1. Trang Chủ
  2. Khoa học tự nhiên
  3. Luận văn đề tài : Nhóm Lie phương trình vi phân

Luận văn đề tài : Nhóm Lie phương trình vi phân

Trong toán học, một nhóm Lie, được đặt tên theo nhà toán học người Na Uy là Sophus Lie, là một nhóm cũng là một đa tạp trơn (differentiable manifold), với tính chất là các toán tử nhóm tương thích với cấu trúc trơn. Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển của các đối xứng liên tục của các cấu trúc toán học. Luận văn Nhóm Lie phương trình vi phân www.VNMATH.com Môc lôc Môc lôc 1 Lêi c¶m ¬n 3 Lêi më ®Çu 4 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 6 1.1 Nhãm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Thể loại Tài liệu miễn phí Khoa học tự nhiên

Số trang 55

Ngày tạo 8/30/2018 1:23:31 AM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.53 M

Tên tệp

Tải Luận văn đề tài : Nhóm Lie phương trình vi phân (.pdf)

Xem mẫu

  1. Luận văn Nhóm Lie phương trình vi phân
  2. www.VNMATH.com Môc lôc Môc lôc 1 Lêi c¶m ¬n 3 Lêi më ®Çu 4 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 6 1.1 Nhãm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè . . . . . . 10 1.2.3 BiÕn ®æi vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.4 §Þnh lý Lie c¬ b¶n thø nhÊt . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.5 To¸n tö sinh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.6 Hµm bÊt biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.2 To¸n tö sinh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.3 §¹i sè Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.4 §¹i sè Lie gi¶i ®-îc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1
  3. www.VNMATH.com Môc lôc 2 øng dông tÝnh ®èi xøng vµo viÖc gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n 2 37 2.1 øng dông nhãm Lie mét tham sè vµo gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1 HÖ to¹ ®é chÝnh t¾c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2 øng dông nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè vµo gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I . . . . . . . . . . 40 2.2 øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao . 43 2.2.1 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè ®éc lËp, mét tham sè phô thuéc . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 VÝ dô øng dông §¹i sè Lie vµo gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n bËc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 KÕt luËn 53 Tµi liÖu tham kh¶o 54 2
