Xem mẫu
- Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Tr-êng §¹i häc Quy nh¬n
Lª §×nh Träng
§iÒu kiÖn cùc trÞ cho bµi to¸n biÕn ph©n
vµ ®iÒu khiÓn tèi -u kh«ng tr¬n
LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc
Quy nh¬n - 2008
- Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Tr-êng §¹i häc Quy nh¬n
Lª §×nh Träng
§iÒu kiÖn cùc trÞ cho bµi to¸n biÕn ph©n
vµ ®iÒu khiÓn tèi -u kh«ng tr¬n
LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc
Chuyªn ngµnh : To¸n Gi¶i tÝch
M· sè : 60 46 01
Ng-êi h-íng dÉn khoa häc
TSKH - Huúnh V¨n Ng·i
Quy nh¬n - 2008
- 1
Môc Lôc
Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ch-¬ng 1. kiÕn thøc chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Hµm låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. D-íi vi ph©n proximal vµ c«ng thøc tæng mê . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Nãn ph¸p tuyÕn proximal .................... 6
1.2.2. D-íi vi ph©n proximal ...................... 7
1.2.3. C«ng thøc mê cña d-íi vi ph©n proximal . . . . . . . . . . . 8
Ch-¬ng 2. ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n Bolza
tæng qu¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1. Bµi to¸n Bolza tæng qu¸t - ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ ........... 12
2.2. Chøng minh ®Þnh lý 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 . D-íi vi ph©n cña hµm bao låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 . Bµi to¸n phô: sù níi láng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 . §iÒu kiÖn cÇn cho bµi to¸n phô . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.4 . Chøng minh ®Þnh lÝ 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. VÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Ch-¬ng 3. bµi to¸n qui ho¹ch ®éng . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1. §iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. TÝnh chÝnh quy .............................. 40
3.3. Chøng minh ®Þnh lý3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. nguyªn lý cùc ®¹i Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
- 2
Mét sè ký hiÖu
Nãn ph¸p tuyÕn proximal cña S t¹i x.
P
NS (x)
D-íi vi ph©n proximal cña f t¹i x.
∂ p f (x )
Trªn ®å thÞ cña f .
epif
§å thÞ cña f .
graphf
MiÒn h÷u hiÖu cña f .
domf
Hµm chØ cña tËp S .
δ S (x )
Giíi h¹n d-íi vi ph©n proximal cña f t¹i x.
∂f (x)
Kh«ng gian ®èi ngÉu cña X .
X∗
Bao låi cña S .
convS
HÇu kh¾p n¬i.
h.k.n
Kho¶ng c¸ch tõ x tíi tËp S .
ρS (x)
- 3
Më ®Çu
PhÐp tÝnh biÕn ph©n cæ ®iÓn ra ®êi vµo thÕ kû 18, g¾n liÒn víi nh÷ng
tªn tuæi lín nh-: Euler, Lagrange, Bernoulli,... nh»m môc ®Ých gi¶i quyÕt nh÷ng
bµi to¸n cùc trÞ xuÊt hiÖn trong vËt lý vµ c¬ häc. Nh÷ng thµnh tùu vµ ph-¬ng ph¸p
cña nã cµng ngµy cµng th©m nhËp vµo rÊt nhiÒu lÜnh vùc khoa häc, kû thuËt kh¸c
nhau.
PhÐp tÝnh biÕn ph©n cæ ®iÓn chØ giíi h¹n xem xÐt nh÷ng hµm vµ to¸n tö ®ñ
tr¬n. Tuy nhiªn trong nhiÒu bµi to¸n thùc tiÔn, yªu cÇu nµy kh«ng ph¶i lóc nµo
còng ®¶m b¶o. Vµo kho¶ng nh÷ng n¨m 60 cña thÕ kû tr-íc, mét thµnh tùu næi bËt
trong lý thuyÕt ®iÒu khiÓn tèi -u ra ®êi ®ã lµ nguyªn lý cùc ®¹i Pontryagin, ®-îc
®-a ra bëi nhµ to¸n häc xuÊt chóng ng-êi Nga Pontryagin. KÕt qu¶ nµy ®¸nh dÊu
mét mèc lín trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn cña lý thuyÕt ®iÒu khiÓn tèi -u.
Trong kho¶ng vµi chôc n¨m gÇn ®©y, víi nh÷ng thµnh tùu cña gi¶i tÝch kh«ng
tr¬n cô thÓ lµ lý thuyÕt vi ph©n tæng qu¸t, cho phÐp ta xem xÐt nh÷ng bµi to¸n
biÕn ph©n vµ ®iÒu khiÓn tèi -u mµ d÷ kiÖn cña nã kh«ng nhÊt thiÕt tr¬n. §iÒu nµy
kh«ng nh÷ng cã ý nghÜa vÒ mÆt lý thuyÕt mµ cßn më réng ph¹m vi øng dông, bëi
v× nh÷ng bµi to¸n trong thùc tiÔn th-êng lµ kh«ng tr¬n. H¬n n÷a, nh÷ng ph-¬ng
ph¸p vµ thµnh tùu cña gi¶i tÝch kh«ng tr¬n cho phÐp ta ®-a ra chøng minh ®¬n
gi¶n h¬n cho c¸c kÕt qu¶ biÕn ph©n cæ ®iÓn, vµ gióp cho ta cã mét c¸i nh×n nhÊt
qu¸n trong mét bèi c¶nh tæng qu¸t nh÷ng bµi to¸n biÕn ph©n cæ ®iÓn.
