Xem mẫu
- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………..
LUẬN VĂN
Ứng dụng bài toán nội suy
Lagrange và khai triển Tatlor
- 1
Mu c Lu c
. .
Mo. d` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
’ ¯ˆa 3
1 C´c b`i to´n nˆi suy cˆ’ d iˆ’n
˙ ˙
a a a o o ¯e 6
.
1.1 B`i to´n nˆi suy Lagrange . . . .
aao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
.
1.1.1 Bai toan nˆi suy Lagrange
`´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
.
.c nˆi suy Lagrange
-
1.1.2 Da th´ ou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 B`i to´n nˆi suy Taylor . . . . . .
aao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
.
1.2.1 Bai toan nˆi suy Taylor .
`´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
.
.c nˆi suy Taylor . .
-
1.2.2 Da th´ ou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Bai toan nˆi suy Newton . . . . .
`´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
.
1.3.1 Bai toan nˆi suy Newton .
`´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
.
.c nˆi suy Newton .
-
1.3.2 Da th´ ou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Bai toan nˆi suy Hermite . . . . .
`´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
.
1.4.1 Bai toan nˆi suy Hermite .
`´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
.
.c nˆi suy Hermite .
-
1.4.2 Da th´ ou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Mˆt sˆ u.ng dung cua cˆng th´.c nˆi suy
´ ˙
’o
o o´ u o 13
. . .
´ u.ng dung cua cˆng th´.c nˆi suy Lagrange
˙o
’
2.1 Mˆt sˆ ´
oo uo . . . . . . . . . . . 13
. . .
.c nˆi suy Lagrange . . . . . . . .
2.1.1 Cˆng th´ o
o u. . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Mˆt sˆ u.ng dung . . . . . . . . . . . . . .
.´
o o´ . . . . . . . . . . . 18
.
.ng dung cua c´c cˆng th´.c nˆi suy kh´c
.´ ˙ao
’
2.2 Mˆt sˆ u
o o´ uo a . . . . . . . . . . . 28
. .
.c nˆi suy Taylor . . . . . . . . .
2.2.1 Cˆng th´ o
o u. . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Cˆng th´.c nˆi suy Newton . . . . . . . . .
o uo . . . . . . . . . . . 31
.
.c nˆi suy Hermite . . . . . . . .
2.2.3 Cˆng th´ o
o u. . . . . . . . . . . . 32
2.3 Bai tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
`a . . . . . . . . . . . 35
.
´.
3 U ng dung cˆng th´.c nˆi suy d e’ u.´.c lu.o.ng v` xˆp xı h`m sˆ
˙ ´ ˙a
’ ´
o u o ¯ˆ o aa o 38
. . .
.. ..
´
3.1 U ´ c lu o ng h`m sˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o a o . 38
.
.. ..
´
3.1.1 U ´ c lu o ng h`m sˆ theo c´c n´t nˆi suy Lagrange . . . . . .
o a o auo . 38
. .
.. ..
´
3.1.2 U ´ c lu o ng h`m sˆ theo c´c n´t nˆi suy Chebyshev . . . . .
o a o auo . 41
. .
´ phu.o.ng ph´p kh´c dˆ’ u.´.c lu.o.ng h`m sˆ . . . . . . . . . .
˙o ´
3.2 Mˆt sˆ
oo a a ¯e a o . 47
. .
3.3 Xˆ p xı ham sˆ theo d th´.c nˆi suy . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ ’` ´
a o ¯a u o . 50
.
- 2
3.4 Bai tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
`a .
´ ’
Kˆ t luˆn cua luˆn v˘n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
e a a a
. .
’
Tai liˆu tham khao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
`e .
- 3
Mo. d` u
’ ¯ˆa
` ` ’ ´ ¯i ´.’
Trong qua trı ´ `nh tı ´nh toan, nhiˆu khi ta cˆn phai xac d .nh gia tri cua mˆt ham
´ e a o`
.
’m tuy ´ cho tru.´.c, trong khi d´ d ` u kiˆn chı m´.i cho biˆ t mˆt
´ ´
’o
sˆ f (x) tai mˆt d iˆ
o o ¯e `y o ¯o ¯iˆ e e e o
. . . .
.i rac) cua ham sˆ va cua d ao ham ham sˆ dˆ n cˆ p nao d´ cua no tai
´ ´ ´ ´ ´ ` ¯o ’ ´ .
’` o ` ’ ¯. `
sˆ gia tri (r` .
o´.o ` o ¯e a
.´.c.
.´’
mˆt sˆ d iˆ m x1 , x2, · · · , xk cho tru o
o o ¯e
V´.i nh˜.ng tru.`.ng ho.p nhu. vˆy, ngu.`.i ta thu.`.ng tı cach xˆy du.ng mˆt ham
o u o a o o `m ´ a o`
. . . .
.n gian ho.n, thu.`.ng la cac d th´.c d ai sˆ , thoa ma n cac d iˆu kiˆn ˜ ´ ¯`
´ ´
’ ’
sˆ P (x) dang d o
o ¯ o ` ´ ¯a u ¯ . o e e
. .
.ng gia tri x ∈ R ma x khˆng trung v´.i x , x , · · · , x , thı
d˜ cho. Ngoai ra, tai nh˜
¯a ` u ´. ` o ` o12 `
. k
´’
P (x) ≈ f (x) (xˆ p xı theo mˆt d ˆ chı xac nao d´ ).
a o ¯o ´nh ´ ` ¯o
..
.o.c xˆy du.ng theo cach v`.a mˆ ta trˆn d .o.c goi la ham nˆi suy
´ o ’ e ¯u . . ` `
Ham sˆ P (x) d u . a
` o ¯ ´ u o
. .
.`.ng d .o.c goi la cac nut nˆi suy va bai toan
’
’
cua f (x); cac d iˆ m x1 , x2, · · · , xk thu o
´ ¯e ¯u . . ` ´ ´ o `` ´
.
.ng ham P (x) nhu. vˆy d .o.c goi la Bai toan nˆi suy.
xˆy du
a ` a ¯u . . ` ` ´ o
. . .
. dung ham (d th´.c) nˆi suy P (x), ta dˆ dang tı ´nh d .o.c gia tri tu.o.ng d o i
˜` ´
’
Su . ` ¯a u o e ¯u . ´. ¯ˆ
.
.´.c. T`. d´ , ta co thˆ tı ’
´ `
’`
´nh xac cua ham sˆ f (x) tai x ∈ R tuy ´ cho tru o
chı ´ o `y u ¯o ´ e ´nh gˆn a
.
’´e
d´ ng gia tri d ao ham va tı phˆn cua no trˆn R.
¯u ´ . ¯. ` ` ´ch a
Cac bai toan nˆi suy cˆ d iˆ n ra d o.i t`. rˆ t s´.m va d´ ng vai tro rˆ t quan trong
’’ ´ ´
´`´ o o ¯e ¯` u a o ` ¯o `a
. .
.c tˆ . Do d´ , viˆc nghiˆn c´.u cac bai toan nˆi suy la rˆ t co ´ nghı a. ˜
´ ´
trong thu e ¯o e eu´`´ o ` a ´y
. . .
˙ . cac tru.`.ng phˆ thˆng, ly thuyˆ t vˆ vˆ n d` nay khˆng d .o.c d` cˆp, nhu.ng
’´ ’o e ` a ¯ˆ `
´ e´
O o o ´ e o ¯u . ¯ˆ a e.
