Xem mẫu
- B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O
TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN
NGUY N TRUNG KIÊN
ĐI M B T Đ NG C A ÁNH X
COMPACT TRONG KHÔNG GIAN
TUY N TÍNH Đ NH CHU N
LU N VĂN T T NGHI P Đ I H C
HC NHÂN SƯ PH M
Ngư i hư ng d n khoa h c : PGS.TS. THÁI THU N QUANG
Năm 2011
- M cl c
M Đ U ..................................... 3
1 M TS KI N TH C CHU N B 5
1.1 Các không gian cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Không gian đ nh chu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Không gian l i đ a phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Ánh x liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Ánh x liên t c gi a các không gian mêtric . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Ánh x liên t c gi a các không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Ánh x liên t c gi a các không gian đ nh chu n . . . . . . . . . 10
1.2.4 Phép đ ng luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5 Toán t compact - Toán t hoàn toàn liên t c . . . . . . . . . . 10
2 BÀI TOÁN VÀ M T S Đ NH LÝ V ĐI M B T Đ NG 12
2.1 M t s toán t tích phân và bài toán đi m b t đ ng . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Toán t tích phân Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Toán t Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 ng d ng vào bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 M t s đ nh lý đi m b t đ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Đi m b t đ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
- 2
2.2.2 Đ nh lý x p x và phép chi u Schauder . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 Các đ nh lý đi m b t đ ng c a Brouwer và Borsuk . . . . . . . 19
2.2.4 Đ nh lý đi m b t đ ng Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.5 M r ng c a đ nh lý Borsuk 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 TÍNH CH T C T NGANG TÔPÔ VÀ NG D NG 22
3.1 Tính ch t c t ngang tôpô và s t n t i ánh x c t y u . . . . . . . . . 22
3.1.1 Tính ch t c t ngang tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.2 Ánh x c t y u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 ng d ng cho bài toán đi m b t đ ng .................. 27
3.2.1 Nguyên lý Leray - Schauder. Đ nh lý Birkhoff-Kellogg . . . . . . 27
3.2.2 Trư ng compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Phương trình y = x − F (x) và tính b t bi n c a mi n . . . . . .
3.2.3 32
K T LU N 36
TÀI LI U THAM KH O 37
- M ĐU
Lu n văn này nh m tìm hi u các v n đ liên quan đ n đi m b t đ ng c a các ánh
x gi a các không gian tôpô, đ c bi t là c a toán t compact. Thông qua các đ nh lý
đi m b t đ ng, có th ng d ng đ kh o sát s t n t i nghi m c a phương trình hay
phương b t bi n c a mi n.
N i dung chính c a lu n văn là trình bày chi ti t và làm rõ m t s k t qu trong
[1]. Trong lu n văn, tác gi đã làm tư ng minh các ch ng minh c a Dugundji J. và
Granas A..
Ngoài các ph n M đ u, K t lu n và Tài li u tham kh o thì lu n văn g m có 3
chương.
Chương 1 gi i thi u m t s ki n th c chu n b v các không gian cơ b n và ánh
x liên t c gi a các không gian, toán t compact, toán t hoàn toàn liên t c và phép
đ ng luân.
Chương 2 đ c p đ n m t s toán t tích phân, phép chi u và đ nh lý x p x
Schauder, m t s đ nh lý đi m b t đ ng.
Chương 3 trình bày tính ch t c t ngang tôpô và m t s ng d ng trong các bài
toán đi m b t đ ng.
Tác gi đã nh n đư c s hư ng d n nhi t tình, chu đáo, nghiêm kh c và đ y khoa
h c c a PGS.TS Thái Thu n Quang trong su t th i gian h c t p, nghiên c u và hoàn
thành đ tài. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành và kính tr ng sâu s c đ i v i
Th y.
Nhân d p này tác gi cũng xin chân thành g i l i c m ơn đ n quý th y, cô trong
và ngoài Khoa Toán, Đ i h c Quy Nhơn đã dày công gi ng d y trong su t khóa h c
- 4
và t o đi u ki n thu n l i cho tác gi hoàn thành lu n văn này.
Tác gi xin chân thành c m ơn các b n cùng l p Sư ph m Toán A khóa 30 đã đùm
b c giúp đ nhau trong h c t p và sinh ho t.
