Xem mẫu
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
GIÁO D C & ðÀO T O ð NG NAI
S
Trư ng THPT BC Lê H ng Phong
Giáo viên th c hi n
NGUY N T T THU
Năm h c: 2008 – 2009
-1-
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
M CL C
M C L C.................................................................................................................................... 1
ð U .............................................................................................................................. 3
L IM
D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S
I. S D NG
CÓ CÔNG TH C TRUY H I ð C BI T. ............................................................ 4
DÃY S
D NG PHÉP TH LƯ NG GIÁC ð XÁC ð NH CTTQ C A DÃY S ........... 24
II. S
III. NG D NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C A DÃY S VÀO GI I M T S BÀI
TOÁN V DÃY S -T H P ............................................................................................... 30
BÀI T P ÁP D NG ................................................................................................................. 41
K T LU N – KI N NGH ...................................................................................................... 45
TÀI LI U THAM KH O ........................................................................................................ 46
-2-
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
L IM ð U
Trong chương trình toán h c THPT các bài toán liên quan ñ n dãy s là m t ph n
quan tr ng c a ñ i s và gi i tích l p 11 , h c sinh thư ng g p nhi u khó khăn khi gi i
các bài toán liên qua ñ n dãy s và ñ c bi t là bài toán xác ñ nh công th c s h ng t ng
quát c a dãy s . Hơn n a m t s l p bài toán khi ñã xác ñ nh ñư c công th c t ng
quát c a dãy s thì n i dung c a bài toán g n như ñư c gi i quy t. Do ñó xác ñ nh công
th c t ng quát c a dãy s chi m m t v trí nh t ñ nh trong các bài toán dãy s .
Chuyên ñ “M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s ”
nh m chia s v i các b n ñ ng nghi p m t s kinh nghi m gi i bài toán xác ñ nh CTTQ
c a dãy s mà b n thân ñúc rút ñư c trong quá trình h c t p và gi ng d y.
N i dung c a chuyên ñ ñư c chia làm ba m c :
I: S d ng CSC – CSN ñ xây d ng phương pháp tìm CTTQ c a m t s d ng dãy s
có d ng công th c truy h i ñ c bi t.
II: S d ng phương pháp th lư ng giác ñ xác ñ nh CTTQ c a dãy s
III: ng d ng c a bài toán xác ñ nh CTTQ c a dãy s vào gi i m t s bài toán v
dãy s - t h p .
M t s k t qu trong chuyên ñ này ñã có m t s sách tham kh o v dãy s , tuy
nhiên trong chuyên ñ các k t qu ñó ñư c xây d ng m t cách t nhiên hơn và ñư c s p
x p t ñơn gi n ñ n ph c t p giúp các em h c sinh n m b t ki n th c d dàng hơn và
phát tri n tư duy cho các em h c sinh.
Trong quá trình vi t chuyên ñ , chúng tôi nh n ñư c s ñ ng viên, giúp ñ nhi t
thành c a BGH và quý th y cô t Toán Trư ng THPT BC Lê H ng Phong. Chúng tôi
xin ñư c bày t lòng bi t ơn sâu s c.
Vì năng l c và th i gian có nhi u h n ch nên chuyên ñ s có nh ng thi u sót. R t
mong quý Th y – Cô và các b n ñ ng nghi p thông c m và góp ý ñ chuyên ñ ñư c t t
hơn.
-3-
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
M T S PHƯƠNG PHÁP XÁC ð NH
CÔNG TH C T NG QUÁT C A DÃY S
D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S
I. S
D NG DÃY S CÓ CÔNG TH C TRUY H I ð C BI T.
Trong m c này chúng tôi xây d ng phương pháp xác ñ nh CTTQ c a m t s d ng dãy
s có công th c truy h i d ng ñ c bi t. Phương pháp này ñư c xây d ng d a trên
các k t qu ñã bi t v CSN – CSC , k t h p v i phương pháp ch n thích h p. Trư c h t
chúng ta nh c l i m t s k t qu ñã bi t v CSN – CSC .
1. S h ng t ng quát c a c p s c ng và c p s nhân
1.1: S h ng t ng quát c a c p s c ng
ð nh nghĩa: Dãy s (un ) có tính ch t un = un −1 + d ∀n ≥ 2 , d là s th c không ñ i
g i là c p s c ng .
d : g i là công sai c a CSC; u1 : g i s h ng ñ u, un g i là s h ng t ng quát c a c p s
ð nh lí 1: Cho CSC (un ) . Ta có : un = u1 + (n − 1)d (1).
ð nh lí 2: G i Sn là t ng n s h ng ñ u c a CSC (un ) có công sai d. Ta có:
n
Sn = [2u + (n − 1)d ] (2).
21
1. 2: S h ng t ng quát c a c p s nhân
ð nh nghĩa: Dãy s (un ) có tính ch t un +1 = q.un ∀n ∈ ℕ * g i là c p s nhân công
b i q.
n −1
ð nh lí 3: Cho CSN (un ) có công b i q . Ta có: un = u1q (3).
