Xem mẫu
- Đ I H C HU
TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M HU
Đinh Văn Phúc
KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CH T
B môn: Gi i tích
KHÓA LU N T T NGHI P
Ngư i hư ng d n: PGS.TS. Lê Văn H p
Hu , Khóa h c 2009 - 2013
- L I C M ƠN
Khóa lu n này đư c hoàn thành không ch là k t qu c a s c g ng,
n l c c a b n thân mà trư c h t là nh s giúp đ và hư ng d n t n tình,
chu đáo c a th y giáo PGS.TS. Lê Văn H p, em xin bày t lòng bi t ơn
chân thành và sâu s c đ n th y.
Em xin thành c m ơn quý th y cô đã h t lòng d y d , giúp đ em
trong su t nh ng năm qua.
Em xin g i đ n gia đình, nh ng ngư i thân yêu và nh ng ngư i b n
c a em l i bi t ơn chân thành sâu l ng, nh ng ngư i luôn sát cánh bên
em, đ ng viên và t o m i đi u ki n cho em đư c h c t p cũng như trong
su t quá trình hoàn thành khóa lu n này.
Hu , ngày 6 tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Đinh Văn Phúc
- M cl c
L im đ u 3
1 M TS KI N TH C CHU N B 5
1.1 T p thương và quan h tương đương . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Không gian đ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Hàm đo đư c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Tích phân coi như m t hàm t p . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Không gian Lp , 1 ≤ p < +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CH T 15
2.1 Đ o hàm Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Không gian mêtric Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
K t lu n 42
Tài li u tham kh o 43
2
- L IM Đ U
Không gian mêtric và lý thuy t đ đo tích phân là m t ph n quan
tr ng trong lý thuy t hàm s bi n s th c, chúng cùng v i gi i tích hàm
làm n n t ng cho ki n th c toán h c c a sinh viên. Trong chương trình h c
đ i h c, h c ph n không gian mêtric-không gian Tôpô đư c h c h c
kì hai c a năm th hai, h c ph n lí thuy t đ đo và tích phân đư c h c
h c kì m t năm th ba. Đây là nh ng h c ph n không th thi u đ i v i
sinh viên ngành toán b c đ i h c, các h c ph n này giúp chúng em làm
quen và n m đư c khái ni m, tính ch t c a không gian mêtric, không gian
đ đo và lí thuy t tích phân...Đ c bi t là không gian mêtric có nh ng tính
ch t thú v , g n gũi v i hình h c. Khóa lu n này đi sâu nghiên c u v m t
trư ng h p đ c bi t c a không mêtric, đó là không gian mêtric Nikodym.
Không gian mêtric Nikodym đư c xây d ng d a trên m t không gian
đ đo h u h n và nó có m t s tính ch t khá thú v , có m i liên h ch t
ch v i không gian đ đo. N i dung c a khóa lu n đ c p đ n khái ni m
không gian mêtric Nikodym, các tính ch t c a không gian này đ ng th i
ch ra m i liên h gi a nó v i không gian Lp , 1 ≤ p < ∞.
N i dung nghiên c u c a em là d a trên cu n sách [7], trong đó các
khái ni m, k t qu đư c nghiên c u và trình bày l i m t cách rõ ràng và
đ y đ hơn. Tuy không ph i là nh ng k t qu m i đư c tìm th y, nhưng
3
- 4
v i tinh th n tìm tòi h c h i ki n th c m i, hy v ng đ tài này s đem l i
nhi u ki n th c b ích cho b n thân và nhi u thú v cho đ c gi . N i dung
khóa lu n g m hai chương:
Chương I: M t s ki n th c chu n b .
Chương II: Không gian mêtric Nikodym và tính ch t.
Tuy đã có nhi u c g ng, song do h n ch v th i gian và năng l c
b n thân nên khóa lu n không tránh kh i nh ng sai sót, r t mong đư c
s quan tâm góp ý c a th y cô và các b n.
Em xin chân thành c m ơn!