.ng u.ng dung so. cˆ p cua no cu ng ”ˆ n hiˆn” khˆng ´t, ch˘ng han trong cac
’
’ ´˜ ’
´
nh˜ u ´ a a e oı a ´
. . .
.o.ng trı .`.ng ho˘c phu.o.ng trı .c dang
’
phu `nh d o ¯u a `nh m˘t bˆc hai, trong cac d ang th´
aa ´ ¯˘ u
. . . .
.c va d ac biˆt la viˆc u.ng dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange va khai triˆ n ’
phˆn th´ ` ¯˘
a u e` e´ o uo ` e
. . . . .
’
Taylor d e giai mˆt sˆ bai toan kho trong cac d` thi hoc sinh gioi cac cˆ p.
.´ ´
¯ˆ ’ ’´a
oo` ´ ´ ´ ¯ˆ e .
.ng vˆ n d` co. ban nhˆ t vˆ
e `nh thanh mˆt chuyˆn d` chon loc nh˜ ´e a`
´e
’
Vı vˆy, viˆc hı
`a ` o e ¯ˆ . .
e u a ¯ˆ
. . .
cac bai toan nˆi suy, du.´.i goc d ˆ toan phˆ thˆng, d ac biˆt la nh˜.ng u.ng dung cua
’ ’
´`´ o o ´ ¯o ´ oo ¯˘ e` u ´
. . . . .
.n n˜.a, chuyˆn
.´ ´`a ` ´a ´
’
no trong qua trı
´ ´ `nh giai mˆt sˆ dang toan kho la rˆ t cˆn thiˆ t. Ho
oo. ´ e u e
’
¯ˆ ` ˜
d` nay cu ng co thˆ lam tai liˆu tham khao cho cac giao viˆn gioi va cac sinh viˆn
’ ’ `´
e ´ e` `e ´ ´ e e
.
nh˜.ng n˘m d` u cua bˆc d . i hoc.
a ¯ˆ ’ a ¯a .
u a .
´ tu.o.ng muˆ n thu.c hiˆn luˆn v˘n nay hı thanh tru.´.c khi cuˆ n sach chuyˆn
´ ´
Y’ o e a a ` `nh ` o o´ e
. . .
.i. Dˆy v`.a la mˆt thuˆn lo.i v`.a la mˆt kho kh˘n cho nˆ lu.c tı kiˆ m
khao [2] ra d ` - a u ` o ˜ ´
’ ¯o a.u`o ´a o . `m e
. . .
- 4
nh˜.ng ne m´.i cho luˆn v˘n cua tac gia, vı cuˆ n sach trˆn la mˆt tai liˆu rˆ t quı
´ .´
’´ ’`o´
u ´t o aa e`o`ea ´
. .
. chu.a co mˆt tai liˆu toan so. cˆ p nao d` cˆp d e n vˆ n d`
¯o ` ´ ` ¯ˆ a ¯ˆ a ¯ˆ
´´e
gia, trong khi d´ hˆu nhu
´ a ´o`e ´ a e.
. .
nay mˆt cach tron ve n. Do d´ , luˆn v˘n khˆng qua d` cˆp sˆu vˆ ly thuyˆ t ma cˆ
´ ¯ˆ a a ` ´ ´ ´
` o´ ¯o a a o e. e e `o
. . . .
g˘ng tı kiˆ m nh˜.ng u.ng dung cua no vao viˆc giai va sang tac cac bai tˆp o. phˆ ’
´ ´ ’ ´` ’ `´ ´´ `a’
a `m e u´ e o
. . .
thˆng, d ac biˆt la nh˜.ng u.ng dung thu.`.ng g˘p cua cˆng th´.c nˆi suy Lagrange va
’o
o ¯˘ e` u ´ o a uo `
. . . . .
’
khai triˆ n Taylor.
e
Luˆn v˘n day 56 trang, gˆm cac phˆn Muc luc, Mo. d` u, ba chu.o.ng nˆi dung,
` ` ’ ¯ˆ
aa` o ´ a a o
. .. .
´ ’
kˆ t luˆn va tai liˆu tham khao:
e a `` e
. .
Chu.o.ng 1: Cac bai toan nˆi suy cˆ d iˆ n.
’’
´`´ o o ¯e
.
Nˆi dung chu.o.ng nay trı `nh bay mˆt cach co. ban nhˆ t vˆ cac bai toan nˆi suy
a `´ ` ´
´e
’
o ` ` o´ o
. . .
’’
cˆ d iˆ n, d´ la Bai toan nˆi suy Lagrange, Bai toan nˆi suy Taylor, Bai toan nˆi suy
o ¯ e ¯o ` ` ´ o `´o `´o
. . .
Newton va Bai toan nˆi suy Hermite.
`` ´ o.
Chu.o.ng 2: Mˆt sˆ u.ng dung cua cˆng th´.c nˆi suy.
.´ ’o
o o´ uo
. .
- ˆy la mˆt trong nh˜.ng nˆi dung trong tˆm cua luˆn v˘n. V´.i tˆm quan trong
o`
’
Da ` o u o a aa a
. . . . .
. phˆ thˆng, cˆng th´.c nˆi suy Lagrange va nh˜.ng u.ng dung cua no d .o.c d` cˆp
’
’ ’ ´ ¯u . ¯ˆ a
o oo o uo `u´ e.
. .
.o.ng nay v´.i nh˜.ng phu.o.ng phap giai toan kha d a
` ’´
thanh mˆt phˆn riˆng trong chu
` o a e `o u ´ ´¯
.
dang va mˆt sˆ lu.o.ng bai tˆp d` xuˆ t kha phong phu. Nhiˆu d ˘ng th´.c du.´.i dang
e’
.´ e´ ` ¯a
`oo . ` a ¯ˆ a ´ ´ u o.
. .
.c co nguˆn gˆ c t`. cˆng th´.c nˆi suy Lagrange d˜ d u.o.c luˆn v˘n phat
` ´
phˆn th´ ´
a u o o uo uo ¯a ¯ . aa ´
. .
.o.c giai b˘ ng
hiˆn. Nhiˆu bai toan thi chon hoc sinh gioi quˆ c gia va quˆ c tˆ d˜ d u . `
``´ ´ ´´
’ ’a
e e o ` o e ¯a ¯
. . .
cach ´ p dung cˆng th´.c nˆi suy nay. Phˆn con lai cua chu.o.ng trı
``.’ .´
´a o uo ` a `nh bay mˆt sˆ
` oo
. .
.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy con lai. Mˆt sˆ bai tˆp danh cho ban d c cu ng
. ¯o ˜
.´
’´o
u
´ uo `. oo`a `
. . . .
.o.c gi´.i thiˆu o. phˆn cuˆ i chu.o.ng.
e’ ` ´
du .
¯ o a o
.
´.
Chu.o.ng 3: U ng dung cˆng th´.c nˆi suy dˆ u.´.c lu.o.ng va xˆ p xı ham sˆ .
’ ´ ´
`a ’`
o uo ¯e o o
. . .
.o.ng nay tach riˆng mˆt u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy dˆ u.´.c lu.o.ng ’
’´o
Chu `´ e o´ uo ¯e o
. . . .
