Luận văn: Đa thức tâm trên đại số các ma trận và ứng dụng trên các đại số khác

Ña thöùc taâm treân ñaïi soá caùc ma traän vaø öùng duïng treân caùc ñaïi soá khaùc Nguyễn Thị Hồng ĐHSP Tp.HCM, 2004 MÔÛ ÑAÀU Ngöôøi ta ñaõ ñöa ra khaùi nieäm "Moät ña thöùc f(x1,… , xn) ñöôïc goïi laø ña thöùc taâm treân A neáu f khoâng laø moät ñoàng nhaát thöùc trong A nhöng giao hoaùn töû [f(x1,…, xn ),xn+1] laø moät ñoàng nhaát thöùc trong A". Döïa vaøo ñònh nghóa vaø töø caùch xaây döïng ñoàng nhaát thöùc cuûa Wagner thì f (x1, x2)= (x1 x2 - x2 x1 )2 laø moät ña thöùc taâm treân ñaïi soá caùc ma traän M2(K). Trong moät thôøi gian daøi baøi toaùn ñaët ra laø xaây döïng caùc ña thöùc taâm cho Mn(K), vôùi n >2 ñeå töø ñoù tìm ra ñoàng nhaát thöùc thoûa maõn cho caùc ñaïi soá ma traän Mn(K). Vaán ñeà naøy ñaõ ñöôïc giaûi quyeát moät caùch caën keû bôûi Formanek . Luaän vaên naøy trình baøy heä thoáng laïi phöông phaùp xaây döïng ña thöùc taâm treân Mn(K) cuûa Formanek vaø moät soá öùng duïng – aùp duïng cuûa ña thöùc taâm treân caùc ñaïi soá khaùc. Luaän vaên goàm 03 chöông : *Chöông I : Caùc vaán ñeà cô sôû Trong phaàn naøy chuû yeáu trình baøy moät soá khaùi nieäm,ñònh lyù, boå ñeà ( coù vaø khoâng coù chöùng minh ) laøm cô sôû cho chöông II vaø chöông III nhö : ma traän, ñaïi soá ñôn taâm , ñaïi soá nguyeân toá ,ñoàng nhaát thöùc , PI ñaïi soá ,..., caùc ñònh lyù quan troïng cuûa Pi Ñaïi soá nhö Ñònh lyù Kaplanski, Wederburn.... *Chöông II : Ña thöùc taâm treân Ñaïi soá caùc ma traän caáp n treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò Trong chöông naøy neâu leân ñònh nghóa cuûa ña thöùc taâm, moät soá khaùi nieäm duøng laøm cô sôû cho vieäc xaây döïng ña thöùc taâm treân Mn(K).Phaàn trọng taâm cuûa chöông naøy laø caùch xaây döïng ña thöùc Formanek , töø ñoù xaây döïng ñöôïc ña thöùc taâm cho Mn(K) vôùi n > 2 qua ñònh lyù Formanek. *Chöông III : Moät soá aùp duïng – öùng duïng cuûa ña thöùc taâm trong lyù thuyeát caùc PI Ñaïi soá Trong phaàn naøy neâu 2 öùng duïng vaø aùp duïng cuûa ña thöùc taâm vaøo vieäc chöùng minh moät soá keát quûa treân ñaïi soá ñôn taâm vaø ñaïi soá nguyeân toá Toâi xin traân troïng caùm ôn taát caû caùc Thaày, Coâ Toå Ñaïi Soá cuûa Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TP.HCM, Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Töï nhieân TP.HCM, Phoøng Nghieân cöùu Khoa hoïc Sau ñaïi hoïc tröôøng ÑHSP cuøng taát caû caùc baïn hoïc vieân Cao hoïc Ñaïi soá ñaõ nhieät tình giaûng daïy, taïo ñieàu kieän vaø giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh khoaù hoïc. Toâi xin ñaëc bieät tri aân PGS. TS Buøi Töôøng Trí ñaõ taän tình höôùng daãn toâi trong suoát quùa trình thöïc hieän luaän vaên naøy. Do trình ñoä coøn haïn cheá neân luaän vaên seõ khoâng traùnh khoûi sai soùt, kính mong ñöôïc söï thoâng caûm vaø goùp yù xaây döïng. Traân troïng caùm ôn. Hoïc vieân NGUYEÃN THÒ HOÀNG Cao hoïc Ñaïi soá Khoaù 12 (2001-2004) Tröôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh CHÖÔNG I CAÙC KIEÁN THÖÙC CÔ SÔÛ 1.1- Ma traän 1.1.1- Ñònh nghóa : Moät ma traän caáp mxn treân K laø moät heä thoáng goàm mn soá aij thuoäc moät truôøng K ñöôïc ñaùnh soá theo hai chæ soá i, j ( với i =1,m vaø j = 1,n ) ñöôïc saép thaønh moät baûng chöõ nhaät: ⎜a11a12....a1n ⎟ A= ⎜......................⎟ goàm m doøng , n coät , kyù hieäu A=( aij)mxn ⎝am1am2...amn ⎠ Taäp hôïp taát caû caùc ma traän caáp mxn kyù hieäu laø M m,n(K) Khi m = n ta coù ma traän vuoâng caáp n , kyù hieäu A = ( aij)n . Taäp hôïp taát caû caùc ma traän vuoâng caáp n , kyù hieäu laø Mn(K). Ñoái vôùi ma traän vuoâng A = ( aij)n , caùc phaàn töû coù hai chæ soá baèng nhau a11,… , ann naèm treân moät ñöôøng cheùo maø ta goïi laø ñöôøng cheùo chính cuûa A. Ñöôøng cheùo coøn laïi cuûa hình vuoâng goïi laø ñöôøng cheùo phuï cuûa A. 1.1.2- Ma traän cheùo caáp n Laø ma traän vuoâng caáp n maø taát caû caùc phaàn töû naèm ngoaøi ñöôøng cheùo chính ñeàu baèng 0. A= ⎡ a 1 0 . . . . . 0 ⎤ ⎢ 0 a 2 . . . . . 0 ⎥ ⎢ . . . . . . . . . . . . . ⎥ ⎣ 0 0 . . . . .a n ⎦ 1.1.3 – M a traän ñôn vò caáp n (Kyù hieäu I n ) Laø ma traän cheùo caáp n maø taát caû caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùo chính ñeàu baèng 1 ⎡1 0 .....0 ⎤ ⎢ 0 1 .....0 ⎥ .......... ⎣ 0 0 .....1 ⎦ 1.1.4 – Giaù trò rieâng Cho ma traän a∈ Mn(K), soá λ ñöôïc goïi laø giaù trò rieâng cuûa a neáu toàn taïi vectô x = (x1,…, xn) ∈ Kn\ {0} sao cho ⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ a ⎢ x2 ⎥ = λ ⎢ x2 ⎥ ⎢. ⎥ ⎢. ⎥ . . ⎣ xn ⎦ ⎢ xn ⎥ Vectô x goïi laø vectô rieâng cuûa A öùng vôùi giaù trò rieâng λ . Ñeå thuaän tieän coù theå vieát ax =λx 1.1.5 – Veát cuûa moät ma traän vuoâng a caáp n Laø toång caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùo chính cuûa noù , kyù hieäu Tr(a) 1.1.6- Ma traän ñaëc tröng Cho a laø ma traän vuoâng caáp n treân K (n ≥ 1).Ma traän a-λI n laø ma traän ñaëc tröng cuûa a. Tính toaùn tröïc tieáp ñònh thöùc cuûa ma traän (a- λ I n ) laø moät ña thöùc baäc n cuûa bieán λ vôùi heä soá treân K goïi laø ña thöùc ñaëc tröng cuûa ma traän a, kyù hieäu laø χa(λ) (hoaëc χ(λ) neáu khoâng coù söï hieåu laàm) χa(λ)=det(a - λ I n)=(-1)nλn + (-1)n-1 tr(a)λn-1+….+det a Phöông trình χa(λ)=0 laø phöông trình ñaëc tröng cuûa a. ... - tailieumienphi.vn