Hu , ngày 6 tháng 05 năm 2013
Tác gi
- Chương 1
M TS KI N TH C CHU N
B
1.1 T p thương và quan h tương đương
Đ nh nghĩa 1.1.1. Cho R là m t quan h hai ngôi trong A. Khi đó:
i. R đư c g i là ph n x n u
∀x∈A, xRx.
ii. R đư c g i là đ i x ng n u
∀x, y∈A, xRy ⇒ yRx.
iii. R đư c g i là b c c u n u
∀x, y, z∈A, xRy và yRz ⇒ xRz .
Đ nh nghĩa 1.1.2. M t quan h hai ngôi R trong A đư c g i là quan h
tương đương n u R th a mãn ba tính ch t: ph n x , đ i x ng và b c c u.
Quan h tương đương đư c ký hi u là ∼.
Đ nh nghĩa 1.1.3. Cho ∼ là m t quan h tương đương trong X và x ∈X.
Khi đó:
i. T p h p x={ y∈X | y∼x} đư c g i là l p tương đương c a x theo quan
¯
5
- 6
h ∼.
ii. T p h p X/∼ = { x | x∈X} đư c g i là t p h p thương c a X trên
¯
quan h tương đương ∼.
1.2 Không gian mêtric
Đ nh nghĩa 1.2.1. Gi s X là m t t p b t kỳ khác tr ng. Ta g i hàm s
d: X×X → R là m t mêtric (hay kho ng cách) trên X n u hàm s này
th a mãn ba tiên đ sau đây:
1. d(x, y ) 0, ∀x, y∈X ; d(x, y ) = 0 khi và ch khi x = y ,
2. d(x, y ) = d(y, x) ( tính đ i x ng ),
3. d(x, z ) ≤ d(x, y ) + d(y, z ), ∀x, y, z∈X ( b t đ ng th c tam giác ).
Khi đó t p X cùng v i mêtric d đã cho đư c g i là m t không gian mêtric
và kí hi u là (X , d).
Đ nh nghĩa 1.2.2. Không gian mêtric X đư c g i là tách đư c n u có
m t t p con h u h n hay đ m đư c A ⊂ X trù m t kh p nơi.
M nh đ 1.2.3. ([7]. MĐ 26, tr 204). Không gian con c a m t không
gian mêtric tách đư c là tách đư c.
Đ nh nghĩa 1.2.4. T p A ⊂ X đư c g i là compact n u v i m i dãy
(xn )n ⊂ A đ u t n t i m t dãy con (xnk )k ⊂ (xn )n h i t v m t đi m
x0 ∈ A. N u X là t p compact thì ta nói X là không gian compact.
Đ nh nghĩa 1.2.5. Đ nh nghĩa không gian mêtric đ y đ .
1. Dãy (xn )n trong không gian mêtric X đư c g i là dãy cơ b n hay dãy
Cauchy n u lim d(xm , xn ) = 0. Nói cách khác (xn )n là dãy cơ b n khi và
m,n→0
- 7
ch khi:
(∀ε > 0)(∃n0 )(∀m, n ≥ n0 ) : d(xm , xn ) < ε.
2. Không gian mêtric X đư c g i là không gian mêtric đ y đ n u m i dãy
cơ b n c a nó đ u h i t trong X .
Đ nh nghĩa 1.2.6. Cho M là m t t p con c a không gian mêtric X . Ta
g i M là t p không đâu trù m t n u nó không trù m t trong b t kì hình
c u nào c . Nói m t cách tương đương:
◦
( M ⊂X là t p không đâu trù m t ) ⇔ ( M = ∅).
Đ nh nghĩa 1.2.7. Gi s A là m t t p con c a không gian mêtric X . Ta
g i A là t p thu c ph m trù I trong X n u t n t i m t dãy các t p không
∞
đâu trù m t A1 , A2 , ... sao cho A= ∪ An .
n=1
T p A⊂X đư c g i là thu c ph m trù II n u nó không ph i là t p
thu c ph m trù I.
Đ nh lí 1.2.8. (Đ nh lí Baire-Category)([1]. ĐL 4.3.4, tr 58).
Gi s X là m t không gian mêtric đ y đ . Khi đó X là t p thu c
ph m trù II.
H qu 1.2.9. Gi s X là m t không gian mêtric đ y đ và (An )n là
∞
dãy các t p con c a X sao cho X = ∪ An . Khi đó t n t i n0 ∈ N sao cho
n=1
◦
An0 = ∅.
