Xem mẫu
- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………..
LUẬN VĂN
Một số tính chất của đa thức
- 0
M cl c
L i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Đ nh lý d ng Viète và các tính ch t liên quan 4
1.1 M t s tính ch t cơ b n c a đa th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các đ nh lý d ng Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Đ nh lý v s nghi m th c c a đa th c nguyên hàm . . . . . . . . . . . 14
2 Tính ch t nghi m c a các đa th c nguyên hàm 57
2.1 Nh n xét v nguyên hàm c a m t s đa th c d ng đ c bi t . . . . . . . 57
2.2 M t s bài toán v kh o sát s nghi m th c c a đa th c nguyên hàm . 72
2.3 M t s b t đ ng th c liên quan đ n nguyên hàm c p hai . . . . . . . . 82
K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
- 1
L i nói đ u
Đa th c và các tính ch t liên quan đ n nó luôn đóng vai trò quan tr ng trong
đ i s và gi i tích. Đ c bi t, sau khi đ nh lý cơ b n c a đ i s (do Gauss ch ng minh)
kh ng đ nh r ng m i đa th c trên trư ng s ph c (khác h ng s ) luôn có ít nh t m t
nghi m th c ho c ph c, thì bài toán kh o sát s nghi m th c c a đa th c v i h s
th c là v n đ đư c quan tâm hàng đ u c a nhi u th h các nhà toán h c. Nh ng
k t qu đ u tiên theo hư ng này là c a Descartes v quy t c d u (thư ng đư c g i
là quy t c d u Descartes) đ xác đ nh s nghi m dương c a m t đa th c th c d a
vào s phân b d u c a dãy các h s c a đa th c đã cho. Ti p theo là các kh o sát
khác nhau v s nghi m c a đa th c trong m t kho ng cho trư c và các công th c
bi u di n đa th c theo các tính ch t c a chúng. Nh công c gi i tích, đ c bi t là
đ nh lý Lagrange và b đ Rolle, vi c kh o sát s nghi m th c c a các đa th c đ o
hàm (đ o hàm c a m t đa th c th c) đư c ti n hành d dàng hơn. Đó là, khi đa th c
P (x) ∈ R[x] có k nghi m th c thì đa th c P (x) s có ít nh t k − 1 nghi m th c.
M t câu h i t nhiên n y sinh là: Khi nào thì m t đa th c P (x) ∈ R[x] v i k
nghi m th c cho trư c s cho ta m t nguyên hàm (g i là đa th c nguyên hàm)
x
F 1 ( x) = P (t)dt (1)
x1
có đ k + 1 nghi m th c?
Tương t , khi nào thì m t đa th c P (x) ∈ R[x] v i k nghi m th c cho trư c s
cho m t nguyên hàm c p s (s > 1) (g i là đa th c nguyên hàm c p s) d ng
x
F s ( x) = Fs−1 (x)dt (2)
xs
có đ k + s nghi m th c?
- 2
Lu n văn nh m t p trung gi i quy t các câu h i trên. Đó chính là các đ nh lý
đ o c a đ nh lý Lagrange đ i v i l p các đa th c th c. Đ c bi t, đ i v i nh ng l p
đa th c không th a mãn các đi u ki n (1) và (2), ta s xét bài toán "n n l i" đ th
c a đa th c đó b ng cách thêm m t s nút n i suy đ các đi u ki n (1) và (2) đư c
tho mãn.
Ngoài ph n m đ u và k t lu n, lu n văn đư c chia thành 2 chương
Chương 1 bao g m ba ph n, trong ph n đ u tác gi khái quát l i m t s ki n
th c b tr v đa th c, đ o hàm c a đa th c và quy t c d u Descartes. Ph n th hai
là các đ nh lý d ng Viète, nêu cách bi u di n đa th c qua h nghi m c a nguyên hàm
k t h p v i phương pháp n i suy đa th c theo các y u t hình h c. Ph n ti p theo,
tác gi nêu lên đ nh lý v s nghi m c a đa th c nguyên hàm. Đ nh lý 1.11; 1.13 ch
ra đi u ki n c n và đ đ m t đa th c v i các nghi m đ u th c s cho m t nguyên
hàm cũng có các nghi m đ u th c. Trên cơ s đó trình bày đi u ki n đ t n t i đa
th c nguyên hàm t i c p tuỳ ý cho trư c sao cho s nghi m th c c a các nguyên hàm
đó tăng lên theo t ng c p c a nguyên hàm (Đ nh lý 1.12, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18
1.19 ).
Chương 2 bao g m ba ph n, ph n đ u cũng chính là ph n tr ng tâm c a chương
này. Tác gi đưa ra nh n xét v tính ch t nghi m c a các đa th c nguyên hàm có
d ng đ c bi t và đưa ra cách"n n l i" đ th c a các đa th c đó đ các đa th c nh n
đư c tho mãn đi u ki n (1) và (2) (Đ nh lý 2.1, 2.2). Ph n ti p theo, lu n văn trình
bày m t s bài toán kh o sát s nghi m th c c a đa th c nguyên hàm. Ph n cu i
cùng, tác gi d a vào các tính ch t c a hàm l i, lõm đ bư c đ u xây d ng m t s
d ng b t đ ng th c đ i v i đa th c nguyên hàm.
Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n khoa h c đ y nhi t tâm và nghiêm
kh c c a GS.TSKH. Nguy n Văn M u. Nhân d p này, tác gi xin đư c bày t lòng
bi t ơn chân thành và kính tr ng sâu s c đ i v i Giáo sư - ngư i th y đã truy n đ t
nhi u ki n th c quý báu cũng như nh ng kinh nghi m nghiên c u khoa h c trong
su t th i gian tác gi theo h c và nghiên c u đ tài. Đ ng th i, tác gi cũng xin bày
t lòng bi t ơn sâu s c đ n Ban Giám Hi u trư ng Đ i h c Quy Nhơn, Phòng Đào
t o Đ i h c và Sau Đ i h c, các anh ch , b n bè l p cao h c Toán K8-Đ i h c Quy
Nhơn và gia đình đã t o m i đi u ki n thu n l i và đ ng viên tác gi trong su t quá
trình h c t p, công tác và th c hi n đ tài lu n văn này.
- 3
H th ng các ký hi u
s d ng trong lu n văn
- deg f (x) là b c c a đa th c f (x).
- F0(x) là nguyên hàm (c p 1) c a đa th c f (x) ng v i h ng s c = 0,
t c là F0(x) tho mãn đi u ki n F0(0) = 0.
- Fc(x) là nguyên hàm (c p 1) c a đa th c f (x) ng v i h ng s c,
t c là Fc (x) = F0 (x) + c v i c ∈ R.
- F0,k (x) là nguyên hàm c p k c a đa th c f (x) ng v i h ng s c = 0,
t c là F0,k (x) tho mãn đi u ki n F0,k (0) = 0.
- Fc,k (x) là nguyên hàm c p k c a đa th c f (x) ng v i h ng s c,
t c là Fc,k (x) = F0,k (x) + c v i c ∈ R.
- Hn là t p h p đa th c v i h s th c Pn (x) b c n (n > 0) v i h s t do b ng 1
(Pn (0) = 1) và có các nghi m đ u th c.
- Mk (f ) là t p h p các nguyên hàm c p k c a đa th c f (x).
- R[x] là t p h p đa th c v i h s th c.
- sign a là d u c a s th c a, t c là
+
khi a > 0
sign a := 0 khi a = 0
− khi a < 0.
- 4
Chương 1
Đ nh lý d ng Viète và các tính ch t
liên quan
1.1 M t s tính ch t cơ b n c a đa th c
Đ nh nghĩa 1.1. M t đa th c b c n c a n x là bi u th c có d ng
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
trong đó các h s an , an−1 , . . . , a0 là nh ng s th c (ho c ph c)
và an = 0, n ∈ N.
Ta kí hi u
i. B c c a đa th c Pn (x) là deg Pn (x). Do v y deg Pn (x) = n.
ii. an - h s b c cao nh t (chính) c a đa th c.
Chú ý 1.1. Trong lu n văn này ta ch xét các đa th c Pn (x) v i các h s c a nó
đ u là th c và g i t t là đa th c th c. Ký hi u t p h p các đa th c v i h s th c là
R[x].
Đ nh nghĩa 1.2. Cho đa th c
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an = 0),
s α ∈ C đư c g i là nghi m c a đa th c Pn (x) n u Pn (α) = 0.
- 5
.
N u t n t i k ∈ N, k > 1, sao cho Pn (x).(x − α)k nhưng Pn (x) không chia h t
.
cho (x − α)k+1 thì α đư c g i là nghi m b i b c k c a đa th c f (x).
Đ c bi t, khi k = 1 thì α đư c g i là nghi m đơn, k = 2 thì α đư c g i là nghi m
kép.
Chú ý 1.2. Nghi m c a đa th c th c còn đư c g i là không đi m c a đa th c đó.
Đ nh lý 1.1 (Gauss). M i đa th c b c n 1 trên trư ng C đ u có đúng n nghi m
n u m i nghi m đư c tính m t s l n b ng b i c a nó.
B đ 1.1. Các nghi m ph c th c s (khác th c) c a đa th c th c Pn (x) xu t hi n
theo t ng c p nghi m liên h p.
Ch ng minh. Th t v y, n u a ∈ C là nghi m c a phương trình Pn (x) = 0 thì
Pn (a) = 0. Khi đó ta có
0 = Pn (a) = Pn (a).
Suy ra a cũng là nghi m c a phương trình Pn (x) = 0.