Môc ®Ých cña luËn v¨n kh«ng ngoµi viÖc ®äc hiÓu, hÖ thèng nh÷ng kÕt qu¶
gÇn ®©y vÒ ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n biÕn ph©n tæng qu¸t Bolza vµ bµi
to¸n qui ho¹ch ®éng kh«ng tr¬n nh- ®iÒu kiÖn Euler, Weierstrass, nguyªn lý cùc
®¹i. Chñ yÕu lµ nh÷ng kÕt qu¶ trong hai bµi b¸o cña Rockafellar vµ Ioffe [4], [5].
Ngoµi phÇn më ®Çu vµ kÕt luËn, luËn v¨n ®-îc chia lµm ba ch-¬ng.
Ch-¬ng I: Tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm, ®Þnh lý sÏ dïng trong c¸c ch-¬ng
sau. Chøng minh c«ng thøc mê cña d-íi vi ph©n proximal.
- 4
Ch-¬ng II: Nªu ®Þnh lý ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n tæng qu¸t cña Bolza
khi d÷ kiÖn lµ kh«ng tr¬n vµ qui tr×nh chøng minh ®Þnh lý. §-a ra hai vÝ dô minh
ho¹ kÕt qu¶ cña ®Þnh lý.
Ch-¬ng III: XÐt bµi to¸n qui ho¹ch ®éng trong tèi -u ®iÒu khiÓn. Chøng
minh ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ, nguyªn lý cùc ®¹i Pontryagin khi d÷ kiÖn lµ kh«ng
tr¬n.
- 4
Ch-¬ng 1
kiÕn thøc chuÈn bÞ
Trong ch-¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm, ®Þnh lý sÏ ®-îc
dïng ë c¸c ch-¬ng sau.
Gi¶ sö X lµ kh«ng gian Banach vµ cho f : X −→ R ∪ {+∞}. Ta dïng nh÷ng
ký hiÖu sau:
MiÒn h÷u hiÖu cña hµm f, domf := {x ∈ X : f (x) < +∞}.
Trªn ®å thÞ cña hµm f , epif := {(x, α) ∈ domf × R : f (x) ≤ α}.
§å thÞ cña hµm f , graphf := {(x, α) ∈ X × R : f (x) = α}.
Hµm f ®-îc gäi lµ chÝnh th-êng (proper) nÕu domf = ∅.
Hµm f lµ Lipschitz ®Þa ph-¬ng t¹i x ∈ X , nÕu tån t¹i l©n cËn U cña x ∈ X vµ
sè K > 0 sao cho
(1.1)
f (x) − f (x ) ≤ K x − x , ∀ x, x ∈ U.
Hµm f ®-îc gäi lµ Lipschitz ®Þa ph-¬ng trªn X , nÕu f Lipschitz ®Þa ph-¬ng
t¹i mäi x ∈ X .
Hµm f ®-îc gäi lµ Lipschitz víi h»ng sè Lipschitz K trªn X , nÕu (1.1) ®óng
víi mäi x, x ∈ X .
Hµm sè f : X −→ (−∞, +∞] ®-îc gäi lµ nöa liªn tôc d-íi t¹i x ∈ X nÕu
lim inf f (x) ≥ f (x) (víi f (x) < ∞), tøc lµ víi mäi ε > 0, tån t¹i l©n cËn U cña x
x→x
sao cho
(1.2)
f (x) − ε ≤ f (y ), ∀ y ∈ U.
NÕu f (x) = +∞, th× f ®-îc gäi lµ nöa liªn tôc d-íi t¹i x, nÕu víi mäi N > 0
tån t¹i l©n cËn U cña x sao cho
(1.3)
f (y ) ≥ N, ∀ y ∈ U.
Hµm f ®-îc gäi lµ nöa liªn tôc d-íi nÕu f nöa liªn tôc d-íi t¹i mäi x ∈ X .
NÕu thay (1.2) vµ (1.3) t-¬ng øng bëi (1.4) vµ (1.5) ta ®-îc ®Þnh nghÜa hµm
nöa liªn tôc trªn t¹i x.
(1.4)
f (y ) ≤ f (x) + ε, ∀ y ∈ U.
(1.5)
f (y ) ≥ −N, ∀ y ∈ U.
- 5
Cho S ⊂ X , hµm chØ cña tËp S ®-îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh- sau
nÕu x∈S
0
δ S (x ) =
nÕu
∞ x∈S
/
Ta thÊy r»ng hµm f ®¹t cùc tiÓu trªn S ⊂ X khi vµ chØ khi f + δS ®¹t cùc tiÓu
trªn X .
1.1. Hµm låi
Hµm f : X −→ R ∪ {+∞} ®-îc gäi lµ hµm låi nÕu nã tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc
f (λx + (1 − λ)y ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y ), ∀x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1].
