Xem mẫu
- Më ®Çu
1. LÝ do chän ®Ò t i
CÊu tróc module xuÊt hiÖn trong hÇu hÕt c¸c lÝ thuyÕt to¸n häc hiÖn ®¹i,
nã cã kh¶ n¨ng thèng nhÊt mét c¸ch b¶n chÊt c¸c cÊu tróc v nh, ideal, nhãm
Abel v kh«ng gian vÐc t¬. TÝnh linh ho¹t v phæ qu¸t cña module ® mang l¹i
nh÷ng øng dông to lín. Th«ng qua lÝ thuyÕt module, chóng ta sÏ cã dÞp soi s¸ng,
cñng cè lÝ thuyÕt vÒ kh«ng gian vÐc t¬ v nhiÒu lÝ thuyÕt to¸n häc kh¸c.
Trong lÝ thuyÕt module, chóng ta ® biÕt ®Õn module con tèi ®¹i v
module con ®¬n, tõ ®ã chóng ta x©y dùng ®−îc kh¸i niÖm c¨n v ®Õ cña module.
§©y l hai c«ng cô quan träng rÊt cã hiÖu lùc trong viÖc nghiªn cøu, t×m hiÓu lÝ
thuyÕt module. C¨n v ®Õ cña module cïng víi nh÷ng tÝnh chÊt cña nã ® trë
th nh nh÷ng kiÕn thøc c¬ së ®ãng vai trß to lín trong viÖc nghiªn cøu vÒ ®ång
cÊu v nh v mét sè module nh−: Module h÷u h¹n sinh, module néi x¹, module
x¹ ¶nh,... Tõ ®ã chóng ta cã kh¶ n¨ng t×m hiÓu s©u h¬n mét sè ®Æc tr−ng cña
v nh v module.
L sinh viªn ng nh S− ph¹m To¸n, trªn c¬ së ® ®−îc trang bÞ nh÷ng kiÕn
thøc nÒn t¶ng vÒ module v víi mong muèn ®−îc häc hái, trau dåi thªm vèn
kiÕn thøc vÒ to¸n häc nãi chung v lÝ thuyÕt module nãi riªng. ChÝnh v× vËy t«i
® lùa chän ®Ò t i: “ C¨n v ®Õ cña module ” cho kho¸ luËn tèt nghiÖp cña
m×nh. Trong ®Ò t i n y t«i dù kiÕn hÖ thèng nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒ
module l m c¬ së lÝ luËn ®Ó t×m hiÓu c¨n v ®Õ v tõng b−íc ®i s©u nghiªn cøu
nã. Thªm v o ®ã t«i cßn tr×nh b y hÖ thèng b i tËp ¸p dông nh»m hiÓu s©u h¬n
phÇn lÝ thuyÕt.
2. Môc ®Ých nghiªn cøu
HÖ thèng ho¸ mét c¸ch khoa häc c¸c kh¸i niÖm vÒ module, c¨n v ®Õ cña
module kÌm theo c¸c vÝ dô minh ho¹, nghiªn cøu tÝnh chÊt c¬ b¶n cña c¨n v ®Õ,
®i s©u nghiªn cøu c¨n v ®Õ cña mét sè líp v nh, module. Ngo i ra, kho¸ luËn
cßn ®−a ra hÖ thèng c¸c b i tËp nh»m vËn dông v cñng cè lÝ thuyÕt.
3. §èi t−îng v ph¹m vi nghiªn cøu
§èi t−îng chÝnh m kho¸ luËn nghiªn cøu l c¨n v ®Õ cña module, trong
3
- ®ã tËp trung v o c¸c tÝnh chÊt cña nã. Bªn c¹nh ®ã, kho¸ luËn cßn tr×nh b y hÖ
thèng c¸c kh¸i niÖm bæ trî cã thÓ coi nh− kiÕn thøc chuÈn bÞ phôc vô cho viÖc
nghiªn cøu c¸c ®èi t−îng chÝnh v hÖ thèng b i tËp ¸p dông nh»m cñng cè lÝ
thuyÕt.
4. Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu
+ Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu lÝ luËn: Tr−íc hÕt l ®äc c¸c t i liÖu liªn quan
®Õn ®¹i sè hiÖn ®¹i, module ®Ó t×m hiÓu c¬ së lÝ luËn l m tiÒn ®Ò nghiªn cøu ®èi
t−îng chÝnh. Sau ®ã l ®äc, nghiªn cøu v hiÓu vÒ ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt cña c¨n
v ®Õ module qua c¸c t i liÖu liªn quan.
+ Ph−¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm: Tæng hîp v hÖ thèng ho¸ kiÕn thøc
vÒ vÊn ®Ò nghiªn cøu ®Çy ®ñ v khoa häc, ®−a v o c¸c vÝ dô minh ho¹ chi tiÕt.
5. ý nghÜa khoa häc v thùc tiÔn
Kho¸ luËn cã thÓ l t i liÖu tham kh¶o cho nh÷ng sinh viªn chuyªn ng nh
To¸n cã mong muèn t×m hiÓu s©u h¬n vÒ cÊu tróc cña module m cô thÓ l vÒ
c¨n v ®Õ cña module.
6. Bè côc cña kho¸ luËn
Ngo i c¸c phÇn Më ®Çu, KÕt luËn v T i liÖu tham kh¶o, néi dung cña
kho¸ luËn gåm ba ch−¬ng.
Ch−¬ng 1: KiÕn thøc chuÈn bÞ
Ch−¬ng n y tr×nh b y mét c¸ch cã hÖ thèng nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt
vÒ lÝ thuyÕt module. Cô thÓ l : §¹i c−¬ng vÒ module: Trong ®ã bao gåm c¸c néi
dung nh− t×m hiÓu vÒ module, module con, module th−¬ng, ®ång cÊu module,
tÝch trùc tiÕp v tæng trùc tiÕp c¸c module, mét sè module th−êng gÆp. Sau ®ã l
tr×nh b y nh÷ng vÊn ®Ò c¬ b¶n cña mét sè cÆp module ®Æc biÖt cã tÝnh chÊt ®èi
ngÉu víi nhau nh−: Module con cèt yÕu, ®èi cèt yÕu; module x¹ ¶nh, néi x¹;
module sinh, ®èi sinh; module Noether, Artin.
Ch−¬ng 2: C¨n v ®Õ cña module
§©y l ch−¬ng chøa ®ùng néi dung chÝnh cña kho¸ luËn. Trong ®ã t×m hiÓu
®Þnh nghÜa v c¸c tÝnh chÊt cña c¨n v ®Õ module. Tõng b−íc ®i s©u nghiªn cøu
c¨n v ®Õ trªn c¬ së nghiªn cøu c¨n cña module x¹ ¶nh, module h÷u h¹n sinh, ®Õ
cña module h÷u h¹n ®èi sinh, c¨n cña v nh…
4
- Ch−¬ng 3: B i tËp ¸p dông
Ch−¬ng n y tr×nh b y hÖ thèng b i tËp cïng lêi gi¶i nh»m ¸p dông v cñng
cè l¹i phÇn lÝ thuyÕt ® tr×nh b y ë hai ch−¬ng tr−íc ®ã. Ngo i ra l mét sè b i
tËp ®Ò nghÞ d nh cho ng−êi ®äc muèn t×m hiÓu thªm vÒ module, c¨n v ®Õ cña
module.
