Xem mẫu
- BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN
*********
HÀ DUY NGHĨA
Đ NH LÝ CHU N B WEIERSTRASS
VÀ NG D NG
TI U LU N LÝ THUY T KỲ D
Quy Nhìn, Th¡ng 5 n«m 2010
- i
BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN
*********
HÀ DUY NGHĨA
Đ NH LÝ CHU N B WEIERSTRASS
VÀ NG D NG
CAO H C TOÁN KHÓA 11
Chuyên ngành: Đ i s và lý thuy t s
TI U LU N LÝ THUY T KỲ D
Ngư i hư ng d n khoa h c
TS. NGUY N CÔNG TRÌNH
Quy Nhìn, Th¡ng 5 n«m 2010
- ii
M CL C
Trang ph bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
L im đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 Đ nh lý chu n b Weierstrass 2
1.1 Đa th c Weierstrass ....................... 2
1.2 Đ nh lý chu n b Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 2 ng D ng 9
2.1 Khai tri n Puiseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Phép tham s hóa đư ng cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
- 1
L IM ĐU
C u trúc tôpô c a đư ng cong ph ng là m t chuyên đ toán h c đư c
nhi u nhà toán h c quan tâm nghiên c u và có nhi u k t qu hay, c th là
nó th hi n trong nhi u tài li u như cu n Plane Algebraic Curves c a tác gi
Brieskorn, cu n Introduction to algebraic curves c a tác gi Griffiths ...
Đ i v i b n thân tôi là h c viên cao h c, tôi ch n đ tài ti u lu n" Đ nh lý
chu n b Weierstrass và ng d ng " nh m tìm hi u sâu hơn v v n đ tham s
hóa c a đư ng cong cũng như s phân tích c a đư ng cong t ng quát thành
các đư ng cong b t kh quy,.. nh m đ k t thúc b môn Lý thuy t kỳ d .
Ti u lu n g m 2 chương cùng v i ph n m đ u và k t lu n.
Chương 1: Nói v đ nh lý chu n b Weierstrass, các đ nh lý chia đa th c
và m i liên h gi a chúng.
Chương 2: Là ph n ng d ng c a đ nh lý chu n b cho vi c ch ng minh
m t đư ng cong t ng quát nào đó đ u có th tham s hóa đư c.
M c dù b n thân đã r t c g ng trong h c t p, nghiên c u và đư c s
hư ng d n nhi t tình c a th y giáo hư ng d n, nhưng do năng l c c a b n
thân và th i gian còn h n ch nên ti u lu n khó tránh kh i nh ng thi u sót.
Tôi r t mong nh n đư c s góp ý c a quý th y cô và các b n đ ti u lu n
đư c hoàn thi n hơn.
Cu i cùng tôi xin chân thành c m ơn TS Lê Công Trình ngư i đã t n tình
giúp đ , cùng t p th l p cao h c toán khoá 11 t o đi u ki n cho tôi hoàn
thành ti u lu n này.
Quy Nhơn, tháng 5 năm 2010
Hà Duy nghĩa
- 2
Chương 1
Đ NH LÝ CHU N B WEIERSTRASS
Trong chương này ph n 1.1 Đa th c Weierstrass đư c trình bày theo tài
li u [2],ph n 1.2 Đ nh lý chu n b Weierstrass trình bày theo tài li u[1].
1.1 Đa th c Weierstrass
G i C {x}, (C {x, y }) tương ng là vành các hàm ch nh hình trên lân c n
c a 0 ∈ C(0; 0) ∈ C2 nghĩa là
∞ m
C {x} = {Các chu i lũy th a h i t có d ng f = m=0 am x }
∞ mn
C {x, y } = {Các chu i lũy th a h i t có d ngf = m,n=0 amn x y }
trong đó m i chu i lũy th a có th có bán kính h i t khác nhau.
Đ nh nghĩa 1.1.1. Đa th c w ∈ C {x, y } g i là đa th c Weierstrass theo
bi n y (y −t ng quát) n u
w = y d + a1 (x).y d−1 + ... + ad (x). (1.1)
trong đó aj (x) ∈ C {x}, aj (0) = 0, (j = 1, ..., d).
