Luận văn: Một số định lý biến phân trong không gian có thứ tự

Một số định lý biến phân trong không gian có thứ tự Trần Văn Toàn Chuyên ngành toán giải tích Trường ĐHSP Tp. HCM, 2006 1 Líi nói đƒu Lý thuy‚t phương trình trong không gian có thø tü đưæc phát tri”n m⁄nh m‡ tł giœa th‚ k XX và đưæc hoàn thi»n, bŒ sung cho đ‚n hôm nay. Vi»c áp döng quan h» thø tü vào nghiên cøu các phương trình toán tß tŒng quát mºt m°t cho phép nghiên cøu sâu hơn các tính ch§t đành tính cıa nghi»m như tính dương, tính lçi, tính đơn đi»u,..., M°t khác, nó cho phép gi£m nhµ đi•u ki»n liên töc cıa các ánh x⁄ ho°c ki»n lçi cıa các t“p đưæc xét. Do đó, lý thuy‚t cıa phương trình trong không gian có thø tü đưæc øng döng rºng rãi đ” nghiên cøu các phương trình xu§t phát tł V“t lý, Hoá håc, Sinh håc, ...Th‚ nhưng, vi»c øng döng lý thuy‚t này vào các bài toán bi‚n phân l⁄i r§t h⁄n ch‚ và mîi ch¿ mîi b›t đƒu trong nhœng năm gƒn đây. Do đó, vi»c nghiên cøu øng döng quan h» thø tü vào bài toán bi‚n phân là cƒn thi‚t và høa hµn nhi•u k‚t qu£ mîi thú và. Möc đích cıa lu“n văn này là giîi thi»u các d⁄ng trong không gian có thø tü cıa mºt sŁ đành lý cơ b£n đưæc dùng trong phương pháp bi‚n phân. Đó là các đành lý Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz, b§t đflng thøc Ky Fan, đành lý đi”m cân b‹ng Nash. Đây là các k‚t qu£ đưæc công bŁ trên các bài báo chuyên kh£o gƒn đây. Qua các k‚t qu£ này, ta cũng th§y r‹ng, vi»c sß döng quan h» thø tü đã cho phép làm gi£m nhµ đi•u ki»n liên töc cıa ánh x⁄ và đi•u ki»n lçi cıa các t“p hæp. Lu“n văn đưæc chia thành bŁn chương: Chương 1. Đành lý Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz trong không gian có thø tü. Đành lý KKM là mºt đành lý r§t cơ b£n. Đã có nhi•u k‚t qu£ quan trång đưæc chøng minh düa trên đành lý này, chflng h⁄n bŒ đ• Sperner, đành lý đi”m b§t đºng Brouwer, b§t đflng thøc Ky Fan,...K” tł khi Knaster, Kuratowski, Mazurkiewicz 2 chøng minh đành lý, đã có nhi•u sü tŒng quát cho đành lý KKM. Trong chương này, tł Đành lý 2 trong [3], chúng ta chøng minh đưæc đành lý KKM trong không gian có thø tü düa trên khái ni»m ánh x⁄ transfer closed valued. Chương 2. B§t đflng thøc Ky Fan, đành lý đi”m b§t đºng Fan - Browder, đi”m cân b‹ng Nash trong không gian có thø tü. Tł Đành lý KKM ð Chương 1, chúng ta chøng minh đưæc b§t đflng thøc Ky Fan, đành lý đi”m b§t đºng Fan - Browder và đành lý v• sü tçn t⁄i đi”m cân b‹ng Nash trong không gian có thø tü. Chương 3. Lát c›t liên töc cıa ánh x⁄ đa trà và phƒn tß tŁi đ⁄i trong không gian có thø tü. — phƒn đƒu cıa chương này, chúng tôi giîi thi»u đành lý v• sü tçn t⁄i lát c›t liên töc cıa ánh x⁄ đa trà. Ti‚p theo là các đành lý v• sü tçn t⁄i phƒn tß lîn nh§t trong mºt quan h» ưu tiên y‚u và sü tçn t⁄i phƒn tß tŁi đ⁄i trong mºt quan h» ưu tiên ng°t. Chương 4. Ánh x⁄ đơn đi»u tăng và bài toán cüc trà. Trong chương này, chúng ta s‡ xem xét sü tçn t⁄i cıa các đi”m b§t đºng bºi b‹ng cách sß döng các t“p b§t bi‚n theo quÿ đ⁄o gi£m. Xin đưæc bày tä lòng bi‚t ơn sâu s›c tîi PGS.TS. Nguy„n Bích Huy v• sü hưîng d¤n t“n tâm cıa thƒy. Cám ơn anh Nguy„n Thanh Vinh (Phòng Sau đ⁄i håc, trưíng ĐHSP thành phŁ Hç Chí Minh) đã giúp đï đ” tôi có đưæc phƒn m•m so⁄n th£o cho lu“n văn. Cám ơn anh Phan Đào Vi»t Long (http://www.viettug. org) đã giúp đï tôi r§t nhi•u trong vi»c đành d⁄ng lu“n văn này. Thành phŁ Hç Chí Minh, tháng 9 năm 2006, Trƒn Văn Toàn. 3 Möc löc Líi nói đƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Đành lý Knaster - Kuratowski-Mazurkiewicz trong không gian có thø tü 5 1.1 Nßa dàn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Transfer closed valued. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 2. B§t đflng thøc Ky Fan, đành lý đi”m b§t đºng Fan - Browder, đi”m cân b‹ng Nash trong không gian có thø tü 17 2.1 B§t đflng thøc Ky Fan trong không gian có thø tü. . . . 17 2.2 Đành lý đi”m b§t đºng Fan - Browder trong không gian có thø tü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Đi”m cân b‹ng Nash trong không gian có thø tü. . . . . 20 Chương 3. Lát c›t liên töc cıa ánh x⁄ đa trà và phƒn tß tŁi đ⁄i trong không gian Banach có thø tü 23 3.1 Các đành nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Lát c›t liên töc và phƒn tß tŁi đ⁄i. . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Ùng döng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 4. Ánh x⁄ tüa đơn đi»u tăng và bài toán cüc trà 32 4 4.1 Các khái ni»m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 T“p b§t bi‚n theo quÿ đ⁄o gi£m (Decreasing flow invari- ant set). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Đi”m b§t đºng cıa các toán tß tüa đơn đi»u tăng. . . . . 40 Tài li»u tham kh£o 46 ... - tailieumienphi.vn