. phˆ thˆng liˆn quan d e n vˆ n d` nay
’o
´ ’` ´ .´ ´ a ¯ˆ `
´e
´’
va xˆ p xı ham sˆ . Mˆt sˆ dang toan kho o
`a o oo. ´ o e ¯ˆ
.o.c d` cˆp, trong d´ co nh˜.ng bai trong cac d` thi chon hoc sinh gioi quˆ c
d˜ d u . ¯ˆ a ´
’
¯a ¯ e. ¯o ´ u ` ´ ¯ˆ e o
. .
.o.c d ˘ng tai trong cac ky yˆ u hˆi
gia va quˆ c tˆ . Mˆt sˆ phˆn cua luˆn v˘n d˜ d u . ¯a
´´ oo`
.´a ´o
’ ’ ’e
`oe a a ¯a ¯ ´
. .
’ ng han [1].
nghi chuyˆn nganh, ch˘
e ` a
. .
.o.c hoan thanh nh`. su. hu.´.ng dˆn khoa hoc va nhiˆt tı cua Tiˆ n
˜ ´
e `nh ’
Luˆn v˘n d .
a a ¯u ` ` o. o a .` e
. .
.`.i Thˆy rˆ t nghiˆm kh˘c va tˆn tˆm trong cˆng viˆc,
-`
˜ ´
´ `a
a´
sy Trinh Dao Chiˆ n - Ngu o
e e a `a a o e
. . .
.c quı bau cu ng nhu. kinh nghiˆm nghiˆn c´.u khoa hoc
˜
` ¯. ` ´
truyˆn d at nhiˆu kiˆ n th´
e e e u ´´ e eu
. .
.i gian nghiˆn c´.u d` tai. Chı
´ ´
’ o ’`
trong suˆ t th`
o o e u ¯ˆ ` e ´nh vı vˆy ma tac gia luˆn to long biˆ t
`a `´ e
.
.n chˆn thanh va sˆu s˘c d ˆ i v´.i Thˆy giao hu.´.ng dˆn - Tiˆ n sy Trinh Dao Chiˆ n.
e ˜ . -`
´´ ˜
` ´ ´
o a ` ` a a ¯o o a´ o a e
- 5
Nhˆn d ˆy, tac gia xin d .o.c bay to long biˆ t o.n chˆn thanh d e n: Ban Giam
´ ´
’ ` ’`
a ¯a ´ ¯u . e a ` ¯ˆ ´
.`.ng Dai hoc Qui
¯` . - . . ` -. . -. .
’
Hiˆu, Phong d ao tao Dai hoc va sau Dai hoc, Khoa toan cua tru o
e ` ´
.
.n, cung quı thˆy cˆ giao d˜ tham gia giang day va hu.´.ng dˆn khoa hoc cho ˜
´ ` o ´ ¯a ’
Nho ` a .` o a .
.p cao hoc toan khoa 8. UBND tı nh, So. giao duc va d `o tao tı nh Gia Lai, Ban
’ ’´ . ` ¯a . ’
l´
o ´ ´
.
.`.ng THPT Ia Grai d˜ cho tac gia co. hˆi hoc tˆp, cung v´.i quı thˆy ´`
’
Giam Hiˆu tru o
´ e ¯a ´ o.a ` o a
. . .
.`.ng d˜ d ong viˆn, se chia cˆng viˆc va tao moi d ` u kiˆn thuˆn
’ ’
cˆ giao cua nha tru o
o´ ` ¯a ¯ˆ e o e `. . ¯iˆ e e a
. . . .
.i d e tac gia nghiˆn c´.u va hoan thanh luˆn v˘n nay.
’´ ’
lo ¯ˆ eu`` ` aa`
. .
Trong qua trı hoan thanh luˆn v˘n, tac gia con nhˆn d .o.c su. quan tˆm d ong
’`
´ `nh ` ` aa´ a ¯u . . a ¯ˆ
. . .
.p cao hoc khoa VII, VIII,
viˆn cua cac ban d` ng nghiˆp, cac anh chi em trong cac l´
e ’ ´ . ¯ˆ o e´ ´o ´
. . .
.`.ng Dai hoc Qui Nho.n. Tac gia xin chˆn thanh cam o.n tˆ t ca nh˜.ng
-. . ´
’ ’ ’ a’u
XIX cua tru o ´ a `
. quan tˆm d ˆng viˆn d´ .
su a ¯o e ¯o
. .
-e `
’
Dˆ hoan thanh luˆn v˘n nay, tac gia d˜ tˆp trung rˆ t cao d o trong hoc tˆp va
´
’ ¯a a
` aa`´ a ¯ˆ a`
. . . .
.u khoa hoc, cu ng nhu. rˆ t cˆ n thˆn trong nhˆn chˆ ban. Trong d´ ´t nhiˆu
’
˜ ´a ´’ `
nghiˆn c´
eu a a a e ¯o ı e
. .
.i gian cu ng nhu. trı .c hiˆn
’
˜
e` o
´e ´
han chˆ vˆ th` `nh d o hiˆ u biˆ t nˆn trong qua trı
¯ˆ e ee ´ `nh thu e
. . . .
.ng thiˆ u sot, tac gia rˆ t mong nhˆn d .o.c su. chı bao cua
’ ´ ´
’ ’a a ¯u . . ’ ’ ’
khˆng thˆ tranh khoi nh˜
o e´ u e´´ .
quı thˆy cˆ va nh˜.ng gop ´ cua ban d . c dˆ luˆn v˘n d .o.c hoan thiˆn ho.n.
’.
´ ` o` u ´y’
a . ¯o ¯e a a ¯u . ` e.
Quy Nho.n, thang ... n˘m 2008
´ a
’
Tac gia
´
- 6
Chu.o.ng 1
C´c b`i to´n nˆi suy cˆ’ d e’n
˙ ˙
a a a o o ¯iˆ
.
Trong chu.o.ng nay, luˆn v˘n d` cˆp mˆt sˆ bai toan nˆi suy cˆ d iˆ n se su. dung
’’
o ¯e ˜ ’ .
.´
` a a ¯ˆ a e. oo` ´ o
. .
o. cac chu.o.ng sau, d´ la: Bai toan nˆi suy Lagrange, Bai toan nˆi suy Taylor, Bai
’´ ¯o ` ` ´ o ´ o `
. .
.i giai cho cac bai toan nay la
’
toan nˆi suy Newton va Bai toan nˆi suy Hermite. L`
´ o `` ´ o o ´`´ ``
. .
.c nˆi suy tu.o.ng u.ng ma ch´.ng minh chi tiˆ t d˜ d u.o.c trı bay trong [2]
´
cac d th´ o
´ ¯a u . ´ `u e ¯a ¯ . `nh `
1.1 B`i to´n nˆi suy Lagrange
a a o
.
1.1.1 Bai toa n nˆi suy Lagrange
` ´ o
.
Cho cac sˆ thu.c xi , ai, v´.i xi = xj , v´.i moi i = j, i, j = 1, 2, · · · , N . Ha y xac
˜´
´
´o. o o .
.c L(x) co bˆc degL(x) ≤ N − 1 va thoa cac d iˆu kiˆn
` ’ ´ ¯`
d. nh d a th´
¯i ¯ u ´a e e
. .
L(xi ) = ai , ∀i = 1, 2, · · · , N
.
Da th´.c nˆi suy Lagrange
-
1.1.2 u o
.
Ky hiˆu
´e .
N
x − xj
L i ( x) = ; i = 1, 2, · · · , N.
xi − xj
j =1,j =i
Khi d´ , d th´.c
¯o ¯a u
N
L ( x) = ai Li (x)
i=1
la d th´.c duy nhˆ t thoa ma n d ` u kiˆn cua bai toan nˆi suy Lagrange va ta goi
˜ ¯iˆ
´ ’ ’`´
` ¯a u a e e o `
. . .
