o thành m t c p s c ng, công sai
d > 0. Ch ng minh r ng
1 1 1 n−1
tn = √ √ +√ √ + ··· + √ √ =√ √
u1 + u2 u2 + u3 u n −1 + u n u1 + un
Gi i. Nh n xét r ng √
√
uk+1 − uk
1
= .
√ √
uk + uk+1 d
L n lư t cho k = 1, 2, . . . , n vào trong đ ng th c trên và th c hi n c ng theo v , ta
thu đư c
1√ √ √ √ √ √
tn = [( u2 − u1 ) + ( u3 − u2 ) + · · · + ( un − un−1 )]
d
1√ √ 1 un − u1 n−1
= ( un − u1 ) = √ √ =√ √
d d un + u1 u1 + un
V y nên
n−1
tn = √ √.
u1 + un
- 5
Bài toán 1.3. Cho các s dương u1, u2 , . . . , un t o thành m t c p s c ng, công sai
d > 0. Tính t ng
1 1 1
S= + + ··· +
u1.u2 u2 .u3 un−1 .un
Gi i. Nh n xét r ng
1 11 1
= − .
uk .uk+1 d uk uk+1
L n lư t cho k = 1, 2, . . . , n vào trong đ ng th c trên và th c hi n c ng theo v ta
thu đư c
1 1 1 1 1 1 1
S= − + − + ··· + −
d u1 u2 u2 u3 u n −1 u n
11 1 n−1
= − =
d u1 un u1 .un
V y nên
n−1
S= .
u1.un
1.1.2 C p s nhân
Đ nh nghĩa 1.2. Dãy s {un } th a mãn đi u ki n
u1 u2 un+1
= = ··· =
u0 u1 un
đư c g i là m t c p s nhân.
u1
Khi dãy s {un } l p thành m t c p s nhân thì thương q = đư c g i là m t
u0
công b i c a c p s đã cho.
Nh n xét 1.3. Theo đ nh nghĩa 1.2, n u m t dãy s h u h n các ph n t
u1, u2 , . . . , un
(v i m i ph n t trong dãy khác không) th a mãn tính ch t
u1 u2 un+1
= = ··· =
u0 u1 un
u1
thì dãy s u1, u2 , . . . , un đư c g i là m t c p s nhân v i công b i q= đư c g i là
u0
m t c p s nhân
- 6
Nh n xét 1.4. Cho {un } là m t c p s nhân công b i q = 1, ta có
un = q.un−1 = u1.q n−1 , n = 1, 2, . . .
u2 = uk−1 uk+1 , k 2.
k
1 − qn
S n = u1 .
1−q
1.1.3 C p s đi u hoà
Đ nh nghĩa 1.3. Dãy s {un } ,(un = 0, ∀n ∈ N) th a mãn đi u ki n
2un−1 un+1
un =
un−1 + un+1
đư c g i là c p s đi u hòa.
Bài toán 1.4. Ch ng minh r ng dãy s {un } l p thành m t dãy s đi u hòa khi và
ch khi dãy đã cho th a mãn đi u ki n.
1
un+1 = .
2 1
−
u n u n −1
Gi i. Ta có
1 u n u n −1
un+1 = ⇔ un+1 =
2 1 2un−1 − un
−
u n u n −1
2un−1 un+1
⇔ un (un−1 + un+1 ) = 2un−1 un+1 ⇔ un = .
un−1 + un+1
V y dãy s (un ) l p thành m t c p s đi u hòa.
1.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn
Trong ph n n y ta quan tâm đ n hai lo i dãy tu n hoàn cơ b n là tu n hoàn
c ng tính và tu n hoàn nhân tính.
1.2.1 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn c ng tính
Đ nh nghĩa 1.4. Dãy s {un } đư c g i là dãy tu n hoàn c ng tính n u t n t i s
nguyên dương l sao cho
un+l = un , ∀n ∈ N, (1.2)
- 7
S nguyên dương l bé nh t đ dãy {un } tho mãn đi u ki n (1.2) đư c g i là chu kì
cơ s c a dãy.
Đ nh nghĩa 1.5. Dãy s {un } đư c g i là dãy tu n ph n hoàn c ng tính n u t n t i
s nguyên dương l sao cho
un+l = −un , ∀n ∈ N, (1.3)
Nh n xét 1.5. Dãy tu n hoàn chu kỳ 1 khi và ch khi dãy đã cho là m t dãy h ng.
