Xem mẫu
- TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN
Dương Th Thu Thuý
M T S TÍNH CH T
C A ĐA TH C TH C
VÀ ÁP D NG
Lu n văn th c s toán h c
Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ c p
Mã s : 60 46 40
Ngư i hư ng d n khoa h c:
GS.TSKH. Nguy n Văn M u
Quy Nhơn, năm 2008
- 0
M cl c
L i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Đ nh lý d ng Viète và các tính ch t liên quan 4
1.1 M t s tính ch t cơ b n c a đa th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các đ nh lý d ng Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Đ nh lý v s nghi m th c c a đa th c nguyên hàm . . . . . . . . . . . 8
2 Tính ch t nghi m c a các đa th c nguyên hàm 15
2.1 Nh n xét v nguyên hàm c a m t s đa th c d ng đ c bi t . . . . . . . 15
2.2 M t s bài toán kh o sát s nghi m th c c a đa th c nguyên hàm . . . 19
2.3 M t s b t đ ng th c liên quan đ n nguyên hàm c p hai . . . . . . . . 20
K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
- 1
L i nói đ u
Đa th c và các tính ch t liên quan đ n nó luôn đóng vai trò quan tr ng trong
đ i s và gi i tích. Đ c bi t, sau khi đ nh lý cơ b n c a đ i s (do Gauss ch ng minh)
kh ng đ nh r ng m i đa th c trên trư ng s ph c (khác h ng s ) luôn có ít nh t m t
nghi m th c ho c ph c, thì bài toán kh o sát s nghi m th c c a đa th c v i h s
th c là v n đ đư c quan tâm hàng đ u c a nhi u th h các nhà toán h c. Nh ng
k t qu đ u tiên theo hư ng này là c a Descartes v quy t c d u (thư ng đư c g i
là quy t c d u Descartes) đ xác đ nh s nghi m dương c a m t đa th c th c d a
vào s phân b d u c a dãy các h s c a đa th c đã cho. Ti p theo là các kh o sát
khác nhau v s nghi m c a đa th c trong m t kho ng cho trư c và các công th c
bi u di n đa th c theo các tính ch t c a chúng. Nh công c gi i tích, đ c bi t là
đ nh lý Lagrange và b đ Rolle, vi c kh o sát s nghi m th c c a các đa th c đ o
hàm (đ o hàm c a m t đa th c th c) đư c ti n hành d dàng hơn. Đó là, khi đa th c
P (x) ∈ R[x] có k nghi m th c thì đa th c P (x) s có ít nh t k − 1 nghi m th c.
M t câu h i t nhiên n y sinh là: Khi nào thì m t đa th c P (x) ∈ R[x] v i k
nghi m th c cho trư c s cho ta m t nguyên hàm (g i là đa th c nguyên hàm)
x
F 1 ( x) = P (t)dt (1)
x1
có đ k + 1 nghi m th c?
Tương t , khi nào thì m t đa th c P (x) ∈ R[x] v i k nghi m th c cho trư c s
cho m t nguyên hàm c p s (s > 1) (g i là đa th c nguyên hàm c p s) d ng
x
F s ( x) = Fs−1 (x)dt (2)
xs
có đ k + s nghi m th c?
- 2
Lu n văn nh m t p trung gi i quy t các câu h i trên. Đó chính là các đ nh lý
đ o c a đ nh lý Lagrange đ i v i l p các đa th c th c. Đ c bi t, đ i v i nh ng l p
đa th c không th a mãn các đi u ki n (1) và (2), ta s xét bài toán "n n l i" đ th
c a đa th c đó b ng cách thêm m t s nút n i suy đ các đi u ki n (1) và (2) đư c
tho mãn.
Ngoài ph n m đ u và k t lu n, lu n văn đư c chia thành 2 chương
Chương 1 bao g m ba ph n, trong ph n đ u tác gi khái quát l i m t s ki n
th c b tr v đa th c, đ o hàm c a đa th c và quy t c d u Descartes. Ph n th hai
là các đ nh lý d ng Viète, nêu cách bi u di n đa th c qua h nghi m c a nguyên hàm
k t h p v i phương pháp n i suy đa th c theo các y u t hình h c. Ph n ti p theo,
tác gi nêu lên đ nh lý v s nghi m c a đa th c nguyên hàm. Đ nh lý 1.11; 1.13 ch
ra đi u ki n c n và đ đ m t đa th c v i các nghi m đ u th c s cho m t nguyên
hàm cũng có các nghi m đ u th c. Trên cơ s đó trình bày đi u ki n đ t n t i đa
th c nguyên hàm t i c p tuỳ ý cho trư c sao cho s nghi m th c c a các nguyên hàm
đó tăng lên theo t ng c p c a nguyên hàm (Đ nh lý 1.12, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18
1.19 ).