Nh n xét: Gi s f ∈ C {x, y } khác đơn v và f (0, y ) không đ ng nh t 0,
ta có th vi t:
f (0, y ) = by d + b1 y d−1 + ...
trong đó b = 0, d ≥ 1. T th c t , ph n t không c af (0, y ) là ph n t cô
l p, nên ta gi s r ng trong mi n |y | < ε. f (0, y ) không ch a ph n t không
ngay c y = 0. Do đó ta gi s trong đư ng tròn |y | = ε có |f (0, y )| ≥ c > 0.
Do đó, v i m i ρ đ nh , ρ > 0, |x| < ρ và |y | = ε ta suy ra f (x, y ) ≥ c/2 > 0.
- 3
B đ 1.1.2. V i nh ng đi u ki n như trên và v i |x| < ρ thì f (x, y ) và m t
hàm theo y có s các không đi m như nhau trên mi n |y | < ε.
Ch ng minh. B đ này suy tr c ti p t nguyên lý argument trong gi i tích
ph c.
Do v y v i m i x c đ nh (|x| < ε) gi s yν (x)(ν = 1, ..d) là d không đi m
c af (x, y ) = 0, ta xây d ng đa th c:
d
− y0 (x))
w(x, y ) = ν =1 (y
= y d + .. + a1 (x)y d−1 + .. + ad (x)
trong đó:
d
a1 (x) = − µ=1 yµ (x)
d
a2 (x) = − 1
- 4
di n c a
1 fy (x, y )
yk
δk (x) = dy.
2πi f.(x, y )
|y |=ε
1.2 Đ nh lý chu n b Weierstrass
B đ 1.2.1 (Special division theorem ,[1] p.340).
G i pk (t, y ) ∈ C{y1 , .., yk }[t] là đa th c k −t ng quát, t c là
k
yi tk−i
pk (t, y ) = tk +
i=1
Khi đó m i f (t, z, y ) ∈ C{t, y, z } t n t i q ∈ C{t, z, y } và đa th c r(t, y, z ) =
k
Ai (z, y ).tk−i b c k − 1 trên C{z, y } sao cho
i=1
f = q.pk + r.
Ch ng minh. Phép ch ng minh chia làm 3 bư c:
Bư c 1 :Ch ng minh trư ng h p pk = t − xi t c là ta ph i ch ng minh v i
m i ∈ C{t, z, x1 , ..., xk } luôn t n t i Q ∈ C{t, z, x} và R ∈ C{z, x} sao cho
F = Q(t − xi ) + R.
Th t v y, n u đ t R(z, x) := F (xi , z, x) thì t − xi chia h t chu i F − R =
F (t, z, x) − F (xi , z, x), hay F = Q(t − xi ) + R.
Bư c 2: Ch ng minh cho trư ng h p Pk = (t − x1 )(t − x2 )...(t − xk ), t c là
ta ph i ch ng minh v i m i F ∈ C(t, z, x1 ...xk ) t n t i Q ∈ C {t, z, x} và m t
đa th c R ∈ C{z, x}[t] b c < k sao cho F = Q(t − x1 )(t − x2 )...(t − xk ) + R
trong đó Q, R duy nh t.
Th t v y, theo bư c 1 ta có:
= Q1 (t − x1 ) + R1 . (Q1 ∈ C{t, z, x}, R1 ∈ C{x, z })
F
= Q2 (t − x2 ) + R2 . (Q2 ∈ C{t, z, x}, R2 ∈ C{x, z })
Q1
.
.
.
Qk−1 = Qk (t − xk ) + Rk . (Qk ∈ C{t, z, x}, Rk ∈ C{x, z })
- 5
thay th l n lư tQk−i (i = 1, ..., k − 2) vào Q1 ta đư c:
F = Qk (t−x1 )(t−x2 )...(t−xk )+R1 +(t−x1 )R2 +...+(t−x1 )(t−x2 )+...+(t−xk−1 )Rk
do đó v i Q := Qk , R = R1 +(t − x1 )R2 + ... +(t − x1 )(t − x2 )+ ... +(t − xk−1 )Rk
ta có:
F = Q.(t − x1 )...(t − xk ) + R.