ð nh lí 4: G i Sn là t ng n s h ng ñ u c a CSN (un ) có công b i q . Ta có:
1 - qn
Sn = u1 (4).
1 -q
-4-
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
2. Áp d ng CSC – CSN ñ xác ñ nh CTTQ c a m t s d ng dãy s ñ c bi t
Ví d 1.1: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b i:
u1 = 1, un = un −1 − 2 ∀n ≥ 2 .
Gi i:
Ta th y dãy (un ) là m t CSC có công sai d = −2 . Áp d ng k t qu (1) ta có:
un = 1 − 2(n − 1) = −2n + 3 .
Ví d 1.2: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b i:
u1 = 3, un = 2un −1 ∀n ≥ 2 .
Gi i:
Ta th y dãy (un ) là m t CSN có công b i q = 2 . Ta có: un = 3.2n −1 .
Ví d 1.3: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i:
u1 = −2, un = 3un −1 − 1 ∀n ≥ 2 .
Gi i:
Trong bài toán này chúng ta g p khó khăn vì dãy (un ) không ph i là CSC hay CSN! Ta
th y dãy (un ) không ph i là CSN vì xu t hi n h ng s −1 VT. Ta tìm cách làm m t
−1 ñi và chuy n dãy s v CSN.
31
Ta có: −1 = − + nên ta vi t công th c truy h i c a dãy như sau:
22
1 3 1
un − = 3un −1 − = 3(un −1 − ) (1).
2 2 2
1 5
ð t vn = un − ⇒ v1 = − và vn = 3vn −1 ∀n ≥ 2 . Dãy (vn ) là CSN công b i q = 3
2 2
5 1 5 1
⇒ vn = v1.q n −1 = − .3n −1 . V y un = vn + = − .3n + ∀n = 1,2,...,.. .
2 2 2 2
31
Nh n xét: M u ch t cách làm trên là ta phân tích −1 = − + ñ chuy n công th c
22
truy h i c a dãy v (1), t ñó ta ñ t dãy ph ñ chuy n v dãy (vn ) là m t CSN. Tuy
nhiên vi c làm trên có v không t nhiên l m! Làm th nào ta bi t phân tích
31
−1 = − + ? Ta có th làm như sau:
22
-5-
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
1
Ta phân tích −1 = k − 3k ⇒ k = .
2
u = x 0
V i cách làm này ta xác ñ nh ñư c CTTQ c a dãy (un ) : 1 .
un = aun −1 + b ∀n ≥ 2
Th t v y:
* N u a = 1 thì dãy (un ) là CSC có công sai d = b nên un = u1 + (n − 1)b .
ab b
* N u a ≠ 1 , ta vi t b = − . Khi ñó công th c truy h i c a dãy ñư c vi t như
a −1 a −1
b b b b
)a n −1
sau: un + = a(un −1 + ) , t ñây ta có ñư c: un + = (u1 +
a −1 a −1 a −1 a −1
a n −1 − 1
Hay un = u1a n −1 + b .
a −1
V y ta có k t qu sau:
D ng 1: Dãy s (un ) : u1 = x 0 , un = aun −1 + b ∀n ≥ 2 (a,b ≠ 0 là các h ng s ) có
CTTQ là:
u1 + (n − 1)b khi a = 1
un = a n −1 − 1 .
n −1
+b khi a ≠ 1
u1.a
a −1
Ví d 1.4: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh : u1 = 2; un = 2un −1 + 3n − 1 .
Gi i: ð tìm CTTQ c a dãy s ta tìm cách làm m t 3n − 1 ñ chuy n v dãy s là m t
CSN. Mu n làm v y ta vi t :
3n − 1 = −3n − 5 + 2 3(n − 1) + 5 (2).
Khi ñó công th c truy h i c a dãy ñư c vi t như sau:
un + 3n + 5 = 2 un + 3(n − 1) + 5 .
ð t vn = un + 3n + 5 , ta có: v1 = 10 và vn = 2vn −1 ∀n ≥ 2 ⇒ vn = v1.2n −1 = 10.2n −1
V y CTTQ c a dãy (un ) : un = vn − 3n − 5 = 5.2n − 3n − 5 ∀n = 1,2, 3,... .
Chú ý : 1) ð phân tích ñư c ñ ng th c (2), ta làm như sau:
-6-
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
a − b = 2 a = −3
3n − 1 = an + b − 2 a(n − 1) + b . Cho n = 1; n = 2 ta có: ⇔ .
−b = 5 b = −5
u
()
2) Trong trư ng h p t ng quát dãy un : 1 , trong ñó f (n )
un = aun −1 + f (n ) ∀n ≥ 2
là m t ña th c b c k theo n , ta xác ñ nh CTTQ như sau:
Phân tích f (n ) = g(n ) − ag(n − 1) (3) v i g(n ) cũng là m t ña th c theo n . Khi ñó ta
có: un − g(n ) = a un −1 − g(n − 1) = ... = a n −1 u1 − g(1)
n −1
V y ta có: un = u1 − g (1) a + g (n ) .