  4. www.VNMATH.com Lêi c¶m ¬n 3 Lêi c¶m ¬n Trong suèt thêi gian lµm khãa luËn, t«i ®· nhËn ®-îc sù h-íng dÉn rÊt tËn t×nh, chu ®¸o cña TS §Æng Anh TuÊn. MÆc dï ë xa nh-ng ThÇy vÉn th-êng xuyªn h-íng dÉn, ®éng viªn t«i cè g¾ng hoµn thiÖn ®-îc kho¸ luËn nµy. T«i xin ®-îc bµy tá lßng kÝnh träng vµ biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt tíi ThÇy. T«i xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh tíi PGS.TS §Æng §×nh Ch©u, ThÇy ®· cho t«i nh÷ng lêi khuyªn quý b¸u kh«ng chØ vÒ c¸c vÊn ®Ò xoay quanh khãa luËn mµ cßn vÒ ph-¬ng ph¸p häc tËp vµ nghiªn cøu, t«i rÊt tr©n träng nh÷ng gãp ý cña ThÇy, ®ã còng lµ ®éng lùc ®Ó t«i hoµn thµnh khãa luËn nµy. T«i còng xin c¶m ¬n ThS Ninh V¨n Thu ®· gi¶i ®¸p th¾c m¾c, ®ãng gãp nh÷ng ý kiÕn gióp t«i hoµn thµnh kho¸ luËn nµy; ®ång thêi t«i xin ®-îc göi lêi c¶m ¬n tíi c¸c ThÇy, C« trong Bé m«n Gi¶i tÝch; c¸c ThÇy, C« trong Khoa To¸n - C¬ - Tin häc - tr-êng §H Khoa Häc Tù Nhiªn - §HQGHN ®· gi¶ng d¹y, d×u d¾t t«i trong suèt 4 n¨m qua. Khãa luËn còng ®-îc hoµn thµnh víi sù ®éng viªn tinh thÇn cña gia ®×nh vµ b¹n bÌ. T«i xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c nhÊt vÒ tÊt c¶ sù gióp ®ì quý b¸u ®ã! Hµ Néi, ngµy 21 th¸ng 5 n¨m 2009 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hång Xu©n 3
  5. www.VNMATH.com Lêi më ®Çu 4 Lêi më ®Çu Trong to¸n häc, mét nhãm Lie, ®-îc ®Æt tªn theo nhµ to¸n häc ng-êi Na Uy lµ Sophus Lie, lµ mét nhãm còng lµ mét ®a t¹p tr¬n (differentiable manifold), víi tÝnh chÊt lµ c¸c to¸n tö nhãm t-¬ng thÝch víi cÊu tróc tr¬n. Nhãm Lie ®¹i diÖn cho lý thuyÕt ph¸t triÓn cña c¸c ®èi xøng liªn tôc cña c¸c cÊu tróc to¸n häc. §iÒu nµy ®· lµm nhãm Lie lµ c«ng cô cho gÇn nh- tÊt c¶ c¸c ngµnh to¸n hiÖn ®¹i, vµ vËt lý lý thuyÕt hiÖn ®¹i, ®Æc biÖt lµ trong vËt lý h¹t. Bëi v× c¸c nhãm Lie lµ c¸c ®a t¹p, chóng cã thÓ ®-îc nghiªn cøu sö dông gi¶i tÝch vi ph©n (differential calculus), t-¬ng ph¶n víi tr-êng hîp c¸c nhãm t«p« tæng qu¸t h¬n. Mét trong nh÷ng ý t-ëng chÝnh trong lý thuyÕt vÒ nhãm Lie, ®Ò ra bëi Sophus Lie lµ thay thÕ cÊu tróc toµn côc, nhãm, víi phiªn b¶n mang tÝnh ®Þa ph-¬ng cña nã hay cßn gäi lµ phiªn b¶n ®· ®-îc lµm tuyÕn tÝnh ho¸, mµ Lie gäi lµ mét nhãm cùc nhá mµ b©y giê ®-îc biÕt ®Õn nh- lµ ®¹i sè Lie. Nhãm Lie ®· cung cÊp mét ph-¬ng tiÖn tù nhiªn ®Ó ph©n tÝch c¸c ®èi xøng liªn tôc cña c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n (lý thuyÕt Picard-Vessiot), trong mét c¸ch thøc nh- c¸c nhãm ho¸n vÞ (permutation group) ®-îc sö dông trong lý thuyÕt Galois ®Ó ph©n tÝch c¸c ®èi xøng rêi r¹c cña c¸c ph-¬ng tr×nh ®¹i sè. Trong bµi kho¸ luËn nµy, t¸c gi¶ xin tr×nh bµy mét sè nghiªn cøu c¬ b¶n vÒ nhãm Lie mét tham sè, nhãm Lie 2 tham sè vµ c¸c øng dông cña chóng trong viÖc gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n. C¸c bµi to¸n vµ vÝ dô ®-îc tr×nh bµy trong khãa luËn ®-îc trÝch dÉn tõ cuèn Symmetry anh Integration 4