S duy nh t c a Q và R s đư c trình bày trong ph n ch ng minh sau.
Bư c 3. G i δi (x) là hàm đ i x ng th n c a các ph n t x1 , ..., xk , ta th
yi = δi (x) vào bi u th c Pk (t, y ) = tk + y1 tk−1 + ... + yk
= (t − x1 )(t − x2 )...(t − xk ).
Ti p theo đ t: F (t, z, x) = f (t, z, δ1 (x), ..., δk (x)) khi đó ta có th chia
f (t, z, y ) b i m t đa th c t ng quát như bư c 2 t c là :
f (t, z, x) = Q(t, z, x)(t − x1 )...(t − xk ) + R(t, z, x)
v i Q và R luôn đ i x ng trư c s hoán v c a x1 , ..., xk .
Ngoài ra, theo đ nh lý cơ b n c a hàm đ i x ng, có m t hàm ch nh hình
q (t, z, y ) ∈ C{t, z, y } và đa th c r(t, z, y ) theo t có b c nh hơn k và h s
thu c vào C{x, y } sao cho:
q (t, z, δ1 (x), ..., δk (x)) = Q(t, z, x)
và
r(t, z, δ1 (x), ..., δk (x)) = R(t, z, x)
t đó suy ra: F (t, z, x) = f (t, z, δ1 (x), ..., δk (x))
= q (t, z, δ1 (x), ..., δk (x))(tk + δ1 (x)tk−1 + ... + δk (x)) + r(t, z, δ1 (x), ..., δk (x)).
M t khác ta bi t phép th δ : C −→ C là toàn ánh nên ta suy ra
f = q.pk + r.
- 6
Đ nh lý 1.2.2 (Division theorem,[1], p.339).
G i f, g ∈ C{t, z } và g i g là t−t ng quát b c k khi đó ∃q ∈ C{t, z } và đa
th c r ∈ C{z }[t] b c ≤ k − 1 sao cho
k
qi (z )k k−i , qi (z ) ∈ C{z }
r(t, z ) =
i=1
v i f = q.g + r q, r là xác đ nh duy nh t .(Đ nh lý này thư ng đư c g i
là công th c Weierstrass)
Ch ng minh. Đ nh lý này đư c ch ng minh t B đ trên.
G i g là t− t ng quát c p k, và g i f ∈ C{t, z }, theo B đ 1.2.1 ta có
th vi t g và f dư i d ng
g = g (t, y, z ).pk + r(t, z, y )
f = q (t, z, y ).pk + r(t, z, y )
Trong đó r, r là nh ng đa th c b c k − 1 v i h s trong C{z, y }. Do đó ta
có th thay th y = y (z ) sao cho r(t, z, y (z )) ≡ 0 t đó suy ra :
g (t, z ) = q (t, z, y (t)).pk v i (q (0, 0, 0) = 0)
f (t, z ) = q (t, z, y (z )).pk + r(t, z, y (z ))
= q .q −1 .g + r.
Như v y n u gán q (t, z ) = q (t, z, y (z )).q −1 g (t, z, y (z )) và r(t, z ) := r(t, z, y (z ))
thì ta có bi u di n f = q.g + r .
Bây gi ta ch ng minh q, r là duy nh t, th t v y gi s f = q1 .g + r1 =
q2 .g + r2 suy ra r1 − r2 = (q2 − q1 ).g
M t khác các k không đi m c a g (t, z ) ch a trong lân c n c a 0 ∈ C v i
z đ nh , và đa th c r1 (t, z ) − r2 (t, z ) có b c ≤ k − 1 và có ít nh t k không
đi m nên r1 (t, z ) − r2 (t, z ) = 0 suy ra r1 = r2 và q1 = q2 .
Đ nh lý 1.2.3 (Weierstrass preparation theorem,[1],p.338).