V n ñ còn l i là ta xác ñ nh g(n ) như th nào ?
Ta th y :
*N u a = 1 thì g(n ) − ag(n − 1) là m t ña th c có b c nh hơn b c c a g(n ) m t b c và
không ph thu c vào h s t do c a g(n ) , mà f (n ) là ña th c b c k nên ñ có (3) ta
ch n g(n ) là ña th c b c k + 1 , có h s t do b ng không và khi ñó ñ xác ñ nh g(n )
thì trong ñ ng th c (3) ta cho k + 1 giá tr c a n b t kì ta ñư c h k + 1 phương trình,
gi i h này ta tìm ñư c các h s c a g(n ) .
* N u a ≠ 1 thì g(n ) − ag(n − 1) là m t ña th c cùng b c v i g(n ) nên ta ch n g(n ) là
ña th c b c k và trong ñ ng th c (3) ta cho k + 1 giá tr c a n thì ta s xác ñ nh ñư c
g(n ) .
V y ta có k t qu sau:
u = x 0
D ng 2: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i: 1 , trong
un = a.un −1 + f (n )
ñó f (n ) là m t ña th c b c k theo n ; a là h ng s . Ta làm như sau:
Ta phân tích: f (n ) = g(n ) − a.g(n − 1) v i g(n ) là m t ña th c theo n . Khi ñó, ta ñ t
vn = un − g(n ) ta có ñư c: un = u1 − g(1) a n −1 + g(n ) .
Lưu ý n u a = 1 , ta ch n g(n ) là ña th c b c k + 1 có h s t do b ng không, còn n u
a ≠ 1 ta ch n g(n ) là ña th c b c k .
u = 2
Ví d 1.5: Cho dãy s (un ) : 1 . Tìm CTTQ c a dãy (un ) .
un = un −1 + 2n + 1
Gi i: Ta phân tích 2n + 1 = g(n ) − g(n − 1) = a n 2 − (n − 1)2 + b n − (n − 1)
-7-
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
( trong ñó g(n ) = an 2 + bn ).
−a + b = 1 a = 1
Cho n = 0, n = 1 ta có h : ⇔ ⇒ g(n ) = n 2 + 2n .
a +b = 3 b =2
⇒ un = n 2 + 2n − 1 .
u1 = 1
Ví d 1.6: Cho dãy s (un ) : .Tìm CTTQ c a dãy (un ) .
un = 3un −1 + 2n ; n = 2, 3,...
Gi i: Ta v n b t chư c cách làm trong các ví d trên, ta phân tích:
2n = a.2n − 3a.2n −1 . Cho n = 1 , ta có: a = −2 ⇒ 2n = −2.2n + 3.2.2n −1
Nên ta có: un + 2.2n = 3(un −1 + 2.2n −1 ) = ... = 3n −1(u1 + 4)
V y un = 5.3n −1 − 2n +1 .
Chú ý : Trong trư ng h p t ng quát dãy (un ) : un = a.un −1 + b.α n , ta phân tích
α n = k .α n − ak .α n −1 v i (a ≠ α ) .
( ) ( )
Khi ñó: un − kb.α n = a un −1 − kb.α n −1 = ... = a n −1 u1 − bk
Suy ra un = a n −1(u1 − bk ) + bk .α n .
Trư ng h p α = a , ta phân tích α n = n.α n − α (n − 1).α n −1
( )
⇒ un − bn.α n = α un −1 − b(n − 1).α n −1 = ... = α n −1(u1 − bα )
⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n −1 . V y ta có k t qu sau.
u1
D ng 3: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) : , ta làm như
un = a.un −1 + b.α n ∀n ≥ 2
sau:
• N u a = α ⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n −1 .
• N u a ≠ α , ta phân tích α n = k .α n − ak .α n −1 . Khi ñó: un = a n −1(u1 − bk ) + bk .α n
α
Ta tìm ñư c: k = .
α −a
-8-
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
u1 = −2
Ví d 1.7: Tìm CTTQ c a dãy (un ) : .
un = 5un −1 + 2.3n − 6.7n + 12 ; n = 2, 3,...
3
k = −
3n = k .3n − 5k .3n −1
2
cho n = 1 , ta ñư c:
Gi i: Ta có: n n −1
7 = l .7 − 5l .7
n 7
l =
2
Hơn n a 12 = −3 + 5.3 nên công th c truy h i c a dãy ñư c vi t l i như sau:
( )
un + 3.3n + 21.7n + 3 = 5 un −1 + 3.3n −1 + 21.7n −1 + 3 = ... = 5n −1 (u1 + 9 + 147 + 3)
V y un = 157.5n −1 − 3n +1 − 3.7n +1 − 3 .
u1 = 1
Ví d 1.8: Tìm CTTQ c a dãy (un ) : .
un = 2un −1 + 3n − n; ∀n ≥ 2
3n = 3.3n − 2.3.3n −1
Gi i: Ta phân tích: nên ta vi t công th c truy h i c a dãy
n = −n − 2 + 2 (n − 1) + 2
như sau: un − 3.3n − n − 2 = 2 un −1 − 3.3n −1 − (n − 1) − 2 = ... = 2n −1(u1 − 12)
V y un = −11.2n −1 + 3n +1 + n + 2 .
u1 = p
D ng 4: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) : , trong
un = a.un −1 + b.α n + f (n ); ∀n ≥ 2
ñó f (n ) là ña th c theo n b c k , ta phân tích α n và f (n ) như cách phân tích d ng 2
và d ng 3.