Gi¶ sö (X, . ) lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ f : X −→ R lµ mét phiÕm hµm
låi. Víi mäi x ∈ X , tËp tÊt c¶ c¸c phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc l trªn X ký hiÖu
∂f (x) sao cho
f (x ) ≥ f (x ) + l (x − x ) ∀ x ∈ X
®-îc gäi lµ d-íi vi ph©n cña f t¹i x. Mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc l ∈ ∂f (x)
gäi lµ d-íi vi ph©n cña f t¹i x.
Cho f : Rn −→ [−∞, +∞] lµ mét hµm bÊt kú. Hµm
f ∗ (x∗) = sup{ x∗ , x − f (x)| x ∈ Rn },
®-îc gäi lµ hµm liªn hîp cña f .
§Þnh lý 1.1.1. [7] Víi mäi hµm sè f , hµm liªn hîp f ∗ lµ mét hµm låi ®ãng tho¶
m·n bÊt ®¼ng thøc Fenchel sau
f ∗ (x∗ ) ≥ x∗ , x − f (x) ∀x, x∗ ∈ Rn .
Nãi riªng nÕu f låi chÝnh th-êng th× f∗ låi chÝnh th-êng.
§Þnh lý 1.1.2. [7] Cho f lµ mét hµm trªn X th× hµm liªn hîp f ∗ lµ låi vµ ®ãng
trong t«p« yÕu* cña kh«ng gian X∗ .
§Þnh lý 1.1.3. [8](Moreau - Rockafellar)
Gi¶ sö f1 , . . . , fn lµ c¸c hµm låi chÝnh th-êng trªn X . Khi ®ã
∀x ∈ X, ∂ (f1 + . . . + fn ) ⊃ ∂f1(x) + . . . + ∂fn (x).
- 6
NÕu tÊt c¶ c¸c fi , i = 1, . . . , n lµ hµm låi chÝnh th-êng trªn X trõ mét sè hµm
liªn tôc t¹i x ∈ domf1 domfn th× ta cã ®¼ng thøc.
...
§Þnh lý 1.1.4. [8] (Lyapunov)
Cho T lµ mét tËp vµ µ1 , µ2 , . . . , µn lµ c¸c ®é ®o h÷u h¹n liªn tôc x¸c ®Þnh trªn
mét σ − ®¹i sè c¸c tËp con cña T . Th× h¹ng cña ®é ®o vect¬ m = (µ1 , . . . , µn)
lµ låi vµ ®ãng.
§Þnh lý 1.1.5. [8] (Mazur)
Cho X lµ mét kh«ng gian Banach vµ cho mét ®iÓm x thuéc vµo mét tËp ®ãng
yÕu A ⊂ X . Th× tån t¹i mét d·y tæ hîp låi c¸c phÇn tö cña A héi tô tíi x theo
chuÈn.
Chó ý 1.1.6. Mét tËp F ⊂ X ®-îc gäi lµ ®ãng yÕu theo d·y nÕu d·y {x n} ⊂ F
cã giíi h¹n yÕu lµ x th× x ∈ X.
§Þnh lý 1.1.7. [1] (Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland)
Gi¶ sö (X, ρ) lµ kh«ng gian mªtric ®Çy ®ñ vµ f : X −→ R ∪ {+∞} lµ mét hµm
chÝnh th-êng nöa liªn tôc d-íi vµ bÞ chÆn d-íi. §iÓm u ∈ X vµ ε > 0 tháa m·n
f (u) ≤ inf f + ε. Khi ®ã, víi bÊt kú λ > 0, tån t¹i v ∈ X sao cho
(i) f (v ) ≤ f (u),
(ii) ρ(v, u) ≤ λ,
ε
(iii) f (w) + ρ(w, v ) > f (v ), ∀w ∈ X, w = v.
λ
1.2. D-íi vi ph©n proximal vµ c«ng thøc tæng mê
. Nãn ph¸p tuyÕn proximal
1.2.1
Cho X lµ mét kh«ng gian Hilbert vµ S lµ tËp con kh¸c rçng cña X . Gi¶ sö
x ∈ X, x ∈ S .
/
NÕu tån t¹i s ∈ S sao cho kho¶ng c¸ch tõ s ®Õn x lµ nhá nhÊt th× s ®-îc gäi lµ
h×nh chiÕu cña x lªn S . TËp gåm c¸c h×nh chiÕu cña x lªn S ký hiÖu lµ projS (x).
VÐc t¬ x − s ®-îc gäi lµ vect¬ ph¸p tuyÕn proximal cña S t¹i x.
Nãn ph¸p tuyÕn proximal cña tËp S t¹i s ký hiÖu NS (s) ®-îc x¸c ®Þnh nh- sau
P
P
NS (s) := ζ ∈ X : ζ = t(x − s), t ≥ 0, s ∈ projS (x) .
- 7
Hµm kho¶ng c¸ch ρS : X → R ®-îc x¸c ®Þnh bëi
ρS (x) := inf { x − s : s ∈ S },
ta còng cã thÓ viÕt ρ(x, S ) thay cho ρS (x).
MÖnh ®Ò 1.2.1. [2] a) BÊt ®¼ng thøc ph¸p tuyÕn proximal
ζ ∈ NN (s) ⇔ ∃σ ≥ 0 sao cho ζ , s − s ≤ σ s − s 2
S
∀s ∈ S.