Đ nh lí 1.2.10. ([7]. ĐL 7, tr 213) Cho X là m t không gian mêtric
đ y đ và (fn )n là m t dãy các hàm th c liên t c trên X h i t đi m trong
X t i hàm f nh n giá tr th c thì có m t t p con D trù m t trong X sao
cho (fn )n là liên t c đ ng b c và f là liên t c t i m i đi m trong D.
- 8
1.3 Không gian đ đo
Đ nh nghĩa 1.3.1. M t đ i s là m t l p các t p con c a X ch a X , ∅
và kín đ i v i m i phép toán h u h n v t p h p ( phép h p và phép giao
m t s h u h n t p, phép tr và phép tr đ i x ng hai t p).
Đ nh lí 1.3.2. M t l p C là m t đ i s khi và ch khi C không r ng và
th a mãn hai đi u ki n:
a. A∈C , B∈C ⇒ A∪B ∈ C ,
b. A∈C , Ac = X\A∈ C .
Đ nh nghĩa 1.3.3. M t σ -đ i s là m t l p t p các t p con c a X ch a
X , ∅ và kín đ i v i m i phép toán h u h n hay đ m đư c v t p.Dĩ nhiên
m t σ -đ i s cũng là m t đ i s .
Đ nh lí 1.3.4. M t l p F là m t σ -đ i s khi và ch khi F không r ng và
thõa mãn các đi u ki n:
∞
a. An ∈ F (n = 1, 2, 3, ...) ⇒ ∪ An ∈ F,
n=1
b. A ∈ F ⇒Ac = X\A ∈ F .
Đ nh nghĩa 1.3.5. (Hàm t p h p). Cho X là m t t p tùy ý, M là m t
l p t p con c a X . M t hàm µ xác đ nh trên M g i là m t hàm t p.
Hàm đó là c ng tính n u:
A, B∈ M, A∩B =∅, A∪B∈ M ⇒ µ(A∪B )=µ(A)+µ(B ).
B ng qui n p chúng ta ch ng minh đư c r ng n u µ là c ng tính thì
nó cũng h u h n c ng tính t c là v i Ai ∈ M, i = 1, 2, 3, ...n, Ai ∩Aj = ∅,
n
∪n Ai ∈ M thì µ(∪n Ai )=
i=1 i=1 i=1 µAi .
Hàm t p µ g i là σ -c ng tính n u Ai ∈ M, i = 1, 2, 3, ..., Ai ∩Aj = ∅,
- 9
∞ ∞ ∞
i=j và ∪ Ai ∈ M thì µ( ∪ Ai )= µAi .
i=1 i=1 i=1
Đ nh nghĩa 1.3.6. M t hàm t p µ g i là m t đ đo n u nó đư c xác đ nh
trên m t đ i s C và th a mãn 3 đi u ki n sau:
(i) µ(A) 0 v i m i A∈ C,
(ii) µ(∅) = 0,
(iii) µ là σ -c ng tính.
M t đ đo µ g i là h u h n n u µ(X )
- 10
i. Ai ∈ C (i=1,2,3...), A1 ⊂A2 ⊂...
∞ ∞
∪ Ai ∈ C ⇒ µ( ∪ Ai ) = lim µ(Ai ).
i=1 i=1 i→∞
ii. Ai ∈ C (i=1,2,3...), A1 ⊃A2 ⊃... , µ(A1 )
- 11
1.5 Tích phân Lebesgue
n
Đ nh nghĩa 1.5.1. Tích phân c a hàm đơn gi n không âm f = i=1 αi χAi
trên A theo đ đo µ, kí hi u là f (x)dµ hay g n hơn f dµ, là s
A A
n
i=1 αi µAi . V y
n
f (x)dµ = i=1 αi µAi .
A
Rõ ràng r ng n u µA = 0 thì f dµ = 0.
A
∗ Tích phân c a hàm đo đư c không âm.
Cho f : A → R là m t hàm đo đư c và không âm trên A. Theo đ nh
lí v c u trúc c a hàm đo đư c, t n t i m t dãy các hàm đơn gi n không
âm (fn )n trên A sao cho
0 ≤ fn ≤ fn+1 m i n ∈ N và fn f, n → ∞.