Chương 2 bao g m ba ph n, ph n đ u cũng chính là ph n tr ng tâm c a chương
này. Tác gi đưa ra nh n xét v tính ch t nghi m c a các đa th c nguyên hàm có
d ng đ c bi t và đưa ra cách "n n l i" đ th c a các đa th c đó đ các đa th c nh n
đư c tho mãn đi u ki n (1) và (2) (Đ nh lý 2.1, 2.2). Ph n ti p theo, lu n văn trình
bày m t s bài toán kh o sát s nghi m th c c a đa th c nguyên hàm. Ph n cu i
cùng, tác gi d a vào các tính ch t c a hàm l i, lõm đ bư c đ u xây d ng m t s
d ng b t đ ng th c đ i v i đa th c nguyên hàm.
Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n khoa h c đ y nhi t tâm và nghiêm
kh c c a GS.TSKH. Nguy n Văn M u. Nhân d p này, tác gi xin đư c bày t lòng
bi t ơn chân thành và kính tr ng sâu s c đ i v i Giáo sư - ngư i th y đã truy n đ t
nhi u ki n th c quý báu cũng như nh ng kinh nghi m nghiên c u khoa h c trong
su t th i gian tác gi theo h c và nghiên c u đ tài. Đ ng th i, tác gi cũng xin bày
t lòng bi t ơn sâu s c đ n Ban Giám Hi u trư ng Đ i h c Quy Nhơn, Phòng Đào
t o Đ i h c và Sau Đ i h c, các anh ch , b n bè l p cao h c Toán K8-Đ i h c Quy
Nhơn và gia đình đã t o m i đi u ki n thu n l i và đ ng viên tác gi trong su t quá
trình h c t p, công tác và th c hi n đ tài lu n văn này.
- 3
H th ng các ký hi u
s d ng trong lu n văn
- deg f (x) là b c c a đa th c f (x).
- F0(x) là nguyên hàm (c p 1) c a đa th c f (x) ng v i h ng s c = 0,
t c là F0(x) tho mãn đi u ki n F0(0) = 0.
- Fc(x) là nguyên hàm (c p 1) c a đa th c f (x) ng v i h ng s c,
t c là Fc (x) = F0 (x) + c v i c ∈ R.
- F0,k (x) là nguyên hàm c p k c a đa th c f (x) ng v i h ng s c = 0,
t c là F0,k (x) tho mãn đi u ki n F0,k (0) = 0.
- Fc,k (x) là nguyên hàm c p k c a đa th c f (x) ng v i h ng s c,
t c là Fc,k (x) = F0,k (x) + c v i c ∈ R.
- Hn là t p h p đa th c v i h s th c Pn (x) b c n (n > 0) v i h s t do b ng 1
(Pn (0) = 1) và có các nghi m đ u th c.
- Mk (f ) là t p h p các nguyên hàm c p k c a đa th c f (x).
- R[x] là t p h p đa th c v i h s th c.
- sign a là d u c a s th c a, t c là
+
khi a > 0
sign a := 0 khi a = 0
− khi a < 0.
- 4
Chương 1
Đ nh lý d ng Viète và các tính ch t
liên quan
1.1 M t s tính ch t cơ b n c a đa th c
Đ nh nghĩa 1.1. M t đa th c b c n c a n x là bi u th c có d ng
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
trong đó các h s an , an−1 , . . . , a0 là nh ng s th c (ho c ph c)
và an = 0, n ∈ N.
Ta kí hi u
i.B c c a đa th c Pn (x) là deg Pn (x). Do v y deg Pn (x) = n.
ii. an - h s b c cao nh t (chính) c a đa th c.
Chú ý 1.1. Trong lu n văn này ta ch xét các đa th c Pn (x) v i các h s c a nó
đ u là th c và g i t t là đa th c th c. Ký hi u t p h p các đa th c v i h s th c là
R[x].
Đ nh nghĩa 1.2. Cho đa th c
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an = 0),
s α ∈ C đư c g i là nghi m c a đa th c Pn (x) n u Pn (α) = 0. N u t n t i k ∈
.
N, k > 1, sao cho Pn (x).(x − α)k nhưng Pn (x) không chia h t cho (x − α)k+1 thì α
.
đư c g i là nghi m b i b c k c a đa th c f (x).
- 5
Đ c bi t, khi k = 1 thì α đư c g i là nghi m đơn, k = 2 thì α đư c g i là nghi m
kép.
Chú ý 1.2. Nghi m c a đa th c th c còn đư c g i là không đi m c a đa th c đó.
Đ nh lý 1.1 (Gauss). M i đa th c b c n 1 trên trư ng C đ u có đúng n nghi m
n u m i nghi m đư c tính m t s l n b ng b i c a nó.
Đ nh lý 1.2. M i đa th c f (x) ∈ R[x] b c n, v i h s chính an = 0, đ u có th
phân tích thành nhân t d ng
m s
(x2 + bk x + ck )
f (x) = an (x − di )
j =1 k =1
v i di , bk , ck ∈ R, 2s + m = n, b2 − 4ck < 0, m, n ∈ N∗.
k
H qu 1.1.
(1) S nghi m ph c c a m t đa th c v i h s th c (n u có) luôn luôn là s ch n.