H¬n n÷a, víi mäi δ > 0 cho tr-íc ta cã
b) ζ ∈ NN (s) ⇔ ∃σ ≥ 0 sao cho ζ , s − s ≤ σ s − s 2
S
∀s ∈ S ∩ B (s, δ ).
c) NÕu S lµ tËp låi vµ ®ãng th×
S
ζ ∈ NN (s) ⇔ ζ , s − s ≤ 0 ∀s ∈ S.
. D-íi vi ph©n proximal
1.2.2
§Þnh nghÜa 1.2.2. [4] Cho X lµ mét kh«ng gian Hilbert vµ f : X → R ∪{+∞} = R.
D-íi vi ph©n proximal cña hµm nöa liªn tôc d-íi f t¹i mét ®iÓm x víi f (x) h÷u
h¹n, ký hiÖu ∂ p f (x) lµ mét phÇn tö x∗ ∈ X ∗ sao cho tån t¹i > 0, k > 0,
f (x + u ) − f (x ) − x ∗ , u ≥ − k u 2 , nÕu u 0; η > 0 : f (y ) ≥ f (x) + ζ , y − x − σ y − x ∀y ∈ B (x, η ).
Khi x ∈ S vµ S lµ ®ãng th×
(1.6)
N (S, x) = λ∂ρ(x, S ).
λ≥0
- 8
Trong ®ã ρ lµ hµm kho¶ng c¸ch víi chuÈn trong Rn .
(1.7)
∂ρ(x, S ) = N (x, S ) ∩ B
B lµ h×nh cÇu ®¬n vÞ trong Rn .
. C«ng thøc mê cña d-íi vi ph©n proximal
1.2.3
Trong phÇn nµy ta xem xÐt vÒ -íc l-îng xÊp xØ d-íi vi ph©n cña mét tæng
c¸c hµm bëi trung b×nh céng cña xÊp xØ d-íi vi ph©n.
§Þnh lý 1.2.4. [4] Cho X lµ mét kh«ng gian Hilbert vµ f 1 , . . . , fk lµ (gi¸ trÞ thùc
më réng) c¸c hµm x¸c ®Þnh vµ nöa liªn tôc d-íi trªn mét l©n cËn cña x, h÷u
h¹n t¹i x. Gi¶ sö tÝnh chÊt nöa liªn tôc d-íi ®-îc lÊy trªn ®-êng th¼ng.
(ULC) Cã mét δ > 0 sao cho víi bÊt k× k , c¸c d·y {xir }, i = 1, . . . , k; r = 1, 2, . . .
thuéc h×nh cÇu t©m x b¸n kÝnh δ tho¶ xir − xjr → 0 khi r → ∞, cã mét d·y
{ur } c¸c phÇn tö cña h×nh cÇu sao cho xir − ur → 0 vµ
fi (xir ) − fi (ur ) ≥ 0.
lim inf
r →∞
i
Th× víi mäi x∗ ∈ ∂p fi (x) vµ mäi ε > 0 cã ui , u∗ , i = 1, . . . , k sao cho
i
i
fi (ui) − fi (x) ≤ ε; ui − x < ε,
u∗ ∈ ∂p fi (ui ); u∗ − x∗ < ε.
i i
i
Chøng minh. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö
x = 0; fi (0) = 0 vµ x∗ = 0. (NÕu kh«ng ta thay fi (x) bëi fi (x+x)−fi(x)−k −1 x∗ , x )
Ta cã 0 ∈ ∂p fi (0), nghÜa lµ cã N > 0 vµ δ > 0 sao cho
i
fi (0) + 0, x − N x 2 , x < δ.
fi (x + 0) ≥
i i
fi (x) ≥ −N x 2 , khi
⇐⇒ x < δ.
i
Ta cã thÓ gi¶ sö δ ®ñ nhá ®Ó nã kh«ng v-ît qu¸ δ trong (ULC) vµ fi (x) ≥ −1,
nÕu x < δ.
XÐt hµm
- 9
xi − xj 2 ,
2
φ r (x 1 , . . . , x k ) = fi (xi) + N xi +r
i i i,j
=⇒ 0 = φr (0, . . . , 0) ≥ αr = inf φr (x1, . . . , xk ) : xi ≤ δ ≥ −k .
Do
k
2 2
inf φr (x1 , . . . , xk ) : xi ≤ δ = inf xi − xj
fi (xi ) + N xi +r
i=1 i i,j
k
≥ inf fi (xi ) ≥ −k.
i=1
1
LÊy x ir sao cho φr (xir , . . . , xkr ) ≤ αr + th×
r
1
2
xir − xjr ≤ φr (x1r , . . . , xkr ) < ,
fi (xi) + r
r
i i,j
1
xir − xjr 2 ≤ φr (x1r , . . . , xkr ) < ,
⇐⇒ −k + r i,j
r
1 + kr 1+k
2
⇐⇒ i,j xir − xjr ≤ ≤ .
r2 r
1+k
Do ®ã xir − xjr 2 ≤ −→ 0 khi r −→ ∞.
r
Theo (ULC) cã u r sao cho xir − ur → 0 vµ
fi (xir ) − fi (ur ) ≥ 0,
lim inf
r →∞
i
⇐⇒ fi (xir ) ≥ fi (ur ) + o(1).
i i
Suy ra
2 2
0≤ ≤
fi (ur ) + kN ur fi (xir ) + N xir + o(1),
i i i
1
≤ φr (xir , . . . , xkr ) + o(1) ≤ + o(1) = o(1).
r
Do ®ã
2
−→ 0.
fi (ur ) + kN ur
i
Nh-ng ≥ 0 v× vËy u r → 0 víi tÊt c¶ c¸c xir .