  6. www.VNMATH.com Lêi më ®Çu 5 Methods for Differential Equations cña George W.Bluman and Stephen C. Anco. §©y lµ tµi liÖu chÝnh ®-îc sö dông trong kho¸ luËn nµy. T¸c gi¶ xin ®-îc tr×nh bµy chi tiÕt c¸c chøng minh vµ c¸c vÝ dô cô thÓ ®Ó ®-a ra nh÷ng nguyªn lý nÒn t¶ng nh-: cÊu t¹o vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña nhãm Lie, c¸ch ¸p dông lý thuyÕt nhãm Lie trong gi¶i PTVP. CÊu tróc cña khãa luËn gåm 2 ch-¬ng: Ch-¬ng1: KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè. Trong phÇn nµy, tr×nh bµy §Þnh nghÜa nhãm, nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi, nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè; BiÕn ®æi vi ph©n, To¸n tö sinh vi ph©n, §Þnh lý c¬ b¶n Lie thø nhÊt.VÝ dô. 1.2 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè. Trong phÇn nµy, tr×nh bµy §Þnh nghÜa nhãm Lie hai tham sè, §¹i sè Lie, tÝnh gi¶i ®-îc. VÝ dô minh häa. Ch-¬ng2: øng dông cña tÝnh ®èi xøng vµo viÖc gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n 1.1 øng dông nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1. 1.2 øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao. MÆc dï ®· rÊt cè g¾ng nh-ng do thêi gian vµ tr×nh ®é cßn h¹n chÕ nªn khãa luËn ch¾c ch¾n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. T¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®-îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp quý b¸u cña quý ThÇy, C« vµ c¸c b¹n. 5
  7. www.VNMATH.com Ch-¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ Chóng ta b¾t ®Çu víi viÖc ®Þnh nghÜa nhãm, xÐt ®Õn nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi vµ ®Æc biÖt lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè. Trong tr-êng hîp nµy c¸c phÐp biÕn ®æi ®Òu thùc hiÖn trªn R2 . 1.1 Nhãm §Þnh nghÜa 1.1.1. Cho tËp hîp G cïng víi phÐp to¸n φ : G × G → G. (G, φ) ®-îc gäi lµ mét nhãm nÕu tho¶ m·n c¸c tiªn ®Ò 1) TÝnh ®ãng: NÕu a, b ∈ G th× φ(a, b) ∈ G. 2) TÝnh kÕt hîp: Víi mäi phÇn tö a, b, c ∈ G bÊt kú th× φ(a, φ(b, c)) = φ(φ(a, b), c). 3) PhÇn tö ®¬n vÞ: Tån t¹i duy nhÊt phÇn tö ®¬n vÞ e ∈ G sao cho víi mäi phÇn tö a ∈ G: φ(a, e) = φ(e, a) = a. 4) PhÇn tö nghÞch ®¶o: Víi phÇn tö a bÊt kú thuéc G, tån t¹i duy nhÊt phÇn tö nghÞch ®¶o a−1 ∈ G sao cho φ(a, a−1) = φ(a−1 , a) = e. 6
  8. www.VNMATH.com 1.1. Nhãm 7 §Þnh nghÜa 1.1.2. Nhãm (G, φ) ®-îc gäi lµ nhãm Abel nÕu φ(a, b) = φ(b, a), víi mäi phÇn tö a, b ∈ G. §Þnh nghÜa 1.1.3. Cho (G, φ) lµ mét nhãm víi phÇn tö ®¬n vÞ e, A ⊂ G, khi ®ã tËp A cïng víi phÐp to¸n φ ®-îc gäi lµ nhãm con cña nhãm (G, .) nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn 1) Víi mäi phÇn tö a, b ∈ A th× φ(a, b) ∈ A. 2) PhÇn tö ®¬n vÞ e ∈ A. 3) Víi phÇn tö a bÊt kú thuéc A, tån t¹i phÇn tö nghÞch ®¶o a−1 ∈ A sao cho φ(a, a−1) = φ(a−1 , a) = e. VÝ dô 1.1.4. Cho G = Z - lµ tËp c¸c sè nguyªn víi phÐp to¸n céng φ(a, b) = a + b. i) ¸nh x¹ φ : Z × Z → Z v× tæng a + b lµ c¸c sè nguyªn khi a, b lµ c¸c sè nguyªn. ii) LÊy phÇn tö a, b, c ∈ Z ta cã a + (b + c) = (a + b) + c. iii) PhÇn tö ®¬n vÞ e = 0 ∈ Z tho¶ m·n a + 0 = 0 + a = a, a ∈ Z. iv) Víi mäi a ∈ Z, tån t¹i phÇn tö nghÞch ®¶o a−1 = −a tháa m·n a + (−a) = (−a) + a = 0. VËy (Z, +) lµ mét nhãm. V× a + b = b + a víi mäi a, b ∈ Z nªn (Z, +) lµ nhãm Abel. VÝ dô 1.1.5. Cho G = R+ lµ tËp c¸c sè thùc d-¬ng víi phÐp to¸n nh©n φ(a, b) = a.b i) ¸nh x¹ φ : R+ × R+ → R+ v× tÝch a.b lµ sè thùc d-¬ng khi a, b lµ c¸c sè thùc d-¬ng. 7