Trong to n bé kho¸ luËn, kh¸i niÖm v nh lu«n ®−îc gi¶ thiÕt l v nh giao
ho¸n cã ®¬n vÞ 1 ≠ 0 .
5
- Ch−¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ
Ch−¬ng n y tr×nh b y nh÷ng kh¸i niÖm vÒ module, module con, module
th−¬ng, ®ång cÊu module, tÝch trùc tiÕp v tæng trùc tiÕp c¸c module, mét sè lo¹i
module th−êng gÆp nh− module ®¬n, module tèi ®¹i, module tù do,... v mét sè
líp module quan träng cã tÝnh chÊt ®èi ngÉu: Module con cèt yÕu, ®èi cèt yÕu;
module x¹ ¶nh, néi x¹; module sinh, ®èi sinh; module Noether, Artin. §©y l
nh÷ng kiÕn thøc më ®Çu gióp chóng ta tiÕp cËn v t×m hiÓu vÒ c¨n v ®Õ cña
module.
1.1. §¹i c−¬ng vÒ module
Trong phÇn n y ta t×m hiÓu nh÷ng kiÕn thøc chung nhÊt vÒ module, ®ång cÊu
module, tÝch trùc tiÕp v tæng trùc tiÕp c¸c module, mét sè lo¹i module th−êng gÆp.
1.1.1. Module, module con, module th−¬ng
§Þnh nghÜa 1. Cho R l mét v nh. M l mét nhãm céng Abel. Trang bÞ cho M
phÐp nh©n ngo i víi c¸c phÇn tö cña R: R × M → M
(r, x) ֏ rx
tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn : (i) (a + b)x = ax + bx
(ii) a(x + y) = ax + ay
(iii) (ab)x = a(bx)
(iv) 1.x = x
Víi mäi a, b ∈ R; x,y∈ M.
Khi ®ã M ®−îc gäi l R- module hay module trªn v nh R.
VÝ dô:
(i) Mçi ideal cña v nh R l mét R- module.
(ii) Mçi v nh còng l mét module trªn chÝnh nã.
(iii) K l mét tr−êng, c¸c K- module chÝnh l c¸c kh«ng gian vect¬ trªn chÝnh nã.
(iv) Mçi nhãm Abel céng M ®−îc coi l mét ℤ - module víi phÐp nh©n ngo i
®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: Víi mçi x ∈ M v n∈ℤ th× nx = x + x + ... + x (tæng
gåm n phÇn tö x) víi n ∈ℤ + ; 0x = 0M ; nx = (-n)(-x) nÕu n ∈ℤ − .
C¸c vÝ dô trªn chøng tá r»ng kh¸i niÖm module l mét kh¸i niÖm tæng qu¸t cña
6
- c¸c kh¸i niÖm: V nh, ideal, kh«ng gian vect¬ v nhãm Abel.
§Þnh nghÜa 2. Mçi tËp con kh«ng rçng N cña mét R- module M ®−îc gäi l mét
R- module con cña M nÕu b¶n th©n N còng l mét R- module víi hai phÐp céng
v nh©n trong M thu hÑp v o N. Khi ®ã M ®−îc gäi l module më réng cña N.
VÝ dô:
(i) Víi M l R- module. {0} v M l hai R- module con tÇm th−êng cña M.
(ii) Mäi nhãm con cña mét nhãm Abel M l Z - module con cña M.
(iii) M l R- module. Khi ®ã víi x ∈ M; TËp hîp Rx ={rx | r ∈ R} l mét R-
module con cña M (module con xyclic sinh bëi x).
(iv) R l v nh. V nh ®a thøc R[x, y] l mét R- module. Khi ®ã R[x] l mét R-
module con cña R[x, y].
MÖnh ®Ò 1. Mçi tËp con N cña R- module M l mét R- module con cña M khi v
chØ khi 0 M ∈ N v ax + by ∈ N víi mäi x, y ∈ N ; a, b ∈ R.
Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn l hiÓn nhiªn.
§iÒu kiÖn ®ñ: V× x − y = 1.x + (−1). y ∈ N víi mäi x, y ∈ N nªn N l mét nhãm
con cña nhãm céng M. MÆt kh¸c do ax = ax + 0 R.0 M ∈ N víi mäi x ∈ N v
a ∈ R nªn N ®ãng kÝn víi phÐp nh©n ngo i. Bèn tiªn ®Ò cña module tho¶ m n
cho N v× N l con cña R- module M. V× vËy N l mét R- module con cña M.
§Þnh nghÜa 3. Cho M l R- module v N l mét module con cña M.
Khi ®ã N l mét nhãm con cña nhãm Abel (M, +) nªn ta cã nhãm th−¬ng:
M N = { x = x + N | x∈M }
cïng hai phÐp to¸n:
+) PhÐp céng: ( x1 + N ) + ( x2 + N ) = ( x1 + x2 ) + N
+) PhÐp nh©n v« h−íng: R × M N → M N
(r , x + N ) ֏ rx + N
Víi r ∈ R; x1 , x2 , x ∈ M . Khi ®ã M N còng l mét R- module v gäi l module
th−¬ng cña module M theo module N.
VÝ dô:
(i) R l v nh, I l mét ideal cña R. Khi ®ã R I l R- module v :
7
- R I = { x = x + I, ∀x ∈ R }
(ii) ∀ n ∈ ℕ* ; ℤ n = ℤ nℤ l ℤ − module.
§Þnh nghÜa 4. Cho M l mét R- module. C¸i triÖt cña M ®−îc kÝ hiÖu l Ann(M),
l tËp tÊt c¶ c¸c phÇn tö a ∈ R sao cho ax = 0, ∀x ∈ M .
VÝ dô:
Víi I l mét ideal cña v nh R. Khi ®ã c¸i triÖt cña R- module R I l Ann( R I ) = I.
1.1.2. §ång cÊu module
§Þnh nghÜa 5. Cho M, N l c¸c R - module. Mét ¸nh x¹ f : M → N ®−îc gäi l mét
®ång cÊu R - module hay ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh nÕu nã tháa m n hai ®iÒu kiÖn:
(i) f ( x + y) = f ( x) + f ( y)
(ii) f (ax) = af ( x)
Víi mäi x, y ∈ M ; a ∈ R.
NhËn xÐt:
(i) f l ®¬n ¸nh, to n ¸nh, song ¸nh th× t−¬ng øng ®ång cÊu l : §¬n cÊu, to n
cÊu, ®¼ng cÊu.
(ii) NÕu f (M ) = {0 N } th× f ®−îc gäi l ®ång cÊu kh«ng v kÝ hiÖu l 0.