(2) N u đa th c f (x) v i h s th c ch có nghi m ph c thì f (x) là m t đa th c b c
ch n.
(3) N u đa th c b c n có k nghi m th c k n thì n và k cùng tính ch n l .
(4) Đa th c b c l v i h s th c luôn có ít nh t m t nghi m th c.
Đ nh lý 1.3. M i đa th c th c b c n đ u có không quá n nghi m th c.
Đ nh lý 1.4 (Tính ch t hàm c a đa th c). M i đa th c P (x) ∈ R[x] đ u xác
đ nh và liên t c trên R. Ngoài ra, khi
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1x + a0, an = 0,
và x → +∞ thì P (x) → sign (an )∞.
Khi x → −∞ thì P (x) → (−1)n sign (an )∞.
Ti p theo, ta xét m t s tính ch t c a đa th c đ o hàm.
Đ nh lý 1.8. N u x0 là nghi m b i b c s (s ∈ N, s > 1) c a đa th c f (x) ∈ R[x] và
x0 cũng là nghi m c a nguyên hàm F (x) c a f (x) thì x0 là nghi m b i b c s + 1 c a
đa th c nguyên hàm F (x).
- 6
Ta chuy n sang xét quy t c d u Descartes .
Xét dãy s th c a0, a1, a2 , . . ..
Đ nh nghĩa 1.3. Ch s m (m ∈ N, m 1) đư c g i là v trí (ch ) đ i d u c a dãy
n u có am−1 am < 0 ho c là
am−1 = am−2 = · · · = am−(k−1) = 0 trong đó am−k am < 0 (m k 2).
Trong trư ng h p th nh t thì am−1 và am, còn trong trư ng h p th 2 thì am−k và
am l p thành v trí đ i d u. S l n đ i d u (b ng s v trí đ i d u) c a m t dãy nào
đó v n không thay đ i n u các s h ng b ng 0 đư c b đi còn nh ng s h ng còn l i
v n b o toàn v trí tương đ i c a chúng.
Đ nh nghĩa 1.4. Ta coi s đ i d u và v trí đ i d u c a đa th c
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1x + a0
chính là s đ i d u và v trí đ i d u c a dãy h s tuỳ ý
an , an−1 , . . . , a1, a0.
Tính ch t 1.7 (Quy t c d u Descartes). Gi s N là s không đi m dương c a
đa th c
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
và W là s l n đ i d u trong dãy các h s c a nó. Ta có W N và W − N là m t
s ch n.
Tính ch t 1.8. Cho đa th c f (x) = a0 + a1x + a2 x2 + · · · + an xn (an = 0) có các
nghi m đ u th c, g i W là s v trí đ i d u c a dãy h s a0 , a1, . . . , an và N là s
không đi m dương c a đa th c f (x) thì W = N.
1.2 Các đ nh lý d ng Viète
Đ nh lý Rolle đã cho ta m t thu t toán d ng các đa th c có các nghi m đ u
th c t các đa th c có các nghi m đ u th c cho trư c b ng phép l y đ o hàm. Ta
đã bi t r ng, m i đa th c có các nghi m đ u th c đ u đư c bi u di n m t cách duy
- 7
nh t qua h nghi m c a nó. Đó chính là n i dung c a đ nh lý Viète quen thu c trong
chương trình toán c a b c ph thông.
Nh n xét r ng, đ nh lý Viète đã ch ra m i quan h gi a b các nghi m c a đa
th c v i t t c các h s trong đa th c đó. Tuy nhiên, ta cũng có th phát bi u k t
qu tương t trong trư ng h p khi ta còn chưa tư ng minh các nghi m c a m t đa
th c. Đi u này r t có ý nghĩa khi xét các đi u ki n đ m t đa th c có t t c các
nghi m đ u th c. Trư c h t, ta xét m t s d ng đa th c có b c th p.
B đ 1.2 (Đ nh lý d ng Viète đ i v i tam th c b c hai).
Tam th c b c hai v i h s th c f (x) = 3x2 − 2bx + c có nghi m th c khi và ch khi
các h s b, c có d ng
b = α + β + γ
(1.1)
c = αβ + βγ + γα.
trong đó α, β, γ ∈ R.
B đ 1.3 (Đ nh lý d ng Viète đ i v i đa th c b c 3).
Đa th c b c 3 v i h s th c f (x) = −4x3 + 3ax2 − 2bx + c có các nghi m đ u th c
khi và ch khi các h s a, b, c có d ng
a=α+β+γ+δ
(1.2)
b = αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ
c = αβγ + αβδ + αγδ + βγδ
trong đó α, β, γ, δ ∈ R.
Ví d 1.1. Cho α = 1, β = −1, γ = 2, δ = 4 thay vào công th c (1.2) ta thu đư c
a = −5, b = 5, c = −5.
Khi đó đa th c f (x) = −4x3 + 15x2 − 10x − 5 có 3 nghi m th c là
x1 ≈ −0, 33; x2 ≈ 1, 47; x3 ≈ 2, 61.