M c dù lu n văn đã đư c th c hi n v i s n l c c g ng h t s c c a b n thân
song do h n ch v trình đ và s hi u bi t nên khó tránh kh i nh ng sai l m thi u
sót. Đ ng th i, tác gi cũng nh n th c đư c r ng còn r t nhi u v n đ m đ t ra chưa
gi i quy t đư c. Tác gi r t mong nh n đư c nh ng góp ý, phê bình quý báu c a quý
th y cô và các b n đ c quan tâm.
Quy Nhơn, tháng 03 năm 2011
Tác gi
Nguy n Trung Kiên
- Chương 1
M TS KI N TH C CHU N B
1.1 Các không gian cơ b n
1.1.1 Không gian mêtric
Đ nh nghĩa 1.1.1.1. [2] Cho X là t p h p khác r ng. M t mêtric trên X là m t ánh
x d t t p tích X × X vào t p R các s th c, tho mãn các đi u ki n sau:
(i) d(x, y ) ≥ 0, v i m i x, y ∈ X ;
(ii) d(x, y ) = 0 khi và ch khi x = y ;
(iii) d(x, y ) = d(y, x), v i m i x, y ∈ X ;
(iv) d(x, y ) ≤ d(x, z ) + d(z, y ), v i m i x, y, z ∈ X .
M t t p h p X cùng m t mêtric d xác đ nh trên X đư c g i là m t không gian mêtric,
ký hi u là (X, d).
Đ nh nghĩa 1.1.1.2. [2] Cho không gian mêtric (X, d) và s th c r. Ký hi u
B (x; r) = {y ∈ X : d(x, y ) < r}
g i là hình c u m tâm x, bán kính r.
T p con A c a X g i là t p m trong X n u v i m i x ∈ A đ u t n t i hình c u m
B (x; ε) nào đó c a X ch a trong A. T p A ⊂ X g i là t p đóng n u X \ A là t p m .
- 6
Chú ý. Ký hi u
diam(A) = sup d(x, y )
x,y ∈A
g i là đư ng kính c a t p A.
Đ nh nghĩa 1.1.1.3. [2] Dãy {xn } ⊂ (X, d) g i là dãy Cauchy n u ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N :
∀m, n ∈ N và m, n > n0 thì
d(xm , xn ) < ε.
Đ nh nghĩa 1.1.1.4. [2] Không gian mêtric X đư c g i là không gian mêtric đ y đ
n u m i dãy Cauchy trong X đ u h i t đ n m t đi m nào đó thu c X .
Đ nh nghĩa 1.1.1.5. [2] M t t p h p con A c a m t không gian mêtric X đư c g i
là hoàn toàn b ch n n u m i r > 0 t n t i h u h n hình c u m B1 , B2 , ..., Bn bán
kính r trong X sao cho
n
A⊂ Bi .
i=1
Chú ý. Khi đó B = {B1 , B2 , ..., Bn } đư c g i là m t r-ph c a A.
Đ nh nghĩa 1.1.1.6. [2] Gi s K là m t t p h p con c a không gian mêtric X . T p
h p K đư c g i là t p h p compact n u m i dãy trong K đ u t n t i m t dãy con
h i t đ n m t đi m nào đó thu c K . Đ c bi t, n u K = X và K compact thì ta nói
không gian mêtric X là không gian compact.
Đ nh lý 1.1.1.7. (Banach) [2] Gi s K là m t t p h p con c a không gian mêtric
X . Đi u ki n c n và đ đ K compact là K đ y đ và hoàn toàn b ch n.
1.1.2 Không gian tôpô
Đ nh nghĩa 1.1.2.1. [2] Gi s X là m t t p h p. M t h τ g m các t p h p con
nào đó c a X đư c g i là m t tôpô trên X n u tho mãn các đi u ki n sau đây:
(i) ∅, X ∈ τ ;
(ii) H p tuỳ ý các t p h p c a h τ là m t t p h p c a h τ ;
(iii) Giao h u h n các t p h p c a h τ là m t t p h p c a h τ .
- 7
M t t p h p X cùng v i m t tôpô τ xác đ nh trên nó đư c g i là m t không gian tôpô,
ký hi u là (X, τ ). Khi đó m i ph n t thu c τ g i là m t t p m .
Đ nh nghĩa 1.1.2.2. [2] Không gian tôpô X đư c g i là không gian Hausdorff n u
x, y là hai đi m khác nhau b t kỳ c a X thì t n t i U, V l n lư t là lân c n c a x và
y sao cho U ∩ V = ∅.