.c nay la d a th´.c nˆi suy Lagrange.
d a th´ ` ` ¯
¯ u uo .
- 7
1.2 B`i to´n nˆi suy Taylor
a a o
.
1.2.1 Bai toa n nˆi suy Taylor
` ´ o
.
Cho cac sˆ thu.c x0 , ai, v´.i i = 0, 1, · · · , N − 1. Ha y xac d. nh d a th´.c T (x) co
˜ ´ ¯i ¯
´
´o. o u ´
˜ ´ ¯`
`’
bˆc degT (x) ≤ N − 1 va thoa ma n cac d iˆu kiˆn
a e e
. .
T i (x0) = ai , ∀i = 0, 1, · · · , N − 1.
Da th´.c nˆi suy Taylor
-
1.2.2 u o
.
Da th´.c
- u
N −1
ai
( x − x0 ) i
T ( x) =
i!
i=0
la d a th´.c duy nhˆ t thoa ma n d ` u kiˆn cua bai toan nˆi suy Taylor va goi d th´.c
˜ ¯iˆ
´ ’ e’`´o
`¯ u a e ` . ¯a u
. .
.c nˆi suy Taylor.
nay la d a th´ o
` `¯ u.
1.3 Bai toan nˆi suy Newton
` ´ o
.
1.3.1 Bai toa n nˆi suy Newton
` ´ o
.
Cho cac sˆ thu.c xi , ai, v´.i i = 1, 2, · · · , N . Ha y xac d. nh d a th´.c N (x) co bˆc
˜ ´ ¯i ¯
´
´o. o u ´a .
˜ ´ ¯`
`’
degN (x) ≤ N − 1 va thoa ma n cac d iˆu kiˆn
e e
.
i −1
N (xi ) = ai , ∀i = 1, 2, · · · , N.
Da th´.c nˆi suy Newton
-
1.3.2 u o
.
Ky hiˆu
´e .
x t t1 ti−2
Ri (x1, x2 , · · · , xi , x) = ··· dti−1 ...dt2.dt1.dt; i = 1, 2, · · · , N.
x1 x2 x3 xi
khi d´ , d a th´.c
¯o ¯ u
N
aiRi−1 (x1, x2 , ..., xi−1, x)
N ( x) =
i=1
= a1 + a2 R(x1 , x) + a3 R2 (x1, x2, x) + · · · + aN RN −1 (x1, · · · , xN −1, x)
la d a th´.c duy nhˆ t thoa ma n d ` u kiˆn cua bai toan nˆi suy Newton va ta goi d
˜ ¯iˆ
´ ’ e’`´
`¯ u a e o ` . ¯a
. .
th´.c nay la d a th´.c nˆi suy Newton
u ` `¯ uo .
- 8
Nhˆn xe t 1.1. V´.i xi = x0 , v´.i moi i = 1, 2, · · · , N , thı
a´ o o `
.
.
Ri (x0 , x1, · · · , xi−1, x) = Ri x0, · · · , x0, x
`
i lˆn
a
x t t1 ti−2
= ··· dti−1 ...dt2.dt1.dt
x0 x0 x0 x0
( x − x0 ) i
; v´.i i = 1, 2, · · · , N
= o
i!
Khi d´
¯o
N
aiRi x0, · · · , x0, x =
N ( x) =
i=1
`
i lˆn
a
= a0 + a1 R(x0 , x) + a2 R2 (x0, x0 , x) + · · · + aN −1 RN −1 x0, · · · , x0, x
`
lˆn
a
N −1
2 N −1
( x − x0 ) ( x − x0 )
= a0 + a1 (x − x0 ) + a2 + · · · + aN −1
2 (N − 1)!
N −1
( x − x0 ) i
= ai ≡ T ( x) .
i!
i=0
Vˆy, v´.i xi = x0, ; ∀i = 1, 2, · · · , N , thı d a th´.c nˆi suy Newton chı la d a th´.c
a o `¯ uo ´nh ` ¯ u
. .
nˆi suy Taylor.
o
.
1.4 Bai toan nˆi suy Hermite
` ´ o
.
1.4.1 Bai toa n nˆi suy Hermite
` ´ o
.
Cho cac sˆ thu.c xi , aki , i = 1, 2, · · · , n; k = 0, 1, · · · , pi − 1 va xi = xj , v´.i
´
´o. ` o
moi i = j , trong d´ p1 + p2 + · · · + pn = N . Ha y xac d. nh d a th´.c H(x) co bˆc
˜ ´ ¯i
¯o ¯ u ´a
. .
˜ ´ ¯`
`’
degH (x) ≤ N − 1 va thoa ma n cac d iˆu kiˆn
e e
.
H (k) (xi ) = aki , ∀i = 1, 2, · · · , n; ∀k = 0, 1, · · · , pi − 1
Da th´.c nˆi suy Hermite
-
1.4.2 u o
.
Ky hiˆu
´e . n
( x − x j ) pj ;
W ( x) =
j =1
- 9
n
W ( x)
(x − xj )pj ; i = 1, 2, · · · , n
W i ( x) = =
pi
( x − xi ) j =1,j =i
Goi d oan khai triˆ n Taylor d e n cˆ p th´. pi − 1 − k , v´.i k = 0, 1, · · · , l; l =
’ ´a ´
. ¯. e ¯ˆ u o
1
´
’`
0, 1, · · · , pi − 1, tai x = xi cua ham sˆ
o (i = 1, 2, · · · , n) la
`
. W i ( x)
(pi −1−k ) (l)
pi − 1− k
( x − xi ) l
1 1
T = .
W i ( x) W i ( x) l!
l=0
(x=xi ) (x=xi )
khi d´ , d a th´.c
¯o ¯ u
(pi −1−k )
pi − 1
n
( x − xi ) k 1
H ( x) = aki W i ( x) T .
k! W i ( x)
i=1 k =0 (x=xi )
la d a th´.c duy nhˆ t thoa ma n d ` u kiˆn cua bai toan nˆi suy Hermite va ta goi d
˜ ¯iˆ
´ ’ e’`´
`¯ u a e o ` . ¯a
. .
th´.c nay la d a th´.c nˆi suy Hermite.
u ` `¯ uo .
Nhˆn xe t 1.2.
a´
.
V´.i n = 1, thı i = 1 va p1 = N . Khi d´ , ta co
o ` ` ¯o ´
W ( x) = ( x − x1 ) N ;
W ( x)
W 1 ( x) = = 1.
( x − x1 ) N
’
Do d´ , d oan khai triˆ n
¯o ¯ . e
(N −1−k )
1 (N −1−k )
T =T 1 = 1.
W 1 ( x) (x=x1 )
(x=x1 )
Khi d´ , ta co
¯o ´
N −1
( x − x1 ) k
H ( x) = ak1 ≡ T ( x) .
k!
k =0
Vˆy, v´.i n = 1, thı d a th´.c nˆi suy Hermite chı la d th´.c nˆi suy Taylor.
a o `¯ uo ´nh ` ¯a u o
. . .
Nhˆn xe t 1.3.
a´
.