Nh n xét r ng, n u ta ch n m = −6(= αβγδ ) thì đa th c nguyên hàm
F (x) = −x4 + 5x3 − 5x2 − 5x + 6
có b n nghi m th c (x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3).
Đ i v i các nh th c b c nh t ta luôn ch n đư c nguyên hàm là các tam th c
b c hai có nghi m th c, k t h p v i b đ 1.2 và b đ 1.3, ta có h qu sau đây.
- 8
H qu 1.3. M i đa th c b c nh hơn 4 có các nghi m đ u th c luôn t n t i nguyên
hàm cũng có các nghi m đ u th c.
Đ i v i các đa th c có b c n (n 4) thì đi u ki n c n đ ng v i m t đa th c
có các nghi m đ u th c cho ta ít nh t m t nguyên hàm cũng có các nghi m đ u th c
s đư c trình bày m c sau. Tuy nhiên, t h qu (1.2), ta có ngay đi u ki n đ cho
các đa th c có b c tuỳ ý.
Đ nh lý 1.10 (Đ nh lý d ng Viète t ng quát). Đa th c
f (x) = (n + 1)xn + (−1)na1 xn−1 + (−1)2 (n − 1)a2xn−2 + · · · + (−1)n an
v i các h s a1 , a2, . . . , an có d ng
ak = Ek (¯), k = 1, 2, . . . , n
x (1.3)
luôn luôn có các nghi m đ u th c, trong đó Ek (¯) là các hàm đ i x ng Viète b c k
x
theo các bi n th c x1, x2, . . . , xn+1 ,
1.3 Đ nh lý v s nghi m th c c a đa th c nguyên
hàm
Nh n xét r ng, ng v i m i đa th c f (x) ∈ R[x] cho trư c luôn t n t i vô s
nguyên hàm, chúng sai khác nhau m t h ng s th c. Vì v y, tuy đa th c đã cho có
các nghi m đ u th c nhưng nhìn chung các nguyên hàm c a nó không có tính ch t
đó.
V sau, đ ng n g n trong cách trình bày, ta g i m i nguyên hàm c a m t đa
th c là đa th c nguyên hàm.
M t câu h i t nhiên n y sinh là: V i nh ng đi u ki n nào thì đa th c
m
(x − xk )rk , x1
f ( x) = x2 ··· xm , r1 + · · · + rm = n
k =1
s có ít nh t m t nguyên hàm (đa th c nguyên hàm) c a nó có các nghi m đ u th c?
Đ i v i đa th c có b c tuỳ ý, đ nh lý 1.10 đã cho ta câu tr l i c a đi u ki n đ .
Ta d dàng ch ra đi u ki n c n (b đ 1.2 và b đ 1.3) cho các đa th c có b c không
- 9
vư t quá 3. Tuy nhiên đ i v i các đa th c có b c l n hơn 3 thì bài toán tr nên ph c
t p hơn nhi u.
Ch ng h n, ta xét đa th c b c 4
f (x) = x4 − 2x3 + x2
có b n nghi m th c (x1 = x2 = 0, x3 = x4 = 1) nhưng nguyên hàm
1 1 1
F c ( x) = x5 − x4 + x3 − c
5 2 3
có s nghi m th c không vư t quá 3 v i m i c ∈ R.
Th t v y, do hàm s f (x) = x2(x − 1)2 0, ∀x nên nguyên hàm F (x) luôn đ ng
bi n, vì th v i m i c ∈ R thì đư ng th ng y = c c t đ th c a hàm s
1 1 1
F 0 ( x) = x5 − x4 + x3
5 2 3
t i duy nh t m t đi m. Đ c bi t, n u ch n c = 0 thì giao đi m trên là đi m b i 3.
Ti p theo ta xét đa th c
f (x) = 5x4 + 5x3 − 65x2 − 5x + 60
có b n nghi m phân bi t x1 = −4, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 3.
Suy ra nguyên hàm
5 65 5
F0 (x) = x5 + x4 − x3 − x2 + 60x
4 3 2
đ t c c đ i t i các nút x1 = −4, x3 = 1 và đ t c c ti u t i các nút x2 = −1, x4 = 3.
Sau đây là đ th c a nguyên hàm F0 (x).
- 10
Quan sát đ th ta th y s nghi m c a nguyên hàm Fc (x) = F0(x) − c ph thu c
vào giá tr c a h ng s c như sau:
- N u c < F0 (x2) ho c c > F0(x3) thì đư ng th ng y = c c t đ th hàm s F0(x)
t i không quá ba đi m. Khi đó, nguyên hàm Fc (x) có không quá ba nghi m th c.
- N u F 0 ( x2 ) c F0 (x3) thì đư ng th ng y = c c t đ th hàm s F0(x) t i 5
đi m (k c đi m b i). Suy ra nguyên hàm Fc (x) có t t c các nghi m đ u th c.
V y v i đi u ki n nào thì m t đa th c b c 4 có các nghi m đ u th c s cho m t
nguyên hàm cũng có các nghi m đ u th c?