Đ nh nghĩa 1.1.2.3. [2] Gi s K là m t t p h p con c a không gian tôpô X . K
đư c g i là t p h p compact n u m i ph m c a K có m t ph con h u h n, t c là
n u {Gα }α∈I là các t p m tuỳ ý trong X sao cho
K⊂ Gα =⇒ ∃α1 , ..., αn ∈ I : K ⊂ Gαi .
1≤i≤n
α∈I
Đ nh lý 1.1.2.4. [2] (Tychonoff) Tích c a m t h tùy ý các không gian tôpô compact
là không gian tôpô compact.
Đ nh nghĩa 1.1.2.5. (Kh i l p phương Hilbert I ∞ ) [1]
Ký hi u
I = [0, 1];
In = {x ∈ Rn : 0 ≤ xi ≤ 1, ∀i = 1, n};
I ∞ = {x = (x1 , x2 , ...) : 0 ≤ xn ≤ 1, n = 1, 2, ...}.
I ∞ đư c g i là kh i l p phương Hilbert, chính là tích đ m đư c c a các kho ng đóng
đơn v I .
M nh đ 1.1.2.6. [1]
(i) Kh i l p phương Hilbert là không gian Hausdorff compact.
(ii) B t kỳ m t không gian mêtric compact nào cũng có th nhúng vào hình l p phương
Hilbert (Đ nh lý Urysohn).
D th y r ng (i) suy ra t đ nh lý Tychonoff.
- 8
1.1.3 Không gian đ nh chu n
Đ nh nghĩa 1.1.3.1. [3] Cho E là m t K-không gian vectơ (v i K = R ho c C). M t
chu n trên E là m t hàm x → ||x|| t E vào R tho mãn các đi u ki n sau v i m i
x, y ∈ E , m i λ ∈ K:
(i) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 n u và ch n u x = 0;
(ii) ||λx|| = |λ|||x||;
(iii) ||x + y || ≤ ||x|| + ||y ||.
M t không gian đ nh chu n là m t không gian vectơ cùng v i m t chu n trên nó.
Đ nh lý 1.1.3.2. [3] N u x → ||x|| là m t chu n trên E thì d(x, y ) = ||x − y || là m t
mêtric trên E , mêtric này đư c g i là mêtric sinh b i chu n.
Đ nh nghĩa 1.1.3.3. [3] Không gian Banach là không gian đ nh chu n đ y đ (v i
mêtric sinh b i chu n).
Đ nh lý 1.1.3.4. [1] Cho Ω là m t mi n b ch n trong Rn . Không gian các hàm s
th c liên l c trên Ω, ký hi u C (Ω), là không gian Banach v i chu n
||u||0 = sup |u(x)|.
x∈ Ω
Đ nh nghĩa 1.1.3.5. [1] T p con K ⊂ C (Ω) đư c g i là đ ng liên t c n u v i m i
ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ||x1 − x2 || < δ ⇒ |u(x1 ) − u(x2 )| < ε v i m i x1 , x2 ∈ Ω và u ∈ K .
T p K đư c g i là compact tương đ i n u K compact.
Đ nh lý 1.1.3.6. [1] (Arzelà-Ascoli) T p con c a C (Ω) là compact tương đ i khi
và ch khi nó b ch n và đ ng liên t c.
1.1.4 Không gian l i đ a phương
Đ nh nghĩa 1.1.4.1. [3] Cho E là không gian vectơ trên trư ng K. Hàm th c p : E →
R đư c g i là n a chu n n u
(i) p(x) ≥ 0 v i m i x ∈ E ;
- 9
(ii) p(λx) = |λ|p(x) v i m i λ ∈ K, x ∈ E ;
(iii) p(x + y ) ≤ p(x) + p(y ) v i m i x, y ∈ E .
Đ nh nghĩa 1.1.4.2. [1] Không gian tôpô tuy n tính E đư c g i là l i đ a phương
n u m i lân c n c a 0 trong E đ u ch a m t lân c n l i c a 0.
M i tôpô l i đ a phương trên không gian vectơ đư c xác đ nh b i h các n a
chu n {pα |α ∈ A} th a tính ch t pα = 0, ∀α ∈ A khi và ch khi x = 0, V là t p
m khi và ch khi v i m i v ∈ V t n t i ε > 0 và h u h n α1 , α2 , ..., αn ∈ A sao cho
n
{x|pαi (x − v ) < ε} ⊂ V .
i=1
Đ nh nghĩa 1.1.4.3. [1] Cho A là t p con c a không gian l i đ a phương E , convA
là t p l i đóng nh nh t c a E ch a A.