Nh n xét 1.6. Dãy tu n hoàn ( c ng tính) chu kỳ 2 khi và ch khi dãy có d ng
1
α + β + (α − β )(−1)n+1 , α, β ∈ R
un =
2
1.2.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn nhân tính
Đ nh nghĩa 1.6. Dãy s {un } đư c g i là dãy tu n hoàn nhân tính n u t n t i s
nguyên dương s(s > 1)sao cho
usn = un , ∀n ∈ N, (1.4)
S nguyên dương s bé nh t đ dãy {un } tho mãn đi u ki n (1.4) đư c g i là chu kì
cơ s c a dãy.
Nh n xét 1.7. M t dãy ph n tu n hoàn c ng tính chu kì r thì s tu n hoàn c ng
tính chu kì 2r
Đ nh nghĩa 1.7. Dãy s {un } đư c g i là dãy ph n tu n hoàn nhân tính n u t n
t i s nguyên dương s(s > 1) sao cho
usn = −un , ∀n ∈ N.
1
Nh n xét 1.8. M i dãy {un } ph n tu n hoàn chu kỳ r đ u có d ng un = (vn − vn+r ),
2
v i vn+2r = vn .
1.3 Dãy tuy n tính và phân tuy n tính
Trong ph n này ta trình bày m t s phương trình sai phân cơ b n có nghi m là
các s th c và cách gi i chúng.
- 8
1.3.1 Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng s
Trư c h t, ta xét phương trình sai phân tuy n tính c p m t d ng
x1 = α, axn+1 + bxn = f (n), n ∈ N∗ ,
trong đó a, b, α là các h ng s (a = 0) và f (n) là bi u th c c a n cho trư c.
Nh n xét r ng các c p s cơ b n là nh ng d ng đ c bi t c a phương trình sai
phân tuy n tính.
Bài toán 1.5. Xác đ nh s h ng t ng quát c a m t c p s nhân bi t r ng s h ng
đ u tiên b ng 9 và công b i b ng 3.
Gi i. Ta có
xn+1 = 3xn , x1 = 9.
Phương trình đ c trưng có nghi m λ = 3. Do đó xn = c.3n . Do x1 = 9 suy ra c = 3.
V y xn = 3n+1 .
Bài toán 1.6. Cho a, b, α là các s th c cho trư c (a = 0) và dãy {xn } xác đ nh như
sau
x0 = α, axn+1 + bxn = 0, n = 0, 1, 2, . . .
Tìm s h ng t ng quát c a dãy
Gi i. N u b = 0 thì dãy xn = 0, n = 1, 2, . . .
b b n
N u b = 0, phương trình đ c trưng aλ+b = 0 có nghi m λ = − . Do đó xn = c − .
a a
Vì x0 = α nên c = α. V y
bn
xn = α. − .
a
Xét ti p phương trình sai phân tuy n tính c p hai d ng
x1 = α, x2 = µ, axn+1 + bxn + cxn−1 = A(n), n ∈ N∗.
trong đó a, b, c, α, µ là các h ng s , a 0 và A(n) là bi u th c theo n cho trư c.
Bài toán 1.7. Tìm dãy s {xn } tho mãn đi u ki n
x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = 0, n ∈ N∗ .
- 9
Gi i. Gi i phương trình đ c trưng aλ2 + bλ + c = 0, tìm λ.
a. N u λ1 , λ2 là các nghi m th c khác nhau thì xn = Aλn + Bλn , trong đó A, B đư c
1 2
xác đ nh khi bi t x1 , x2.
b. N u λ1 , λ2 là các nghi m th c và λ1 = λ2 = λ thì xn = (A + Bn)λn , trong đó A, B
đư c xác đ nh khi bi t x1 , x2.
Bài toán 1.8. Tìm dãy s {xn } tho mãn đi u ki n
2, n ∈ N∗.
x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = A(n), n
trong đó a = 0, A(n) là đa th c theo n cho trư c.