2
fi (ur ) + N ur
i
BÊt ®¼ng thøc trªn suy ra
0≤ lim inf fi (xir ) ≤ lim sup fi (xir ) = 0.
r →∞ r →∞
i i
§iÒu nµy cã nghÜa lµ víi mçi i ta cã fi (xir ) → 0 hoÆc t-¬ng ®-¬ng víi
fi (xir ) − fi (0) −→ 0.
- 10
δ
LÊy σ > 0 ®ñ nhá, nh- σ < vµ mét r = r(σ ) sao cho xir < σ, i = 1, . . . , k vµ
2
r−1 (σ ) < σ 3.
Theo nguyªn lý biÕn ph©n tr¬n cña Borwein- Preiss [3] cã c¸c hµm bËc hai
2
− ai , x + βi .
i (x ) =x
Víi a i ≤ 2δ vµ c¸c ui , i = 1, . . . , k sao cho ui − xir < σ vµ hµm
g (x 1 , . . . , x k ) = φ r (x 1 , . . . , x k ) + σ i (x i ),
i
®¹t cùc tiÓu t¹i (u1, . . . , uk ) thuéc tËp cña (x1 , . . . , xk ), tho¶ m·n xi < δ vµ
khi
g (u1, . . . , uk ) ≤ g (x1r , . . . , xkr ) ui < δ,
tøc lµ hµm
2 2 2
xi − xj − a i , xi
fi (xi ) + N xi +r +σ xi ,
i i i,j i
®¹t ®-îc mét cùc tiÓu ®Þa ph-¬ng tuyÖt ®èi t¹i (u1 , . . . , uk ).
§Æt xi = ui + hi ta cã
ui +hi 2 +r ui+hi −(uj +hj ) 2 +σ ui+hi 2− ai , ui +hi −
fi (ui+hi )+N
i i i,j i
2 2 2
ui − uj − a i , ui
fi (ui ) + N ui +r +σ ui .
i i i,j i
2
⇐⇒ fi (ui + hi ) − fi (ui ) + (N + σ )( hi + 2 ui , hi + σ ai, hi
i
2 2
+ 2 ui − uj , hi − hj ≥ 0.
+r hi + hj
i,j
cho tÊt c¶ c¸c hi ®ñ nhá.
Khi i = 1, . . . , k ; h j = δij h,
vµ M = N + ε + r.
u∗ = −2(N + σ )ui − σai + 2r (u i − u j )
i
j
Suy ra
fi (ui + hi ) − fi (ui ) ≥ u∗ , h − M h 2 , ∀i = 1, . . . , k.
i
Tøc lµ u∗ ∈ ∂pfi (ui).
i
- 11
MÆc kh¸c tõ
u∗ = −2(N + σ )ui − σai + 2r − uj )
j (u i
i
u∗ = −2(N + σ )
=⇒ ui − σ − uj )
ai + 2r i,j (ui
i
i i i
= −2(N + σ ) ui − σ ai
i i
u∗ ≤ (2N + σ ) i ui + σ i ai ≤ 2k (2N + σ )σ + kσ.2σ.
=⇒ i
i
ε
Víi ε > 0, lÊy σ < ®ñ nhá th× phÇn bªn ph¶i cña bÊt ®¼ng thøc trªn lµ nhá h¬n
2
ε vµ fi (x) ≥ fi (0) − ε khi x < σ.
- 12
Ch-¬ng 2
®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n Bolza
tæng qu¸t
2.1. Bµi to¸n Bolza tæng qu¸t - ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ
Cho W11 lµ kh«ng gian Banach cña c¸c hµm liªn tôc tuyÖt ®èi trªn [0, 1] vµ lÊy
gi¸ trÞ trong Rn , víi x(t) ∈ Lp (xÐt chuÈn, x(.) = |x(0)| + x(.) p, trong ®ã |.| lµ
1
˙ ˙
p
chuÈn Euclicd cña mét vect¬ trong Rn ).
XÐt bµi to¸n Bolza tæng qu¸t sau.
X¸c ®Þnh hµm trªn W 11 lµm cùc tiÓu phiÕm hµm
1
(2.8)
J (x(.)) = l(x(0), x(1)) + L(t, x(t), x(t))dt.
˙
0
trong ®ã c¸c hµm l, L : Rn −→ R cho tr-íc kh«ng nhÊt thiÕt kh¶ vi vµ liªn tôc.