Đ nh lý 1.2. M i đa th c f (x) ∈ R[x] b c n, v i h s chính an = 0, đ u có th
phân tích thành nhân t d ng
m s
(x2 + bk x + ck )
f (x) = an (x − di )
j =1 k =1
v i di , bk , ck ∈ R, 2s + m = n, b2 − 4ck < 0, m, n ∈ N∗.
k
H qu 1.1.
(1) S nghi m ph c c a m t đa th c v i h s th c (n u có) luôn luôn là s ch n.
(2) N u đa th c f (x) v i h s th c ch có nghi m ph c thì f (x) là m t đa th c b c
ch n.
(3) N u đa th c b c n có k nghi m th c k n thì n và k cùng tính ch n l .
(4) Đa th c b c l v i h s th c luôn có ít nh t m t nghi m th c.
Đ nh lý 1.3. M i đa th c th c b c n đ u có không quá n nghi m th c.
Đ nh lý 1.4 (Tính ch t hàm c a đa th c). M i đa th c P (x) ∈ R[x] đ u xác
đ nh và liên t c trên R.
- 6
Ngoài ra, khi
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1x + a0, an = 0,
và x → +∞ thì P (x) → sign (an )∞.
Khi x → −∞ thì P (x) → (−1)n sign (an )∞.
Ti p theo, ta nh c l i đ nh lý Rolle quen bi t trong chương trình toán b c
ph thông.
Đ nh lý 1.5 (Đ nh lý Rolle). Gi s hàm s f : [a, b] → R liên t c trên đo n
[a, b] và có đ o hàm trong kho ng (a, b). N u f (a) = f (b) thì t n t i ít nh t m t đi m
c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0.
Khi f (x) là hàm đa th c, trong trư ng h p đ c bi t, n u a = b, ta phát bi u đ nh
lý Rolle dư i d ng b đ sau đây.
B đ 1.2. N u x0 là nghi m b i b c s (s ∈ N, s > 1) c a đa th c P (x) ∈ R[x] thì
x0 cũng là nghi m b i b c s − 1 c a đa th c P (x).
Ch ng minh. Th t v y, x0 là nghi m b i b c s (s ∈ N, s > 1) c a đa th c P (x)
thì P (x) vi t đư c dư i d ng
P (x) = (x − x0)s Q(x), Q(x0) = 0.
Suy ra
P (x) = s(x − x0)s−1 Q(x) + (x − x0)s Q (x)
= (x − x0)s−1 sQ(x) + (x − x0 )Q (x) .
Vì Q(x0) = 0 nên x0 không là nghi m c a đa th c sQ(x) + (x − x0 )Q (x).
V y x0 là nghi m b i b c s − 1 c a đa th c P (x).
T đ nh lý Rolle, ta d dàng ch ng minh đư c k t qu sau đ i v i đa th c.
Đ nh lý 1.6. N u đa th c P (x) ∈ R[x] có k nghi m th c thì đa th c P (x) có ít nh t
k − 1 nghi m th c.
H qu 1.2. N u đa th c P (x) ∈ R[x] có các nghi m đ u th c thì đa th c P (x) cũng
có các nghi m đ u th c.
- 7
T b đ 1.2, ta có phát bi u bài toán ngư c dư i d ng đ nh lý sau đây.
Đ nh lý 1.7. N u x0 là nghi m b i b c s (s ∈ N, s > 1) c a đa th c f (x) ∈ R[x] và
x0 cũng là nghi m c a nguyên hàm F (x) c a f (x) thì x0 là nghi m b i b c s + 1 c a
đa th c nguyên hàm F (x).
Ch ng minh. Vì x0 là nghi m b i b c s c a f (x) nên f (x) có d ng
f (x) = (x − x0)s g (x), g (x0) = 0.
Gi s
F (x) = (x − x0)k h(x), h(x0 ) = 0.
Khi đó
F (x) = (x − x0 )k−1 [k.h(x) + (x − x0)h (x)].
T i x = x0 thì k.h(x) + (x − x0)h (x) = 0. Suy ra F (x) ch a nhân t (x − x0 ) b c
k − 1 nhưng f (x) ≡ F (x) nên k − 1 = s hay k = s + 1.
V y F (x) nh n x0 là nghi m b i b c s + 1.
Ti p theo, ta chuy n sang xét quy t c d u Descartes.
Xét dãy s th c a0, a1, a2 , . . ..
Đ nh nghĩa 1.3. Ch s m (m ∈ N, m 1) đư c g i là v trí (ch ) đ i d u c a dãy
n u có am−1 am < 0 ho c là
am−1 = am−2 = · · · = am−(k−1) = 0 trong đó am−k am < 0 (m k 2).
Trong trư ng h p th nh t thì am−1 và am, còn trong trư ng h p th 2 thì am−k và
am l p thành v trí đ i d u. S l n đ i d u (b ng s v trí đ i d u) c a m t dãy nào
đó v n không thay đ i n u các s h ng b ng 0 đư c b đi còn nh ng s h ng còn l i
v n b o toàn v trí tương đ i c a chúng.