Gi i. Gi i phương trình đ c trưng aλ2 + bλ + c = 0 xác đ nh các giá tr c a λ. Nghi m
c a phương trình có d ng xn = xn + x∗ , trong đó xn là nghi m t ng quát c a phương
n
trình thu n nh t axn+1 + bxn + cxn−1 = 0 và x∗ là nghi m riêng c a phương trình
n
axn+1 + bxn + cxn−1 = A(n), trong đó A(n) = 0. Ta tìm nghi m xn c a phương trình
thu n nh t axn+1 + bxn + cxn−1 = 0 theo bài toán 1.7 v i các h s A, B chưa đư c
xác đ nh. Nghi m x∗ đ ơc xác đ nh :
n
a. N u λ = 1 thì x∗ là đa th c cùng b c v i A(n).
n
b. N u λ = 1 thì x∗ = n.f (n), trong đó f (n) là đa th c cùng b c v i A(n).
n
c. N u λ = 1 là nghi m b i thì x∗ = n2 .f (n), trong đó f (n) là đa th c cùng b c v i
n
A(n).
Thay x∗ vào phương trình, đ ng nh t các h s ta tìm đư c x∗ . T h th c xn = xn +x∗
n n n
và các giá tr x1, x2 ta tìm đư c các h s A, B.
Bài toán 1.9. Tìm dãy s {xn } tho mãn đi u ki n
x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = γ.η n , n 2, n ∈ N∗ .
Gi i. Gi i phương trình đ c trưng aλ2 + bλ + c = 0, ta tìm đư c λ . Nghi m phương
trình có d ng xn = xn + x∗ , v i xn đư c tìm như trong bài toán 1.7 , các h s A, B
n
chưa xác đ nh. x∗ đư c xác đ nh như sau
n
i. N u λ = η thì x∗ = k.η n .
n
ii. N u phương trình có nghi m đơn λ = η thì x∗ = kn.η n .
n
iii. N u phương trình có nghi m kép λ = η thì x∗ = kn2.η n .
n
Thay x∗ vào phương trình, s d ng phương pháp đ ng nh t các h s ta tìm đư c k .
n
T các giá tr x1, x2 và xn = xn + x∗ ta tìm đư c các h s A, B .
n
- 10
Ti p theo, ta xét phương trình sai phân tuy n tính c p ba là phương trình sai
phân có d ng
x1 = α, x2 = β, x3 = γ, axn+1 + bxn + cxn−1 + dxn−2 = A(n), n 3.
Bài toán 1.10. Tìm dãy s {xn } tho mãn
x1 = α, x2 = β, x3 = γ, axn+1 + bxn + cxn−1 + dxn−2 = A(n), n 3.
trong đó a, b, c, d, α, β, γ là các h ng s cho trư c, A(n) là bi u th c cho trư c.
Gi i. Trong d ng n y ta ch xét phương trình đ c trưng có nghi m th c.
Nghi m t ng quát phương trình sai phân tuy n tính c p ba có d ng xn = xn + x∗ ,
n
trong đó xn là nghi m t ng quát c a phương trình tuy n tính thu n nh t, và x∗ là
n
nghi m riêng c a phương trình tuy n tính không thu n nh t.
Phương trình đ c trưng
aλ3 + bλ2 + cλ + d = 0
i. Phương trình có ba nghi m th c λ1 , λ2 , λ3 phân bi t. Khi đó
xn = a1λn + a2 λn + a3λn
1 2 3
ii. Phương trình có m t nghi m th c b i 2 và m t nghi m đơn (λ1 = λ2 = λ3 ) thì
xn = (a1 + a2n)λn + a3 λn
1 3
iii. N u phương trình có nghi m b i 3(λ1 = λ2 = λ3 ) thì
xn = (a1 + a2 n + a3n2 )λn
1
G i x∗ là m t nghi m riêng c a phương trình tuy n tính không thu n nh t.
n
a) Xét A(n) là m t đa th c theo n. Ta có
+) N u λ = 1 thì x∗ là đa th c cùng b c v i A(n).
n
+) N u λ = 1 là nghi m đơn thì x∗ = n.B (n) trong đó B (n) là đa th c cùng b c v i
n
đa th c A(n)
+) N u λ = 1 là nghi m b i 2 thì x∗ = n2.B (n) trong đó B (n) là đa th c cùng b c
n
v i đa th c A(n)
+) N u λ = 1 là nghi m b i 3 thì x∗ = n3.B (n) trong đó B (n) là đa th c cùng b c
n
v i đa th c A(n).
b) Trư ng h p A(n) = χη n . Ta có
- 11
+) N u λ = η thì x∗ = k.n.η n
n
+) N u λ = η là nghi m đơn thì x∗ = k.η n ,
n
+) N u λ = η là nghi m b i 2 thì x∗ = k.n2η n ,
n
+) N u λ = η là nghi m b i 3 thì x∗ = kn3 .η n .
n
1.3.2 Dãy phân th c
Bài toán 1.11. Tìm dãy s {xn } tho mãn các đi u ki n
x2 + d
n
x1 = a, xn+1 = ,d 0. (1.5)
2xn
1 1 n −1
Gi i. Khi d = 0 ta có xn+1 = xn , suy ra xn = a.