1.2 Ánh x liên t c
1.2.1 Ánh x liên t c gi a các không gian mêtric
Đ nh nghĩa 1.2.1.1. [2] Ánh x f : (X, d) → (Y, ρ) gi a hai không gian mêtric đư c
g i là liên t c t i x ∈ X n u m i dãy {xn } trong X sao cho xn → x thì f (xn ) → f (x).
N u ánh x f liên t c t i m i đi m x thu c m t t p h p con A c a không gian mêtric
X thì ta nói f liên t c trên t p h p A. Đ c bi t, n u A = X và f liên t c trên A thì
ta nói f liên t c trên không gian mêtric X .
1.2.2 Ánh x liên t c gi a các không gian tôpô
Khái ni m ánh x liên t c trong không gian tôpô là s m r ng m t cách t nhiên
c a ánh x liên t c trong không gian mêtric.
Đ nh nghĩa 1.2.2.1. [2] Gi s f là m t ánh x t không gian tôpô (X, τ ) vào không
gian tôpô (Y, σ ).
+ Ánh x f đư c g i là liên t c t i đi m x c a X n u m i dãy (xα ) trong X h i t
đ n x thì dãy f (xα ) h i t đ n f (x).
+ Ánh x f đư c g i là liên t c trên t p h p con A c a X n u nó liên t c t i m i
- 10
đi m x thu c A. Đ c bi t, n u A = X và f liên t c trên A thì ánh x f đư c g i là
liên t c trên không gian tôpô X .
1.2.3 Ánh x liên t c gi a các không gian đ nh chu n
Do không gian đ nh chu n cũng là không gian mêtric v i mêtric sinh b i chu n nên
khái ni m ánh x liên t c gi a các không gian đ nh chu n đư c xây d ng d a trên
đ nh nghĩa 1.2.1.1.
Đ nh lý 1.2.3.1. (Tietze - Urysohn) [1] Cho X là không gian đ nh chu n, A ⊂ X
đóng, f : A → R là hàm liên t c. Khi đó t n t i m r ng liên t c f ∗ : X → R c a f
lên X .
1.2.4 Phép đ ng luân
Đ nh nghĩa 1.2.4.1. [1] Hai ánh x liên t c f, g : X → Y gi a hai không gian
tôpô g i là đ ng luân v i nhau n u t n t i ánh x liên t c H : X × [0, 1] → Y th a
H (x, 0) = f (x), H (x, 1) = g (x), ∀x ∈ X .
Ánh x H đư c g i là phép đ ng luân gi a X và Y . Ánh x f đư c g i là đ ng luân
không n u nó đ ng luân v i m t ánh x h ng.
1.2.5 Toán t compact - Toán t hoàn toàn liên t c
Đ nh nghĩa 1.2.5.1. [1] Cho X, Y là hai không gian tôpô và F : X → Y là ánh x
liên t c.
(i) Ánh x F đư c g i là compact n u F (X ) ch a trong m t t p con compact c a Y .
(ii) X là không gian mêtric, F đư c g i là hoàn toàn liên t c n u nh c a m i t p
con b ch n c a X đ u ch a trong m t t p con compact c a Y .
(iii) Y là không gian vectơ, ánh x compact F đư c g i là h u h n chi u n u F (X )
ch a trong m t không gian con h u h n chi u c a Y .
(iv) Y là không gian mêtric, F đư c g i là b ch n n u F (X ) là t p con b ch n c a
Y.
- 11
T p h p các ánh x compact t X vào Y kí hi u là K(X, Y ). N u (Y, ) là không
gian mêtric thì K(X, Y ) ch a trong không gian mêtric (B (X, Y ), d) - không gian các
ánh x b ch n t X vào Y v i mêtric
d(F, G) = sup (F (x), G(x)).
x∈ X
N u (E , || ||) là không gian đ nh chu n thì K(X, E ) là không gian con c a không gian
đ nh chu n (B (X, E ), || ||) v i chu n
||F || = sup ||F (x)||.
x∈X
N u Y đ y đ thì (B (X, Y ), d) cũng đ y đ , E đ y đ thì B (X, E ) Banach.