(iii) Kerf = {x ∈ M | f ( x) = 0} = f −1 (0) : H¹t nh©n hay h¹ch cña f .
Im f = f (M ) = { y ∈ N | ∃ x ∈ M : y = f ( x)} ®−îc gäi l ¶nh cña f .
NÕu M = N th× f l tù ®ång cÊu cña M . NÕu f l ®¼ng cÊu, khi ®ã M v N l
R - module ®¼ng cÊu viÕt l M ≅ N .
VÝ dô:
(i) Cho N l R - module con cña module M .
¸nh x¹ N → M : PhÐp nhóng chÝnh t¾c l mét ®¼ng cÊu.
x֏ x
(ii) M → N l mét ®ång cÊu 0.
x֏0
(iii) Cho N l R - module con cña module M . XÐt ¸nh x¹ p : M → M N
_
x֏ x
8
- p l mét to n cÊu chiÕu chÝnh t¾c v Im p = M N ; Ker p = N .
MÖnh ®Ò 2. ¸nh x¹ f : M → N l mét ®ång cÊu c¸c R - module khi v chØ khi
f (ax + by ) = af ( x) + bf ( y ); ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ M .
Chøng minh. ( ⇒ ) f l ®ång cÊu. Ta chøng minh f (ax + by ) = af ( x) + bf ( y )
V× f l ®ång cÊu nªn ∀a, b ∈ R, ∀x, y ∈ M ta cã:
f (ax + by) = f (ax) + f (by) = af ( x) + bf ( y).
( ⇐ ) Ng−îc l¹i nÕu f (ax + by) = af ( x) + bf ( y); ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ M th×
f ( x + y) = f (1.x + 1. y ) = 1. f ( x) + 1. f ( y) = f ( x) + f ( y)
f (ax) = f (ax + 0 y) = af ( x) + 0 f ( y ) = af ( x).
VËy f l mét ®ång cÊu.
MÖnh ®Ò 3. NÕu c¸c ¸nh x¹ f : M → M ′ v g : M ′ → M ′′ l hai ®ång cÊu c¸c
R - module th× ¸nh x¹ tÝch gf : M → M ′′ còng l mét ®ång cÊu module.
Chøng minh. Ta cã gf (ax + by ) = g[ f (ax + by )] = g[af ( x) + bf ( y )]
= ag[ f ( x)] + bg[ f ( y )] = agf ( x) + bgf ( y ) ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ M
Do ®ã gf l mét ®ång cÊu module.
NhËn xÐt:
Cho f : M → N l R - ®ång cÊu module. Khi ®ã ta cã:
(i) f l ®ång cÊu 0 khi v chØ khi Ker f = M .
(ii) f l to n cÊu khi v chØ khi Im f = N .
(iii) f (− x) = − f ( x) ∀x ∈ M ; f (0M ) = f (0 N ) .
(iv) NÕu U l module con cña M; V l module con cña N th× f −1 (V ) l module
con cña M. §Æc biÖt Kerf l module con cña M, f (U ) l module con cña N.
§Þnh nghÜa 6. Cho M v N l c¸c R - module. KÝ hiÖu HomR (M , N ) l tËp gåm
tÊt c¶ c¸c R - ®ång cÊu tõ M v o N. Víi ∀f , g ∈ HomR (M , N ) v ∀a, b ∈ R ta cã:
(af + bg )( x) = af ( x) + bg ( x) ∀x ∈ M .
Khi ®ã: (af + bg )(cx + dy ) = c[af + bg ]( x) + d [af + bg ]( y ) ∀x, y ∈ M ; ∀c, d ∈ R.
Do ®ã af + bg ∈ HomR (M , N ).
9
- TËp HomR (M , N ) víi c¸c phÐp to¸n x¸c ®Þnh nh− trªn trë th nh mét R - module
v gäi l module c¸c ®ång cÊu tõ M ®Õn N.
§Þnh lÝ 1 (§Þnh lÝ ®ång cÊu module). Cho f : M → N l mét ®ång cÊu c¸c R -
module v p : M → M Kerf l mét to n cÊu chÝnh t¾c. Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt
_
mét ®¬n cÊu f : M Kerf → N
_
x ֏ f ( x)
Sao cho biÓu ®å sau giao ho¸n:
f
M N
p f
_ M K erf
Tøc l f p = f .
_
Chøng minh. Tr−íc hÕt ta chøng minh f l ¸nh x¹. ThËt vËy, cã x ∈ M Kerf
_
nªn x = x + Kerf ∀x ∈ M . Gi¶ sö x′ ∈ x khi ®ã x′ = x. Suy ra x′ − x ∈ Kerf hay
f ( x′ − x) = 0 . Do ®ã f ( x′) − f ( x) = 0 (v× f l ®ång cÊu) hay f ( x) = f ( x '). VËy tõ
x ' = x ta cã f ( x ') = f ( x). Do ®ã f l ¸nh x¹.
Ta cã f l mét ®ång cÊu v×: f (ax + b y ) = f (ax + by ) = f (ax + by) = af ( x) + bf ( y)
= a f ( x) + b f ( y); ∀x, y ∈ M , ∀a, b ∈ R.
MÆt kh¸c ∀ x ∈ Ker f nªn f ( x) = 0 = f ( x) ∀x ∈ M . VËy f p = f .
HÖ qu¶ 1. Cho f : M → N l mét ®ång cÊu c¸c R- module. Khi ®ã ta cã
M Kerf ≅ Im f . V nÕu f l to n cÊu th× M Kerf ≅ N .
Chøng minh. ThËt vËy víi f : M Kerf → N
x ֏ f ( x) = f ( x)
l ®¬n cÊu th× M Kerf ≅ Im f . MÆt kh¸c Im f = Im f nªn M Kerf ≅ Im f . NÕu
f l to n cÊu th× Im f = N . Do ®ã M Kerf ≅ N .
HÖ qu¶ 2. Cho P l module con cña N; N l module con cña M. Khi ®ã ta cã:
M N ≅ (M P) ( N P).
10
- Chøng minh. XÐt ®ång cÊu f : M P → M N
x+P ֏ x+ N
Víi mäi x ∈ M . DÔ thÊy f l to n cÊu nªn Im f = M N . Ta cã:
Kerf = {x | f ( x) = 0} = {x + P | f ( x) = 0, x ∈ M } = {x + P | x ∈ N | x ∈ M } = N P .
VËy Kerf = {x + P | x ∈ M | x ∈ N } = N P . Do ®ã ¸p dông HÖ qu¶ 1 ta cã:
( M P) ( N P) ≅ M N
HÖ qu¶ 3. NÕu M v N l hai module con cña cïng mét module th× ta cã:
(M + N ) N ≅ M ( M ∩ N ) .