2 2
Xét trư ng h p d > 0. Nh n xét r ng n u un , vn là các nghi m c a h phương trình
un+1 = u2 + dvn
2
n
vn+1 = 2un vn , u1 = 1, v1 = 1
un
thì xn = là nghi m c a phương trình (1.5). Th t v y, ta ch ng minh b ng quy
vn
n p như sau, khi n = 1 ta có
u1
x1 = =a
v1
un
Gi s xn = là nghi m c a (1.5). Khi đó
vn
u2
+d n
u2 + dvn2
x2 + d
un+1 v2
=n = n un = n
xn+1 =
vn+1 2un vn 2 vn 2xn
cũng là nghi m c a (1.5). Như v y đ tìm nghi m c a (1.5) ta gi i h
un+1 = u2 + dvn
2
n
2vn+1 = 2dun vn , u1 = a, v1 = 1
Th c hi n c ng theo v các phương trình trong h ta thu đư c:
√
dvn )2
un+1 + 2vn+1 = (un +
Do đó
√ √ √n
n
dvn )2 = · · · = (u1 + dv1 )2 = (a + d)2
un+1 + 2vn+1 = (un +
- 12
Tương t , tr v v i v các phương trình trong h ta cũng có:
√ √ √n
n
dvn )2 = · · · = (u1 − dv1 )2 = (a − d)2
un+1 − 2vn+1 = (un −
Do đó √n √n
1
u
n+1 = (a + d)2 + (a − d)2
2 √ √
1
vn+1 = √ (a + d)2n − (a − d)2n
2d
un
Do xn = suy ra
vn
√ √ n−1 √ n−1
d (a + d)2 + (a − d)2
√ √
xn =
(a + d)2n−1 − (a − d)2n−1
B ng quy n p ta ch ng minh đư c k t qu xn tho mãn bài toán đã cho.
Bài toán 1.12. Tìm dãy s {xn } tho mãn các đi u ki n
2xn
, n ∈ N∗ .
x1 = a, xn+1 =
1 + dx2
n
Gi i. Trư ng h p d = 0. Khi đó xn+1 = 2xn và xn = 2n−1 a.
Trư ng h p d > 0. Gi s un , vn là m t nghi m c a h phương trình
un+1 = u2 + dvn
2
n
vn+1 = 2un vn , u1 = 1, v1 = a.
un
thì xn = là m t nghi m c a phương trình (ch ng minh b ng quy n p). Ta có
vn
un+1 = u2 + dvn
2
n
√ √
dvn+1 = 2 dun vn , u1 = 1, v1 = a.
Th c hi n c ng v theo v c a các phương trình ta thu đư c
√ √
dvn )2
un+1 + dvn+1 = (un +
Như v y
√ √ √ √n
n
dvn )2 = · · · = (u1 + dv1)2 = (1 + a d)2
un+1 + dvn+1 = (un +
Th c hi n tr v theo v c a các phương trình ta thu đư c
√ √
dvn )2
un+1 − dvn+1 = (un −
- 13
Như v y
√ √ √ √n
n
dvn+1 = (un − dvn )2 = · · · = (u1 − dv1 )2 = (1 − a d)2
un+1 −
Suy ra
√ 2n √ 2n
1
un+1 = 1+a d + 1−a d
2
√ 2n √ 2n
1
vn+1 = √
1+a d − 1−a d
2d
un
Vì xn = nên
vn
√ √ √
2n−1 2n−1
d 1+a d + 1−a d
xn = √ √
2n−1 2n−1
1+a d − 1−a d
Trư ng h p d < 0. Đ t d = −k, k > 0. Gi s un , vn là m t nghi m c a h phương
trình
un+1 = u2 − kvn
2
n
vn+1 = 2un vn , u1 = 1, v1 = a.
un
thì xn = là nghi m c a phương trình đã cho. Tương t trư ng h p d > 0, ta có
vn
un+1 = u2 − kvn
2
n
vn+1 = 2un vn , u1 = 1, v1 = a.
un+1 = u2 − kvn2
n
√ √
⇔
i kvn+1 = 2i kun vn , u1 = 1, v1 = a.