Đ nh nghĩa 1.4. Ta coi s đ i d u và v trí đ i d u c a đa th c
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1x + a0
chính là s đ i d u và v trí đ i d u c a dãy h s tuỳ ý
an , an−1 , . . . , a1, a0.
- 8
Ta có các tính ch t sau đây.
Tính ch t 1.1. Các dãy a0 , a1, a2, . . . , an và an , an−1 , . . . , a0 có cùng m t s l n đ i
d u.
Tính ch t 1.2. Khi g ch b các s h ng c a dãy, s l n đ i d u không tăng lên.
Tính ch t 1.3. Khi đ t vào gi a các s h ng c a dãy m t s lư ng tuỳ ý các s h ng
b ng 0, s v trí đ i d u c a dãy cũng không thay đ i.
Tính ch t 1.4. S v trí đ i d u s không thay đ i n u bên c nh m t s h ng nào
đó c a dãy ta đ t m t s h ng m i có cùng d u v i s h ng đó.
Tính ch t 1.5. N u p0 > 0, p1 > 0, p2 > 0, . . . thì các dãy
a0, a1 , a2, . . .
và
a0p0 , a1 p1 , a2p2 , . . .
có cùng nh ng v trí đ i d u.
Tính ch t 1.6. Dãy a0, a1 + a0 , a2 + a1, . . . , an + an−1 , an có s v trí đ i d u không
l n hơn so v i s v trí đ i d u c a dãy a0 , a1, a2, . . . , an .
Tính ch t 1.7 (Quy t c d u Descartes). Gi s N là s không đi m dương c a
đa th c
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
và W là s l n đ i d u trong dãy các h s c a nó. Ta có W N và W − N là m t
s ch n.
Tính ch t 1.8. Cho đa th c f (x) = a0 + a1x + a2 x2 + · · · + an xn (an = 0) có các
nghi m đ u th c, g i W là s v trí đ i d u c a dãy h s a0 , a1, . . . , an và N là s
không đi m dương c a đa th c f (x) thì W = N.
1.2 Các đ nh lý d ng Viète
Đ nh lý Rolle đã cho ta m t thu t toán d ng các đa th c có các nghi m đ u
th c t các đa th c có các nghi m đ u th c cho trư c b ng phép l y đ o hàm. Ta
đã bi t r ng, m i đa th c có các nghi m đ u th c đ u đư c bi u di n m t cách duy
nh t qua h nghi m c a nó. Đó chính là n i dung c a đ nh lý Viète quen thu c trong
chương trình toán c a b c ph thông.
- 9
Đ nh lý 1.8 (Đ nh lý Viète ). N u tam th c b c hai
f (x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a = 0,
có các nghi m th c x1 , x2 thì
x1 + x2 = − b
a
x x = c
12
a
Tương t , ta có đ nh lý Viète trong trư ng h p t ng quát đ i v i đa th c th c
b c n.
Đ nh lý 1.9 (Đ nh lý Viète ). N u đa th c
f (x) = a0xn − a1xn−1 + · · · + (−1)n an ∈ R[x], a0 = 0
có các nghi m th c là x1 , x2, . . . , xn thì
a1 = x + · · · + x = E (¯)
1x
1 n
a0
a
2
= x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn = E2 (¯)
x
a0
...
an
= x1 x2 · · · xn = En (¯)
x
a0
Khi đó, các hàm E1 (¯), E2(¯), . . . , En (¯) đư c g i là hàm (đa th c) đ i x ng sơ c p
x x x
Viète b c 1, 2, . . . , n, tương ng c a b g m n s th c x = {x1, x2 , . . . , xn } (n ∈ N∗ ).
¯
Đ c bi t, n u đa th c f (x) có h s cao nh t là 1 (hay a0 = 1) thì
a1 = x1 + · · · + xn
a2 = x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn
...
an = x1 x2 · · · xn
Nh n xét r ng, đ nh lý Viète đã ch ra m i quan h gi a b các nghi m c a đa
th c v i t t c các h s trong đa th c đó. Tuy nhiên, ta cũng có th phát bi u k t
qu tương t trong trư ng h p khi ta còn chưa tư ng minh các nghi m c a m t đa
th c. Đi u này r t có ý nghĩa khi xét các đi u ki n đ m t đa th c có t t c các
nghi m đ u th c. Trư c h t, ta xét m t s d ng đa th c có b c th p.
- 10
B đ 1.3 (Đ nh lý d ng Viète đ i v i tam th c b c hai).
Tam th c b c hai v i h s th c f (x) = 3x2 − 2bx + c có nghi m th c khi và ch khi
các h s b, c có d ng
b = α + β + γ
(1.1)
c = αβ + βγ + γα.
trong đó α, β, γ ∈ R.
Ch ng minh.