Gi i h n limn→∞ fn dµ t n t i không ph thu c (fn ) và là m t s th c
A
không âm hay +∞. Ta đi đ n đ nh nghĩa sau:
Đ nh nghĩa 1.5.2. Tích phân c a hàm đo đư c không âm f trên A theo
đ đo µ, kí hi u là f dµ hay f (x)dµ(x), là s limn→∞ fn dµ. V y
A A A
f dµ = limn→∞ fn dµ.
A A
∗ Tích phân c a hàm đo đư c b t kì.
Bây gi ta gi s f : A → R là đo đư c b t kì. Khi đó n u đ t
f + = max{f, 0}, f − = −min{f, 0} thì f + và f − là nh ng hàm đo đư c
không âm trên A và f = f + − f − . Theo Đ nh nghĩa 1.5.2, các tích phân
f + dµ và f − dµ t n t i và là các s th c không âm hay +∞. M t cách
A A
t nhiên ta đi đ n đ nh nghĩa sau.
Đ nh nghĩa 1.5.3. N u m t trong hai tích phân f + dµ và f − dµ là
A A
h u h n thì ta đ nh nghĩa tích phân c a f trên A (theo đ đo µ), kí hi u
- 12
là f dµ hay f (x)dµ(x), là s
A A
f + dµ − f − dµ.
A A
V y
f dµ = f + dµ − f − dµ.
A A A
Đ ý là n u tích phân c a f trên A t n t i thì f dµ ∈ R.
A
N u f dµ ∈ R(nghĩa là f dµ t n t i và h u h n) thì ta nói f kh
A A
tích trên A. Lúc này c hai tích phân f + dµ và f − dµ đ u là nh ng s
A A
h u h n.
Đ nh lí 1.5.4. (Đ nh lí h i t b ch n).([1]. ĐL 3.1.7, tr 221). Gi
s (fn )n là dãy các hàm đo đư c trên A th a mãn |fn | ≤ g , m i n ∈ N và
g là hàm kh tích trên A. N u (fn )n h i t h u kh p nơi hay h i t theo
đ đo v m t hàm f trên A thì limn→∞ fn dµ = f dµ.
A A
1.6 Tích phân coi như m t hàm t p
Cho (X, F, µ) là m t không gian đ đo, f là hàm kh tích trên X .
Khi đó ng v i m i t p A ∈ F có th xác đ nh s
λ(A) = f dµ.
A
Như th ta có m t hàm t p λ. Hàm t p này cũng g i là tích phân b t đ nh
c a f (x).
Đ nh lí 1.6.1. ( [3]. ĐL 6, tr 86). Hàm t p λ là σ -c ng tính, nghĩa là
∞
n u A = ∪ An , các An ∈ F đôi m t r i nhau và n u có f dµ ( ch ng
n=1 A
h n n u f ≥ 0 ) thì
∞
f dµ = f dµ.
A n=1 An
Đ nh lí này cho ta th y r ng n u f là m t hàm kh tích, không âm thì
- 13
hàm t p λ xác đ nh như trên là m t đ đo trên σ -đ i s F . Rõ ràng n u
µ(A) = 0 thì λ(A) = 0.
1.7 Không gian Lp, 1 ≤ p < +∞
Gi s (X, F, µ) là m t không gian đ đo. Cho 1 ≤ p < +∞, g i
Lp (X, µ) là t p h p t t c các hàm đo đư c trên X sao cho
|f (x)|p dµ < ∞.
X
Trong đó ta không phân bi t các hàm tương đương nhau ( nghĩa là b ng
nhau h u kh p nơi ). N u X ⊂ Rn là t p h p đo đư c theo Lebesgue và
µ là đ đo Lebesgue thì ta kí hi u Lp (X).
Đ nh lí 1.7.1. ([4]. ĐL 1.1, tr 71). T p h p Lp (X, µ) v i hai phép toán
c ng là t ng c a hai hàm và nhân là nhân m t hàm v i m t s t o thành
m t không gian vectơ.
Đ nh lí 1.7.2. ([4]. ĐL 1.5, tr 75). Cho (X, F, µ) là không gian đ đo,
1 ≤ p < +∞ khi đó hàm:
1
f = ( |f (x)|p dµ) p .
X
Xác đ nh m t chu n trên Lp (X, µ) và Lp (X, µ) là m t không gian tuy n
tính đ nh chu n.