G i g (t, z ) = g (t, z1 , ..., zn ) là chu i lũy th a h i t t C{t, z1 , ..., zn } và
g i g là t−t ng quát c p k . Khi đó t n t i u(t, z ) ∈ C{t, z } và ci (z ) ∈ C{z }
sao cho
g (t, z ) = (tk + c1 (z )tk−1 + ... + ck (z )).u(t, z )
- 7
v i ci (0) = 0 và u(0, 0) = 0 và ci , u là duy nh t.
Ch ng minh. G i g ∈ C(t, z ) là t ng quát c p k, nghĩa là g (t, 0) là chu i lũy
th a có d ng g (t, 0) = c.f k + ...+ (s h ng cao hơn theo t) v i c = 0,theo B
đ 1.2.1 ta phân tích:
g (t, z ) = q (t, z, y )(tk + y1 tk−1 + ... + yk ) + r(t, z, y ) (1.2)
v i đa th c
r(t, z, y ) = A1 (z, y )tk−1 + ... + Ak (z, y )
và q ∈ C{t, z, y }
M c đích c a chúng ta là thay th h s t ng quát yi c a pk b i hàm ch nh
hình yi (z ) sao cho s h ng dư r trong(1.2) là tri t tiêu, đ làm đư c đi u này
trư c h t ta ph i ch ng t đư c:
0 n ui>j
∂Ai
(0; 0) = (1.3)
∂yi −c n u i = j
Th t v y, n u ta cho y = z = 0 trong (1.2) và so sánh h s c a t0 , ..., tk ta
đư c: Ai (0; 0) = 0 và q (0; 0; 0) = c. Do v y (1.3) th a mãn.
N u 2 v c a (1.2) khác nhau và ph thu c vào yj thì v i y = z = 0 ta có:
∂q ∂A1 ∂Ak
(t, 0, 0)tk q (t, 0, 0)tk−j + (0, 0)tk−1 + ... +
0= (0, 0)
∂yj ∂y5 ∂yj
∂Ak−1
∂Ak
so sánh h s c a t0 , t1 , ..., t( k − 1) ta suy ra ∂yj (0, 0) = 0, ∂yj (0, 0) =
∂Aj
0,... ∂Akj (0, 0) = 0 và = −q (0, 0, 0) = −c. V y (1.3) đư c ch ng
∂yj (0, 0)
+1
∂y
minh.
∂Aj
là ma tr n tam giác trên v i đ nh th c (−c)k = 0,
Ngoài ra ma tr n ∂yj
nên t phương trình Ai (z, y, (t).., yk (z )) = 0, i = 1, k và k t h p v i gi thi t
c a đ nh lý ta k t lu n r ng t n t i yj ∈ C{z } v i yj = 0 sao cho
Ai (z, y1 (z ), ..., yk (z ) = 0), i = 1, .., k
N u chúng ta th y = y (t) vào phương trình (1.2) và u(t, z ) = q (t, z, y (z ))
ta đư c g (t, z ) = (tk + y1 (z )tk−1 + ... + yk (z ))u(t, z )trong đó u(0, 0) = 0, đi u
này ch ng t r ng g là tích c a đa th c Weierstrass và đa th c u.
- 8
Ti p theo ta ch ng minh u và đa th c Weierstrass pk là duy nh t
G i g (t, z ) = u(tk + c1 tk−1 + ... + ck )
= u(tk + c1 tk−1 + ... + ck )
và g i U = V × W là lân c n c a 0 ∈ C × Cn v i u và u không tri t tiêu trên
lân c n này.
T nghi m c a đa th c không ph thu c vào các h s nên t t c các k không
đi m c a hai đa th c
pk = tk + c1 (t)tk−1 + ... + ck (z )
.
pk = tk + c1 (t)tk−1 + ... + ck (z )
n m trong V v i z đ nh thu c Cn .
T u = 0, nên các không đi m c a g (t, z ) n m trong V , nghĩa là hai đa
th c trên có các không đi m trùng nhau. Do đó v i z đ nh thì ci (z ) = ci (z )
đi u này kéo theo ci = ci và do đó u = u, hay pk , u là duy nh t.