Ví d 1.9: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) : u0 = −1, u1 = 3, un = 5un −1 − 6un − 2 ∀n ≥ 2.
Gi i: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s trên, ta thay th dãy (un ) b ng m t dãy s khác là
m t CSN. Ta vi t l i công th c truy h i c a dãy như sau:
-9-
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
x + x 2 = 5
un − x1.un −1 = x 2 (un −1 − x1un − 2 ) , do ñó ta ph i ch n x1, x 2 : 1 hay x1, x 2 là
x1x 2 = 6
nghi m phương trình : x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2; x = 3 . Ta ch n x1 = 2; x 2 = 3 . Khi ñó:
un − 2un −1 = 3(un −1 − 2un − 2 ) = ... = 3n −1(u1 − 2u 0 ) = 5.3n −1
⇒ un = 2un −1 + 5.3n −1 . S d ng k t qu d ng 3, ta tìm ñư c: un = 5.3n − 6.2n .
Chú ý : Tương t v i cách làm trên ta xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i:
u 0 ; u1
, trong ñó a,b là các s th c cho trư c và a 2 − 4b ≥ 0
un − a.un −1 + b.un − 2 =0 ∀n ≥ 2
như sau:
G i x1, x 2 là hai nghi m c a phương trình : x 2 − ax + b = 0 (4) ( phương trình này
ñư c g i là phương trình ñ c trưng c a dãy).
Khi ñó: un − x1.un −1 = x 2 (un −1 − x1.un − 2 ) = ... = x 2 −1(u1 − x1.u0 ) .
n
S d ng k t qu c a d ng 3, ta có các trư ng h p sau:
x .u − u1 n u1 − x .u0 n
• N u x1 ≠ x 2 thì un = 2 0 x1 + x 2 . Hay un = k .x1 + l .x 2 , trong ñó
n n
x 2 − x1 y −x
k + l = u0
k, l là nghi m c a h : .
x1.k + x 2 .l = u1
u a
au
• N u x1 = x 2 = α thì un = α n −1 0 + (u1 − 0 )n , hay un = (kn + l )α n −1 , trong
2 2
l = α .u0
ñó k, l là nghi m c a h : .
k + l = u1
V y ta có k t qu sau:
u ; u
D ng 5: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) : 0 1 , trong
un − a.un −1 + b.un − 2 = 0 ∀n ≥ 2
ñó a,b, c là các s th c khác không; a 2 − 4b ≥ 0 ta làm như sau:
G i x1, x 2 là nghi m c a phương trình ñ c trưng: x 2 − ax + b = 0 .
- 10 -
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
k + l = u0
• N u x1 ≠ x 2 thì un = k .x1 + l .x 2 , trong ñó k, l là nghi m c a h :
n n
.
x1.k + x 2 .l = u1
l = α .u 0
• N u x1 = x 2 = α thì un = (kn + l )α n −1 , trong ñó k, l là nghi m c a h : .
k + l = u1
u = 1; u1 = 2
()
un ñư c xác ñ nh b i : 0
Ví d 1.10: Cho dãy s .
un +1 = 4un + un −1 ∀n ≥ 1
Hãy xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) .
Gi i:
Phương trình x 2 − 4x − 1 = 0 có hai nghi m x1 = 2 + 5; x 2 = 2 − 5 .
k + l = 1
⇒ un = k .x1 + l .x 2 . Vì u 0 = 1; u1 = 2 nên ta có h :
n n
(2 + 5)k + (2 − 5)l = 2
1 1
(2 + 5)n + (2 − 5)n .
⇔k =l = V y un =
.
2 2
u = 1; u1 = 3
Ví d 1.11: Xác ñ nh CTTQ c a dãy: (un ) : 0 .
un − 4un −1 + 4un − 2 = 0 ∀n = 2, 3,...
Gi i:
Phương trình ñ c trưng x 2 − 4x + 4 = 0 có nghi m kép x = 2 nên un = (kn + l )2n −1
l = 2
Vì u 0 = 1; u1 = 3 nên ta có h : ⇔ k = 1; l = 2 .
k + l = 3
V y un = (n + 2)2n −1 .
u0 = −1; u1 = 3
Ví d 1.12: Cho dãy (un ) : . Xác ñ nh
un − 5un −1 + 6un − 2 = 2n + 2n + 1; ∀n ≥ 2
2
CTTQ c a dãy (un ) .