  9. www.VNMATH.com 1.1. Nhãm 8 ii) Víi c¸c phÇn tö a, b, c ∈ R+ bÊt kú, ta cã φ(φ(a, b), c) = (a.b).c = a.(b.c) = φ(a, φ(b, c)). iii) Tån t¹i phÇn tö ®¬n vÞ e = 1 tho¶ m·n a.1 = 1.a = a, víi mäi phÇn tö a ∈ R+ . 1 iv) Víi mäi phÇn tö a ∈ R+ bÊt kú, tån t¹i phÇn tö nghÞch ®¶o a−1 = a 1 1 tho¶ m·n a. = .a = 1. aa VËy (R+ , .) lµ mét nhãm. V× a.b = b.a víi mäi a, b ∈ R+ nªn nhãm (R+ , .) lµ nhãm Abel. VÝ dô 1.1.6. Cho S = {ε : −1 < ε < +∞} víi phÐp to¸n gi÷a c¸c tham sè ®-îc cho bëi φ(ε, δ ) = ε + δ + εδ . i) Ta sÏ chøng minh ¸nh x¹ φ ®i tõ S × S vµo S , nghÜa lµ φ(ε, δ ) ∈ S , khi ε, δ ∈ S . LÊy ε, δ ∈ S = (−1, +∞). V× ε ∈ (−1, +∞) nªn ε + 1 > 0. T-¬ng tù δ + 1 > 0 Suy ra (ε + 1)(δ + 1) > 0. VËy ε + δ + εδ ∈ (−1, +∞). ii) TÝnh kÕt hîp: Víi ε, δ, γ ∈ (−1, +∞) bÊt kú, φ(ε, φ(δ, γ )) = ε + (δ + γ + δγ ) + ε(δ + γ + δγ ) = ε + δ + γ + δγ + εδ + εγ + εδγ = ((ε + δ + εδ ) + γ ) + (ε + δ + εδ )γ = φ(φ(ε, δ ), γ ). iii) PhÇn tö ®¬n vÞ e = 0 ∈ (−1, +∞) tháa m·n φ(ε, 0) = φ(0, ε) = 0 + ε + 0.ε = ε. iv) PhÇn tö nghÞch ®¶o: Víi phÇn tö ε ∈ (−1, +∞) bÊt kú tån t¹i ε−1 sao cho: φ(ε, ε−1 ) = φ(ε−1 , ε) = ε + ε−1 + εε−1 = 0. 8
  10. www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 9 ε Suy ra ε−1 = − ∈ (−1, +∞). VËy (S, φ) lµ mét nhãm. 1+ε V× φ(δ, ε) = δ + ε + δε = ε + δ + εδ = φ(ε, δ ) nªn (S, φ) lµ nhãm Abel. VÝ dô 1.1.7. Cho G = R2 víi phÐp to¸n ϕ = (ε, δ ) = (ε1 + δ1, eδ1 ε2 + δ2 ), ε = (ε1 , ε2 ) ∈ R2 ; δ = (δ1 , δ2 ) ∈ R2 . i) ¸nh x¹ ϕ : R2 × R2 → R2 v× (ε1 + δ1, eδ1 ε2 + δ2 ) ∈ R2 v× ε, δ ∈ R2 . ii) Víi c¸c phÇn tö α, β, γ bÊt kú, ta cã ϕ(ϕ(α, β ), γ ) = ϕ((α1 + β1 , eβ1 α2 + β2), γ ) = (α1 + β1 + γ1 , eγ1 (eβ1 α2 + β2 ) + γ2 ) = (α1 + (β1 + γ1 ), e(β1 +γ1 ) α2 + eγ1 β2 + γ2 ) = ϕ(α, ϕ(β, γ )). iii) PhÇn tö ®¬n vÞ e = (0, 0) tho¶ m·n ϕ(ε, e) = (ε1 + 0, e0 ε2 + 0) = (ε1 , ε2 ) = ε. iv) Víi mäi phÇn tö ε ∈ R2 , ta x¸c ®Þnh phÇn tö nghÞch ®¶o ε−1 −1 Ta cã: ϕ(ε, ε−1 ) = e nªn suy ra (ε1 + ε−1 , eε1 ε2 + ε−1 ) = (0, 0). 1 2 ε2 Suy ra ε−1 = (−ε1 , − ε ) ∈ R2 . e1 VËy (R2 , ϕ) lµ mét nhãm. V× ϕ(δ, ε) = (δ1 + ε1 , eε1 δ2 + ε2 ) = (ε1 + δ1 , eδ1 ε2 + δ2 ) = ϕ(ε, δ ) nªn (R2 , ϕ) kh«ng lµ nhãm Abel. 1.2 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 1.2.1 Nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi §Þnh nghÜa 1.2.1. Cho D ⊂ R2 , S ⊂ R, (S, φ) lµ mét nhãm cã phÇn tö ®¬n vÞ e ∈ S . 9