M nh đ 1.2.5.2. [1] Y đ y đ suy ra không gian K(X, Y ) đ y đ . Đ c bi t, n u E
Banach thì K(X, E ) là không gian Banach.
nên (B (X, Y ), d) đ y đ . Ta c n ch ng minh K(X, Y )
Ch ng minh. Vì Y đ y đ
đóng trong B (X, Y ). Th t v y, xét {Fn } là m t dãy b t kỳ trong K(X, Y ) sao cho
d(Fn , F ) → 0 v i F ∈ B (X, Y ). Khi đó ∀ε > 0, ∃k > 0 sao cho
sup (F (x), Fk (x)) ≤ ε/2.
x∈ X
Do Fk (X ) hoàn toàn b ch n nên t n t i N = {y1 , y2 , ..., yn } là ε/2-ph c a Fk (X ). Do
đó v i m i x ∈ X , ta có
(F (x), yi ) ≤ (F (x), Fk (x)) + (Fk (x), yi ) ≤ ε, i = 1, . . . , n.
V y N là ε-ph c a F (X ) hay F (X ) hoàn toàn b ch n. Hơn n a, F (X ) ⊂ Y nên đ y
đ . S d ng đ nh lý 1.1.1.7, ta có F (X ) compact hay F ∈ K(X, Y ).
V y K(X, Y ) đóng trong không gian đ y đ (B (X, Y ), d) nên K(X, Y ) đ y đ .
- Chương 2
BÀI TOÁN VÀ M T S Đ NH LÝ
V ĐI M B T Đ NG
2.1 M t s toán t tích phân và bài toán đi m b t
đ ng
2.1.1 Toán t tích phân Urysohn
Đ nh nghĩa 2.1.1.1. (Toán t tích phân Urysohn) [1] Cho Ω là m t mi n b ch n
trong Rn , K : Ω × Ω × R → R liên t c. B ng cách đ t
(x ∈ Ω)
[F u](x) = K (x, y, u(y ))dy
Ω
v i m i u ∈ C (Ω), ta nh n đư c ánh x phi tuy n F : C (Ω) → C (Ω) và g i là toán t
tích phân Urysohn.
M nh đ 2.1.1.2. [1] Toán t tích phân Urysohn F hoàn toàn liên t c.
Ch ng minh. Theo đ nh lý Arzelà 1.1.3.6, ta ch c n ch ng minh v i dãy {un } cho
trư c th a mãn ||un || ≤ r suy ra dãy vn = F (un ) b ch n và đ ng liên t c thì F hoàn
toàn liên t c .
Bư c 1: ch ng minh {vn } b ch n
V i M = sup{|K (x, y, u)| : x, y ∈ Ω, u ∈ [−r, r]} < +∞, ta có
||vn || = sup |vn (x)| ≤ sup |K (x, y, un (y ))|dy ≤ M µ(Ω).
x∈Ω x∈Ω
Ω
- 13
Bư c 2: ch ng minh {vn } đ ng liên t c
Xét ε > 0 cho trư c. Vì
K : Ω × Ω × [−r, r] → R
liên t c đ u nên ∃δ > 0 sao cho
[||x1 − x2 || < δ ] ⇒ |K (x1 , y, u) − K (x2 , y, u)| < ε, ∀y ∈ Ω, u ∈ [−r, r].
Khi đó
|vn (x1 ) − vn (x2 )| ≤ |K (x1 , y, un (y )) − K (x2 , y, un (y ))|dy < εµ(Ω), ∀n
Ω
khi ||x1 − x2 || < δ . Vì v y, {vn } đ ng liên t c.
Trư ng h p đ c bi t c a toán t này là toán t Hammerstein
[F u](x) = K (x, y )f (y, u(y ))dy
Ω
trong đó f : Ω × R → R. Ta có sơ đ giao hoán sau
/ C (Ω)
F
C (Ω)F O
FF
FF
F
ˆ FF#
K
f
C (Ω)
Ánh x f : C (Ω) → C (Ω) (g i là toán t Niemytzki) xác đ nh b i
y∈Ω
[f u](y ) = f (y, u(y )),
và K là toán t tích phân tuy n tính
[Ku](x) = K (x, y )u(y )dy.
Ω
2.1.2 Toán t Carathéodory
Ký hi u (C k [a, b], ||.||k ) là không gian Banach g m các hàm kh vi liên t c c p k
trên [a, b] d ng v : [a, b] → R v i chu n
||v ||k = max{||v ||0 , ||v ||0 , ..., ||v (k) ||0 }
(||.||0 là chu n sup thông thư ng trên C [a, b]).