Chøng minh. XÐt ®ång cÊu f : M → (M + N ) N
x ֏ f ( x) = x = x + N
Ta sÏ chØ ra f l to n cÊu. ThËt vËy víi mçi z = z + N ∈ ( M + N ) N ta cã z = x + y
víi x ∈ M , y ∈ N . Do ®ã z = z + N = x + y + N = x + N v× y ∈ N suy ra f ( x) = z.
VËy víi mçi z ∈ ( M + N ) N lu«n tån t¹i x ∈ M ®Ó f ( x) = z nªn f l mét to n cÊu. Tõ
®ã suy ra Im f = ( M + N ) N . M Kerf = {x ∈ M | f ( x) = x = 0} = {x ∈ M | x ∈ N }
=M ∩N
Do ®ã ¸p dông HÖ qu¶ 1 cã M (M ∩ N ) ≅ ( M + N ) N .
1.1.3. TÝch trùc tiÕp, tæng trùc tiÕp c¸c module
§Þnh nghÜa 7. Cho I l mét tËp kh¸c rçng. Gi¶ sö ( M α )α ∈I l mét hä c¸c R-
module chØ sè hãa bëi I. Khi ®ã ta x©y dùng hai kh¸i niÖm:
(i) TÝch trùc tiÕp:
KÝ hiÖu M = ∏ M α l tÝch Descartes cña ( M α )α ∈I . Ta x©y dùng phÐp céng trong
α ∈I
M v phÐp nh©n ngo i c¸c phÇn tö cña R víi phÇn tö cña M:
a) ( xα )α∈I + ( yα )α∈I = ( xα + yα )α∈I
b) a( xα )α ∈I = (axα )α ∈I
Víi mäi a ∈ R,( xα )α ∈I ∈ M ; ( yα )α∈I ∈ M .
Víi hai phÐp to¸n n y M l mét R- module.
R- module M x©y dùng nh− trªn ®−îc gäi l tÝch trùc tiÕp cña hä c¸c R- module
11
- ( M α )α ∈I . Ta cã ∏ M α = { ( xα )α∈I | xα ∈ M α }. NÕu M α = N ∀α ∈ I th× ta kÝ hiÖu
α ∈I
∏ M α bëi N I .
α ∈I
(ii) Tæng trùc tiÕp:
Trong M = ∏ M α ta lÊy tËp con ⊕ M α bao gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña M víi
α ∈I α ∈I
c¸c th nh phÇn b»ng 0 hÇu hÕt chØ trõ méi sè h÷u h¹n th nh phÇn cã thÓ kh¸c 0.
Tøc ⊕ M α = {( xα )α ∈I | xα ∈ M α ; xα = 0 trõ mét sè h÷u h¹n } .
α ∈I
Khi ®ã ⊕ M α còng l R- module v l module con cña ∏ M α .
α ∈I α ∈I
⊕ M α ®−îc gäi l tæng trùc tiÕp cña hä c¸c R- module ( M α ) α∈I .
α ∈I
NÕu M α = N ∀α ∈ I th× ta kÝ hiÖu ⊕ M α bëi N ( I ) .
α ∈I
NhËn xÐt:
(i) NÕu hä c¸c R- module ( M α ) α∈I chØ gåm mét sè h÷u h¹n c¸c module th× ta cã:
∏ Mα = ⊕ Mα
α ∈I α ∈I
(ii) NÕu coi v nh R l R- module th× tÝch trùc tiÕp cña nR- module R kÝ hiÖu l R n .
§Þnh nghÜa 8 (Tæng trùc tiÕp trong). Cho {Nα }α ∈I l mét hä tïy ý c¸c module
con cña R- module M. Khi ®ã nÕu Nα ∩ [ ∑ N β ] ={0} ∀ α ∈ I th× ∑ Nα ®−îc
α ≠ β ∈I α ∈I
gäi l tæng trùc tiÕp trong cña hä c¸c module con ® cho.
KÝ hiÖu l ⊕ Nα ; ⊕ Nα ={ ∑ xα | xα ∈ M α ; xα = 0 hÇu hÕt trõ mét sè h÷u h¹n}.
α ∈I α ∈I α ∈I
Mét module con N cña M ®−îc gäi l h¹ng tö trùc tiÕp cña M nÕu tån t¹i mét
module con F cña M ®Ó M = N ⊕ F.
VÝ dô:
R l v nh. Khi ®ã v nh ®a thøc R[x, y] l mét R- module nhËn R[x] v yR[x, y] l m
c¸c R- module con cña nã v ta cã R[x, y] = R[x] ⊕ yR[x, y]; R[x] v yR[x, y] l c¸c
h¹ng tö trùc tiÕp cña R[x, y].
NhËn xÐt:
N l tæng trùc tiÕp trong cña hä {Nα }α ∈I khi v khi mçi phÇn tö x cña cã thÓ biÓu
diÔn mét c¸ch duy nhÊt d−íi d¹ng sau:
12
- x = xα + xα + ... + xα ; xα ∈ Nα ;α i ∈ I ; 1 ≤ i ≤ n.
1 2 n i i
§Þnh nghÜa 9. §¬n cÊu ϕ : A → B cña c¸c R- module ®−îc gäi l chÎ ra nÕu
Im ϕ l h¹ng tö trùc tiÕp trong B. To n cÊu β : B → C ®−îc gäi l chÎ ra nÕu
Ker β l h¹ng tö trùc tiÕp cña B.
MÖnh ®Ò 4. 1) §ång cÊu module α : A → B l ®¬n cÊu chÎ ra khi v chØ khi tån
t¹i ®ång cÊu β : B → A sao cho βα = id A . Khi ®ã B = Im ϕ ⊕ Ker β .
2) §ång cÊu β : B → C l to n cÊu chÎ ra khi v chØ khi tån t¹i ®ång cÊu γ : C → B
sao cho βγ = idC . Khi ®ã B = Ker β ⊕ Im γ .
Chøng minh. 1) Gi¶ sö α : A → B l ®¬n cÊu chÎ ra. Khi ®ã B = Im α + B1 . Do
mçi phÇn tö b ∈ B ta viÕt ®−îc duy nhÊt d−íi d¹ng α (a) + b1; a ∈ A; b1 ∈ B1 ;
Do α l ®¼ng cÊu gi÷a A v Im α nªn t−¬ng øng: β : B → A
α (a) + b1 ֏ a
l mét ®ång cÊu v ta cã βα = id A .
Ng−îc l¹i, gi¶ sö tån t¹i ®ång cÊu β : B → A sao cho βα = id A . Khi ®ã α l ®¬n cÊu.
LÊy b ∈ B . Ta cã β (b − αβ (b)) = 0 nghÜa l b − αβ (b) = b1 ∈ Ker β . Do ®ã ta cã:
B = Im α + Ker β .
Ta sÏ chøng minh Im α ∩ Ker β = 0. ThËt vËy lÊy a ∈ Im α ∩ Ker β suy ra tån t¹i
x ∈ A sao cho α ( x) = a v 0 = β (a) = β (α ( x)) = x . Suy ra a = 0 .
VËy B = Im α ⊕ Ker β .