√ √ √ n
un+1 + i kvn+1 = (un + i kvn )2 = (u1 + i kv1)2
⇔ √ √ √ n
un+1 − i kvn+1 = (un − i kvn )2 = (u1 − i kv1 )2
√ √
un+1 = 1 (1 + ai k )2n + (1 − ai k )2n
2
⇔ √ √
vn+1 = 1 (1 + ai k )2n − (1 − ai k )2n
√
2i k
Vy
√ √ n−1 √ n−1
i k (1 + ai k )2 + (1 − ai k )2
√ √
xn =
(1 + ai k )2n−1 − (1 − ai k )2n−1
Bài toán 1.13. Tìm dãy s {xn } tho mãn các đi u ki n
x2 + 9
n
x1 = 4, xn+1 = , (1.6)
2xn
- 14
Gi i. Nh n xét r ng n u un , vn là các nghi m c a h phương trình (1.6)
un+1 = u2 + 9vn
2
n
vn+1 = 2un vn , u1 = 4, v1 = 1
un
thì xn = là nghi m c a phương trình (1.6). Th t v y, ta ch ng minh b ng quy
vn
n p như sau, khi n = 1 ta có
u1
x1 = =4
v1
un
Gi s xn = là nghi m c a phương trình. Khi đó
vn
u2
+9 n
u2 + 9vn2
x2 + 9
un+1 v2
=n = n un = n
xn+1 =
vn+1 2un vn 2 vn 2xn
cũng là nghi m c a (1.6).
Như v y đ tìm nghi m c a (1.6), ta gi i h
un+1 = u2 + 9vn
2
n
3vn+1 = 6un vn , u1 = 4, v1 = 1
L n lư t c ng và tr theo v các đ ng th c c a h trên ta thu đư c:
n
72 +1
n n
un+1 + 3vn+1 = (un + 3vn )2 = (u1 + 3v1)2 = 72 un+1 = 2
⇔ n
72 − 1
n
un+1 − 3vn+1 = (un − 3vn )2 = (u1 − 3v1 )2 = 1 vn+1 = 6
Vy
n−1
3 72 +1
xn =
72n−1 − 1
1.4 M t s bài toán áp d ng
Bài toán 1.14. Tìm xn bi t r ng
x0 = 1, x1 = 4, xn+2 = 2(2n + 3)2 xn+1 − 4(n + 1)2 (2n + 1)(2n + 3)xn , n 0.
xn
Gi i. Đ t dãy s ph yn = . T công th c
(2n)!
xn+2 = 2(2n + 3)2 xn+1 − 4(n + 1)2 (2n + 1)(2n + 3)xn ,
- 15
suy ra
(2n + 4)!yn+2 = 2(2n + 3)2 .(2n + 2)!yn+1 − 4(n + 1)2 (2n + 1)(2n + 3).(2n)!yn
⇔(n + 2)yn+2 = (2n + 3)yn+1 − (n + 1)yn
⇔(n + 2)(yn+2 − yn+1 = (n + 1)(yn+1 − yn ) = · · · = y1 − y0
Như v y
y1 − y0 1
yn+2 = yn+1 + = yn+1 + (y1 − y0 )
n+2 n+2
1 1
= · · · = y0 + (y1 − y0) 1 + + · · · + .
2 n+2
1 1
Suy ra yn = y0 + (y1 − y0) 1 + + · · · + . V y nên
2 n
x1 1 1
xn = (2n)! x0 + − x0 1 + + · · · +
2 2 n
1 1
= 2.(2n)! 1 + + · · · +
2 n
Bài toán 1.15. Tìm xn bi t r ng
x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3, xn + 11xn−2 = 7xn−1 + 5xn−3 , n 4.
Gi i. Phương trình đ c trưng λ3 − 7λ2 + 11λ + 5 = 0 hay
(λ − 1)2 (λ − 5) = 0,
có nghi m λ1 = λ2 = 1, λ3 = 5. Suy ra
xn = (a1 + a2 n).1n + a3.5n = a1 + a2n + a3 .5n
Theo gi thi t x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3, ta có h
a1 + a2 + 5a3 = 0 a1 = − 1
16
3
⇔
a + 2a2 + 25a3 = 1 a=
1 2 4
a + 3a + 125a = 3 a =1
1 2 3 3 16
Vy
5n−1 3n 13
xn = + −.