Gi i:
V i cách làm tương t như Ví d 1.4, ta phân tích: 2n 2 + 2n + 1 =
- 11 -
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
= (kn 2 + ln + t ) − 5 k (n − 1)2 + l (n − 1) + t + 6 k (n − 2)2 + l (n − 2) + t (5)
19k − 7l + 2t = 1 k = 1
(5) cho n = 0; n = 1; n = 2 ta có h : 7k − 5l + 2t = 5 ⇔ l = 8 .
−k − 3l + 2t = 13 t = 19
ð t vn = un − n 2 − 8n − 19 ⇒ v0 = −20; v1 = −25 và vn − 5vn −1 + 6vn − 2 = 0
α + β = −20 α = 15
⇒ vn = α .3n + β .2n . Ta có h : ⇔
3α + 2β = −25 β = −35
⇒ vn = 15.3n − 35.2n ⇒ un = 15.3n − 35.2n + n 2 + 8n + 19 .
u ; u
Chú ý : ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s : (un ) : 0 1 ,
un + 1 + a.un + b.un −1 = f (n ) ; ∀n ≥ 2
( trong ñó f (n ) là ña th c b c k theo n và a 2 − 4b ≥ 0 ) ta làm như sau:
• Ta phân tích f (n ) = g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) (6) r i ta ñ t vn = un − g(n )
v = u0 − g(0); v1 = u1 − g(1)
Ta có ñư c dãy s (vn ) : 0 . ðây là dãy s mà ta ñã xét
vn + avn −1 + bvn − 2 = 0 ∀n ≥ 2
trong d ng 5. Do ñó ta s xác ñ nh ñư c CTTQ c a vn ⇒ un .
• V n ñ còn l i là ta xác ñ nh g(n ) như th nào ñ có (6) ?
Vì f (n ) là ña th c b c k nên ta ph i ch n g(n ) sao cho g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) là
m t ña th c b c k theo n . Khi ñó ta ch c n thay k + 1 giá tr b t kì c a n vào (6) ta s
xác ñ nh ñư c g(n ) .
Gi s g(n ) = am n m + am −1n m −1 + ... + a1n + a 0 (am ≠ 0 ) là ña th c b c m . Khi ñó h
s c a x m và x m −1 trong VP là: am .(1 + a + b) và −(a + 2b)m.am + (1 + a + b)am −1 .
Do ñó :
i ) N u PT: x 2 + ax + b = 0 (1) có nghi m hai nghi m phân bi t khác 1 thì
1 + a + b ≠ 0 nên VP(6) là m t ña th c b c m .
ii ) N u PT (1) có hai nghi m phân bi t trong ñó có m t nghi m x = 1 ⇒ 1 + a + b = 0
và −(a + 2b)m.am + (1 + a + b)am −1 = −(a + 2b ).m.am ≠ 0 nên VP(6) là m t ña th c b c
m −1 .
iii ) N u PT (1) có nghi m kép x = 1 ⇒ a = −2;b = 1 nên VP(6) là m t ña th c b c
m − 2.
V y ñ ch n g(n ) ta c n chú ý như sau:
- 12 -
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
N u (1) có hai nghi m phân bi t, thì g(n ) là m t ña th c cùng b c v i f (n )
N u (1) có hai nghi m phân bi t, trong ñó m t nghi m b ng 1 thì ta ch n
g(n ) = n.h(n ) trong ñó h(n ) là ña th c cùng b c v i f (n ) .
N u (1) có nghi m kép x = 1 thì ta ch n g (n ) = n 2 .h (n ) trong ñó h(n ) là ña th c
cùng b c v i f (n ) .
u ; u
D ng 6: ð tìm CTTQ c a dãy (un ) : 0 1 ,
un + a.un −1 + b.un − 2 = f (n ) ; ∀n ≥ 2
( trong ñó f (n ) là ña th c theo n b c k và b 2 − 4ac ≥ 0 ) ta làm như sau:
Xét g(n ) là m t ña th c b c k : g(n ) = ak n k + ... + a1k + a 0 .
• N u phương trình : x 2 + ax + b = 0 (1) có hai nghi m phân bi t, ta phân tích
f (n ) = g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) r i ñ t vn = un − g(n ) .
• N u (1) có hai nghi m phân bi t trong ñó m t nghi m x = 1 , ta phân tích
f (n ) = n.g(n ) + a(n − 1)g(n − 1) + b(n − 2)g(n − 2) r i ñ t vn = un − n.g(n ) .