2) NÕu β : B → C l to n cÊu chÎ ra th× B = Kerf ⊕ B1 . Khi ®ã β1 = β |B : B1 ≅ C.
1
Gäi µ : B1 → B l phÐp nhóng chÝnh t¾c ta ®−îc γ = µβ −1 : C → B tho¶ m n
βγ = idC .
Ng−îc l¹i, nÕu tån t¹i ®ång cÊu γ : C → B sao cho βγ = idC th× γ l ®¬n cÊu v
β l to n cÊu. ¸p dông phÇn 1) ta ®−îc B = Ker β ⊕ Im γ nghÜa l β l to n cÊu
chÎ ra.
MÖnh ®Ò 5. Cho R- module M v N l mét module con cña nã. Khi ®ã nÕu N l
mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M th× M ≅ N ⊕ M N .
Chøng minh. N l mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M do ®ã theo ®Þnh nghÜa tån t¹i mét
13
- module con F cña M sao cho M = N ⊕ F. Ta chØ cÇn chøng minh F ≅ M N .
XÐt phÐp chiÕu chÝnh t¾c p: M → M N Gäi p |F : F → M N l thu hÑp cña p
lªn F. Ta chøng minh p |F l mét ®¼ng cÊu R- module. ThËt vËy v× Ker p = N
nªn ta cã Ker p |F = N ∩ F = {0} do ®ã p |F l mét ®¬n cÊu. MÆt kh¸c víi mçi
x = x + N ∈ M N ta viÕt x = y + z víi y ∈ F; z ∈ N th× ta cã:
x = x+N = y + z + N = y + N
v× z ∈ N do ®ã x = p |F (y). VËy p |F còng l mét to n cÊu do ®ã nã l mét ®¼ng
cÊu. Suy ra M ≅ N ⊕ M N .
A+ B = M
Ta ® biÕt tæng trùc tiÕp M = A ⊕ B ⇔
A∩ B = 0
Më réng kh¸i niÖm n y ta cã c¸c kh¸i niÖm sau:
§Þnh nghÜa 10. Cho A l module con cña R- module M .
1) Module con A* cña M ®−îc gäi l phÇn bï céng tÝnh ®èi víi A trong M nÕu:
(i) A + A* = M ;
(ii) A* l module con tèi tiÓu cã tÝnh chÊt A + A* = M .
2) Module con A′ cña M ®−îc gäi l phÇn bï theo giao (hay ∩ - bï) nÕu:
(i) A ∩ A′ = 0;
(ii) A′ l module con tèi ®¹i cã tÝnh chÊt A ∩ A′ = 0.
MÖnh ®Ò 6. Gi¶ sö A, B l hai module con cña M . Khi ®ã M = A ⊕ B khi v
chØ khi B ®ång thêi l phÇn bï céng tÝnh v phÇn bï theo giao cña A trong M .
Chøng minh. ( ⇐ ) Suy ra tõ ®Þnh nghÜa.
( ⇒ ) Gi¶ sö M = A ⊕ B v C l module con cña B tháa m n A + C = M . Khi ®ã
theo LuËt modular ta cã: ( A ∩ B) + C = ( A + C ) ∩ B = M ∩ B = B m A ∩ B = 0
nªn C = B. Do ®ã B l phÇn bï céng tÝnh ®èi víi A trong M . B©y giê nÕu
B ⊂ E v A ∩ E = 0 víi E l module con cña M th× theo LuËt modular ta cã:
( A ∩ E ) + B = ( A + B) ∩ E = M ∩ E
M A ∩ E = 0 nªn B = E. VËy B l ∩ - bï cña A trong M .
Sau ®©y chóng ta sÏ t×m hiÓu nh÷ng cÆp module ®Æc biÖt cã tÝnh chÊt ®èi ngÉu
víi nhau.
14
- 1.1.4. mét sè lo¹i module th−êng gÆp
§Þnh nghÜa 11. Cho I l mét tËp kh¸c rçng v {Nα }α∈I l mét hä tuú ý c¸c
module con cña mét R- module M. Khi ®ã kÝ hiÖu ∑ Nα ={ ∑ xα | xα ∈ Nα , α ∈ I }
α ∈I α ∈I
l tæng h÷u h¹n c¸c phÇn tö cña ∪ Nα .
α ∈I
∑ Nα ®−îc gäi l
α ∈I
tæng cña hä {Nα }α∈I c¸c module con cña M.
NhËn xÐt:
Gi¶ sö {Nα }α∈I l hä tuú ý c¸c module con cña mét R- module. Khi ®ã ta cã c¸c
kÕt qu¶ sau:
(i) ∩ Nα v ∑ Nα l c¸c R- module con cña M.
α ∈I α ∈I
(ii) NÕu hä {Nα }α∈I lång nhau th× ∪ Nα còng l mét module con cña M.
α ∈I
§Þnh nghÜa 12. Gi¶ sö S l mét tËp con cña mét R- module M. Khi ®ã giao cña
tÊt c¶ c¸c module con chøa S cña M còng l mét module con cña M v ®−îc gäi
l module con cña M sinh bëi S.
KÝ hiÖu:
l module con cña M bÐ nhÊt (theo quan hÖ bao h m) chøa S.
S ®−îc gäi l mét tËp sinh hay hÖ sinh cña module .
NÕu = M th× ta nãi S l mét hÖ sinh cña M hay M ®−îc sinh bëi S. NÕu S
kh«ng chøa thùc sù mét hÖ sinh cña M th× S ®−îc gäi l hÖ sinh cùc tiÓu cña M.
NÕu M cã mét hÖ sinh h÷u h¹n th× M ®−îc gäi l mét module h÷u h¹n sinh.
NÕu M cã hÖ sinh chØ gåm mét phÇn tö th× M ®−îc gäi l mét module ®¬n sinh.
NhËn xÐt:
(i) NÕu S = ∅ th× < S > = {0}. Do ®ã khi nãi module sinh bëi tËp S th× ta lu«n
coi S ≠ ∅.
n
(ii) S ≠ ∅ v S ⊂ M l R- module. Khi ®ã tæng: ∑ ai xi víi x1 ,..., xn ∈ S ; ai ∈ R v
i =1
1 ≤ i ≤ n ®−îc gäi l mét tæ hîp tuyÕn tÝnh c¸c phÇn tö cña S.
15
- VÝ dô:
(i) Víi S = {x}; M = < S > = = Rx ={rx | r ∈ R} l module ®¬n sinh.
(ii) ℤ - module ℚ c¸c sè h÷u tû kh«ng cã hÖ sinh h÷u h¹n.
1
ThËt vËy, gi¶ sö X = { a1 , a2 ,..., an } l mét hÖ sinh h÷u h¹n cña ℚ . Khi ®ã a1 cã
2
1
thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng tæng h÷u h¹n: a = x1a1 + ∑ xi ai , ai ∈ ℤ .