V´.i k = 0, thı pi = 1, v´.i moi i = 1, 2, · · · , n. Khi d´
o ` o ¯o
.
p1 + p2 + · · · + pn = N,
- 10
hay n = N . Do d´ , ta co
¯o ´
N
W ( x) = (x − xj );
j =1
N
W i ( x) = (x − xj ), i = 1, 2, · · · , N.
j =1,j =i
’
khi d´ , d oan khai triˆ n Taylor
¯o ¯ . e
0
1 1 1
T = = , i = 1, 2, · · · , N.
N
W i ( x) W i ( xi )
( xi − xj )
(x=xi )
j =1,j =i
Vˆy, ta co
a ´
.
N N
x − xj
H ( x) = a0i ≡ L ( x) .
xi − xj
i=1 j =1,j =i
Vˆy, v´.i k = 0, thı d a th´.c nˆi suy Hermite chı la d th´.c nˆi suy Lagrange.
a o `¯ uo ´nh ` ¯a u o
. . .
.`.ng ho.p tˆ ng quat, viˆc biˆ u diˆn d a th´.c Hermite kha ph´.c tap. Du.´.i
’ ’ ˜¯
Trong tru o .o ´ e e e u ´u. o
.
.`.ng ho.p riˆng d .n gian khac cua d th´.c nˆi suy Hermite, khi
’ ’ ¯a u o
d ˆy la mˆt vai tru o
¯a ` o ` e ¯o ´
. . .
.a d ao ham bˆc nhˆ t.
e ¯` ´
’u
hˆ d iˆu kiˆn chı ch´ ¯ . `
.e e a a
. .
Nhˆn xe t 1.4.
a´
.
Nˆ u pi = 2, v´.i moi i = 1, 2, · · · , n, thı khi d´ k = 0 ho˘c k = 1.
´
e o ` ¯o a
. .
.i k = 0, ta co
+ V´
o ´
(pi −1−k ) (1) 1
( x − xi ) l
1 1 1 (l)
T =T =
W i ( x) W i ( x) W i ( x) l!
(x=xi )
l=0
(x=xi ) (x=xi )
1 W ( xi )
− i2
= ( x − xi )
W i ( xi ) W i ( xi )
1 W ( xi )
(x − xi ) , v´.i i = 1, 2, · · · , n.
1− i
= o
W i ( xi ) W i ( xi )
+ V´.i k = 1, ta co
o ´
(pi −1−k ) (0) 0
( x − xi ) l
1 1 1 (l)
T =T =
W i ( x) W i ( x) W i ( x) l!
(x=xi )
l=0
(x=xi ) (x=xi )
1 W ( xi ) 1
− i2
= ( x − xi ) = .
W i ( xi ) W i ( xi ) W i ( xi )
- 11
Khi d´ , ta co
¯o ´
(pi −1−k )
n 1
( x − xi ) k 1
H ( x) = aki W i ( x) T
k! W i ( x)
i=1 k =0 (x=xi )
(1) (0)
n
1 1
= a0i Wi (x)T +a1i(x − xi)Wi (x)T
W i ( x) W i ( x)
i=1 (x=xi ) (x=xi )
n
1 W ( xi ) 1
1− i
= Wi (x) a0i (x − xi ) +a1i(x − xi)
W i ( xi ) W i ( xi ) W i ( xi )
i=1
n
W i ( x) W ( xi )
a0i 1 − i
= (x − xi) +a1i(x − xi )
W i ( xi ) W i ( xi )
i=1
n
W i ( x) W ( xi )
a0i − a0i i
= − a1i (x − xi ) .
W i ( xi ) W i ( xi )
i=1
Ngoai ra, trong phˆn bai toan nˆi suy Lagrange, ta d˜ biˆ t r˘ ng
´`
`
` a`´ o ¯a e a
.
n
x − xj
L i ( x) = ; i = 1, 2, · · · , n
xi − xj
j =1,j =i
va
`
1, khi i = j
L i ( xj ) =
0, khi i = j.
Do d´
¯o
Li (xi ) ≡ 1, ∀i = 1, n.
Vˆy
a
. n
( x − xj ) 2
W i ( x)
= L2 (x); i = 1, n.
= i
2
Wi (xi ) j =1,j =i (xi − xj )
Dao ham theo x hai vˆ cua d ˘ng th´.c trˆn, ta d u.o.c
-. ` ’
´
e ’ ¯a u e ¯.
W i ( x)
= 2Li (x)Li (x) = 2Li (xi ).
W i ( xi )
Do d´ , d a th´.c nˆi suy Hermite trong tru.`.ng ho.p nay co dang
¯o ¯ uo o `´.
. .
n
L2 (x) a0i − 2a0i Li (xi ) − a1i (x − xi ) .
H ( x) = i
i=1
Du.´.i d ay la mˆt vai minh hoa cho viˆc vˆn dung cac cˆng th´.c nˆi suy (do tac
o ¯ˆ ` o ` ea ´o uo ´
. . .. . .
’´
gia sang tac)
´
- 12
Bai toa n 1.1. Cho d a th´.c P (x) bˆc 4, thoa ma n cac d iˆu kiˆn sau:
˜ ´ ¯`
’
` ´ ¯ u a e e
. .
P (−1) = 3a + 1 (a > 0) ; P (0) = 0;
P (3) (−2) = −48;
P (1) = 4(3 + a);
P (4)(2008) = 24.
Ch´.ng minh r˘ ng:
`
u a
Q(x) = P (x) + P (x) + P (x) + P (3)(x) + P (4)(x) > 0. ∀x ∈ R.
Giai. Ap dung cˆng th´.c nˆi suy Taylor (v´.i N = 3), ta tı d .o.c
’´ o uo o `m ¯u .
. .
P (x) = x4 + 2ax2 + a (a > 0)
Suy ra:
P (x) = 4x3 + 4ax ;
P (x) = 12x2 + 4a ;
P (3)(x) = 24x ;
P (4)(x) = 24 .
Do d´ :
¯o
Q(x) = (x2 + 2x)2 + 2a(x + 1)2 + 3a + 8(x2 + 3x + 3) > 0, ∀x ∈ R
Bai toa n 1.2. Cho d a th´.c P (x) bˆc n, thoa ma n:
˜
’
` ´ ¯ u a
.
P (2007) < 0; −P (2007) ≤ 0, P (2007) ≤ 0, · · · , (−1)n P (n) ≤ 0;
P (2008) > 0, P (2008) ≥ 0, P (2008) ≥ 0, · · · , P (n) (2008) ≥ 0.
Ch´.ng minh r˘ ng cac nghiˆm thu.c cua P (x) thuˆc (2007; 2008).
` ’
u a ´ e o
. . .
Giai. Ap dung cˆng th´.c nˆi suy Taylor, ta co:
’´ o uo ´
. .
P (n) (b)
P (b) P (b)
(x − b)n , v´.i b = 2008.
(x − b)2 + · · · +
P (x) = P (b) + (x − b) + o
1! 2! n!
´
Do d´ , Nˆ u x ≥ b thı P (x) khˆng co nghiˆm x ≥ b.
¯o e ` o ´ e.
.i a = 2007, ´ p dung cˆng th´.c nˆi suy Taylor, ta co
V´
o a o uo ´
. .
(−1)n P (n) (a)
−P (a) P (a)
( a − x) 2 + · · · + ( a − x) n .
P (x) = P (a) + ( a − x) +
1! 2! n!
´
Do d´ , nˆ u x < a thı P (x) khˆng co nghiˆm x ≤ a.
¯o e ` o ´ e
.