Ta nãi r»ng, cung x∗ (.) ∈ W11 lµ mét cùc tiÓu m¹nh ®Þa ph-¬ng cña J nÕu
J (x∗(.)) ≤ J (x(.)) víi mäi x(.) thuéc tËp cã d¹ng
1
x(.) ∈ W1 : x(t) − x∗(t) ≤ ε ∀t ∈ [0, 1], ∀ε > 0 .
Ng-îc l¹i, cung x∗(.) ∈ W11 lµ mét cùc tiÓu yÕu ®Þa ph-¬ng cña J nÕu J (x∗(.)) ≤
J (x(.)) víi mäi x(.) thuéc tËp cã d¹ng
vµ
1
x(.) ∈ W1 : x(t) − x∗(t) ≤ ε x(t) − x∗(t) ≤ ε t ∈ [0, 1] h.k.n .
˙ ˙
Nh÷ng gi¶ thiÕt sau lµ chuÈn vµ cÇn thiÕt.
A1) l(x, y ) lµ hµm nöa liªn tôc d-íi, cã thÓ b»ng +∞ nh-ng kh«ng b»ng −∞
vµ l(x∗(0), x∗ (1)) h÷u h¹n.
A2) L(t, x, y ) lµ h÷u h¹n kh¾p n¬i vµ lµ hµm nöa liªn tôc d-íi cña (x, y ) khi
t ∈ [0, 1] hÇu kh¾p n¬i. L(t, x, y ) lµ hµm ®o ®-îc víi t theo nghÜa r»ng ¸nh x¹
gi¸ trÞ tËp t −→ epiL(t, ., .) ®o ®-îc tõ [0, 1] vµo Rn × Rn .
A3 ) Víi mäi N > 0 cã mét ε > 0 vµ k (t) ∈ L1 , c(t) ∈ L1 sao cho
vµ
L(t, x, y ) − L(t, x , y ) ≤ k (t)|x − x | |L(t, x, y )| ≤ c(t).
khi
|y − x∗ (t)| ≤ N ; |x − x∗(t)| ≤ ε; |x − x∗(t)| ≤ ε.
˙
- 13
Néi dung chÝnh cña ch-¬ng nµy lµ tr×nh bµy chøng minh ®Þnh lý sau. Nã
cho nh÷ng ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n Bolza tæng qu¸t, ®-îc gi¶i quyÕt bëi
Ioffe - Rockafellar. §©y lµ ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ rÊt tæng qu¸t cho bµi to¸n víi d÷
kiÖn kh«ng nhÊt thiÕt tr¬n.
Chó ý r»ng khi c¸c d÷ kiÖn lµ tr¬n, ®Þnh lý trªn suy ra nh÷ng ®iÒu kiÖn cÇn
cùc trÞ cæ ®iÓn ®· biÕt.
§Þnh lý 2.1.1. [4] Gi¶ sö x ∗(t) lµ mét cùc tiÓu ®Þa ph-¬ng cña J (x(t)) víi chuÈn
lÊy trong W11 (hoÆc x∗(.) lµ mét cùc tiÓu m¹nh cæ ®iÓn) vµ (A1) - (A3) ®-îc tho¶
m·n th× cã mét cung p(t) ∈ W11 sao cho c¸c ®iÒu kiÖn sau ®-îc tho¶ m·n.
a) §iÒu kiÖn Euler
p(t) ∈ conv {w : (w, p(t)) ∈ ∂L(t, x∗(t), x∗(t))} t ∈ [0; 1] h.k.n.
˙ ˙
b) §iÒu kiÖn Weierstrass
L(t, x∗(t), y ) ≥ L(t, x∗(t), x∗(t)) + p(t), y − x∗ (t) ∀y, t ∈ [0; 1] h.k.n.
˙ ˙
c) §iÒu kiÖn c¾t ngang
(p(0), −p(1)) ∈ ∂l(x∗(0), x∗ (1)).
H¬n n÷a ®iÒu kiÖn Euler (a) vµ ®iÒu kiÖn chuyÓn (c) vÉn tho¶ m·n nÕu x (.)
∗
lµ mét cùc tiÓu yÕu cæ ®iÓn.
HÖ qu¶ 2.1.2. Víi gi¶ thiÕt nh- trªn,nÕu l, L lµ c¸c hµm tr¬n, ta cã
a) §iÒu kiÖn Euler
∂ ∂L ∂L
(t, x∗(.), x∗(.) − t, x∗(.), x∗(.) = 0 t ∈ [0; 1] h.k.n.
˙ ˙
∂t ∂y ∂x
b) §iÒu kiÖn Weierstrass
∂L
L(t, x∗(t), y ) ≥ L(t, x∗(t), x∗(t)) + (t, x∗(.), x∗(.)), y − x∗(t) ∀y, t ∈ [0; 1] h.k.n.
˙ ˙ ˙
∂y
c) §iÒu kiÖn c¾t ngang
∂l
p(0) = (x∗ (0), x∗(0))
˙
∂x
∂l
p(1) = − (x∗(1), x∗ (1))
˙
∂y
- 14
2.2. Chøng minh ®Þnh lý 2.1.1
§Ó chøng minh ®Þnh lý, ta cÇn mét sè kÕt qu¶ vÒ d-íi vi ph©n cña hµm bao
låi sau.