16 4 16
Bài toán 1.16. Tìm dãy s {xn } tho mãn
x1 = 14, x2 = 28, xn+1 − 2xn + xn−1 = 4.3n , n 3.
- 16
Gi i. Phương trình đ c trưng λ2 − 2λ + 1 = 0 có nghi m kép λ = 1. Nghi m phương
trình có d ng xn = xn + x∗ , trong đó xn = (A + nB ).1n = (A + nB ) và x∗ = k.3n .
n n
Th x∗ vào trong phương trình, ta đư c
n
k.3n+1 − 2k.3n + k.3n−1 = 4.3n ⇔ k = 3
Suy ra x∗ = 3.3n .
n
Ta có xn = A + Bn + 3.3n . T x1 = 10, x2 = 28 suy ra A + B + 9 = 14 và
A + 2B + 27 = 28 ⇔ A = 9, B = −4.
V y nên
xn = 9 − 4n + 3.3n .
Bài toán 1.17. Cho dãy s {xn } xác đ nh b i các đi u ki n sau
i. x0 = 0, x1 = 1, x2 = 0
ii. V i m i n 1,
(n2 + n + 1)(n + 1)
n+1
xn+2 + (n2 + n + 1).
xn+3 + xn =
n n
Ch ng minh r ng dãy {xn } g m toàn các s chính phương v i m i n.
Gi i. Ta xét dãy yn như sau:
y0 = 0, y1 = 1, yn+2 = nyn+1 + yn , n 0.
Theo cách xác đ nh dãy suy ra dãy yn g m toàn các s nguyên và
yn+3 = (n + 1)yn+2 + yn+1 ,
yn = yn+2 − nyn+1 .
Suy ra
nyn+3 = n(n + 1)2 yn+2 + 2n(n + 1)yn+2 yn+1 + nyn+1
2 2 2
(n + 1)yn = (n + 1)yn+2 − 2n(n + 1)yn+1 yn+2 + (n + 1)n2 yn+1
2 2 2
Th c hi n c ng theo v và chia hai v cho n, ta thu đư c
n + 1 2 (n2 + n + 1)(n + 1) 2
2
yn+2 + (n2 + n + 1).
yn+3 + y=
nn n
2
Nh n xét r ng dãy {yn } tho mãn đi u ki n như dãy {xn } , do v y các ph n t c a
hai dãy trùng nhau, t c là
2
xn = yn .
V y dãy {xn } g m toàn các s chính phương.
- 17
Bài toán 1.18. Xác đ nh dãy s xn bi t r ng :
x1 = 1, , x2 = 0, xn+1 − 2xn + xn−1 = n + 1, n 2.
Gi i. Phương trình đ c trưng λ2 − 2λ + 1 = 0 có nghi m λ = 1. Nghi m c a phương
trình có d ng xn = xn + x∗ , trong đó xn = (A + Bn).1n = A + Bn và x∗ = n2 (an + b).
n n
Th x∗ vào phương trình, ta thu đư c
n
(n + 1)2 [a(n + 1) + b] − 2n2 (an + b) + (n − 1)2 [a(n − 1) + b] = n + 1.
L n lư t thay n = 1, n = 2, ta thu đư c h
1
a=
4(2a + b) − 2(a + b) = 2 3a + b = 1 6
⇔ ⇔
b=1
9(3a + b) − 8(2a + b) + (a + b) = 3 12a + 2b = 3
2
Suy ra
n1
x∗ = n 2 + .
n
62
T đó
n1
xn = xn + x∗ = A + Bn + n2 + .
n
62
T x1 = 1, x2 = 0, ta suy ra h
A+B+ 1 + 1 =1
A=4
A+B =3
62 ⇔ ⇔
B = − 11
A + 2B + 4. 1 + 1 = 0 A + 2B = − 10
3
3
32
Vy
n3 n2 11n
xn = + − + 4.
6 2 3
Bài toán 1.19. Tìm xn bi t
x1 = 1, xn+1 = 2xn + n2 + 2.2n , n ∈ N∗.
Gi i. Phương trình đ c trưng λ − 2 = 0 có nghi m λ = 2. Ta có xn = xn + x∗ + x∗∗ ,
n n
trong đó xn = c.2n , x∗ = an2 + bn + c, x∗∗ = An.2n . Thay x∗ vào trong phương trình
n n n
xn+1 = 2xn + n2, ta thu đư c
a(n + 1)2 + b(n + 1) + c = 2an2 + 2bn + 2c + n2
nguon tai.lieu . vn