• N u (1) có nghi m kép x = 1 , ta phân tích
f (n ) = n 2 .g(n ) + a(n − 1)2 .g(n − 1) + b(n − 2)2 .g(n − 2) r i ñ t vn = un − n 2 .g(n ) .
u = 1; u1 = 4
Ví d 1.13: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) : 0 .
un − 3un −1 + 2un − 2 = 2n + 1 ∀n ≥ 2
Gi i:
Vì phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 có hai nghi m x = 1; x = 2 nên ta phân tích
2n + 1 = n(kn + l ) − 3(n − 1) k (n − 1) + l + 2(n − 2) k (n − 2) + l , cho n = 0; n = 1 ta
5k − l = 1
⇔ k = −1; l = −6 .
có h :
3k − l = 3
ð t vn = un + n(n + 6) ⇒ v0 = 1; v1 = 11 và vn − 3vn −1 + 2vn −2 = 0
α + β = 1
⇒ vn = α .2n + β .1n v i α , β : ⇔ α = 10; β = −9
2α + β = 11
⇒ vn = 10.2n − 9 ⇒ un = 5.2n +1 − n 2 − 6n − 9 ∀n = 0,1,2,... .
- 13 -
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
u0 = −1; u1 = 3
Ví d 1.14: Tìm CTTQ c a dãy s (un ) : .
un − 4un −1 + 3un − 2 = 5.2n ∀n ≥ 2
Gi i: Ta phân tích 2n = a.2n − 4a.2n −1 + 3a.2n − 2 .
Cho n = 2 ta có: 4 = 4a − 8a + 3a ⇔ a = −4
ð t vn = un + 5.4.2n ⇒ v0 = 19; v1 = 43 và vn − 4vn −1 + 3vn − 2 = 0
Vì phương trình x 2 − 4x + 3 = 0 có hai nghi m x = 1, x = 3 nên vn = α .3n + β .1n
α + β = 19
V i α, β : ⇔ α = 12; β = 7 ⇒ vn = 12.3n + 7 .
3α + β = 43
V y un = 4.3n +1 − 5.2n + 2 + 7 ∀n = 1,2,... .
Chú ý : V i ý tư ng cách gi i trên, ta tìm CTTQ c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b i:
u 0 ; u1
(v i a 2 − 4b ≥ 0 ) như sau:
un + a.un −1 + b.un − 2 = c.α ∀n ≥ 2
n
Ta phân tích α n = kα n + a.k .α n −1 + b.k .α n − 2 (7).
Cho n = 2 thì (7) tr thành: k (α 2 + a.α + b) = α 2
α2
khi α không là nghi m c a phương trình :
T ñây, ta tìm ñư c k =
α + aα + b
2
x 2 + ax + b = 0 (8).
v = u0 − kc; v1 = u1 − kcα
Khi ñó, ta ñ t vn = un − kc.α n , ta có dãy (vn ) : 0
vn + a.vn −1 + bvn − 2 = 0 ∀n ≥ 2
⇒ vn = p.x1 + q.x 2 (x1, x 2 là hai nghi m c a (8)).
n n
⇒ un = p.x1 + q.x 2 + kc.α n .
n n
V y n u x = α là m t nghi m c a (8), t c là: α 2 + aα + b = 0 thì ta s x lí th nào ?
Nhìn l i cách gi i d ng 3, ta phân tích :
α n = kn.α n + a.k (n − 1)α n −1 + bk (n − 2)α n − 2 (9).
α a
Cho n = 2 ta có: α k (2α + a ) = α 2 ⇔ k (2α + a ) = α ⇔ k = (α ≠ − ) .
2α + a 2
⇒ (2) có nghi m k ⇔ α là nghi m ñơn c a phương trình (8).
Khi ñó: ⇒ un = p.x1 + q.x 2 + kcn.α n .
n n
- 14 -
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
a
Cu i cùng ta xét trư ng h p x = α = − là nghi m kép c a (8). V i tư tư ng như trên,
2
ta s phân tích: α n = kn 2 .α n + a.k (n − 1)2 α n −1 + bk (n − 2)2 α n − 2 (10).
α 1
Cho n = 2 ta có: (10) ⇔ α 2 = 4k .α 2 + ak .α ⇒ k = =.
4α + a 2
1
Khi ñó: ⇒ un = p.x1 + q.x 2 + cn 2 .α n .
n n
2
V y ta có k t qu sau:
u 0 ; u1
D ng 7: Cho dãy s (un ) xác ñ nh b i: .
un + a.un −1 + b.un − 2 = c.α ; ∀n ≥ 2
n
ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ta làm như sau:
Xét phương trình : x 2 + ax + b = 0 (11)
• N u phương trình (11) có hai nghi m phân bi t khác α thì
α2
+ kc.α v i k =
un = + q.x 2
n n n
p.x1 .
α 2 + aα + b
• N u phương trình (11) có nghi m ñơn x = α thì
α
un = p.x 1 + q.x 2 + kcn.α n v i k =
n n
.
2α + a
1
• N u x = α là nghi m kép c a (11) thì : un = (p + qn + cn 2 ).α n .
2
u0 = −1; u1 = 3
Ví d 1.15: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) : .
un − 5un −1 + 6un − 2 = 5.2n ∀n ≥ 2
Gi i:
Phương trình x 2 − 5x + 6 = 0 có hai nghi m x1 = 2; x 2 = 3 , do ñó
un = p.2n + q.3n + 5kn.2n .