- 9
Chương 2
NG D NG
N i dung c a chương này là gi i thi u v phép khai tri n Puiseux và áp
d ng Đ nh lý chu n b Weierstrass (Đ nh lý 1.2.3 ) đ ch ng minh s t n
t i c a phép tham s hóa m t đa th c Weierstrass kh quy.
2.1 Khai tri n Puiseux
Đ nh nghĩa 2.1.1. Khai tri n d ng:
m0 m1 m2
y = t0 x n0 + t1 x n0 n1 + t2 x n0 n1 n2 + ...
trong đó (mi , ni ) = 1, ∀i = 0, 1, .. đư c g i là khai tri n Puiseux c a f trong
lân c n c a đi m (0, 0), các c p (mi , ni ) g i là c p s Puiseux c a f.
M nh đ 2.1.2. Gi s f ∈ C[x, y ], y − t ng quát c p t, gi s
p0 p1
y = x q0 (t0 + x q0 q1 (t1 ...))
là m t khai tri n Puiseux c a f trong lân c n c a (0; 0) khi đó ho c là y có
m t s h u h n ph n t , ho c là t p các s nguyên {qi }i=0,1 th a đi u ki n
∃i ∈ N∗ , ∀i ≥ i0 .
2.2 Phép tham s hóa đư ng cong
Đ nh lý 2.2.1. Gi s f là đa th c b t kh quy và y − t ng quát c p m khi
đó t n t i lân c n c a (0, 0) sao cho trong lân c n này f có m t phép tham
s hóa dư i d ng
= tm
x
= y (t) ∈ C(t)
y
- 10
Ch ng minh. Theo Đ nh lý 1.2.3, t n t i duy nh t u ∈ C∗ {x, y }, g ∈ C{x}[y ]
sao cho f = u.g , v i g = y m + am−1 (x)y m−1 + ... + a1 (x)y + a0 (x) và b t kh
quy trong C{x}[y ].
Theo thu t toán Puiseux-Newtơn, t n t i nghi m c a phương trình f (x, y ) =
1 1
0 dư i d ng y = y (x N ) ∈ C{x N }.
1
Đ t t = x N ⇔ x = tN , khi đó f (tN , y (t)) = 0, đi u này suy ra ta ph i
1
ch ng t N = m. Th t v y, đ ý r ng y = y (x N ) là m t nghi mc a phương
1
trình f (x, y ) = 0 thì yj = y (ζ j x N ), j = 0, ..., N − 1 là các nghi m c a phương
1
trình f (x, y ) = 0. Do đó y = y (ζ j x N ), j = 1, ..., N là các nghi m c a phương
trình g (x, y ) = 0 suy ra
N 1
y − y (ζ i x N ) ∈ C{x}[y ]
h(x, y ) =
j =1
là ư c c a g (x, y ).
⇒ ∃u ∈ C∗ {x}[y ] : g = u .h
.
⇒ f = u.g = u.u .h
M t khác t tính duy nh t c a Đ nh lý 1.2.3 ta suy ra g = h do đó:
N 1
y − y (ζ i x N ) ∈ C{x}[y ]
⇒g=
.
j =0
⇒ m = N.
H qu 2.2.2. Xét f ∈ C{x, y } là đa th c b t kh quy, m = mult0 (V (f ))(Quy
ư c f là y − t ng quát c p m), khi đó x = 0 không ph i là ti p tuy n c a
đư ng cong V (f ) t i (O(0, 0)).
Ch ng minh. Th t v y m t phép tham s hóa c a x = 0 là
=0
x
=t
y
⇒ f (x(t), y (t)) = f (0, t)
⇒ Int0 (V (f ), x = 0) = ordt f (0, t) = m
Suy ra x = 0 không là ti p tuy n c a đư ng cong V (f ).
- 11
TÀI LI U THAM KH O
[1] Brieskorn, Plane Algebraic Curves.
[2] Griffiths P.A, Introduction to algebraic curves AMS, 1989.
nguon tai.lieu . vn