Đi u ki n đ . Gi s tam th c b c hai f (x) = 3x2 − 2bx + c có các h s b, c tho
mãn đi u ki n (1.1), ta có
∆ = (−b)2 − 3c
= (α + β + γ )2 − 3(αβ + βγ + γα)
= α2 + β 2 + γ 2 − (αβ + βγ + γα)
1 1 1
= ( α − β ) 2 + ( β − γ ) 2 + ( γ − α) 2 0.
2 2 2
Suy ra tam th c b c hai f (x) = 3x2 − 2bx + c có hai nghi m th c.
Đi u ki n c n. Gi s tam th c b c hai f (x) = 3x2 − 2bx + c có hai nghi m th c.
Ta xét các trư ng h p sau đây.
(i). N u đa th c f (x) có nghi m kép là x = x0 thì f (x) = 3(x − x0 )2 . Khi đó nguyên
hàm F (x) = (x − x0)3 nh n x = x0 là nghi m b i b c 3.
(ii). N u đa th c f (x) có hai nghi m phân bi t là x = x1, x = x2 (x1 < x2) hay
f (x) = 3(x − x1)(x − x2) thì ta ch n nguyên hàm F (x) tho mãn đi u ki n
x1 + x2
F = 0.
2
Khi đó, hàm F (x) đ t c c đ i và c c ti u l n lư t t i x1 và x2 và đi m u n c a đ
x1 + x2
th tương ng là U , 0 . Suy ra nguyên hàm F (x) đã ch n có 3 nghi m th c.
2
V y m i tam th c b c hai có nghi m th c đ u có nguyên hàm là đa th c b c ba
có ba nghi m th c. Vì th luôn t n t i nguyên hàm c a f (x) = 3x2 − 2bx + c có d ng
F (x) = (x − α)(x − β )(x − γ )
hay
F (x) = x3 − (α + β + γ )x2 + (αβ + βγ + γα)x − αβγ
- 11
→ F (x) = 3x2 − 2(α + β + γ )x + (αβ + βγ + γα).
Đ ng nh t h s c a F (x) và f (x) = 3x2 − 2bx + c ta suy ra đi u ph i ch ng minh.
B đ 1.4 (Đ nh lý d ng Viète đ i v i đa th c b c 3).
Đa th c b c 3 v i h s th c f (x) = −4x3 + 3ax2 − 2bx + c có các nghi m đ u th c
khi và ch khi các h s a, b, c có d ng
a=α+β+γ+δ
(1.2)
b = αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ
c = αβγ + αβδ + αγδ + βγδ
trong đó α, β, γ, δ ∈ R.
Ch ng minh.
(i). Đi u ki n đ . Ta xét
x
f (t)dt − m = −x4 + ax3 − bx2 + cx − m,
F ( x) =
0
trong đó m là h ng s th c.
Thay a, b, c t công th c (1.2) vào bi u th c F (x), ta thu đư c
F (x) = − x4 + (α + β + γ + δ )x3 − (αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ )x2
+ (αβγ + αβδ + αγδ + βγδ )x − m.
Ta ch n m = αβγδ. Khi đó,
F (x) = − [x4 − (α + β + γ + δ )x3 + (αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ )x2
− (αβγ + αβδ + αγδ + βγδ )x + αβγδ ]
= − (x − α)(x − β )(x − γ )(x − δ ).
Suy ra F (x) có b n nghi m th c là α, β, γ, δ . Theo đ nh lý Rolle thì f (x) = F (x) có
ba nghi m th c.
(ii). Đi u ki n c n. Gi s đa th c b c ba f (x) có ba nghi m th c. Ta ch ng minh
r ng t n t i đa th c b c 4 có b n nghi m th c là nguyên hàm c a f (x), t c là
F (x) = −(x − α)(x − β )(x − γ )(x − δ ), F (x) = f (x).
- 12
Th t v y, ta xét ba trư ng h p sau đây.
(ii.1) N u f (x) có nghi m b i ba là x0 thì f (x) có d ng f (x) = −4(x − x0 )3 .
Ch n F (x) = −(x − x0 )4 thì ta có α = β = γ = δ = x0 .
(ii.2) N u f (x) có hai nghi m phân bi t thì ph i có m t nghi m là nghi m kép.
Gi s nghi m kép đó là x0 , nghi m còn l i là x1 . Không gi m tính t ng quát, ta gi
s x0 = 0, khi đó f (x) có d ng
f (x) = −4x2(x − x1) = −(4x3 − 4x1 x2 ).
Suy ra
4
F (x) = −x4 + x1x3 + c, c ∈ R.
3
4
Ch n c = 0 thì đa th c F (x) = −x3 x − x1 có 2 nghi m phân bi t, trong đó
3
4
x = 0 là nghi m b i b c ba, nghi m còn l i là x = x1. Khi đó ch n α = β = γ = 0,
3
4
δ = x1 .
3
Trong trư ng h p t ng quát, n u f (x) có nghi m kép (b i b c hai) là x0, nghi m
4
còn l i là x1 thì ta thu đư c α = β = γ = x0, δ = x0 + x1 ta thu đư c (1.2).