Đ nh lí 1.7.3. ( Riesz-Fischer)([2]. ĐL 2.3, tr 57). Không gian Lp (X, µ),
1 ≤ p < +∞ là m t không gian Banach.
H qu 1.7.4. ([4]. ĐL 1.7, tr 77). Cho 1 ≤ p < +∞.
N u {fn } ⊂ Lp (X, µ) và limn→∞ f − fn = 0, thì t n t i m t dãy con
{fnk } c a dãy {fn }, h i t h u kh p nơi v f trên X .
Đ nh lí 1.7.5. ([4]. ĐL 1.8, tr 77).
- 14
Cho dãy {fn } ⊂ Lp (X, µ), 1 ≤ p < +∞. N u dãy {fn } đơn đi u tăng
và h i t h u kh p nơi v f trên X thì limn→∞ f − fn = 0.
Đ nh lí 1.7.6. ([7]. ĐL 7, tr 148).
Cho E là m t t p đo đư cvà 1 ≤ p < ∞. Gi s (fn )n là m t dãy
trong Lp (E) h i t đi m h u kh p nơi trên E t i hàm f thu c Lp (E) thì:
fn → f trong Lp n u và ch n u limn→∞ |fn |p dµ = |f |p dµ.
E E
M nh đ 1.7.7. Cho S là hàm đơn gi n đo đư c trên X . S kh tích trên
X khi và ch khi đ đo c a t p h p {x ∈ X : S(x) = 0} là h u h n.
Đ nh lí 1.7.8. ([4]. ĐL 3.2, tr 81). T p h p S g m t t c các hàm đơn
gi n kh tích trên X là trù m t trong Lp (X, µ), v i 1 ≤ p < +∞.
- Chương 2
KHÔNG GIAN MÊTRIC
NIKODYM VÀ TÍNH CH T
2.1 Đ o hàm Radon-Nikodym
Cho (X, M, µ) là m t không gian đ đo và f là m t hàm không âm
đo đư c đ i v i M, ta đ nh nghĩa m t hàm t p ν trên M như sau:
ν(E) = f dµ v i m i E ∈ M.
E
Chúng ta đã bi t r ng khi đó ν là m t đ đo trên không gian đo đư c
(X, M) và nó có tính ch t: n u E ∈ M và µ(E) = 0 thì ν(E) = 0.
Đ nh nghĩa 2.1.1. Cho m t không gian đ đo (X, M, µ) và ν là m t đ
đo. Đ đo ν mà th a mãn tính ch t n u E ∈ M và µ(E) = 0 kéo theo
ν(E) = 0 thì ν đư c g i là tuy t đ i liên t c đ i v i µ và chúng ta kí hi u
là: ν 0, t n t i m t δ > 0 sao cho v i b t
kì t p E ∈ M, n u µ(E) < δ thì ν(E) < ε ( 2.2.0).
15
- 16
Ch ng minh. + Gi s ν tuy t đ i liên t c đ i v i µ và t n t i ε0 > 0,
1
dãy (En ) ⊂ M sao cho v i m i n, µ(En ) < 2n
và ν(En ) ≥ ε0 . V i m i n,
∞
ta đ t An = ∪ Ek , thì (An )n là m t dãy gi m các t p trong M. T tính
k=n
đơn đi u c a ν và tính c ng tính đ m đư c c a µ ta có:
∞
ν(An ) = ν( ∪ Ek ) ≥ ν(En ) ≥ ε0
k=n
∞ ∞
1
và µ(An ) = µ( ∪ Ek ) ≤ µ(Ek ) ≤ 2n−1
v i m i n.
k=n k=n
∞
Đ t A∞ = ∩ An . Do tính đơn đi u c a đ đo µ, ta có:
n=1
∞
1
µ(A∞ ) = µ( ∩ An ) ≤ µ(An ) ≤ 2n−1
, ∀n ∈ N.
n=1
Cho n → ∞ ta đư c µ(A∞ ) = 0.