’
Vˆy cac nghiˆm phai thuˆc (2007; 2008).
a´ e o
. . .
- 13
Chu.o.ng 2
Mˆt sˆ u.ng dung cua cˆng th´.c
´ ˙
’o
o o´ u
. .
nˆi suy
o
.
Chu.o.ng nay trı bay mˆt sˆ u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy, trong d´ d`
.´ ’´o
` `nh ` o o´ uo ¯o ¯ˆe
. .
cˆp sˆu ho.n d o i v´.i cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, cˆng th´.c co nhiˆu u.ng dung dˆ ’
´ `´
aa ¯ˆ o o uo o u´ e ¯e
. . .
giai mˆt sˆ bai toan kho o. hˆ phˆ thˆng chuyˆn toan.
’
.´
’ ´’ e o o
oo` ´ e ´
.
.ng dung cˆng th´.c nˆi suy trong u.´.c lu.o.ng va xˆ p xı ham sˆ la hai
Vˆ n d` u
´ ´ ’` ´
a ¯ˆ ´ e o uo o `a o`
. . .
nˆi dung quan trong va tu.o.ng d o i kho, v´.i nh˜.ng ky thuˆt ch´.ng minh kha ph´.c
˜
´
o ` ¯ˆ ´o u a u ´ u
. . .
.o.c trı bay o. chu.o.ng sau.
`nh ` ’
tap, d .
. ¯u
Mˆt sˆ u.ng dung cua cˆng th´.c nˆi suy La-
´ ˙
’
2.1 o o´ o u o
. . .
grange
Cˆng th´.c nˆi suy Lagrange
2.1.1 o u o
.
-. ˜ ´ ´
Dinh nghı a 2.1. Cho n sˆ x1 , x2, · · · , xn phˆn biˆt va n sˆ a1, a2, · · · , an tuy ´ .
o a e` o `y
.
Thˆ thı tˆn tai duy nhˆ t mˆt d a th´.c P (x) v´.i bˆc khˆng vu.o.t qua n − 1, thoa ma n
˜
e `` .
´ ´ o¯ ’
o a u oa o ´
. . .
P (xj ) = aj ; ∀j = 1, 2, · · · , n. (2.1)
Da th´.c co dang
- u´.
n n
x − xi
aj (2.2)
xj − xi
j =1 i=1,ı=j
Da th´.c (2.2) d u.o.c goi la d a th´.c nˆi suy Lagrange ho˘c cˆng th´.c nˆi suy
- u ¯. . `¯ u o ao u o
. . .
´ x1 , x2, · · · , xn d u.o.c goi la cac nut nˆi suy.
Lagrange. Cac sˆ
´o ¯. . `´ ´ o .
- 14
+ V´.i n = 2, d a th´.c d´ la
o ¯ u ¯o `
x − x2 x − x1
P (x) = a1 + a2 . (2.3)
x1 − x2 x2 − x1
´
`a ’
Ky hiˆu degP (x) la bˆc cua P (x). Thˆ thı
´e e`
. .
degP (x) ≤ 1 va P (x1 ) = a1 ; P (x2) = a2.
`
+ V´.i n = 3, d a th´.c d´ la
o ¯ u ¯o `
(x − x2 )(x − x3 ) (x − x3 )(x − x1) (x − x1)(x − x2)
P (x) = a1 + a2 + a3 . (2.4)
(x1 − x2 )(x1 − x3) (x2 − x3 )(x2 − x1) (x3 − x1)(x3 − x2)
˜`
Ro rang degP (x) ≤ 2 va P (x1) = a1, P (x2 ) = a2 ), P (x3) = a3.
`
. cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, ta co
( ) T` o
u uo ´
.
Dinh nghı a 2.2. Cho n sˆ x1 , x2, · · · , xn phˆn biˆt. Thˆ thı moi d a th´.c P (x) v´.i
-. ˜ ´ ´
o a e e ` .¯ u o
.
bˆc khˆng vu.o.t qua n − 1 d` u co thˆ viˆ t du.´.i dang
´
a o ´ ¯ˆ ´ e e
e o.
. .
n n
x − xi
P ( x) = P ( xj ) . (2.5)
xj − xi
j =1 i=1,i=j
´ ˜ `nh .
Nhˆn xe t 2.1. (Y nghı a hı hoc)
a´
.
Da th´.c (2.3) va (2.4) kha quen thuˆc trong chu.o.ng trı
- ’
u ` ´ o `nh toan phˆ thˆng. Ta
´ oo
.
thu. d i tı ´ nghı a hı hoc cua chung, ch˘ng han (2.4).
˜ `nh . ’
’ ¯ `m y ’ ´ a .
. r˘ ng, trˆn m˘t ph˘ng toa d o Oxy cho 3 d e m A(x ; y ), B (x ; y ), C (x ; y ),
’
’’` ’
Gia su a e a a . ¯ˆ ¯iˆ
. . 11 22 22
.i x , x .x khac nhau t`.ng d oi mˆt.
v´ 1 2 3 ´
o u ¯ˆ o .
´ thı theo (2.1) va (2.2) tˆn tai duy nhˆ t mˆt d u.`.ng cong y = P (x), trong
`. ´
Thˆ `,
e ` o a o ¯o
.
.c v´.i degP (x) ≤ 2, thoa ma n˜
’
d´ la d a th´ o
¯o ` ¯ u
P (x1) = y1 (nghı a la d .`.ng cong qua d e m A);
’
˜ ` ¯u o ¯iˆ
P (x2) = y2 (nghı a la d .`.ng cong qua d e m B);
’
˜ ` ¯u o ¯iˆ
P (x3 ) = y3 (nghı a la d .`.ng cong qua d iˆ m C).
’
˜ ` ¯u o ¯e
Ho.n n˜.a, d u.`.ng cong con co phu.o.ng trı cu thˆ la y = P (x), tron d´ P (x) co
’
u ¯o `´ `nh . e ` ` ¯o ´
.´
dang (2.4) va cac hˆ sˆ aj chı la yj , j = 1, 2, 3.
`´ eo ´nh `
.
.i degP (x) = 2, d` thi y = P (x) la parabol d qua 3 d e m A, B, C.
’
+ V´o ¯ˆ .
o ` ¯i ¯iˆ
.i degP (x) = 1, d` thi y = P (x) la d .`.ng th˘ng d qua 3 d e m A, B, C,
’
’
+ V´o ¯ˆ .
o ` ¯u o a ¯i ¯iˆ
khˆng cung phu.o.ng v´.i truc hoanh.
o ` o `
.
- 15
+ V´.i degP (x) = 0, d` thi y = P (x) la d .`.ng th˘ng d qua 3 d e m A, B, C, ’
’
o ¯ˆ .
o ` ¯u o a ¯i ¯iˆ
cung phu.o.ng v´.i truc hoanh.
` o `
.
.i cac minh hoa trˆn ta thˆ y r˘ ng, cˆng th´.c nˆi suy Lagrange chı la ”cac
a`
´a
V´ ´
o e o uo ´nh ` ´
. .
gˆ c” cua mˆt sˆ phu.o.ng trı `nh d u.`.ng cong (ho˘c d u.`.ng th˘ng) d i qua cac d e m
’
’
´ .´
’
o oo ¯o a ¯o a ¯ ´ ¯iˆ
.
cho tru.´.c trong m˘t ph˘ng toa d ˆ.
’
o a a . ¯o
. .
.´.i goc d o hı hoc.