3
(ii.3) Xét trư ng h p f (x) có 3 nghi m phân bi t. Không gi m tính t ng quát,
ta có th coi f (x) có d ng f (x) = −4(x + a)x(x − b) v i a > 0, b > 0 hay
f (x) = −4x3 − 4(a − b)x2 + 4abx, (a > 0, b > 0).
Khi đó
4
F (x) = −x4 − (a − b)x3 + 2abx2 + c, c ∈ R.
3
Ch n c = 0 thì
4 4
F (x) = −x4 − (a − b)x3 + 2abx2 = −x2 x2 + (a − b)x − 2ab .
3 3
4
Suy ra F (x) = 0 khi và ch khi x2 [x2 + (a − b)x − 2ab] = 0.
3
Khi x2 = 0 thì x1 = x2 = 0.
4
Xét phương trình x2 + (a − b)x − 2ab = 0, ta có
3
4(a − b)2 + 2ab
∆= > 0 (vì a > 0, b > 0).
9
- 13
Do đó phương trình b c hai tương ng có 2 nghi m là x3, x4 .
V y F (x) có 4 nghi m là
x1 = x2 = 0 (α = β = 0), x3 = γ, x4 = δ.
Ví d 1.1. Cho α = 1, β = −1, γ = 2, δ = 4 thay vào công th c (1.2) ta thu đư c
a = −5, b = 5, c = −5.
Khi đó đa th c f (x) = −4x3 + 15x2 − 10x − 5 có 3 nghi m th c là
x1 ≈ −0, 33; x2 ≈ 1, 47; x3 ≈ 2, 61.
Nh n xét r ng, n u ta ch n m = −6(= αβγδ ) thì đa th c nguyên hàm
F (x) = −x4 + 5x3 − 5x2 − 5x + 6
có b n nghi m th c (x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3).
Đ i v i các nh th c b c nh t ta luôn ch n đư c nguyên hàm là các tam th c
b c hai có nghi m th c, k t h p v i b đ 1.3 và b đ 1.4, ta có h qu sau đây.
H qu 1.3. M i đa th c b c nh hơn 4 có các nghi m đ u th c luôn t n t i nguyên
hàm cũng có các nghi m đ u th c.
Đ i v i các đa th c có b c n (n 4) thì đi u ki n c n đ ng v i m t đa th c
có các nghi m đ u th c cho ta ít nh t m t nguyên hàm cũng có các nghi m đ u th c
s đư c trình bày m c sau. Tuy nhiên, t h qu 1.2, ta có ngay đi u ki n đ cho
các đa th c có b c tuỳ ý.
Đ nh lý 1.10 (Đ nh lý d ng Viète t ng quát). Đa th c
f (x) = (n + 1)xn + (−1)na1 xn−1 + (−1)2 (n − 1)a2xn−2 + · · · + (−1)n an
v i các h s a1 , a2, . . . , an có d ng
a1 = E1 (¯)
x
a2 = E2 (¯)
x
(1.3)
. . .
an = En (¯)
x
luôn luôn có các nghi m đ u th c, trong đó Ek (¯) là các hàm đ i x ng Viète b c k
x
theo các bi n th c x1, x2, . . . , xn+1 ,
- 14
Ch ng minh. Xét đa th c
F (x) = xn+1 + (−1)a1xn + (−1)2a2 xn−1 + · · · + (−1)n an x + (−1)n+1 an+1 ,
trong đó các a1, a2, . . . , an xác đ nh theo (1.3) và
an+1 = x1x2 · · · xn+1 .
Theo đ nh lý Viète, ta có
F (x) = (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn+1 )
hay đa th c F (x) có n + 1 nghi m th c.
M t khác, F (x) = f (x) nên theo đ nh lý Rolle, ta có ngay đi u c n ch ng minh.
1.3 Đ nh lý v s nghi m th c c a đa th c nguyên
hàm
Nh n xét r ng, ng v i m i đa th c f (x) ∈ R[x] cho trư c luôn t n t i vô s
nguyên hàm, chúng sai khác nhau m t h ng s th c. Vì v y, tuy đa th c đã cho có
các nghi m đ u th c nhưng nhìn chung các nguyên hàm c a nó không có tính ch t
đó.
V sau, đ ng n g n trong cách trình bày, ta g i m i nguyên hàm c a m t đa
th c là đa th c nguyên hàm.
M t câu h i t nhiên n y sinh là: V i nh ng đi u ki n nào thì đa th c
m
(x − xk )rk , x1
f ( x) = x2 ··· xm , r1 + · · · + rm = n
k =1
s có ít nh t m t nguyên hàm (đa th c nguyên hàm) c a nó có các nghi m đ u th c?
Đ i v i đa th c có b c tuỳ ý, đ nh lý 1.10 đã cho ta câu tr l i c a đi u ki n đ .