- 15 -
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
α
2
k = = = −2
2α + a 4 − 5
V i p + q = −1 ⇔ k = −2; p = −26;q = 25 .
2p + 3q + 10k = 3
V y un = −26.2n + 25.3n − 10n.2n = 25.3n − 2n +1(5n + 13) ∀n = 1,2,... .
u0 = 1; u1 = 3
Ví d 1.16: Tìm CTTQ c a dãy (un ) : .
un − 4un −1 + 4un − 2 = 3.2n
Gi i:
32n
Phương trình x 2 − 4x + 4 = 0 có nghi m kép x = 2 nên un = (p + qn + n )2
2
p = 1
⇔ p = 1; q = −1 .
D a vào u 0 , u1 ta có h :
p +q = 0
V y un = (3n 2 − 2n + 2)2n −1 ∀n = 1,2,... .
V i cách xây d ng tương t ta cũng có ñư c các k t qu sau:
u , u , u
D ng 8: Cho dãy (un ) : 0 1 2 .ð xác ñ nh CTTQ
un + aun −1 + bun − 2 + cun − 3 = 0 ∀n ≥ 3
c a dãy ta xét phương trình: x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (12) .
• N u (12) có ba nghi m phân bi t x1, x 2 , x 3 ⇒ un = α x1 + β x 2 + γ x 3 . D a vào
n n n
u0 , u1, u2 ta tìm ñư c α , β , γ .
• N u (12) có m t nghi m ñơn, 1 nghi m kép:
x1 = x 2 ≠ x 3 ⇒ un = (α + β n )x1 + γ .x 3
n n
D a vào u 0 , u1, u2 ta tìm ñư c α , β , γ .
• N u (12) có nghi m b i 3 x1 = x 2 = x 3 ⇒ un = (α + β n + γ n 2 )x1 .
n
D a vào u 0 , u1, u2 ta tìm ñư c α , β , γ .
u = 0, u2 = 1, u3 = 3,
Ví d 1.17: Tìm CTTQ c a dãy (un ) : 1
un = 7un −1 − 11.un − 2 + 5.un − 3 , ∀n ≥ 4
- 16 -
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
Gi i : Xét phương trình ñ c trưng : x 3 − 7x 2 + 11x − 5 = 0
Phương trình có 3 nghi m th c: x1 = x 2 = 1, x 3 = 5
V y an = α + β n + γ 5n
Cho n = 1, n = 2, n = 3 và gi i h phương trình t o thành, ta ñư c
1 3 1
α=− ,β= ,γ=
16 4 16
13 1
+ ( n − 1) + .5n −1 .
V y an = −
16 4 16
u = 2; un = 2un −1 + vn −1
∀n ≥ 1 .
Ví d 1.18: Tìm CTTQ c a dãy s (un ),(vn ) : 0
v0 = 1; vn = un −1 + 2vn −1
Gi i:
Ta có: un = 2un −1 + un − 2 + 2vn − 2 = 2un −1 + un − 2 + 2(un −1 − 2un − 2 )
⇒ un = 4un −1 − 3un − 2 và u1 = 5
1 + 3n +1 −1 + 3n +1
T ñây, ta có: un = ⇒ vn = un +1 − 2un = .
2 2
Tương t ta có k t qu sau:
x = pxn −1 + qyn −1 ; x1
D ng 9: Cho dãy (xn ),(yn ) : n . ð xác ñ nh CTTQ c a hai dãy
yn = ryn −1 + sx n −1; y1
(xn ),(yn ) ta làm như sau:
Ta bi n ñ i ñư c: x n − (p + s )x n −1 + (ps − qr )xn − 2 = 0 t ñây ta xác ñ nh ñư c x n ,
thay vào h ñã cho ta có ñư c yn .
Chú ý : Ta có th tìm CTTQ c a dãy s trên theo cách sau:
q − λr
x n − λyn = (p − λs )(x n −1 − y)
λs − p n −1
Ta ñưa vào các tham s ph λ , λ ' ⇒
q + λ 'r
x + λ ' y = (p + λ ' s )(x + y)
n −1
p + λ ' s n −1
n n
- 17 -
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
q − λr
λ =
λs − p ⇒ x n − λyn = (p − λs )(x n −1 − λyn −1 )
Ta ch n λ , λ ' sao cho
λ ' = q + λ ' r x n + λ ' yn = (p + λ ' s )(x n −1 + λ ' yn −1 )
λ 's + p
x − λy = (p − λs )n −1(x − λy )
n
gi i h này ta tìm ñư c ( xn ) , ( yn ) .
1 1
n
n −1
x n + λ ' yn = (p + λ ' s ) (x1 + λ ' y1 )
u1 = 1
Ví d 1.19: Tìm CTTQ c a dãy (un ) : 2un −1 .
un = ∀n ≥ 2
3un −1 + 4
+4 3
3u
1 1 1
= n −1 = +2 . ð t xn =
Gi i: Ta có , ta có:
2un −1 2
un un −1 un
x1 = 1
5.2n −1 − 3
2
⇒ xn = ⇒ un =
.