-o ` ´ o ´
D´ la ”cai gˆ c” nhı du o ´ ¯ˆ `nh .
`n .
.´.i d ay, v´.i mˆt goc nhı khac, cˆng th´.c nˆi suy Lagrange con la ”cai gˆ c” cua ´ ’
Du o ¯ˆ o o´ `n ´ o uo ``´o
. .
.c dang phˆn th´.c.
hˆu hˆ t cac d` ng nhˆ t th´ .
` ´ ´
a e ´ ¯ˆ o a u a u
Nhˆn xe t 2.2.
a´
.
V´.i d a th´.c P (x) co degP (x) ≤ n − 1 cho tru.´.c, cac sˆ aj trong (2.2) d .o.c thay
´
o¯ u ´ o´o ¯u .
.i P (x ), v´.i j = 1, 2, · · · , n.
’
bo o
j
. ta thu. d i tı mˆt u.ng dung cua (2.5).
’ ¯ `m o ´ ’
Bˆy gi`
a o . .
Gia su. x1 , x2, · · · , xn la n sˆ thu.c phˆn biˆt, n ≥ 2. Xe d a th´.c
´.
’’ ` o a e ´t ¯ u
.
n
P ( x) = xn − ( x − xi ) . (2.6)
i=1
Da th´.c nay d u.o.c khai triˆ n du.´.i dang
- ’
u `¯. e o.
P (x) = S1 xn−1 − S2 xn−2 + S3 xn−3 − · · · + (−1)n+1 Sn , (2.7)
trong d´
¯o
S 1 = x1 + x2 + · · · + xn ;
S 2 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + · · · + x n −1 x n ;
(2.8)
···
S n = x1 x2 · · · xn
Bo.i (2.7), ta thˆ y r˘ ng degP (x) ≤ n − 1.
a`
´a
’
. dang (2.6), ta co
Ngoai ra, t` .
` u ´
P (xj ) = xn ; ∀j ∈ {1, 2, · · · , n}.
j
T`. d´ , ´ p dung (2.5), ta co
u ¯o a ´
.
n n
x − xi
xn (2.9)
j
xj − xi
j =1 i=1,i=j
- 16
Dˆ thˆ y r˘ ng vˆ phai cua (2.9) la d a th´.c co hˆ sˆ du.ng tru.´.c xn−1 la
˜a`
e´a ´ .´
’’
e `¯ u ´ e o ¯´ o `
n
xn j
. (2.10)
n
i=1,i=j (xj − xi )
j =1
Bo.i (2.7), (2.8), (2.9), (2.10), ta co
’ ´
n n
xn j
= xj . (2.11)
n
i=1,i=j (xj − xi )
j =1 j =1
D˘ng th´.c (2.11) la mˆt d ˘ng th´.c liˆn quan d e n phˆn th´.c, thu.`.ng g˘p trong
-a ’ .’ ´
u ` o ¯a ue ¯ˆ a u o a
.
.o.ng trı toan phˆ thˆng.
’o
chu `nh ´ o
. minh hoa mˆt vai tru.`.ng ho.p riˆng cua cˆng th´.c (2.11).
’ ’o
Ta thu o` o e u
. . .
.i n = 2, ta co
+ V´ o ´
x2 x2
1 2
+ = x1 + x2
x1 − x2 x2 − x1
hay
x2 − x2
1 2
= x1 + x2 (2.12)
x1 − x2
Ta thˆ y r˘ ng, d ang th´.c (2.12) chı la mˆt d ˘ng th´.c quen thuˆc.
a` ’ .’
´a ¯˘ u ´nh ` o ¯a u o
.
.i n = 3, ta co
+ V´ o ´
x3 x3 x3
1 2 3
+ + = x1 + x2 + x3 . (2.13)
(x1 − x2 )(x1 − x3) (x2 − x3)(x2 − x1 ) (x3 − x1)(x3 − x2)
T`. d ˘ng th´.c (2.13), co thˆ sang tac thanh mˆt sˆ bai tˆp, ch˘ng han
’
’ ’
.´
u ¯a u ´ e´ ´ ` oo`a a
. .
Vı du 2.1. Ch´.ng minh r˘ ng v´.i 3 sˆ nguyˆn bˆ t ky khac nhau t`.ng d ˆi mˆt, sˆ
` ´ ´ ´
´. u a o o ea`´ u ¯o o o .
¯a ˜ .´
sau d ˆy cu ng la mˆt sˆ nguyˆn:
`oo e
a3 b3 c3
+ + .
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b)
Vı du 2.2. Phˆn tı d a th´.c sau thanh nhˆn tu.:
a’
´. a ´ch ¯ u `
x3 y + y 3 z + z 3x − x3z − y 3x − z 3 y.
Theo hu.´.ng trˆn, co thˆ sang tac d u.o.c kha nhiˆu bai tˆp phong phu. Ngoai
’ `
o e ´ e´ ´ ¯. ´ e `a ´ `
.
. hai vˆ cua (2.5) d e tı thˆm nh˜.ng d ang
’ ’ ’
´
’ e’
ra, ta con co thˆ so sanh S2, S3 , ..., Sn o
`´e ´ ¯ˆ `m e u ¯˘
.c khac. Sˆ d ˘ng th´.c tı d u.o.c se phong phu thˆm lˆn nˆ u ta tiˆ p tuc xe
´’ u `m ¯ . ˜ ´ ´ . ´t
th´
u ´ o ¯a ´e ee e
nh˜.ng d th´.c khac, v´.i degP (x) n − 1.
u ¯a u ´ o
- 17
Bˆy gi`., ta tiˆ p tuc tı kiˆ m thˆm cac d ang th´.c theo mˆt hu.´.ng khac.
’
´ ´
a o e . `m e e ´ ¯˘ u o o ´
.
.i n sˆ phˆn biˆt x , x , ..., x , xe d th´.c:
´a
V´
o o e12 ´t ¯a u
. n
n
ω ( x) = ( x − xi ) .
i=1
˜`
Ro rang degω (x) = n.
´
Thˆ thı
e` n n
ω ( x) = ( x − xi ) ,
j =1 i=1,i=j
v´.i degω (x) = n − 1.
o
V´.i mˆi j ∈ {1, 2, ..., n}, ta co
˜
oo ´
n
ω ( xj ) = ( xj − xi ) .
i=1,i=j
Bˆy gi`., v´.i mˆi j ∈ {1, 2, ..., n}, ta xe ham
˜
a oo o ´t `
n
ω ( x) x − xi
ω j ( x) = = . (2.14)
( x − xj ) ω ( xj ) xj − xi
i=1,i=j
Nhˆn xe r˘ ng, v´.i mˆi j ∈ {1, 2, ..., n}, (2.10) la mˆt d a th´.c va degωj (x) =
` ˜
a ´t a o o ` o¯ u`
. .
.c nay co tı chˆ t
- ´
n − 1. Da th´ ` ´ ´nh a
u
ωj (xk ) = 0, v´.i k = j ;
o
ωj (xk ) = 1, v´.i k = j.
o
., nˆ u d th´.c P (x) = a xn + a xn−1 + .. + a x + a , a = 0, co n
o´
Bˆy gi` e ¯a u
a ´
n n −1 1 0 n
.c phˆn biˆt x , x , ..., x , thı P (x) = a ω (x).
nghiˆm thu
e a e12 `
. . . n n
.i mˆi j ∈ {1, 2, ..., n}, ta co
˜
Do d´ , v´
¯o o o ´
P (xj ) = an ω (xj )
hay
P ( xj )
ω ( xj ) = .
an
Vˆy, v´.i mˆi j ∈ {1, 2, ..., n}, (2.10) con viˆ t d .o.c du.´.i dang
˜ ´
a oo ` e ¯u . o.