2.2.1. D-íi vi ph©n cña hµm bao låi
Cho f : Rm × Rn −→ R lµ mét hµm nöa liªn tôc d-íi. XÐt hµm bao låi cña nã
theo biÕn thø hai
f (z, y ) = convy f (z, y )
lµ chÝnh th-êng (lu«n lín h¬n −∞ vµ víi mäi z tån t¹i mét y sao cho f (z, y ) < ∞).
Ta ®i xem xÐt mèi quan hÖ gi÷a ∂f vµ ∂ f.
Theo ®Þnh lý Caratheodory vÒ tÝnh chÊt bao låi ta cã
n
f (z, y ) = inf Φ(z, yi, λi )
λ0 ≥ 0, . . . , λn ≥ 0 i=0
n
i=1 yi = y, i λi = 1
Trong ®ã y
nÕu
λf (z, ) λ > 0,
λ
Φ(z, y, λ) = 0 nÕu λ = 0 vµ y = 0,
c¸c tr-êng hîp kh¸c.
+∞
Ta còng cã thÓ viÕt
u = (y0, . . . , yn , λ0 , . . . , λn ) ∈ (Rn )n+1 × Rn+1 ,
khi
f (z, y ) = inf F (z, y, u),
u
trong ®ã
n n n
Φ(z, yi, λi ) + δ u|
F (z, y, u) = yi = y ; λi = 1 .
i=0 i=0 i=0
ë ®ã δ (u|C ) thay thÕ cho hµm chØ thÞ cña C .Tøc lµ
nÕu u∈C
0
δ C (u ) =
nÕu
∞ u∈C
/
- 15
§Þnh lý 2.2.1. [4] Gi¶ sö hai ®iÒu kiÖn sau ®-îc tho¶ m·n
(B) Víi mçi (z, y) ∈ Rm × Rn vµ mçi α ∈ R, cã mét ε > 0 sao cho tËp
(z, y, u) : |z − z | ≤ ε; |y − y | ≤ ε; F (z, y, u) ≤ α
lµ compact.
(C) TËp domf (z, .) = {y : f (z, y ) < ∞} kh«ng phô thuéc vµo z vµ víi mçi y
cña tËp nµy f (., y ) lµ Lipschitz ®Þa ph-¬ng.
XÐt (z, y) mµ f (z, y) h÷u h¹n. Th× víi mäi (w, v ) ∈ ∂ f (z, y ) tån t¹i u =
(y 0, . . . , yn , λ0 , . . . , λn ) tho¶ m·n f (z, y) = F (z, y, u) vµ n +1 vect¬ wi , i = 0, . . . , n
sao cho
(2.9)
λi wi = w;
i
yi
vµ víi mçi i mµ λi > 0, ta cã víi yi =
ˆ
λi
(2.10)
(wi , v) ∈ ∂f (z, yi ) ∀i.
ˆ
HÖ qu¶ 2.2.2. [4] Víi gi¶ thiÕt ®· cho trong ®Þnh lý trªn th× y lµ ®iÓm hiÓn lé
cña f t¹i z theo nghÜa. Cùc tiÓu cña f (z, y) chØ ®¹t ®-îc bëi c¸c vect¬
yi
u = (y0 , . . . , y n , λ0 , . . . , λn ), vµ víi mçi i mµ λi > 0 vect¬ yi = trïng víi y
ˆ
λi
nãi c¸ch kh¸c, tõ λi ≥ 0,
λi y = y,
ˆ λi = 1
i i
kÐo theo mµ
∀i
λi f (z, yi ) = f (z, y )
ˆ yi = y
ˆ λi > 0 .
i
Th× khi (w, v) ∈ ∂ f (z, y) ta cã
vµ
w ∈ conv {w : (w, v) ∈ ∂f (z, y)}.
f (z, y ) ≥ f (z, y ) + v , y − y ∀y.
§Ó chøng minh ®Þnh lý, ta cÇn c¸c mÖnh ®Ò sau.
MÖnh ®Ò 2.2.3. [4] §iÒu kiÖn (B) ®-îc suy ra tõ ®iÒu kiÖn
y
khi
lim inf λf (z, ) = ∞
(B1 ) y = 0.
λ
z→z
y→y
λ 0
Chøng minh. Ta cã
y
nÕu
λf (z, ) λ > 0,
λ
Φ(z, y, λ) = 0 nÕu λ = 0 vµ y = 0,
c¸c tr-êng hîp kh¸c.
+∞
- 16
vµ n n n
Φ(z, yi, λi ) + δ u|
F (z, y, u) = yi = y ; λi = 1 .
i=0 i=0 i=0
V× f lµ hµm nöa liªn tôc d-íi nªn Φ lµ hµm nöa liªn tôc d-íi. Do ®ã F còng lµ
hµm nöa liªn tôc d-íi.
TiÕp theo, ta cã tËp
{(z, y, λ) : z ∈ Z, λ ∈ [0, 1], Φ(z, y, λ) ≤ α}
bÞ chÆn víi mäi tËp bÞ chÆn Z ⊂ Rm vµ bÊt kú α ∈ R.