  11. www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 10 XÐt ¸nh x¹ X : D × S → D . TËp hîp lµ mét nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè nÕu X (., ε) ε∈S tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn 1) Víi mäi phÇn tö ε ∈ S th× ¸nh x¹ X : D × S → D lµ mét song ¸nh. 2) Víi ε = e, x ∈ D : X (x, e) = x. 3) X (X (x, ε), δ ) = X (x, φ(ε, δ )), víi mäi ε, δ ∈ S . 1.2.2 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè Nh- phÇn trªn ®· xÐt nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi cã cÊu tróc ®¹i sè. NÕu ta thªm cÊu tróc gi¶i tÝch vµo nhãm nµy th× nã trë thµnh nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè. B©y giê ta xÐt ®Õn nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè. Tr-íc hÕt, ta ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 1.2.2. Cho D ⊂ R2 lµ mét miÒn më vµ x = (x1 , x2 ) ∈ D. S lµ mét kho¶ng trªn R, (S, φ) lµ nhãm cã phÇn tö ®¬n vÞ 0. PhÐp to¸n φ : S × S → S lµ hµm gi¶i tÝch. ¸nh x¹ X : D × S → D cho ta tËp hîp c¸c phÐp biÕn ®æi ký hiÖu lµ . TËp c¸c phÐp biÕn ®æi trªn ®-îc gäi lµ nhãm Lie c¸c phÐp X (., ε) ε∈S biÕn ®æi mét tham sè nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn 1) Víi mäi ε ∈ S , ¸nh x¹ X (., ε) : D × S → D lµ mét song ¸nh vµ kh¶ vi v« h¹n. Víi x cè ®Þnh ∈ D , ¸nh x¹ X (x, .) : S → D lµ hµm gi¶i tÝch theo ε. 2) X (., 0) = IdD . 3) X (X (x, ε), δ ) = X (x, φ(ε, δ )), víi mäi ε, δ ∈ S. 10
  12. www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 11 VÝ dô 1.2.3 (Nhãm c¸c phÐp tÞnh tiÕn trªn mÆt ph¼ng). Cho nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi x∗ = x + ε, y ∗ = y, ε ∈ R. víi phÐp to¸n φ(ε, δ ) = ε + δ. Nh- vËy, nhãm c¸c phÐp tÞnh tiÕn trªn mÆt ph¼ng ®-îc cho bëi D = R2 , (S, φ) lµ nhãm céng vµ ¸nh x¹ X : R2 × R → R 2 ((x, y ), ε) → (x∗, y ∗ ) = (x + ε, y ). Ta chøng minh nhãm {X (., ε)}ε∈R c¸c phÐp biÕn ®æi nµy lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 1) Tr-íc hÕt ta cÇn chØ ra víi mäi ε ∈ S , ¸nh x¹ X (., ε) : R2 → R2 lµ mét song ¸nh. Víi mäi sè thùc ε cè ®Þnh, lÊy (x, y ) = (x , y ). DÔ thÊy, (x + ε, y ) = (x + ε, y ) nªn ¸nh x¹ X (., ε) : R2 → R2 lµ mét ®¬n ¸nh. Gi¶ sö cã (x, y ) bÊt kú ∈ R2 ta t×m ®-îc (x1, y1 ) tho¶ m·n x = x1 + ε, y = y1 . Suy ra (x1 , y1 ) = (x − ε, y ) ∈ R2 . Tøc lµ ImX ≡ R2 . VËy X : R2 → R2 lµ song ¸nh. 2) X ((x, y ), ε) = (x + ε, y ) kh¶ vi v« h¹n theo (x, y ) do ta cã ∂X ∂X = (1, 0), = (0, 1), ∂x ∂y ∂ 2X ∂ 2X ∂ 2X ∂ 2X = (0, 0), = (0, 0), = = (0, 0). ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y ∂y∂x 11