Ta có câu tr l i dư i d ng b đ sau đây.
B đ 1.4. Gi s đa th c
f (x) = 5(x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4), x1 x2 x3 x4
có nguyên hàm F0(x) là đa th c b c 5 v i h s th c
F0(x) = x5 − a1x4 + a2x3 − a3x2 + a4 x.
Khi đó, đi u ki n c n và đ đ t n t i h ng s th c c sao cho nguyên hàm
F c ( x) = F 0 ( x) − c
có các nghi m đ u th c là
F 0 ( x1 ) F 0 ( x4 ) . (1.4)
Sau đây là đi u ki n đ m t đa th c b c cao có các nghi m đ u th c cho m t
nguyên hàm cũng có các nghi m đ u th c.
Đ nh lý 1.11. Gi s f (x) là đa th c b c n (n 4) có các nghi m đ u th c
f (x) = (−1)n (n + 1)(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xn ), x1 x2 x3 ··· xn ;
F0(x) là m t nguyên hàm c a f (x) tho mãn đi u ki n F0(0) = 0. Khi đó, đi u ki n
c n và đ đ t n t i s th c c sao cho nguyên hàm
F c ( x) = F 0 ( x) − c
có các nghi m đ u th c là
max F0(x2i) min F0(x2j +1 ).
1≤ i ≤[ n ] 0≤j ≤[ n−1 ]
2 2
- 11
Nh n xét r ng, đ nh lý 1.11 đã ch ra đi u ki n c n và đ đ các đa th c có các
nghi m đ u th c t n t i nguyên hàm b c 1 cũng có các nghi m đ u th c. V n đ ti p
theo đư c đ t ra: V i đi u ki n nào thì đa th c có các nghi m đ u th c có s nghi m
th c tăng lên theo m i c p c a nguyên hàm?
D dàng nh n th y, đ i v i các nh th c b c nh t và tam th c b c hai, tính ch t
trên hi n nhiên đúng. Sau đây ta kh o sát các đa th c b c cao hơn.
Đ nh lý 1.12. Gi s f (x) ∈ R[x] là đa th c b c n (n 4) có n nghi m th c
f (x) = (−1)n (x − x0,1)(x − x0,2) . . . (x − x0,n ), x0,1 x 0, 2 ··· x0,n .
G i Mk (f ) là t p h p các nguyên hàm c p k c a đa th c f (x). Khi đó, đi u ki n c n
và đ đ t n t i đa th c Fc,k (x) ∈ Mk (f ) có n + k nghi m th c là
(−1)k+1 F0,k (xk−1,2i) (−1)k+1 F0,k (xk−1,2j +1)
max min (1.6)
n+k −1 n+k −2
1≤ i ≤[ 2 ] 0≤ j ≤ [ 2 ]
trong đó xk−1,i là nghi m th i c a nguyên hàm c p k − 1,
F0,k (x) là nguyên hàm c p k c a f (x) tho mãn đi u ki n F0,k (0) = 0 và F0,0(x) =
f ( x) .
Sau đây ta m r ng đ nh lý 1.11 cho các đa th c có s nghi m th c nh thua
ho c b ng b c c a đa th c đó.
Trư c h t ta xét m t s trư ng h p đ c bi t ng v i các đa th c có s nghi m
th c khá nh .
B đ 1.5. ng v i m i đa th c f (x) ∈ R[x] có m t nghi m th c cho trư c đ u t n
t i nguyên hàm có ít nh t hai nghi m th c.
B đ 1.6. ng v i m i đa th c f (x) ∈ R[x] có hai nghi m th c cho trư c đ u t n
t i nguyên hàm có ít nh t ba nghi m th c.
B đ 1.7. ng v i m i đa th c f (x) ∈ R[x] có ba nghi m th c cho trư c đ u t n t i
nguyên hàm có ít nh t b n nghi m th c.
Các b đ nêu trên kh ng đ nh r ng m i đa th c có không quá ba nghi m th c
cho trư c luôn t n t i nguyên hàm có nhi u hơn đa th c đó ít nh t m t nghi m th c.
Tuy nhiên, đ i v i các đa th c có s nghi m th c l n hơn ba tính ch t đó không còn
đúng n a.
- 12
Ch ng h n, xét đa th c f (x) = x6 − x4 − x2 + 1 có b n nghi m th c
x1 = x2 = −1, x3 = x4 = 1
1 1 1
nhưng nguyên hàm Fc (x) = x7 − x5 − x3 + x − c có không quá 3 nghi m th c v i
7 5 3
m i c ∈ R.
Sau đây, ta kh o sát ti p các đi u ki n đ m i đa th c có b n nghi m th c tho
mãn các đi u ki n đó đ u t n t i nguyên hàm có ít nh t năm nghi m th c.