ThËt vËy, nÕu tr¸i l¹i ®iÒu nµy kh«ng x¶y ra, ta sÏ t×m ®-îc c¸c d·y {zν } ⊂
Z ; {λν } ⊂ [0; 1] vµ mét d·y kh«ng bÞ chÆn {y ν } sao cho Φ(zν , y ν , λν ) ≤ α.
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t cã thÓ gi¶ sö z ν → z , λν > 0 vµ 0 < |yν | → ∞.
§iÒu kiÖn Φ(z ν , y ν , λν ) ≤ α cã thÓ viÕt l¹i nh- sau
yν yν y ν ˆν λν
ˆ
ˆ víi
α ≥ λν f (z ν , ) = λν f (z ν , )|y ν |, yν = ; λ = ν → 0.
ˆ
ˆ |y ν | |y |
ν
λ λν
Gi¶ sö r»ng yν → y th× |y| = 1 do ®ã
ˆ ˆ ˆ
yν
ˆ α
ˆ
lim inf λν f (z ν , ) ≤ lim ( ν ) = 0.
ˆ ν →∞ |y |
λν
ν →∞
§iÒu nµy m©u thuÉn víi (B1 ).
Bëi tÝnh chÊt nµy cña Φ, cho bÊt kú tËp bÞ chÆn Z ∈ Rn, tån t¹i β ∈ R sao cho
khi
Φ(z, y, λ) ≥ β, z ∈ Z, λ ∈ [0, 1].
¸p dông ®iÒu nµy cho Z = {z : |z − z | ≤ ε} t¹i z vµ ε > 0.
Víi u = (y 0, . . . , yn , λ0 , . . . , λn ) vµ mäi
|z − z | ≤ ε; |y − y| ≤ ε; F (z, y, u) ≤ α.
Trë l¹i c«ng thøc cña F (z, y, u), tõ biÓu diÓn cña F (z, y, u)
n n n
Φ(z, yi , λi ) + δ u|
F (z, y, u) = yi = y, λi = 1 ,
i=0 i=0 i=0
n n n
Φ(z, yi , λi ) + δ u|
= Φ(z, yi , λi ) + yi = y, λi = 1
i=0 i=0
i=j =0
ta ®-îc Φ(z, yi , λi ) ≤ α − nβ vµ λi ∈ [0; 1] ∀i = 0, . . . , n.
Do tËp c¸c (z, yi , λi ) tho¶ m·n
|z − z | ≤ ε; λi ∈ [0; 1]; Φ(z, yi, λi ) ≤ γ
lµ bÞ chÆn víi mçi γ ∈ R, tÝnh chÊt bÞ chÆn (B ) ®óng.
- 17
MÖnh ®Ò 2.2.4. [4] §iÒu kiÖn (B 1 ) t-¬ng ®-¬ng víi ®iÒu kiÖn f (z, y ) lµ c-ìng
bøc theo y vµ ®Òu ®Þa ph-¬ng theo z , theo nghÜa
(B2 ) Cho bÊt kú z vµ ε > 0 tån t¹i mét hµm kh«ng gi¶m θ : [0; +∞) → R víi
θ (s )
θ(0) h÷u h¹n, → ∞ khi s → ∞ th×
s
khi
f (z, y ) ≥ θ(|y |) |z − z | ≤ ε.
Chøng minh. NÕu (B 2) tho¶ m·n th×
|y |
θ( )
|y |
y λ = ∞.
lim inf λf (z, ) ≥ lim inf λθ( ) = |y | lim
|y |
λ λ
z→z y→y y→y
λ
y→y λ 0 λ 0
λ 0
V× vËy (B 1 ) ®-îc tho¶ m·n.
Ng-îc l¹i, víi ®iÒu kiÖn (B1 ) ë trªn, ta cã thÓ chän hµm θ x¸c ®Þnh nh- sau
θ (s ) = min Φ(z, y, λ).
|z − z | ≤ ε
|y | ≥ s
λ ∈ [0, 1]
Th× (B 2) ®-îc tho¶ m·n.
MÖnh ®Ò 2.2.5. [4] Ký hiÖu h(z, v ) = sup y { y, v − f (z, y )}.
lµ hµm Hamilton liªn kÕt víi f . Th× (B2) t-¬ng ®-¬ng víi
(B3 ) h(z, v ) lµ hµm nöa liªn tôc trªn vµ h÷u h¹n kh¾p n¬i.
Chøng minh. ∗ §iÒu kiÖn ®ñ: NÕu (B 3 ) ®óng ta chän θ lµ hµm liªn hîp cña hµm
ψ (t ) = max h(z, v ).
|z − z | ≤ ε
|v | ≤ t
Th× θ lµ hµm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (B2).
∗ §iÒu kiÖn cÇn: Cã thÓ xem h ®-îc ®Þnh nghÜa bëi tèi -u tham sè
−h(z, v ) = miny G(z, v, y ), víi G(z, v, y ) = f (z, y ) − y , v .
Tõ (B 2 ) vµ do f lµ hµm nöa liªn tôc d-íi, ta thÊy r»ng G tho¶ m·n nh÷ng
tÝnh chÊt c¬ b¶n sao cho −h lµ hµm nöa liªn tôc d-íi. VËy h lµ hµm nöa liªn tôc
trªn.
nguon tai.lieu . vn