2 1 i ≠1
Suy ra a1 = 2 x1a1 + ∑ 2xi ai . Do ®ã (1 − 2 x1 )a1 = ∑ 2xi ai . §Æt m = 1- 2 x1 . Tõ ®ã ta
i ≠1 i ≠1
1
cã: m a1 = ∑ 2xi ai . Gi¶ sö ( ) a1 = y1a1 + ∑ yi ai ; yi ∈ ℤ . Khi ®ã:
i ≠1 m i ≠1
a1 = my1a1 + ∑ myi ai = ∑ 2 xi ai y1 + ∑ myi ai = ∑ (2 xi y1 + myi )ai = ∑ rai .
i
i ≠1 i ≠1 i ≠1 i ≠1 i ≠1
víi ri = 2 xi y1 + myi . §iÒu n y chøng tá X \ { a1 } còng l mét hÖ sinh cña ℚ .
TiÕp tôc qu¸ tr×nh n y sau n b−íc ta ®−îc tËp rçng l hÖ sinh cña ℚ .
Do ®ã ℚ ={0} (v« lÝ). VËy ℤ - module ℚ c¸c sè h÷u tû kh«ng cã hÖ sinh h÷u h¹n.
Sau ®©y chóng ta sÏ t×m hiÓu mét sè lo¹i module cã quan hÖ mËt thiÕt víi
module h÷u h¹n sinh.
§Þnh nghÜa 12. Module con A cña R- module M ®−îc gäi l module tèi ®¹i nÕu
A ≠ M v A kh«ng chøa trong mét module con thùc sù n o cña M.
MÖnh ®Ò 7. Trong module h÷u h¹n sinh mçi module con thùc sù ®−îc chøa
trong mét module con tèi ®¹i.
§Ó chøng minh mÖnh ®Ò trªn ta nh¾c l¹i bæ ®Ò Zorn:
Cho A l mét tËp s¾p thø tù. NÕu mçi tËp con s¾p thù tù ho n to n trong A cã cËn
trªn trong A th× A cã phÇn tö tèi ®¹i.
Chøng minh mÖnh ®Ò trªn.
Gi¶ sö S = { m1 ,..., ms } l hÖ sinh cña M. NÕu A l module cña M v A ≠ M th× tËp
c¸c module con cña M: Γ = {B | A ⊂ B ⊂ M | B ≠ M } l kh¸c rçng v× A∈Γ.
Ta cã Γ l tËp s¾p thø tù theo quan hÖ bao h m. §Ó ¸p dông ®−îc bæ ®Ò Zorn ta
chØ cÇn chØ ra mçi tËp con s¾p thø tù ho n to n L cña Γ cã cËn trªn trong Γ.
§Æt C = ∪ B, víi B ∈ L. Suy ra C l cËn trªn cña L. Khi ®ã A ⊂ C. Gi¶ sö C = M.
16
- V× = M nªn { m1 ,..., ms } ⊂ C. Do ®ã tån t¹i module con B ∈ L sao cho
{ m1,..., ms } ⊂ B . NghÜa l B = M, (tr¸i gi¶ thiÕt vÒ Γ (B ≠ M)). Suy ra C ≠ M do
®ã C∈ Γ. VËy L cã cËn trªn trong Γ. Theo Bæ ®Ò Zorn trong Γ cã phÇn tö tèi
®¹i, gi¶ sö phÇn tö ®ã l D. Ta sÏ chøng minh D l module con tèi ®¹i cña M.
ThËt vËy, gäi N l module con cña M sao cho: D ⊂ N ⊂ M; N ≠ M. Do ®ã N∈ Γ.
MÆt kh¸c v× D l phÇn tö tèi ®¹i cña Γ nªn N = D. VËy D l module con tèi ®¹i
cña M. Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
HÖ qu¶ 4. Mçi module h÷u h¹n sinh M ≠ 0 ®Òu chøa module con tèi ®¹i.
MÖnh ®Ò 8. Cho R- module M, N v K l c¸c module con cña M. Khi ®ã module
con S sinh bëi N v K l module N + K = {x + y | x∈ N; y∈ K}.
Chøng minh. Ta cã N + K l module con cña M. N ⊂ N + K v K ⊂ N + K
suy ra S ⊂ N + K.
Ng−îc l¹i, víi mçi z ∈ N + K th× z = x + y; víi x∈ N, y∈ K. Do S l module sinh
bëi N v K nªn x∈ S, y∈ S. Suy ra x + y ∈ S. Do ®ã N + K ⊂ S. VËy S = N + K.
MÖnh ®Ò 9 (LuËt modular). NÕu U, V, W l nh÷ng module con cña R- module
M v V ⊆ W th× : (U + V) ∩ W = (U ∩ W) + V.
Chøng minh. Ta chøng minh (U + V) ∩ W ⊂ (U ∩ W) + V.
x ∈U + V x = a + b
ThËt vËy ∀ x ∈ (U + V) ∩ W ta cã hay víi a ∈U , b ∈V
x ∈W x ∈W
x = a + b ∈W
V× V ⊆ W nªn tõ b ∈ V cã b ∈ W. M nªn a∈ W. Suy ra
b ∈W
a ∈U ∩ W
hay x = a + b ∈ (U ∩ W ) + V . VËy (U + V) ∩ W ⊂ (U ∩ W) + V (1)
b ∈V
c ∈U ∩ W
Ng−îc l¹i ∀y ∈ (U ∩ W ) + V , y = c + d víi
d ∈V
c ∈U c ∈W c + d ∈U + V
Do ®ã ta cã c ∈W hay c + d ∈U + V suy ra c ∈W
d ∈V d ∈V d ∈W
c + d ∈U + V
Tõ ®ã: nªn c + d ∈ (U + V ) ∩ W hay y ∈U + V ) ∩ W
c + d ∈W
17
- VËy (U ∩ W) + V ⊂ (U + V) ∩ W (2)
Tõ (1) v (2) ta cã (U + V) ∩ W = (U ∩ W) + V.
§Þnh nghÜa 14. Cho M l R- module. M ®−îc gäi l module ®¬n nÕu M l
module kh¸c 0 v chØ cã hai module con l 0 v chÝnh nã.
VÝ dô:
(i) K l mét tr−êng, mäi K- kh«ng gian vect¬ chiÒu 1 l K- module ®¬n.
(ii) Víi ℤ l mét module trªn chÝnh nã, khi ®ã ℤ kh«ng ph¶i l ℤ - module ®¬n
v×: 0 ⊂ 2ℤ ⊂ ℤ , víi 2ℤ l module con thùc sù cña ℤ .
NhËn xÐt:
Module ®¬n lu«n sinh bëi mét phÇn tö (module ®¬n sinh).