B đ 1.8. Gi s đa th c
f (x) = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )(x − x4 )g (x), x1 x2 x3 x4 ,
trong đó g (x) > 0 ∀x ∈ R. Gi s F0 (x) là m t nguyên hàm c a đa th c f (x) tho
mãn đi u ki n F0(0) = 0. Khi đó, đi u ki n c n và đ đ t n t i s th c c sao cho
nguyên hàm
F c ( x) = F 0 ( x) − c
có ít nh t 5 nghi m th c là
F 0 ( x1 ) F 0 ( x4 ) . (1.5)
Ta phát bi u k t qu m r ng đ nh lí 1.11 và b đ 1.8 dư i d ng đ nh lý sau
đây.
Đ nh lý 1.13. Gi s đa th c f (x) b c n (n 5) có s (5 s n) nghi m th c có
d ng
f (x) = (−1)n (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xs )g (x), x1 x2 x3 ··· xs ,
trong đó g (x) = 0, ∀x ∈ R.
Gi s F0(x) là m t nguyên hàm c a f (x) tho mãn đi u ki n F0(0) = 0. Khi đó
đi u ki n c n và đ đ t n t i c ∈ R sao cho nguyên hàm
F c ( x) = F 0 ( x) − c
có ít nh t s + 1 nghi m th c là
max F0(x2i ) c min F0(x2j +1 ). (1.12)
1≤ i ≤[ s ] 0≤j ≤[ s−1 ]
2 2
- 13
Đ nh lý 1.13 đã ch ra tiêu chu n đ nh n bi t s t n t i nguyên hàm c p 1 c a đa
th c f (x) sao cho nguyên hàm đó nhi u hơn đa th c f (x) m t nghi m th c. Nhưng
khi c p c a nguyên hàm tăng lên thì có t n t i hay không dãy nguyên hàm có s
nghi m th c cũng tăng lên theo c p c a nó?
Trư c h t ta xét các đa th c có s nghi m th c nh hơn 4.
Đ nh lý 1.14. Gi s đa th c f (x) ∈ R[x] có 1 nghi m th c. G i Ms (f ) là t p h p
các nguyên hàm c p s c a đa th c f (x). Khi đó, ng v i m i s nguyên dương s đ u
t n t i đa th c Fs (x) ∈ Ms (f ) có ít nh t s + 1 nghi m th c.
Sau đây ta xét các đa th c có hai nghi m th c theo phương pháp tương t như
trên.
Đ nh lý 1.15. Gi s đa th c f (x) ∈ R[x] có hai nghi m th c. G i Ms (f ) là t p
h p các nguyên hàm c p s c a đa th c f (x). Khi đó, ng v i m i s nguyên dương s
đ u t n t i đa th c Fs (x) ∈ Ms (f ) có (s + 2) nghi m th c.
Đ nh lý 1.16. Gi s đa th c f (x) ∈ R[x] có ba nghi m th c. G i Ms (f ) là t p h p
các nguyên hàm c p s c a đa th c f (x). Khi đó, ng v i m i s nguyên dương s đ u
t n t i đa th c Fs (x) ∈ Ms (f ) có s + 3 nghi m th c.
Các đ nh lý 1.14, 1.15, 1.16 đã kh ng đ nh r ng các đa th c có s nghi m th c
ít hơn 4 luôn t n t i dãy các nguyên hàm có s nghi m th c tăng lên theo m i b c
c a nguyên hàm. Tuy nhiên, vi c m r ng các đ nh lý trên cho các đa th c b c n có
k nghi m th c tuỳ ý (k < n) ch đúng trong các trư ng h p đ c bi t. C th , ta có:
Đ nh lý 1.17. Gi s đa th c f (x) ∈ R[x] có b c b ng n và có m(m < n) nghi m
th c b i m. G i Ms (f ) là t p h p các nguyên hàm c p s c a đa th c f (x). Khi đó,
ng v i m i s nguyên dương s đ u t n t i đa th c Fs (x) ∈ Ms (f ) có s + m nghi m
th c.
Đ nh lý 1.18. Gi s đa th c f (x) ∈ R[x] có b c b ng n và có m(m < n) nghi m
th c phân bi t. G i Ms (f ) là t p h p các nguyên hàm c p s c a đa th c f (x). Khi
đó, đ ng v i m i s nguyên dương s đ u t n t i đa th c Fs (x) ∈ Ms (f ) có s + m
nghi m th c thì
F0,i (xj )F0,i(xj +1 ) < 0.(j ∈ {1, 2 . . . s + k − 1}; i ∈ {1, 2, . . . , s})
Trong đó xj , xj +1 là hai nghi m liên ti p nhau c a đa th c nguyên hàm c p i F0,i(x)
- 14
B đ 1.9. Gi s đa th c f (x) ∈ R[x] có b c b ng n và có m(m < n) nghi m th c
x1 < x2 < · · · < xα−1 < xα = xα+1 = · · · = xβ < xβ +1 <
< · · · < xγ −1 < xγ = xγ +1 = · · · = xδ < xδ+1 < · · · < xm
G i M2 (f ) là t p h p các nguyên hàm c p 2 c a đa th c f (x). Khi đó, t n t i đa th c
F2(x) ∈ M2(f ) có 2 + m nghi m th c thì c2 ∈ max F0,2(x1 ), min F0,2(x1 ) , trong
CT CD
đó
c2 = F0,2(x1 ) = · · · = F0,2(x1 ) = · · · = F0,2(x1 ) = · · · = F0,2(x1) (1.13)
α β γ δ
v i x1 là nghi m th i c a nguyên hàm c p 1, x1 (x1 ) là nghi m c a đa th c
i CT CD
F0,1(x) = 0 sao cho F0,1(x) chuy n d u t (-) sang (+) tương t F0,1(x) chuy n
d u t (+) sang (-) F0,2(x) là nguyên hàm c p 2 c a f (x) th a mãn F0,2(0) = 0,
F0,0(x) = f (x) và
2 ≤ γ − β. (1.14)
Nh n xét 1.1. Tương t cách ch ng minh b đ (1.9) chúng ta khái quát đư c k t
qu t ng quát sau đây :
Đ nh lý 1.19. Gi s đa th c f (x) ∈ R[x] có b c b ng n và có m(m < n) nghi m
th c
x1 < x2 < · · · < xα−1 < xα = xα+1 = · · · = xβ < xβ +1 <
< · · · < xγ −1 < xγ = xγ +1 = · · · = xδ < xδ+1 < · · · < xm
G i Mk (f ) là t p h p các nguyên hàm c p k c a đa th c f (x). Khi đó, đ ng v i
m i s nguyên dương s đ u t n t i đa th c Fs (x) ∈ Mk (f ) có k + m nghi m th c thì
ck = F0,k (xk−1 ) = · · · = F0,k (xk−1 )
α β
= · · · = F0,k (xk−1 ) = · · · = F0,k (xk−1 )
γ δ
max F0,k (xk−1 ), min F0,k (xk−1 ) ,
∈ CT CD
trong đó xk−1 là nghi m th i c a nguyên hàm c p k − 1, xk−1 (xk−1 ) là nghi m c a
i CT CD
đa th c F0,k−1(x) = 0 sao cho F0,k−1(x) chuy n d u t (-) sang (+) tương t
F0,k−1(x) chuy n d u t (+) sang (-) F0,k (x) là nguyên hàm c p k c a f (x) th a
mãn F0,k (0) = 0, F0,0(x) = f (x) và
k ≤ γ − β. (1.17)
- 15
Chương 2
Tính ch t nghi m c a các đa th c
nguyên hàm
2.1 Nh n xét v nguyên hàm c a m t s đa th c
d ng đ c bi t
Nh n xét 2.1. Cho đa th c f (x) v i h s th c (đa th c th c) b c n có n nghi m
th c. Khi đó luôn tìm đư c đi u ki n c n và đ đ t n t i đa th c nguyên hàm F (x)
c a nó có các nghi m đi u th c
V y v n đ đ t ra là: Không ph i lúc nào nguyên hàm F (x) cũng có đ n + 1
nghi m th c, đi u đó còn ph thu c vào s phân b nghi m c a đa th c đã cho f (x).
Ta xét đa th c g (x) b ng cách thêm vào đa th c f (x) các 0-đi m (nghi m) đ khi
đó x
g (t)dt
x1
có nhi u hơn đa th c g (x) m t nghi m.
Trư c tiên ta s xem xét các đa th c có d ng
f ( x ) = x k0 ( x + λ 1 ) k1 ( x + λ 2 ) k2 · · · ( x + λ n ) kn ,
trong đó
λ1 < λ2 < · · · < λn , k0 , k1 , . . . , kn ∈ N∗ ki > 1 k0 + k1 + k2 + · · · + kn = N.
- 16
Đ nh lý 2.1. Cho đa th c
f ( x ) = x k0 ( x + λ 1 ) k1 ( x + λ 2 ) k2 · · · ( x + λ n ) kn ,
trong đó
λ1 = λ2 = · · · = λn , k0 , k1 , . . . , kn ∈ N∗ ki ≥ 2, k0 + k1 + k2 + · · · + kn = N.
Đ t g (x) = f (x)(xn + Bn−1 x2 + Bn−2 x + · · · + B1 x + B0), ta có deg g (x) = N + n. Khi
đó đi u ki n c n và đ đ t n t i m t đa th c nguyên hàm G(x) c a g (x) có N + n + 1
nghi m là
n
λi N + n − ki
B i=1
n −1 =
N + n +n 1
n
N +n−1 2 1 1
B
n −2 = λ2 + λi λj −
N + n + 1 i=0 ki + 1 ki + 1 kj + 1
i=1 i=j
n n n
1 2 1 1
λ2 +
−Bn−1 λi −
ki ki ki kj
i=0 i=0 j =0i=j
···
n
k0 + 2
λj (ki + 1) − B0 ki
n N + n + 1 j =1
B =
1
λi
i=0
n
k0 + 1
B =
0 λi
N + n + 1 i=1
Ví d 2.1. Cho đa th c f (x) = x2 (x + 1)3 (x − 1)3 . Đa th c này có m t nguyên hàm
tương ng F0(x) có t i đa b n nghi m th c khi đư ng th ng y = 0 đi qua F0(1) ho c
đi qua F0(1).