.
n
an ω (x) x − xi
ω j ( x) = = . (2.15)
(x − xj )P (xj ) i=1,i=j xj − xi
Bˆy gi`., ta ha y tı mˆt u.ng dung cua (2.15) d e tao ra nh˜.ng d ang th´.c m´.i.
’
˜ `m o ´ ’
’
a o ¯ˆ . u ¯˘ u o
. .
Tro. lai v´.i d th´.c P (x) = an xn + an−1 xn−1 + .. + a1x + a0 , an = 0, n ≥ 2, co
’ . o ¯a u ´
- 18
n nghiˆm thu.c phˆn biˆt x1, x2 , ..., xn.
e a e
. . .
.i n gia tri phˆn biˆt x , x , ..., x , ´ p dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange d ˆ i
´
V´
o ´.a e12 na o uo ¯o
. . .
.i d th´.c f (x) = xk , k n − 1, ta co
v´ ¯a u
o ´
n
k
xk ω j ( x)
x= j
j =1
Bo.i (2.15), ta co
’ ´
n
n n
xk
xk ω ( x) i=1,i=j (x − xi )
j
j
k
x= = an .
( x − xj ) ω ( xj ) P ( xj )
j =1 j =1
Biˆ u th´.c cuˆ i cung la mˆt d th´.c co hˆ sˆ cua xn−1 la
’ ´ .´
` o ¯a u ´ e o ’
e u o` `
.
n
xkj
an .
P ( xj )
j =1
So sanh cac hˆ sˆ cua d a th´.c xk , ta d .o.c cac d ang th´.c sau:
’
.´
´ eo ’ ¯
´ u ¯u . ´ ¯˘ u
n
xkj
= 0, ∀k ∈ {0, 1, 2, ..., n − 2}; (2.16)
P ( xj )
j =1
n
xk 1
= , v´.i k = n − 1.
j
o (2.17)
P ( xj ) an
j =1
Mˆt sˆ u.ng dung
´
2.1.2 o o´
. .
` `
’
Phˆn trong tˆm cua phˆn nay tˆp trung vao viˆc ´ p dung mˆt cach kha linh
a a a`a ` ea o´ ´
. . . . .
.c nˆi suy Lagrange dˆ giai mˆt sˆ bai toan kho, trong d´ co cac d`
’ .´
¯e ’
hoat cˆng th´ o
.o u oo` ´ ´ ¯o ´ ´ ¯ˆ e
.
.´.c, khu vu.c va quˆ c tˆ .
´´
’
thi chon hoc sinh gioi trong nu o .`oe
. .
Bai toa n 2.1. Xac d. nh d a th´.c bˆc hai nhˆn gia tri b˘ ng 3; 1; 7, tai x b˘ ng −1;
´ .` `
` ´ ´ ¯i ¯ ua a a a
. . .
.o.ng u.ng.
0; 3 tu ´
’
Giai. Ta co x1 = −1, x2 = 0, x3 = 3 va f (x1 ) = 3, f (x2 ) = 1, f (x3 ) = 7.
´ `
´ dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange v´.i n = 3, ta co:
Ap . o uo o ´
.
(x − 0)(x − 3) (x − 3)(x + 1)
f (x) = f (−1) + f (0)
(−1 − 0)(−1 − 3) (0 − 3)(0 + 1)
(x + 1)(x − 0)
= x2 − x + 1.
+f (3)
(3 + 1)(3 − 0)
- 19
Bai toa n 2.2. Cho a1 , a2, ..., an la n sˆ khac nhau. Ch´.ng minh r˘ ng nˆ u d a th´.c
`
´ ´
` ´ ` o´ u a e¯ u
.n ho.n n − 2, thı
f (x) co bˆc khˆng l´
´a o o `:
.
f (a1 ) f (an )
T= + ... + = 0.
(a1 − a2)(a1 − a3)...(a1 − an ) (an − a1)(an − a2)...(an − an−1 )
Giai. Theo cˆng th´.c nˆi suy Lagrange thı moi d th´.c f (x) co bˆc khˆng l´.n
’ o uo `, . ¯a u ´a o o
. .
.n n − 1 d` u viˆ t d u.o.c du.´.i dang:
´
ho ¯ˆ
e e¯. o.
(x − a2 )(x − a3 )...(x − an ) (x − a1)(x − a3)...(x − an )
f (x) = f (a1 ) + f (a2 )
(a1 − a2)(a1 − a3)...(a1 − an ) (a2 − a1)(a2 − a3)...(a2 − an )
(x − a1 )(x − a2)...(x − an )
+... + f (an ) .
(an − a1)(an − a2 )...(an − an−1 )
o. vˆ trai b˘ ng 0, con hˆ sˆ cua xn−1 o. vˆ phai la:
Hˆ sˆ cua xn−1 ’e´`
.´ ´ .´ ´
eo ’ ` eo ’ ’e ’`
a
f (a1 ) f (an )
T= + ... + .
(a1 − a2)(a1 − a3)...(a1 − an ) (an − a1)(an − a2)...(an − an−1 )
Suy ra d iˆu phai ch´.ng minh.
¯` ’
e u
Bai toa n 2.3. Ch´.ng minh r˘ ng nˆ u d a th´.c bˆc hai nhˆn gia tri nguyˆn tai ba
` ´
` ´ u a e¯ ua a ´. e.
. .
.c nhˆn gia tri nguyˆn tai moi x
´ ´´
’
gia tri nguyˆn liˆn tiˆ p cua biˆ n sˆ x, thı d a th´
´. e e e eo `¯ u a ´. e.
. .
nguyˆn.
e
Giai. Gia su. f (k − 1), f (k ), f (k + 1) la nh˜.ng sˆ nguyˆn v´.i k nguyˆn.
’ ´
’’ `u o eo e
.c nˆi suy Lagrange cho d th´.c bˆc hai f (x) v´.i ba sˆ nguyˆn
´ ´
Ap dung cˆng th´ o
o u. ¯a u a o o e
. .
k − 1, k , k + 1, ta co
´
(x − k )(x − k − 1) (x − k + 1)(x − k − 1)
f (x) = f (k − 1) + f (k )
2 −1
(x − k )(x − k + 1)
+f (k + 1) .
2
-a
D˘t m = x − k , ta co
´
.
(m(m − 1) m(m + 1)
+ f (k )(m2 − 1) + f (k + 1)
f (x) = f (k − 1) .
2 2
Vı tı hai sˆ nguyˆn liˆn tiˆ p chia hˆ t cho 2, nˆn f (x) nguyˆn v´.i moi x
´ ´ ´
` ´ch o e e e e e eo .
nguyˆn.
e
´
Bai toa n 2.4.
` ´ Cho a1, a2, ..., an la n sˆ khac nhau. Goi Ai (i = 1, 2, ..., n) la
` o´ `
.
phˆn du. trong phe chia d a th´.c f (x) cho x − ai. Ha y tı phˆn du. r(x) trong phe
˜ `m `
`
a ´p ¯ u a ´p
chia f (x) cho (x − a1 )(x − a2 )...(x − an ).
nguon tai.lieu . vn