ThËt vËy, gi¶ sö M l module l R- module ®¬n. Ta chøng minh:
M = Rx = {rx | ∀x ∈ M; r ∈ R}
V× M l R- module ®¬n nªn M ≠ 0. Do ®ã tån t¹i x ∈ M \ {0}. XÐt Rx cã x ∈ Rx
v× x = 1. x ∈ Rx víi 1∈ R. Do ®ã 0 ≠ Rx ⊂ M . MÆt kh¸c v× M l module ®¬n nªn
Rx = M. VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
MÖnh ®Ò 10. Cho N l mét module con cña R- module M. Khi ®ã R- module N l
cùc ®¹i nÕu v chØ nÕu module th−¬ng M N l ®¬n.
Chøng minh. N l module cùc ®¹i cña M nÕu v chØ nÕu N ≠ M v kh«ng cã
module con P cña M sao cho N ⊂ P ⊂ M , tøc l module th−¬ng M N kh¸c
≠ ≠
kh«ng v chØ cã hai module con l 0 v chÝnh nã. Theo ®Þnh nghÜa th× M N l
module ®¬n. VËy mÖnh ®Ò ®−îc chøng minh.
§Þnh nghÜa 15. TËp con S cña R- module M ®−îc gäi l mét tËp ®éc lËp tuyÕn
tÝnh nÕu tõ mçi ®¼ng thøc a1 x1 + ... + an xn = 0, ∀x1, ... xn ∈ S , tõng ®«i mét kh¸c
nhau ta ®Òu cã a1 = … = an = 0 . Ng−îc l¹i ta cã S ®−îc gäi l mét tËp phô thuéc
tuyÕn tÝnh.
Mét R- module M ®−îc gäi l mét module tù do nÕu M cã mét hÖ sinh S ®éc lËp
tuyÕn tÝnh. Khi ®ã tËp S ®−îc gäi l mét c¬ së cña M.
VÝ dô:
(i) V nh R l mét R- module tù do trªn chÝnh nã víi c¬ së l {1}.
18
- (ii) Mçi kh«ng gian vect¬ trªn mét tr−êng K ®Òu l K- module tù do v× nã lu«n
cã c¬ së.
(iii) R × R còng l mét R- module tù do víi c¬ së l {(1,0); (0,1)}.
§Þnh lÝ 2 (TÝnh chÊt phæ dông). Cho F l module tù do víi c¬ së U = {ei | i ∈ I }
v A l R- module. Khi ®ã ¸nh x¹ f : U → A ®Òu ®−îc më réng mét c¸ch duy
nhÊt th nh ®ång cÊu ϕ : F → A.
Chøng minh. §ång cÊu ϕ : F → A ®−îc x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc:
ϕ (∑ ei xi ) = ∑ f (ei )xi
NÕu ψ : F → A l mét ®ång cÊu më réng cña f th× ψ (ei ) = f (ei ), i ∈ I v
ψ (∑ ei xi ) = ∑ψ (ei ) xi = ∑ f (ei ) xi = ϕ (∑ ei xi ).
Do ®ã ϕ = ψ . VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
NhËn xÐt:
Mäi R- module M ®Òu ®¼ng cÊu víi th−¬ng cña mét R- module tù do.
1.2. Module con cèt yÕu, ®èi cèt yÕu
1.2.1. Module con cèt yÕu
§Þnh nghÜa 16. Module con A cña module M ®−îc gäi l module con cèt yÕu
(hay lín) trong M nÕu mçi module con kh¸c kh«ng B cña M ta lu«n cã A ∩ B ≠ 0
(hay A ∩ B = 0 khi B = 0). Khi ®ã M ®−îc gäi l më réng cèt yÕu cña A.
KÝ hiÖu A ⊂* M .
VÝ dô:
(i) Cho M l R- module. Ta lu«n cã M ⊂* M .
(ii) Víi ℤ l ℤ - module. Mçi ideal kh¸c 0 trong ℤ ®Òu cèt yÕu v× víi
aℤ, bℤ ≠ 0 ta ®Òu cã 0 ≠ ab ∈ aℤ ∩ bℤ .
MÖnh ®Ò 11. 1) NÕu trong module M cã c¸c d y c¸c module con: A ⊂ B ⊂ C
th× A ⊂* M kÐo theo B ⊂* C.
n
2) NÕu Ai ⊂* M , 1 ≤ i ≤ n th× ∩ Ai ⊂* M .
i =1
3) NÕu ϕ : M → N l ®ång cÊu module v B ⊂* N th× ϕ −1 ( B) ⊂* M .
19
- Chøng minh. 1) Gi¶ sö E l module con kh¸c 0 cña C . Khi ®ã E còng l
module con cña M . V× A ⊂* M nªn A ∩ E ≠ 0 . V× A ⊂ B nªn B ∩ E ≠ 0 . Do ®ã
B ⊂* C .
n
2) Ta chøng minh ∩ Ai ⊂* M b»ng qui n¹p theo n .
i =1
Víi n =1: A1 ⊂* M ta cã ∩ A1 ⊂* M ®óng.
n −1
Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n -1 tøc l A = ∩ Ai ⊂* M . Ta gi¶ sö E ≠ 0 l mét module con
i =1
n −1 n −1
cña M , v× An ⊂* M nªn An ∩ E ≠ 0 v A = ∩ Ai ⊂* M nªn ( ∩ Ai ) ∩ E ≠ 0 . Do ®ã
i =1 i =1
A ∩ ( An ∩ E ) = ( A ∩ An ) ∩ E ≠ 0 (v× A ⊂* M ). Tõ ®ã suy ra A ∩ An ⊂* M .
n
VËy ∩ Ai ⊂* M .
i =1
3) Gi¶ sö E l mét module con cña M v E ∩ ϕ −1 ( B) = 0 (*)
Khi ®ã ta cã B ∩ ϕ ( E ) = 0 nªn ϕ ( E ) = 0 (v× B ⊂* N ). Suy ra:
E ⊂ Kerϕ ⊂ ϕ −1 (0) ⊂ ϕ −1 ( B)
do ®ã E ⊂ Kerϕ ∩ ϕ −1 ( B). VËy E = E ∩ ϕ −1 ( B) = 0. Do ®ã tõ (*) ta cã:
ϕ −1 ( B) ⊂* M .
1.2.2. Module con ®èi cèt yÕu
§Þnh nghÜa 17. Module con A cña M ®−îc gäi l ®èi cèt yÕu (hay bÐ) nÕu víi
module E ≠ M ta ®Òu cã A + E ≠ M (hay A + E = M kÐo theo E = M ).
KÝ hiÖu A ⊂ 0 M .
VÝ dô:
(i) Víi mçi M l R- module ta ®Òu cã 0 ⊂ 0 M .
(ii) Trong ℤ - module tù do chØ cã module tÇm th−êng l 0 l ®èi cèt yÕu.
ThËt vËy, gi¶ sö F l ℤ - module tù do víi c¬ së l { ei | i ∈ I }. Khi ®ã F = ⊕ ei ℤ
I
Gi¶ sö A l module con kh¸c 0 cña F v 0 ≠ a ∈ A . Khi ®ã cã a biÓu diÔn duy
nhÊt d−íi d¹ng a = ei x1 + ... + ei xn ; ⊕ xi ∈ℤ . Chän n ∈ ℤ, n > 1 sao cho (n, x1 ) = 1
1 n
§Æt E = (⊕ ei ℤ) + ei nℤ . Ta cã aℤ + E = F nghÜa l A + E = F víi E ≠ F . Suy ra
i ≠ i1 1
A kh«ng l module con cèt yÕu cña F .