Theo b đ (2.2), ta có k = 2, l = 3; λ1 = −1, h = 3; λ2 = 1.
3 3
Do đó đa th c c n thêm (x2 − ), t c là c n thêm vào hai 0−đi m x1 = ; x2 =
11
11
3
− , khi đó ta s xét đa th c
11
3 36 42 20 3 3
g (x) = f (x)(x2 − ) = x10 − x8 + x6 − x4 − x2)(x2 −
11 11 11 11 11 11
có m t nguyên hàm tương ng là
x3 8 x3
x − 4x6 + 6x4 − 4x2 + 1 = (x − 1)4 (x + 1)4
G0 (x) =
11 11
có 11 nghi m th c.
- 17
Ví d 2.2. Cho đa th c f (x) = x2 (x +1)3(x − 1)3(x +2)2. Đa th c này có m t nguyên
hàm tương ng F0(x) có t i đa b n nghi m th c khi đư ng th ng y = 0 đi qua F0 (1)
ho c đi qua F0 (1). Khi đó ta xét đa th c
22 2 6 6
g (x) =f (x)(x3 + x − x− )
14 14 14
có m t nguyên hàm tương ng là
x3
(x + 1)4 (x − 1)4 (x + 2)3
G0 (x) =
14
có 14 nghi m th c.
Ta ti p t c xét các đa th c có d ng
f (x) = xk0 (x + λ1 )k1 (x + λ2 )k2 · · · (x + λn )kn (x + β1)(x + β2) · · · (x + βm ),
trong đó
λ1 = λ2 = · · · = λn , k0 , k1 , . . . , kn ∈ N∗ ki ≥ 2, k0 + k1 + k2 + · · · + kn = N.
Đ nh lý 2.2. Cho đa th c
f (x) = xk0 (x + λ1 )k1 (x + λ2 )k2 · · · (x + λn )kn (x + β1)(x + β2) · · · (x + βm ),
trong đó
λ1 = λ2 = · · · = λn , k0 , k1 , . . . , kn ∈ N∗ ki ≥ 2, k0 + k1 + k2 + · · · + kn = N.
Đt
g (x) = f (x)(xn + Bn0 −1 x2 + Bn0 −2 x + · · · + B1x + B0 ), n0 = n + m − 1.
0
Ta đư c
deg g (x) = N + 2m + n − 1, đ t deg g (x) = h − 1.
Khi đó đi u ki n c n và đ đ t n t i m t đa th c nguyên hàm G0 (x) c a g (x) có
- 18
N + n + 2m = h nghi m là
n n
(h − 2)E1 (β ) + h λi − (ki + 1)λi
Bn0 −1 = i=1 i=1
h
n
h−2 2
B
n 0 −2 = E1 (β ) + 2E1 (β ) (ki + 1)λi + 2E2 (β )
h
i=1
n n n
2 1 1
λ2 +
+ λi λj − Bn0 −1 ki λi + E1 (β )
i
ki +1 ki +1 kj +1
i=1 i=1i=j i=1
n n n
2 1 1
λ2 −
− λi λj − E1 (β ) ki λi − E2 (β )
i
ki ki kj
i=1 i=1 i=1
···
n
λj n
n
k0 + 2 Em−1 (β ) ki
B = j =1
1 λi + Em (β ) + Em−1 (β )
h Em (β ) i=1 h λ
i=1 i
n
B0 = k0 + 1 λi Em (β ).
h i=1
2.3. Cho đa th c f (x) = x2(x + 1)2 (x − 2). Đa th c này có m t nguyên hàm
Ví d
tương ng F0(x) có t i đa 3 nghi m th c khi đư ng th ng y = 0 đi qua F0(0) ho c đi
qua F0(−1).
Ta xét đa th c
7 6
g (x) = f (x)(x2 − x − )
8 8
có m t nguyên hàm tương ng là
x3 5
x − x4 + 5x3 + x2 + x + 4
G0 (x) =
8
x3
= (x + 1)3 (x − 2)2 .
8
Đa th c G0 (x) = 0 có 8 nghi m th c.
Ví d 2.4. Cho đa th c f (x) = x2(x + 1)2 (x − 2)(x − 1). Đa th c này có m t nguyên
hàm tương ng F0(x) có t i đa 3 nghi m th c khi đư ng th ng y = 0 đi qua F0 (0)
ho c đi qua F0 (−1).
Ta xét đa th c
17 2 3 6
g (x) =f (x)(x3 − x − x+ )
10 10 10
có m t nguyên hàm tương ng là
x3 7
x − 3x6 − 2x5 + x4 − 11x2 + 4
G0 (x) =
10
x3
= (x + 1)3 (x − 2)2 (x − 1)2 .
10
nguon tai.lieu . vn