  13. www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 12 3) Víi (x, y ) cè ®Þnh ∈ R2 , ta cã biÓu diÔn x + ε = x + ε0 + (ε − ε0 ), y = y. V× X ((x, y ), .) cã khai triÓn Taylor t¹i ε0 vµ héi tô t¹i ε0 nªn nã gi¶i tÝch theo ε. 4) Ta cã ∂φ ∂φ = 1, = 1, ∂ε ∂δ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ = 2 = 0, = = 0. ∂ε2 ∂δ ∂ε∂δ ∂δ∂ε Suy ra ε + δ = ε0 + δ0 + (ε − ε0 ) + (δ − δ0 ). V× hµm φ(ε, δ ) = ε + δ lµ hµm khai triÓn ®-îc d-íi d¹ng khai triÓn Taylor vµ héi tô t¹i ®iÓm (ε0 , δ0 ) nªn gi¶i tÝch theo ε, δ . 5) X ((x, y ), 0) = (x + 0, y ) = (x, y ). 6) Víi ε, δ bÊt kú thuéc S, ta cã X (X ((x, y ), ε), δ ) = X ((x + ε, y ), δ ) = (x + ε + δ, y ) = (x + (ε + δ ), y ) = X ((x, y ), φ(ε, δ )). VËy X ((x, y ); ε) lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè. VÝ dô 1.2.4 (Nhãm Scalings). XÐt nhãm x∗ = αx, y ∗ = α2 y, 0 < α < +∞. 12
  14. www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 13 Vµ phÐp to¸n gi÷a c¸c tham sè φ(α, β ) = αβ. V× phÇn tö ®¬n vÞ lµ α = 1 nªn nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi nµy ®-îc tham sè ho¸ l¹i víi sè h¹ng ε = α − 1 nªn α = 1 + ε. Khi ®ã, x∗ = (1 + ε)x, y ∗ = (1 + ε)2 y ; −1 < ε < +∞. Nhãm Scaling ®-îc cho bëi D = R2 , S = (−1, +∞) víi phÐp to¸n φ: S ×S → S (ε, δ ) → ε + δ + εδ, vµ ¸nh x¹ R2 × S → R2 X: ((x, y ), ) → (x∗ , y ∗) = ((1 + ε)x, (1 + ε)2 y ). Ta chØ ra r»ng nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi X ((x, y ), .) trªn lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 1) Ta chØ ra r»ng víi mäi ε ∈ S ¸nh x¹ X (., ε) : R2 → R2 lµ song ¸nh. Víi mäi ε ∈ (−1, +∞), ta lÊy (x, y ) = (x , y ). DÔ thÊy ((1 + ε)x, (1 + ε)2 y ) = ((1 + ε)x , (1 + ε)2 y ) nªn ¸nh x¹ X : R2 → R2 lµ ®¬n ¸nh. Gi¶ sö cã (x, y ) bÊt kú ∈ R2 ta lu«n t×m ®-îc (x1 , y1 ) ∈ R2 tho¶ m·n (1 + ε)x1 = x, (1 + ε)2 y = y. 1 1 Suy ra (x1 , y1 ) = ∈ R2 . Tøc lµ ImX = R2 . , 1 + ε (1 + ε)2 VËy X : R2 → R2 lµ mét song ¸nh. 2) X ((x, y ), ε) kh¶ vi v« h¹n theo (x, y ) v× ta cã ∂X ∂X = (0, (1 + ε)2 ), = (1 + ε, 0), ∂x ∂y 2 2 2 ∂ 2X ∂X ∂X ∂X = = = = (0, 0). ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y ∂y∂x 13
  15. www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 14 3) Víi (x, y ) cè ®Þnh ∈ R2 , ta cã biÓu diÔn (1 + ε)x = (1 + ε0 )x + (ε − ε0 )x, (1 + ε)2 y = (1 + ε0 )2 y + 2(ε − ε0 )y + 2(ε − ε0 )ε0 y + (ε − ε0 )2y. V× X ((x, y ), ε) khai triÓn ®-îc d-íi d¹ng khai triÓn Taylor t¹i ε = ε0 nªn nã gi¶i tÝch theo ε0 . 4) Ta cã biÓu diÔn φ(ε, δ ) = ε + δ + εδ = ε0 + δ0 + ε0 δ0 + ε + δ + εδ − ε0 − δ0 − ε0 δ0 = ε0 + δ0 + ε0 δ0 + (ε − ε0 ) + (δ − δ0 ) + (ε − ε0 )(δ − δ0 ) + εδ0 + ε0 δ − ε0 δ0 − ε0 δ0 = ε0 + δ0 + ε0 δ0 + (ε − ε0 ) + (δ − δ0 ) + (ε − ε0 )(δ − δ0 ) + ε0 (δ − δ0 ) + δ0 (ε − ε0 ). Ta thÊy φ(ε, δ ) khai triÓn ®-îc d-íi d¹ng khai triÓn Taylor vµ héi tô t¹i ®iÓm (ε0 , δ0 ), do ®ã φ(ε, δ ) lµ hµm gi¶i tÝch theo ε, δ . 5) X ((x, y ), 0) = ((1 + 0)x, (1 + 0)2 y ) = (x, y ). 6) Cuèi cïng ta chøng minh víi ε, δ bÊt kú, ta cã X (X (x, y ), ε), δ ) = (((1 + ε)x, (1 + ε)2 y ), δ ) = ((1 + ε)(1 + δ )x, (1 + ε)2 (1 + δ )2 y ) = ((1 + ε + δ + εδ )x, (1 + ε + δ + εδ )2 y ) = X ((x, y ), φ(ε, δ )). VËy X ((x, y ), ε) lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè. 14