20
- (iii) Mçi module h÷u h¹n sinh trong ℤ - module ℚ l ®èi cèt yÕu trong module
ℚ . ThËt vËy, gäi A l module con cña ℚ sinh bëi tËp h÷u h¹n {q1, q2 ,..., qn} ⊂ ℚ .
E l mét module con cña ℚ sao cho: A + E = ℚ . Khi ®ã {q1 , q2 ,..., qn } ∪ E l
mét hÖ sinh cña ℤ - module ℚ v b¶n th©n E l mét hÖ sinh cña ℚ . Do ®ã
E = ℚ . VËy A ⊂ 0 ℚ .
MÖnh ®Ò 12. 1) NÕu trong M cã d y nh÷ng module con: A ⊂ B ⊂ C th× B ⊂ 0 C
kÐo theo A ⊂ 0 M .
n
2) Ai ⊂0 M , 1 ≤ i ≤ n th× ∑ Ai ⊂ 0 M .
i =1
3) NÕu ϕ : M → N l ®ång cÊu module v A ⊂ 0 M th× ϕ ( A) ⊂0 N .
Chøng minh. 1) Gi¶ sö D l module con trong M sao cho: A + D = M .
Ta chøng minh A ⊂ 0 M . Ta cã B + D = M . Theo LuËt modular ta cã:
( D ∩ C ) + B = ( D + B) ∩ C = M ∩ C = C
MÆt kh¸c v× B ⊂ 0 C nªn tõ trªn ta cã D ∩ C = C do ®ã C ⊂ D . Suy ra
M = A + D = D . VËy tõ A + D = M cã D = M nªn A ⊂ 0 M .
2) Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo n
Víi n =1 mÖnh ®Ò lu«n ®óng do theo gi¶ thiÕt A1 ⊂0 M .
Gi¶ sö ta chøng minh ®−îc A = A2 + ⋯ + An ⊂ 0 M .
Ta ph¶i chøng minh A + A1 = A1 + ⋯ + An ⊂0 M . Gi¶ sö D l module con cña
M sao cho ( A + A1 ) + D = M (1)
V× A1 ⊂0 M nªn tõ (1) suy ra A + D = M (2)
MÆt kh¸c A = A2 + ⋯ + An ⊂ 0 M nªn tõ (2) ta cã D = M . KÕt hîp víi (1) ta cã
n
( A1 + A) = M hay ∑ Ai ⊂0 M khi Ai ⊂0 M , 1 ≤ i ≤ n .
i =1
3) Gi¶ sö ϕ ( A) + D = N víi D l module con cña N víi m∈M tïy ý ta cã
ϕ (m) = ϕ (a) + d víi a ∈ A, d ∈ D suy ra d = ϕ (m) − ϕ (a) = ϕ (m − a) nªn
m − a ∈ϕ −1 ( D) do ®ã m ∈ A + ϕ −1 ( D) hay M ⊂ A + ϕ −1 ( D) . HiÓn nhiªn ta cã
A + ϕ −1 ( D) ⊂ M . VËy M = A + ϕ −1 ( D) (*)
21
- MÆt kh¸c do A ⊂ 0 M nªn tõ (*) ta cã ϕ −1 ( D) = M suy ra ϕ ( A) ⊂ ϕ ( M ) ⊂ D . Do
®ã N = ϕ ( A) + D = D . VËy ϕ ( A) ⊂0 N .
MÖnh ®Ò 13. §èi víi a ∈ M , R- module aR kh«ng l module ®èi cèt yÕu trong
M khi v chØ khi tån t¹i module con tèi ®¹i K sao cho a ∉ K .
Chøng minh. ( ⇐ ) NÕu K l R- module con tèi ®¹i cña M víi a ∈ M , a ∉ K .
Ta chøng minh aR kh«ng l ®èi cèt yÕu.
ThËt vËy, v× a ∈ M , a ∉ K nªn aR + K = M . Do ®ã K ≠ M nªn aR kh«ng l ®èi
cèt yÕu.
( ⇒ ) aR kh«ng l ®èi cèt yÕu. Ta chØ ra tån t¹i module con tèi ®¹i K , a ∉ K . Ta
sö dông Bæ ®Ò Zorn. §Æt Γ l tËp tÊt c¶ c¸c module con B cña M , B ≠ M sao
cho aR + B = M ; Γ = {B | B ≠ M ; aR + B = M }. TËp Γ ≠ ∅ v× aR kh«ng l ®èi cèt
yÕu. Gäi L l mét d©y chuyÒn trong Γ theo quan hÖ bao h m. Khi ®ã ta cã L cã
l©n cËn trªn l B0 = ∪ B ∀B ∈ L . Ta chøng minh B0 ≠ M . ThËt vËy, gi¶ sö a ∈ B0
th× a ∈ B víi B n o ®ã thuéc L. Khi ®ã ta cã aR ⊂ B nªn M = aR + B = B, tr¸i
víi gi¶ thiÕt vÒ B ≠ M . Do ®ã a ∉ B0 hay B0 ≠ M . HiÓn nhiªn B0 + aR = M , theo
®Þnh nghÜa vÒ Γ ta cã B0 ∈Γ. V× B0 l l©n cËn trªn cña L trong Γ m B0 ∈Γ
nªn theo Bæ ®Ò Zorn trong Γ cã phÇn tö tèi ®¹i K .
Ta chøng tá K l module con tèi ®¹i trong M . ThËt vËy, gi¶ sö cã module con
E cña M sao cho K ⊂ E , K ≠ E. Khi ®ã E ∉Γ.
MÆt kh¸c M = aR + K ⊂ aR + E ⊂ M nªn aR + E = M . Suy ra E = M v× aR ⊂ E.
VËy K l module con tèi ®¹i trong M .
§Þnh lÝ 3. Cho A l module con cña R- module M . Khi ®ã A ⊂* M khi v chØ
khi víi mçi phÇn tö kh¸c kh«ng m ∈ M tån t¹i r ∈ R sao cho 0 ≠ mr ∈ A.
Chøng minh. ( ⇒ ) NÕu m ≠ 0 th× mR ≠ 0. V× A ⊂* M nªn A ∩ mR ≠ 0. Tån t¹i
r ∈ R sao cho 0 ≠ mr ∈ A.
( ⇐ ) Gi¶ sö B l module con kh¸c 0 cña M . LÊy 0 ≠ m ∈ B suy ra tån t¹i
r ∈ R sao cho 0 ≠ mr ∈ A. V× mr ∈ B nªn mr ∈ A ∩ B suy ra A ∩ B ≠ 0. VËy
A ⊂* M .
22
nguon tai.lieu . vn