M t khác ta có ν(A1 ) ≤ ν(X) < ∞ và (An )n là dãy gi m nên
∞
ν(A∞ ) = ν( ∩ An ) = limn→∞ ν(An ). Do ν(An ) ≥ ε0 v i m i n nên
n=1
ν(A∞ ) = limn→∞ µ(An ) ≥ ε0 . Đi u này mâu thu n v i ν là tuy t đ i liên
t c đ i v i µ v y ta có đi u ph i ch ng minh.
+ Gi s (2.2.0) đúng. Cho E ∈ M mà µ(E) = 0. Ta c n ch ng minh
1
ν(E) = 0. ∀ n ∈ N, l y εn = n
thì theo gi thi t s t n t i δn > 0, sao cho
1
(2.2.0) nghi m đúng. Vì µ(E) = 0 < δn nên ν(E) < n , v i m i n ∈ N.
Cho n → ∞ ta đư c ν(E) = 0. V y ν là tuy t đ i liên t c đ i v i µ.
Đ nh nghĩa 2.1.3. (Đ đo D u). Cho m t không gian đo đư c (X, M).
M t hàm t p ν trên M đư c g i là m t đ đo d u trên M n u nó th a
mãn các đi u ki n dư i đây:
1. ν(E) ∈ (−∞; +∞] v i m i E ∈ M ho c ν(E) ∈ [−∞; +∞) v i m i
E ∈ M,
2. ν(∅) = 0,
3. V i m i dãy (En ) đôi m t r i nhau trong M;
- 17
n∈N ν(En ) t n t i trong R và n∈N ν(En ) = ν(∪n∈N En ).
N u ν là m t đ đo d u trong M, thì không gian (X, M, ν) đư c g i
là không gian đ đo d u.
M t đ đo d u µ g i là h u h n n u µ(X) ∈ R, σ -h u h n n u:
∞
X = ∪ Xi , Xi ∈ M, µ(Xi ) ∈ R.
i=1
Chú ý: N u (En ) là m t dãy trong M trong không gian đ đo d u
(X, M, ν), thì n∈N ν(En ) có th không t n t i trong R, cho nên không
ph i khi nào (En ) đôi m t r i nhau thì t ng n∈N ν(En ) trong đi u ki n (3)
c a đ nh nghĩa trên cũng t n t i. Bây gi cho E1 , E2 , ...En , Ei ∈ M. Khi
n
đó do đi u ki n (1) trong đ nh nghĩa trên nên i=1 ν(Ei ) luôn luôn t n t i
trong R . N u E1 , E2 , ...En , Ei ∈ M, Ei ∩ Ej = ∅, i = 1, n, j = 1, n
thì dãy (E1 , E2 , ...En , ∅, ∅...) là đôi m t r i nhau và t ν(∅) = 0 nên đi u
ki n (3) trong đ nh nghĩa trên đư c th a mãn.
Đ nh nghĩa 2.1.4. Cho không gian đ đo (X, M, µ) và f là hàm đo đư c
trên t p D ∈ M. N u f + dµ − f − dµ t n t i trong R, thì ta nói r ng
D D
f là n a kh tích trên D đ i v i µ hay µ-n a kh tích trên D và xác đ nh
f dµ = f + dµ − f − dµ.
D D D
M nh đ 2.1.5. Cho (X, M, µ) là m t không gian đ đo, cho f : X → R
là m t hàm n a kh tích trên X , chúng ta xác đ nh m t hàm t p ν trên
M b i:
ν(E) = f dµ v i m i E ∈ M, thì ν là m t đ đo d u trên M.
E
Ch ng minh. Vì f là n a kh tích nên trong hai tích phân f + dµ
X
và f − dµ có m t tích phân là h u h n, không m t tính t ng quát gi s
X
+
f dµ là h u h n. Khi đó v i m i E ∈ M ta có
X
- 18
0≤ f + dµ ≤ f + dµ < +∞. Do v y
E X
ν(E) = f + dµ − f − dµ ∈ [−∞, +∞), t c là đi u ki n (1) trong đ nh
E E
nghĩa đư c th a mãn.
Ta có ν(∅) = f dµ = 0 nên đi u ki n (2) th a mãn.
∅
∞
Ta xét (En ) là dãy các t p đôi m t r i nhau trong M, ν(En ) t n
n=1
∞
t i trong R, đ t E = ∪ En , khi đó ta có:
n=1
∞ ∞
ν(E) = f dµ = f dµ = f dµ = ν(En ) v y đi u ki n (3)
E ∞ n=1 En n=1
∪ En
n=1
đư c th a mãn. Do đó ν là m t đ đo d u.