Ta d dàng ch ra đi u ki n c n (b đ 1.3 và b đ 1.4) cho các đa th c có b c không
vư t quá 3. Tuy nhiên đ i v i các đa th c có b c l n hơn 3 thì bài toán tr nên ph c
t p hơn nhi u.
- 15
Ch ng h n, ta xét đa th c b c 4
f (x) = x4 − 2x3 + x2
có b n nghi m th c (x1 = x2 = 0, x3 = x4 = 1) nhưng nguyên hàm
1 1 1
F c ( x) = x5 − x4 + x3 − c
5 2 3
có s nghi m th c không vư t quá 3 v i m i c ∈ R.
Th t v y, do hàm s f (x) = x2(x − 1)2 0, ∀x nên nguyên hàm F (x) luôn đ ng
bi n, vì th v i m i c ∈ R thì đư ng th ng y = c c t đ th c a hàm s
1 1 1
F 0 ( x) = x5 − x4 + x3
5 2 3
t i duy nh t m t đi m. Đ c bi t, n u ch n c = 0 thì giao đi m trên là đi m b i 3.
Ti p theo ta xét đa th c
f (x) = 5x4 + 5x3 − 65x2 − 5x + 60
có b n nghi m phân bi t x1 = −4, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 3.
Suy ra nguyên hàm
5 65 5
F0 (x) = x5 + x4 − x3 − x2 + 60x
4 3 2
đ t c c đ i t i các nút x1 = −4, x3 = 1 và đ t c c ti u t i các nút x2 = −1, x4 = 3.
Sau đây là đ th c a nguyên hàm F0 (x).
Quan sát đ th ta th y s nghi m c a nguyên hàm Fc (x) = F0(x) − c ph thu c
vào giá tr c a h ng s c như sau:
- 16
- N u c < F0 (x2) ho c c > F0(x3) thì đư ng th ng y = c c t đ th hàm s F0(x)
t i không quá ba đi m. Khi đó, nguyên hàm Fc (x) có không quá ba nghi m th c.
- N u F 0 ( x2 ) c F0 (x3) thì đư ng th ng y = c c t đ th hàm s F0(x) t i 5
đi m (k c đi m b i). Suy ra nguyên hàm Fc (x) có t t c các nghi m đ u th c.
V y v i đi u ki n nào thì m t đa th c b c 4 có các nghi m đ u th c s cho m t
nguyên hàm cũng có các nghi m đ u th c?
Ta có câu tr l i dư i d ng b đ sau đây.
B đ 1.5. Gi s đa th c
f (x) = 5(x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4), x1 x2 x3 x4
có nguyên hàm F0(x) là đa th c b c 5 v i h s th c
F0(x) = x5 − a1x4 + a2x3 − a3x2 + a4 x.
Khi đó, đi u ki n c n và đ đ t n t i h ng s th c c sao cho nguyên hàm
F c ( x) = F 0 ( x) − c
có các nghi m đ u th c là
F 0 ( x1 ) F 0 ( x4 ) . (1.4)
Ch ng minh. Nh n xét r ng, deg Fc (x) = 5 ∀c ∈ R nên đa th c Fc (x) có không
quá 5 nghi m th c (đ nh lý 1.3). C n ph i ch ng minh Fc (x) có ít nh t 5 nghi m
th c. Ta ch ng minh đi u đó theo s phân b nghi m c a đa th c f (x).
Trư ng h p 1. Khi f (x) có các nghi m phân bi t (t c là x1 < x2 < x3 < x4 ) thì
nguyên hàm c a nó đ t c c đ i t i x = x1 và x = x3 , đ t c c ti u t i x = x2 và
x = x4 . Suy ra
F0 (x1) > F0(x2), F0(x3 ) > F0 (x2) và F0 (x3) > F0(x4).
K t h p v i đi u ki n (1.4) ta thu đư c
F 0 ( x1 ) max{F0(x2 ), F0(x4)} và F0 (x3) > max{F0 (x2), F0(x4)}.
Suy ra
max{F0 (x2), F0(x4)} min{F0(x1 ), F0(x3)}.
- 17
Ta xét hai kh năng sau đây.
(i). N u max{F0 (x2), F0(x4 )} < min{F0 (x1), F0(x3)} thì ta ch n
c ∈ (max{F0(x2), F0(x4 )}, min{F0(x1), F0(x3 )}).
Khi đó, F0(x1 ) > c hay Fc (x1) > 0 và F0(x2 ) < c hay Fc(x2 ) < 0.
Suy ra
Fc (x1 )Fc (x2) < 0.
Do đó ∃ x1 ∈ (x1, x2 ) là nghi m c a đa th c Fc (x).
Tương t , ∃ x2 ∈ (x2 , x3), x3 ∈ (x3, x4 ) là các nghi m c a đa th c Fc (x).
Ngoài ra, ta có nh n xét r ng trong m i kho ng (−∞, x1), (xn , +∞) thì Fc(x)
còn có m t nghi m n a.