  16. www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 15 1.2.3 BiÕn ®æi vi ph©n Cho nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè (1.1) X ∗ = X (x, ε) víi phÇn tö ®¬n vÞ ε = 0 vµ phÐp to¸n φ. Khai triÓn Taylor (1.1) t¹i ε = 0 trong l©n cËn cña ε = 0, ta cã 1 2 ∂ 2 X (x, ε) ∂ X (x, ε) ∗ x =x+ε +ε +... ∂ε2 ∂ε 2 (1.2) ε=0 ε=0 ∂ X (x, ε + O (ε2 ). =x+ε ∂ε ε=0 §Æt ∂X (x; ε) (1.3) ξ (x) = . ∂ε ε=0 PhÐp biÕn ®æi x + εξ (x) ®-îc gäi lµ biÕn ®æi vi ph©n cña nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi (1.1). C¸c thµnh phÇn cña ξ (x) ®-îc gäi lµ vi ph©n cña phÐp biÕn ®æi (1.1). Mét vÊn ®Ò ®Æt ra lµ nÕu chØ cho biÕt ξ (x) th× liÖu r»ng ta cã thÓ biÕt ®-îc biÕn ®æi X (x; ε) hay kh«ng? Chóng ta cïng t×m hiÓu vÒ §Þnh lý Lie c¬ b¶n thø nhÊt ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò nµy. 1.2.4 §Þnh lý Lie c¬ b¶n thø nhÊt Tr-íc tiªn ta xÐt bæ ®Ò Bæ ®Ò 1.2.5. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè (1.1) tháa m·n hÖ thøc (1.4) X (x; ε + ∆ε) = X (X (x; ε); φ(ε−1ε + ∆ε)). 15
  17. www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 16 Chøng minh: X (X (x; ε); φ(ε−1, ε + ∆ε)) = X (x; φ(ε, φ(ε−1 , ε + ∆ε))) = X (x; φ(φ(ε, ε−1 ), ε + ∆ε)) = X (x; φ(0, ε + ∆ε)) = X (x; ε + ∆ε). §Þnh lý 1.2.6 (§Þnh lý Lie c¬ b¶n thø nhÊt). Tån t¹i mét phÐp tham sè hãa τ (ε) sao cho Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi X ∗ = X (x; ε) t-¬ng øng víi nghiÖm cña bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I dx∗ (1.5) = ξ (x∗), dτ víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu (1.6) x∗ = x, khi τ = 0. Trong ®ã: PhÐp tham sè ho¸ ε (1.7) τ (ε) = Γ(ε )dε . 0 Víi ∂φ(a, b) (1.8) Γ(ε) = , ∂b (a,b)=(ε−1 ,ε) vµ (1.9) Γ(0) = 1. Chøng minh: Tr-íc hÕt ta chØ ra (1.1) dÉn ®Õn (1.5) - (1.6) vµ (1.7) - (1.8). Khai triÓn chuçi luü thõa vÕ tr¸i cña (1.4) theo ∆ε t¹i ∆ = 0, ta ®-îc ∂X (x; ε) (1.10) ∆ε + O ((∆ε)2). X (x; ε + ∆ε) = X (x; ε) + ∂ε 16
  18. www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 17 Khai triÓn chuçi luü thõa φ(ε−1 , ε + ∆ε) theo ∆ε t¹i ∆ε = 0, ta cã ∂φ(ε−1 , ε) −1 −1 ∆ε + O ((∆ε)2) φ(ε , ε + ∆ε) = φ(ε , ε) + ∂ε (1.11) −1 ∂ φ(ε , ε) ∆ε + O ((∆ε)2). = ∂ε −1 ,ε) (ε §Æt ∂φ(ε−1 ; ε) = Γ(ε). ∂ε (ε−1 ,ε) Ta dÉn ®Õn (1.12) φ(ε−1 , ε + ∆ε) = Γ(ε)∆ε + O ((∆ε)2). Sau ®ã khai triÓn chuçi luü thõa theo ∆ε vÕ ph¶i cña (1.4) t¹i∆ε = 0, ta thu ®-îc X (x; ε + ∆ε) = X (X (x, ε), φ(ε−1 , ε + ∆ε)) = X (X (x, ε), Γ(ε)∆ε + O ((∆ε)2)) ∂ X (X (x, ε), δ ) + O ((∆ε)2) = X (X (x, ε), 0) + ∆εΓ(ε) ∂δ δ =0 ∗ ∗ 2 = x + Γ(ε)ξ (x )∆ε + O ((∆ε) ). (1.13) Tõ (1.11) vµ (1.13) ta thÊy x∗ = X (x, ε) tho¶ m·n bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n dx∗ (1.14) = Γ(ε)ξ (x∗). dε vµ gi¸ trÞ ban ®Çu (1.15) x∗ = x, khi ε = 0. ε Tõ (1.2) vµ Γ(0) = 1 phÐp tham sè ho¸ τ (ε) = 0 Γ(ε )dε ta suy ra ®-îc ∂ξ (x) ∂ξ (x) hÖ (1.5) - (1.6). V× liªn tôc nªn theo ®Þnh lý tån t¹i vµ duy , ∂x1 ∂x2 nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy cho hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n (1.5) - (1.6), do ®ã hÖ (1.14) - (1.15) tån t¹i vµ duy nhÊt. NghiÖm ®ã chÝnh lµ (1.1). §Þnh lý ®-îc chøng minh. 17