- 14
Đ nh nghĩa 2.1.2.1. (Toán t Carathéodory) [1] Cho p ≥ 1, ta g i f : [a, b] × Rk →
R là hàm Lp -Carathéodory n u:
(i) y → f (s, y ) liên t c h u kh p nơi đ i v i s trên [a, b];
(ii) s → f (s, y ) đo đư c v i m i y ∈ Rk ;
(iii) V i m i r > 0, t n t i hàm không âm ϕr ∈ Lp [a, b] sao cho n u ||y || ≤ r thì
|f (s, y )| ≤ ϕr (s) v i h u h t s ∈ [a, b].
B ng cách đ t
t
f (s, v (s), ..., v (k−1) (s))ds
[F v ](t) =
a
v i m i v ∈ C k−1 [a, b], ta nh n đư c ánh x phi tuy n F : C k−1 [a, b] → C [a, b] và g i
là toán t Lp -Carathéodory tương ng v i hàm Lp -Carathéodory f .
Rõ ràng F xác đ nh và liên t c.
M nh đ 2.1.2.2. [1] Toán t Carathéodory F hoàn toàn liên t c.
Ch ng minh. S d ng đ nh lý Arzelà 1.1.3.6, ta ch c n ch ng minh n u dãy {un } ⊂
C k−1 [a, b] th a mãn ||un ||k−1 ≤ r thì suy ra dãy vn = F (un ) b ch n và đ ng liên t c
trong C [a, b]. Th t v y,
Bư c 1: ch ng minh {vn } b ch n
(k−1)
||0 } ≤ r nên theo (iii), t n t i hàm ϕr ∈ Lp [a, b]
Theo gi thi t, max{||un ||0 , ...., ||un
sao cho
|f (s, un (s), ..., u(k−1) (s))| ≤ ϕr (s)
n
đ i v i h u h t s ∈ [a, b], và do đó
b
||vn ||0 = ||F un ||0 ≤ ϕr (s)ds.
a
Bư c 2: ch ng minh {vn } đ ng liên t c
Cho ε > 0. Do tính liên t c c a tích phân Lebesgue, ∃δ > 0 sao cho n u |t − t | < δ
- 15
t
ϕr (s)ds ≤ ε. Do đó
thì
t
t
|vn (t) − vn (t )| = |F un (t) − F un (t )| ≤ ϕr (s)ds ≤ ε, ∀n, ∀|t − t | < δ.
t
V y {vn } đ ng liên t c.
2.1.3 ng d ng vào bài toán biên
Cho Ω là mi n b ch n trong Rn v i biên ∂ Ω trơn, f : Ω × R → R là ánh x H¨lder
o
n
∂ 2 f /∂x2 . Xét bài toán biên phi tuy n elliptic
liên t c v i toán t Laplace ∆ = i
i=1
−∆u = f (x, u),
(2.1)
u|∂ Ω = 0.
Ta tìm nghi m u ∈ C 2 (Ω) ∩ C (Ω) th a (2.1). M t trong nh ng phương pháp đ gi i
(2.1) là s d ng hàm Green G cho toán t - ∆ trong đi u ki n biên Dirichlet, đ đơn
gi n hơn, ta đưa v phương trình d ng Hammerstein
x ∈ Ω.
u(x) = G(x, y )f (y, u(y ))dy, (2.2)
Ω
nhi u không gian khác nhau như Lp (Ω) (1 < p <
Phương trình (2.2) có th xét
+∞), C (Ω) ho c C 1 (Ω). m i trư ng h p còn tùy thu c vào d ng c a hàm Green
tương ng v i bài toán (2.1). Hơn n a, trong m i trư ng h p trên toán t phi tuy n
Hammerstein
[F u](x) = G(x, y )f (y, u(y ))dy
Ω
là toán t hoàn toàn liên t c trong không gian hàm tương ng, và vì th , bài toán biên
(2.1) có th chuy n v bài toán đi m b t đ ng c a ánh x F .
2.2 M t s đ nh lý đi m b t đ ng
2.2.1 Đi m b t đ ng
Đ nh nghĩa 2.2.1.1. Cho X là m t không gian b t kỳ và F là ánh x t X (ho c
t p con c a X ) vào X . Đi m x ∈ X đư c g i là đi m b t đ ng c a F n u x = F (x).
- 16
2.2.2 Đ nh lý x p x và phép chi u Schauder
Đ nh nghĩa 2.2.2.1. [1] Cho N = {c1 , c2 , ..., cn } là t p h u h n trong không gian
đ nh chu n. V i m i ε > 0, đ t
{B (ci , ε)|i ∈ [n]}.