Th t v y, do lim F0 (x) = −∞ và F0 (x1) − c > 0 nên trong (−∞, x1) nguyên
x→−∞
hàm Fc (x) có nghi m. Tương t , do lim F0(x) = +∞ và F0(x4) − c < 0 nên trong
x→+∞
kho ng (x4, +∞) nguyên hàm Fc (x) cũng có nghi m. Suy ra Fc (x) có ít nh t 5 nghi m
th c.T đó suy ra đi u ph i ch ng minh.
(ii). N u max{F0 (x2), F0(x4 )} = min{F0(x1 ), F0(x3)} thì ta ch n
c = max{F0(x2), F0(x4 )} = min{F0 (x1), F0(x3 )}).
Ta chia tr c s thành 3 đo n và 2 n a kho ng như sau
(−∞, x1], [x1, x2], [x2, x3 ], [x3, x4], [x4, +∞).
- Xét trong n a kho ng (−∞, x1]. Do deg F0 (x) = 5 nên lim F0(x) = −∞.
x→−∞
Vì th , n u F0(x1 ) = c thì x1 là nghi m duy nh t c a nguyên hàm Fc (x) =
F0(x) − c trong n a kho ng (−∞, x1].
N u F0(x1 ) > c → F0(x1 ) − c > 0 thì ∃ x1 ∈ (−∞, x1] là nghi m c a Fc (x).
- Xét đo n [x1, x2]. Khi đó s x y ra các kh năng sau đây.
N u F0(x1 ) = c thì x1 là nghi m c a Fc (x). K t h p v i
F 0 ( x2 ) < F 0 ( x1 ) = c
- 18
thì x1 là nghi m c a nguyên hàm Fc (x) trong đo n [x1, x2]. Ta l i có x1 là nghi m
c a đa th c f (x) nên x1 là nghi m kép c a nguyên hàm Fc (x).
N u F0(x1 ) > c thì Fc(x1 ) > 0 k t h p v i F0(x2) < c → Fc (x2) < 0 thì
∃ x2 ∈ [x1, x2 ] là nghi m c a Fc(x). N u x y ra F0(x2) = c thì x2 là nghi m duy nh t
c a nguyên hàm Fc (x) trong đo n [x1, x2].
Như v y trong m i n a kho ng (−∞, x1] và đo n [x1, x2 ] luôn t n t i ít nh t 1
nghi m th c c a nguyên hàm Fc (x).
Kh o sát ti p theo các đo n và n a kho ng còn l i ta cũng thu đư c k t qu như
trên. V y nguyên hàm Fc (x) có ít nh t 5 nghi m th c. T đó suy ra đi u ph i ch ng
minh.
Trư ng h p 2. Khi đa th c f (x) có nghi m b i.
(i). Khi f (x) có hai nghi m trùng nhau, ch ng h n x1 = x2 < x3 < x4 (x1 < x2 <
x3 = x4) và F0(x1 ) < F0 (x4) thì hi n nhiên (1.4) là không tho mãn và không t n t i
c đ đa th c F (x) có 5 nghi m th c.
Khi F0(x1 ) > F0 (x4), và x1 = x2 < x3 < x4 , thì ta ch n c = F0(x1 ). Ta c n ch ng
minh đa th c Fc (x) = F0(x) − c có 5 nghi m th c.Th t v y, do x1 là nghi m kép c a
f (x) nên nó cũng là nghi m b i b c ba c a nguyên hàm F0(x). Mà hàm s F0 (x) ch
đ t c c đ i t i x3 và ch đ t c c ti u t i x4 nên
F0(x3) > F0(x1 ) hay F0 (x3) − c > 0.
M t khác,
F0(x1) > F0(x4) hay F0(x4 ) − c < 0
→ F 0 ( x3 ) − c F0 (x4) − c < 0.
Suy ra ∃ x ∈ (x3 , x4) là nghi m c a đa th c F0 (x) − c.
Ta l i có F0(x4 ) − c < 0 và lim F0 (x) = +∞ nên trong kho ng (x4, +∞), nguyên
x→+∞
hàm Fc (x) có duy nh t 1 nghi m.
N u F0(x1 ) = F0(x4 ) thì ta ch n c = F0(x1 ) = F0(x2) = F0(x4). Khi đó, x1 là
nghi m b i b c 2 c a f (x) nên cũng là nghi m b i b c 3 c a nguyên hàm Fc (x) còn
x4 là nghi m c a f (x) và Fc (x) nên x4 là nghi m kép c a nguyên hàm Fc (x). Ngoài ra,
trong kho ng (−∞, x1) nguyên hàm Fc (x) < 0 do lim F0(x) = −∞. Trong kho ng
x→−∞
(x4, +∞) nguyên hàm Fc (x) > 0 do lim F0(x) = +∞. V y nguyên hàm Fc (x) không
x→+∞
nguon tai.lieu . vn