  19. www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 18 VÝ dô 1.2.7 (Nhãm c¸c phÐp tÞnh tiÕn trªn mÆt ph¼ng). Cho nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi x∗ = x + ε, (1.16) ∗ y = y. víi phÐp to¸n φ(a, b) = a + b, phÇn tö nghÞch ®¶o ε−1 = −ε. ∂φ(a, b) Do = 1 nªn Γ(ε) ≡ 1. ∂b Ta ®Æt x = (x, y ) nhãm (1.16) trë thµnh X (x; ε) = (x + ε, y ). ∂X (x; ε) V× = (1, 0) nªn ta cã ∂ε ∂X (x; ε) ξ (x) = = (1, 0). ∂ε ε=0 B©y giê, gi¶ sö ta chØ cã ξ (x) = (1, 0). Khi ®ã tõ hÖ (1.5) - (1.6) ta sÏ x©y dùng trë l¹i nhãm c¸c phÐp tÞnh tiÕn trªn mÆt ph¼ng. ThËt vËy, dx∗ dy ∗ (1.17) = 1, = 0, dε dε vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu (1.18) x∗ = x, y ∗ = y, khi ε = 0. Gi¶i hÖ (1.17) - (1.18), ta cã x ∗ = ε + C1 , y ∗ = C2. Khi ε = 0 th× x∗ = x, y ∗ = y nªn C1 = x, C2 = y . VËy nghiÖm cña hÖ (1.17) - (1.18) lµ x∗ = x + ε, y ∗ = y. VÝ dô 1.2.8. XÐt nhãm x∗ = (1 + ε)x, (1.19) ∗ 2 y = (1 + ε) y, −1 < ε < +∞. 18
  20. www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 19 víi phÐp to¸n gi÷a c¸c tham sè lµ φ(a, b) = a + b + ab, vµ cã phÇn tö ε ∂φ(a, b) nghÞch ®¶o ε−1 = − . Do ®ã, = 1 + a. 1+ε ∂b ∂φ(a, b) 1 Suy ra Γ(ε) = = 1 + ε−1 = . ∂b 1+ε (a,b)=(ε−1 ,ε) Cho x = (x, y ). HÖ (1.19) trë thµnh X = (x; ε) = ((1 + ε)x, (1 + ε)2 y ) ∂X (x; ε) ∂ X (x; ε) nªn ta cã = (x, 2(1 + ε)y ), vµ ξ (x) = = (x, 2y ). ∂ε ∂ε ε=0 Gi¶ sö ta chØ cã ξ (x). Khi ®ã tõ kÕt qu¶ cña hÖ (1.14) - (1.15) ta sÏ x©y dùng l¹i nhãm Scalings. Ta cã dx∗ x∗ dy ∗ 2y ∗ = , = , (1.20) dε 1+ε dε 1+ε x∗ = x, y ∗ = y, khi = 0. Gi¶i hÖ (1.20) ta thu ®-îc hÖ (1.19) Thùc hiÖn phÐp tham sè ho¸ ε ε 1 Γ(ε )dε = dε = ln |1 + ε|. τ= 1+ε 0 0 Nhãm (1.19) trë thµnh x∗ = eτ x, (1.21) y ∗ = e2τ y, −∞ < τ < +∞. víi phÐp to¸n gi÷a c¸c tham sè míi lµ φ(τ1 , τ2 ) = τ1 + τ2 . 1.2.5 To¸n tö sinh vi ph©n Tõ ®Þnh lý Lie thø nhÊt, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö r»ng nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè ®-îc tham sè ho¸ l¹i b»ng phÐp to¸n cho bëi φ(a, b) = a + b víi ε−1 = −ε vµ Γ(ε) ≡ 1. Do ®ã, víi hµm vi ph©n lµ ξ (x) nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè ε sÏ trë thµnh dx∗ (1.22) = ξ (x∗), dε 19
nguon tai.lieu . vn
Thạc sĩ - Tiến sĩ - Cao học Công nghệ thông tin Kinh tế - Thương mại Tài chính - Ngân hàng Kiến trúc - Xây dựng Điện-Điện tử-Viễn thông Cơ khí - Chế tạo máy Công nghệ - Môi trường Báo cáo khoa học Quản trị kinh doanh Khoa học xã hội Khoa học tự nhiên Nông - Lâm - Ngư Y khoa - Dược