(N, ε) =
([n] = {1, . . . , n})
V i m i i ∈ [n], đ t µi : (N, ε) → R là ánh x x → max[0, ε − ||x − ci ||]. Phép chi u
Schauder pε : (N, ε) → convN đư c cho b i
n
1
pε (x) = µi (x)ci .
n
µ i ( x) i=1
i=1
Chú ý. D ki m tra pε là ánh x vì v i m i x ∈ (N, ε), t n t i i ∈ [n] sao cho x ∈ B (ci , ε)
n
µi (x) = 0, hơn n a, pε (x) là t h p l i c a c1 , c2 , ..., cn nên pε [(N, ε)] ⊂ convN.
nên
i=1
2.2.2.2. [1] Cho c1 , c2 , ..., cn thu c t p l i C ⊂ E và pε là phép chi u
M nh đ
Schauder. Khi đó
(a) pε là ánh x compact t (N, ε) vào convN ⊂ C ;
(b) ||x − pε (x)|| < ε, ∀x ∈ (N, ε);
(c) N u N ⊂ C đ i x ng qua tâm 0, ch ng h n N = {c1 , ..., ck , −c1 , ..., −ck } thì
(N, ε) = (−N, ε) và pε (−x) = −pε (x), ∀x ∈ (N, ε).
Ch ng minh.
(a) D ki m tra µi là các hàm liên t c trên (N, ε) nên pε liên t c trên (N, ε). Hơn n a,
pε (N, ε) ⊂ convN nên pε là ánh x compact.
(b) Ta có
n n
µi (x) µi (x)ci n
1
i=1 i=1
||x − pε (x)|| = x− µi (x)[x − ci ]
=
n n n
µi (x) µi (x) µi (x) i=1
i=1 i=1 i=1
n
µi (x)||x − ci ||
i=1
≤ < ε.
n
µi (x)
i=1
- 17
(Theo cách xác đ nh µi , ta có ho c µi (x) = 0 ho c ||x − ci || < ε)
(c) Vi t −ci = c−i , theo cách xác đ nh µi , ta có µi (x) = µ−i (−x), t đó
1
pε (−x) = µi (−x)ci
µi (−x)
1
= µ−i (x)ci
µ−i (x)
1
=− µ−i (x)c−i
µ−i (x)
= −pε (x).
Đ nh lý 2.2.2.3. (Đ nh lý x p x Schauder) [1] Cho X là không gian tôpô, C là
t p con l i c a không gian đ nh chu n E và F : X → C là ánh x compact. Khi đó v i
m i ε > 0, t n t i t p h u h n N = {c1 , c2 , ..., cn } ⊂ F (X ) ⊂ C và ánh x h u h n
chi u Fε : X → C sao cho
(a) ||Fε (x) − F (x)|| < ε, ∀x ∈ X ;
(b) Fε (X ) ⊂ convN ⊂ C .
Ch ng minh. Do F (X ) ch a trong m t t p con compact c a C ⊂ E nên F (X ) hoàn
toàn b ch n, v i m i ε > 0, t n t i t p h u h n N = {c1 , c2 , ..., cn } ⊂ F (X ) sao cho
F (X ) ⊂ (N, ε).
Xét Fε : X → C xác đ nh b i x → pε F (x), trong đó pε : (N, ε) → convN là phép chi u
Schauder, theo m nh đ 2.2.2.2, ta có Fε là ánh x c n tìm. Th t v y,
(a) V i m i x ∈ X, ||Fε (x) − F (x)|| = ||pε F (x) − F (x)|| < ε;
(b) Fε (X ) = pε F (X ) ⊂ pε (C ) ⊂ convN ⊂ C.
B đ 2.2.2.4. [1] Cho X là không gian mêtric compact, A ⊂ X đóng và E là không
gian đ nh chu n. Khi đó m i ánh x liên t c f : A → E đ u có th m r ng thành ánh
x liên t c F : X → E .
- 18
Ch ng minh. V i m i ε = 1/n2 , n = 1, 2, ..., đ t fn : A → E là x p x Schauder c a f
v i ||fn (a) − f (a)|| ≤ 1/n2 , ∀a ∈ A.
Vì fn là ánh x liên t c t A vào không gian h u h n chi u E kn (đ ng c u v i Rkn ),
∗
theo đ nh lý Tietze-Urysohn 1.2.3.1, t n t i m r ng fn : X → E kn ⊂ E v i m i
n = 1, 2, ....
