Luận văn: Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức

Khâa lu“n tŁt nghi»p to¡n sì c§p S÷ Ph⁄m To¡n 48 Líi mð ƒu Trong b§t flng thøc cŒ i”n th… b§t flng thøc xoay vÆng l mºt nºi dung hay v khâ. Câ nhœng b§t flng thøc câ d⁄ng kh¡ ìn gi£n nh÷ng ph£i m§t h ng chöc n«m, nhi•u nh to¡n håc mîi gi£i quy‚t ÷æc. V‰ dö nh÷ b§t flng thøc Shapiro ÷æc °t ra v o n«m 1903 bði Neishbitt. Vîi 3 sŁ khæng ¥m a;b;c chøng minh r‹ng: a b c 3 b+c c+a a+b 2 (ìn gi£n) v d⁄ng tŒng qu¡t: Mð rºng vîi n sŁ a1;a2;:::;an th…: a2 +a3 + a3 +a4 + + a1 +a2 2 Kh… n o óng, khi n o sai. ‚n n«m 1954 tøc l sau 52 n«m, Shapiro mîi tŒng k‚t l⁄i gi£ thuy‚t n y nh÷ sau: 1) B§t ‹ng thøc óng vîi n l· 23 2) B§t ‹ng thøc óng vîi n chfin 12 CÆn l⁄i sai. Ho n to n tü nhi¶n ta th§y cÆn r§t nhi•u d⁄ng b§t flng thøc xoay vÆng kh¡c th… b§t flng thøc l g…, khi n o óng, khi n o sai ho°c luæn luæn óng. Trong b i lu“n v«n n y chóng tæi x¥y düng ÷æc mºt d⁄ng b§t flng thøc xoay vÆng tŒng qu¡t m c¡c tr÷íng hæp ri¶ng l nhœng b i to¡n khâ v r§t khâ câ th” sß döng trong nhœng • thi håc sinh giäi. Lu“n v«n n y gçm câ 2 ch÷ìng: Ch÷ìng 1: B§t flng thøc xoay vÆng (Tr…nh b y nhœng k‚t qu£ ¢ câ v• c¡c b i b§t flng thøc ph¥n thøc.) Ch÷ìng 2: Mºt d⁄ng b§t flng thøc xoay vÆng (X¥y düng b§t flng thøc vîi c¡c tr÷íng hæp ìn gi£n, tŒng qu¡t b i to¡n) GV h÷îng d¤n: TS Nguy„n Vô L÷ìng 1 Sinh vi¶n: Nguy„n V«n C÷ìng Khâa lu“n tŁt nghi»p to¡n sì c§p S÷ Ph⁄m To¡n 48 Em xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c c¡c thƒy cæ khoa To¡n-Cì-Tin håc trong thíi gian håc t“p ð tr÷íng Khoa Håc Tü Nhi¶n, c¡c thƒy cæ Khoa S÷ Ph⁄m H QuŁc Gia H Nºi, c¡c b⁄n trong lîp S÷ ph⁄m To¡n 48. °c bi»t l sü h÷îng d¤n, gióp ï t“n t…nh cıa thƒy TS Nguy„n Vô L÷ìng ¢ gióp ï em ho n th nh khâa lu“n n y. GV h÷îng d¤n: TS Nguy„n Vô L÷ìng 2 Sinh vi¶n: Nguy„n V«n C÷ìng Möc löc 1 B§t flng thøc xoay vÆng 4 1.1 B§t flng thøc Schurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 B§t flng thøc Schurs v h» qu£ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Mºt sŁ b i to¡n minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 B§t flng thøc xoay vÆng kh¡c trong tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Sß döng b§t flng thøc Cauchy chøng minh mºt sŁ d⁄ng b§t flng thøc xoay vÆng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 B§t flng thøc xoay vÆng ph¥n thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Mºt d⁄ng b§t flng thøc xoay vÆng 41 2.1 C¡c tr÷íng hæp ìn gi£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.1 Tr÷íng hæp 3 sŁ n = 3 2.1.2 Tr÷íng hæp 4 sŁ n = 4 2.1.3 Tr÷íng hæp 5 sŁ n = 5 2.1.4 Tr÷íng hæp 6 sŁ n = 6 2.1.5 Tr÷íng hæp 7 sŁ n = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2 Tr÷íng hæp tŒng qu¡t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.1 Mºt sŁ ki‚n thøc li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.2 Nh“n x†t °c bi»t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.3 Tr÷íng hæp tŒng qu¡t n sŁ h⁄ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Ch÷ìng 1 B§t flng thøc xoay vÆng 1.1 B§t flng thøc Schurs 1.1.1 B§t flng thøc Schurs v h» qu£ B i 1 (B§t flng thøc Schurs) Vîi x;y;z l c¡c sŁ thüc d÷ìng, l mºt sŁ thüc b§t k…, chøng minh r‹ng: x(x y)(x z)+ y(y z)(y x)+ z(z x)(z y) 0 D§u b‹ng x£y ra khi v o ch¿ khi x = y = z Chøng minh Chó þ r‹ng khi câ hai bi‚n sŁ b‹ng nhau th… b§t flng thøc hi”n nhi¶n óng. Chflng h⁄n khi y = z ta câ: x(x z)2 0. D§u " = " x£y ra khi x = y = z. Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t ta câ th” gi£ thi‚t r‹ng: x > y > z + X†t tr÷íng hæp 0 B§t flng thøc câ th” vi‚t l⁄i d÷îi d⁄ng: (x y)[x(x z)+ y(y z)]+ z(z x)(z y) 0 Sß döng i•u ki»n x > y ta thu ÷æc M > (x y)(y z)(x y)+ z(x z)(y z) > 0; (8 > 0) 4 Khâa lu“n tŁt nghi»p to¡n sì c§p S÷ Ph⁄m To¡n 48 do â b§t flng thøc óng. + X†t tr÷íng hæp < 0 Ta câ M = x(x y)(x z)+(y z)[z(x z) y(x y)] Sß döng i•u ki»n y > z (hay x z > y z ) ta câ: M > x(x y)(x z)+(y z)(x y)(z y) > 0; (8 < 0) V“y b§t flng thøc cƒn ÷æc chøng minh. B i 2 (B§t flng thøc Schurs mði rºng) Gi£ sß I l mºt kho£ng thuºc R v f : I ! R+ l mºt h m ìn i»u hay f"(x) 0; 8x 2 I. Vîi x1;x2;x3 2 I, chøng minh r‹ng: f(x1)(x1 x2)(x1 x3)+ f(x2)(x2 x3)(x2 x1)+ f(x3)(x3 x1)(x3 x2) 0 (1) D§u " = " x£y ra khi v ch¿ khi x1 = x2 = x3. Chøng minh V… f l h m ìn i»u hay f"(x) 0; x 2 I n¶n ta câ b§t flng thøc: f[x+(1 )y] < f(x) + f(y) (2) 8x;y 2 I v 2 (0;1) ... - tailieumienphi.vn