Đ nh nghĩa 2.1.6. (Đ o hàm Radon-Nikodym).
Cho (X, M, µ ) là m t không gian đ đo, ν là m t đ đo d u trong không
gian đo đư c (X, M). N u t n t i m t hàm f đo đư c trên X đ i v i
M sao cho ν(E) = f dµ v i m i E ∈ M thì f đư c g i là đ o hàm
E
dν
Radon-Nikodym c a ν đ i v i µ và ký hi u là dµ
.
Chú ý r ng n u m t đ o hàm Radon-Nikodym f c a ν đ i v i µ t n
t i thì f dµ = ν(X) ∈ R. V y f không nh t thi t kh tích trên X đ i
X
v i µ.
M nh đ 2.1.7.
(i) Cho f là m t đ o hàm Radon-Nikodym c a m t đ đo d u ν đ i v i
m t đ đo µ trên m t không gian đo đư c (X, M). N u g là m t hàm đo
đư c trên X sao cho f = g h u kh p nơi trên X đ i v i µ, thì g cũng là
m t đ o hàm Radon-Nikodym c a ν đ i v i µ.
(ii) Cho µ là đ đo σ -h u h n và ν là m t đ đo d u trên m t không gian
đo đư c (X, M). N u hai hàm đo đư c f và g là đ o hàm Radon-Nikodym
c a ν đ i v i µ thì f = g h u kh p nơi trên X đ i v i µ.
- 19
Ch ng minh. (i) Chú ý r ng n u g là m t hàm đo đư c trên X
sao cho f = g h u kh p nơi trên X thì v i m i E ∈ M chúng ta có
gdµ = f dµ = ν(E). V y theo đ nh nghĩa g là đ o hàm Radon-
E E
Nikodym c a ν đ i v i µ.
(ii) Đ ch ng minh (ii) ta đi ch ng minh m nh đ sau đây trư c:
M nh đ 2.1.8. Cho (X, M, µ) là m t không gian đ đo σ -h u h n, f
và g là hai hàm đo đư c µ-n a kh tích trên X sao cho f dµ = gdµ
E E
v i m i E ∈ M, thì f = g h u kh p nơi trên X .
Ch ng minh. Do µ là σ -h u h n nên có m t dãy (An )n trong M sao
∞
cho An ∩ Am = ∅, ∪ An = X và µ(An ) < ∞, ∀n ∈ N. Ta s ch ng minh
n=1
f = g h u kh p nơi trên m i An , ∀n ∈ N (1).
Gi s (1) không đư c th a mãn khi đó có ít nh t m t trong hai t p
E = {x ∈ An : f (x) < g(x)} và F = {x ∈ An : f (x) > g(x)} s có m t
t p có đ đo dương. Gi s µ(E) > 0, khi đó ta bi u di n E = E ∪ E
trong đó E = {x ∈ An : −∞ < f (x) < g(x)}
và E = {x ∈ An : f (x) = −∞, g(x) > −∞}. Vì E ∩ E = ∅, nên s
có ít nh t m t trong hai t p E , E có đ đo dương.
+ Xét trư ng h p µ(E ) > 0, bây gi ta có E = ∪m∈N ∪k∈N ∪l∈N Em,k,l
1
đây Em,k,l = {x ∈ An : −m ≤ f (x), f (x) + k
≤ g(x) ≤ l}.
Vì 0 < µ(E ) ≤ m∈N k∈N l∈N µ(Em,k,l ) do đó s t n t i m0 , k0 , l0 sao
cho µ(Em0 ,k0 ,l0 ) > 0, đ t E ∗ = Em0 ,k0 ,l0 thì ta có:
(g − f )dµ ≥ 1
k0
µ(E ∗ ) > 0.
E∗
Vì f và g là µ-n a kh tích trên E ∗ , chúng ta có (g − f )dµ
E∗
1 ∗
= gdµ − f dµ. Suy ra gdµ ≥ f dµ + k0
µ(E ) > f dµ. Mâu
E∗ E∗ E∗ E∗ E∗
thu n v i gi thi t.
nguon tai.lieu . vn