∗ ∗
Đ t gn (x) = fn+1 (x) − fn (x), ta có
2
||gn (a)|| ≤ ||fn+1 (a) − f (a)|| + ||f (a) − fn (a)|| ≤ , ∀a ∈ A.
n2
−
V i m i n, đ t Un = gn 1 B (0, 3/n2 ) ∩{x|d(x, A) < 1/n} là t p m trong X ch a A. B ng
∞
cách thay th m i t p Un b i U1 ∩ U2 ... ∩ Un , ta có th gi s U1 ⊃ U2 ... và Un = A.
n=1
V i m i n = 1, 2..., ch n hàm Urysohn λn th a
1, x ∈ A
λ n ( x) =
0, x ∈ Un
/
và
hn (x) = λn (x)gn (x).
Rõ ràng ||hn (x)|| ≤ 3/n2 .
∞
hn (x) h i t v i m i x. Th t v y, n u x ∈ A thì x thu c h u
/
D ki m tra chu i
n=1
h n các t p Un . Khi đó chu i trên là m t t ng h u h n. N u x ∈ A thì t ng riêng th
n c a chu i là fn+1 (a) − f1 (a) h i t v f (a) − f1 (a).
∞
trên X và hàm h(x) = hn (x) liên t c nên
Do tính duy nh t c a đi m h i t
n=1
∗
f1 (x) + h(x) là m r ng c a F .
Đ nh lý 2.2.2.5. [1] Cho X, E là các không gian đ nh chu n, A ⊂ X đóng và F0 : A →
E là ánh x compact. Khi đó F0 m r ng đư c thành ánh x compact F : X → E.
Ch ng minh. Vì F0 (A) là t p con compact c a E , cũng là không gian mêtric compact
nên có th nhúng vào t p con đóng Q c a hình l p phương Hilbert I ∞ (theo m nh đ
1.1.2.6). Xét h : Q → E là ánh x ngư c c a phép nhúng này, ta có sơ đ giao hoán
F0
/
A HH EO
HH
HH
g HHH h
#
Q ⊂ I∞
- 19
trong đó g là ánh x a → h−1 F0 (a).
Vì X đ nh chu n, g m r ng đư c thành ánh x G : X → I ∞ và theo b đ 2.2.2.4, h
m r ng đư c thành ánh x H : I ∞ → E. Ánh x H ◦ G : X → E hi n nhiên compact
và là m r ng c a F0 .
2.2.3 Các đ nh lý đi m b t đ ng c a Brouwer và Borsuk
Cho E là không gian đ nh chu n g m các ph n t là các dãy s th c {x1 , x2 , ...},
trong đó xn = 0 h u h t tr m t s h u h n v i chu n ||x|| = |xi |. Ký hi u
E n = {x ∈ E : xi = 0, ∀i > n};
K n = {x ∈ E n : ||x|| ≤ 1};
S n = {x ∈ E n+1 : ||x|| = 1}.
Do khuôn kh ti u lu n, ta th a nh n mà không ch ng minh 2 đ nh lý sau (Ph n
ch ng minh, đ c gi có th xem [1], trang 85-96).
Đ nh lý 2.2.3.1. (Brouwer) [1] M i ánh x liên t c F : K n → K n đ u có ít nh t
m t đi m b t đ ng.
Đ nh lý 2.2.3.2. (Borsuk 1) [1] Cho U là lân c n m , l i, đ i x ng, b ch n c a 0
trong E n , F : U → E n là ánh x b o toàn tính xuyên tâm trên ∂U , t c là −F (a) =
F (−a), ∀a ∈ ∂U . Khi đó F có đi m b t đ ng.
2.2.4 Đ nh lý đi m b t đ ng Schauder
Cho A là t p con c a không gian mêtric (X, d) và F : A → X . V i m i ε > 0, đi m
a ∈ A th a d(a, F (a)) < ε đư c g i là đi m ε-b t đ ng c a F .
M nh đ 2.2.4.1. [1] Cho A là t p con đóng c a không gian mêtric (X, d) và F :
A → X là ánh x compact. Khi đó F có đi m b t đ ng khi và ch khi nó có đi m ε-b t
đ ng v i m i ε > 0.
Ch ng minh. Đi u ki n c n là hi n nhiên. Ta ch ng minh đi u ki n đ . V i m i n =
1, 2, ..., xét an là 1/n-b t đ ng c a F . Do F compact nên không m t tính t ng quát, ta
nguon tai.lieu . vn