3 n −1
x n = 2x n −1 + −3
2
5.2
2
u1 = 2
−9un −1 − 24
Ví d 1.20: Tìm CTTQ c a dãy s (un ) : .
un = 5u ∀n ≥ 2
+ 13
n −1
Gi i: Bài toán này không còn ñơn gi i như bài toán trên vì trên t s còn h s t do,
do ñó ta tìm cách làm m t h s t do trên t s . Mu n v y ta ñưa vào dãy ph b ng
cách ñ t un = xn + t . Thay vào công th c truy h i, ta có:
−9x n −1 − 9t − 24 (−9 − 5t )xn −1 − 5t 2 − 22t − 24
xn + t = ⇒ xn =
5x n −1 + 5t + 13 5x n −1 + 5t + 13
Ta ch n t : 5t 2 + 22t + 24 = 0 ⇒ t = −2 ⇒ x1 = 4
11.3n −1 − 10
x n −1 1 3 1 4
⇒ xn = =5+ = ⇒ xn =
⇒ ⇒
+3 11.3n −1 − 10
5xn −1 4
xn x n −1 xn
−22.3n −1 + 24
⇒ un = x n − 2 = .
n −1
− 10
11.3
- 18 -
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
pun −1 + q
D ng 10: Cho dãy ( un ): u1 = α ; un = ∀n ≥ 2 . ð tìm CTTQ c a dãy (xn)
run −1 + s
ta làm như sau:
ð t un = x n + t , thay vào công th c truy h i c a dãy ta có:
px n −1 + pt + q (p − rt )x n −1 − rt 2 + (p − s )t + q
xn = −t = (13).
run −1 + rt + s rx n −1 + rt + s
1 1
Ta ch n t : rt 2 + (s − p)t − q = 0 . Khi ñó ta chuy n (13) v d ng: =a +b
xn x n −1
1
, suy ra un .
T ñây ta tìm ñư c
xn
u = 2
Ví d 1.21: Xác ñ nh CTTQ c a hai dãy s (un ),(vn ) : 1 và
v1 = 1
u = u 2 + 2v 2
n n −1 n −1 ∀n ≥ 2 .
vn = 2un −1vn −1
Gi i:
un = un −1 + 2vn −1 un + 2vn = (un −1 + 2vn −1 )
2 2 2
⇒
Ta có:
2vn = 2 2un −1vn −1 un − 2vn = (un −1 − 2vn −1 )
2
2n − 1 n −1
un + 2vn = (u1 + 2v1 ) = (2 + 2)2
⇒ n −1 n −1
un − 2vn = (u1 − 2v1 )2 = (2 − 2)2
1 n −1
n −1
un = (2 + 2)2 + (2 − 2)2
2 .
⇒
1 n −1
n −1
vn =
(2 + 2) − (2 − 2)2
2
2 2
- 19 -
- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
2
un −1
+2
v
u = u 2 + 2v 2 u 2 + 2vn −1
2
n u n −1
n − 1 ⇒ n = n −1
n −1 =
Nh n xét: T
vn = 2un −1vn −1 u
2un −1vn −1
vn
2 n −1
v
n −1
x1 = 2
un
Do v y n u ta ñ t x n = x n −1 + 2 . Ta có bài toán sau:
2
ta ñư c dãy s (xn ) :
x n =
vn
2x n −1
x1 = 2
x n −1 + 2
2
Ví d 1.22: Xác ñ nh CTTQ c a dãy s (xn ) : .
xn = ∀n ≥ 2
2x n −1
Gi i:
u1 = 2 un = un −1 + 2vn −1
2 2
∀n ≥ 2 .
và
Xét hai dãy (un ),(vn ) :
v1 = 1 vn = 2un −1vn −1
u
Ta ch ng minh x n = n (14).
vn
u2
• n = 2 ⇒ x2 = = 2 ⇒ n = 2 (14) ñúng.
v2
x n −1 + 2 un −1 + 2vn −1
2 2 2
un −1 un
• Gi s x n −1 = ⇒ xn = = = ⇒ (14) ñư c ch ng
2x n −1 2un −1vn −1
vn −1 vn
minh
n −1 n −1
(2 + 2)2 + (2 − 2)2
Theo k t qu bài toán trên, ta có: x n = 2 .
2n − 1 2n − 1
(2 + 2) − (2 − 2)
D ng 11:
1) T hai ví d trên ta có ñư c cách tìm CTTQ c a hai dãy s (un ),(vn ) ñư c xác ñ nh
u = u 2 + a.v 2 ; u = α
n −1 n −1 1
b i: n (trong ñó a là s th c dương) như sau:
; v1 = β
vn = 2vn −1un −1
- 20 -
nguon tai.lieu . vn
