Xem mẫu
- TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC AN GIANG
KHOA SÖ PHAÏM
NGUYEÃN HOAØI PHUÙC
MSSV: 11105
CAÙC ÖÙNG DUÏNG CUÛA CAÙC ÑÒNH
LYÙ ROÂN, LAGRAÊNG, BOÂXANOÂ -
COÂSI
GIAÙO VIEÂN HÖÔÙNG DAÃN: VOÕ TIEÁN THAØNH
AN GIANG, Naêm 2004
- LÔØI CAÛM ÔN
Tröôùc heát toâi xin göûi lôøi chaân thaønh caûm oûn nhaát ñeán quyù thaày coâ , ban giaùm
hieäu tröôøng Ñaïi Hoïc An Giang ,ban chuû nhieäm khoa sö phaïm vaø thaày coâ boä moân
toaùn ûtaïo ñieàu kieän cho toâi hoaøn thaønh ñeà taøi naøy ,ñaëc bieät cho toâi coù cô hoäi laøm
quen vôùi vieäc nghieân cöùu khoa hoïc.
Chaân thaønh caûm oûn thaày Voõ Tieán Thaønh ngöôøi tröïc tieáp höôùng daãn vaø ñoùng
goùp söûa chöûa baûn thaûo laøm cho ñeà taøi hoaøn chænh hôn.
Long Xuyeân
6/2004
Nguyeãn Hoaøi Phuùc
- Muïc Luïc
Trang
Lôøi noùi ñaàu 1
Chöông I:Cô sôû lí luaän cuûa ñeà taøi 2
I.Haøm soá lieân tuïc 2
II.Ñaïo haøm 3
ChöôngII:ÖÙng duïng ñinh lí bonxano-cauchy
chöùng minh phöông trình coù nghieäm 5
I.Phöông phaùp chung 5
II.Caùc ví duï 5
ChöôngIII:Duøng ñònh lí Roll-Lagange-Cauchy
Chöùng minh phöông trình coù nghieäm 16
I.Phöông phaùp chung 16
II.Caùc ví duï 16
ChöôngIV:Duøng ñònh lí Lagange giaûi phöông trình 25
I.Phöông phaùp chung 25
II.Caùc ví duï 25
ChöôngV:Duøng ñònh lí Lagange chöng1 minh baát ñaúng thöùc 28
I.Caùc ví duï 28
I.Phöông phaùp chung 33
Taøi lieäu tham khaûo 36
- LÔØI NOÙI ÑAÀU
Trong nhöõng naêm gaàn ñaây ,nhöõng kyø thi hoïc sinh gioûi caáp quoác gia ,
quoác teá,trong caùc kyø thi Olympic Toaùn Sinh Vieân giöûa caùc tröôøng ñaïi hoïc trong
nöôùc thì caùc baøi toaùn lieân quan ñeán tính lieân tuïc vaø ñaïo haøm cuûa haøm soá
thöôøng xuyeân xuaát hieän vaø daïng phoå bieán nhaát laø chöùng minh phöông trình coù
nghieäm , giaûi phöông trình ,chöùng minh baát ñaúng thöùc .
Trong phaïm vi ñeà taøi naøy chuùng ta seõ taäp chung nghieân cöùu caùc öùng
duïng cuûa caùc ñònh lí Roll, Lagange ,Bonxano- Cauchy trong vieäc giaûi quyeát
caùc baøi taäp neâu treân .
I.Ñoái töôïng nghieân cöùu cuûa ñeà taøi :
Ñoái töôïng nghieân cöùu cuûa ñeà taøi chuû yeáu laø caùc baøi taäp ra trong
caùc saùch giaûi tích ,caùc ñeà thi Olympic lieân quan ñeán öùng duïng lieân tuïc vaø ñaïo
haøm .
II.Nhieäm vuï cuûa ñeà taøi :
Nghieân cöùu caùc öùng duïng cuûa caùc ñònh lí Bonxano-Cauchy,
Roll,Langange ñeå chöùng minh phöông trình coù nghieäm ,giaûi phöông trình vaø
chöùng minh baát ñaúng thöùc .
III.Noäi dung nghieân cöùu cuûa ñeà taøi:
Chöông I: nhöõng cô sôû lí luaän cuûa ñeà taøi
Chöông II: öùng duïng cuûa ñònh lí Bonxano – Cauchy chöùng minh
phöôngtrình coù nghieäm
Chöông III: öùng duïng ñònh lí Roll,Lagange,Cauchy chöùng minh
phöông trình coù nghieäm
Chöông IV: öùng duïng cuûa ñònh lí Lagange giaûi phöông trình
Chöông V: öùng duïng ñònh lí Lagange chöùng minh baát ñaúng thöùc
Ñoái töôïng nghieân cöùu cuûa ñeà taøi chuû yeáu laø caùc baøi taäp ra trong caùc kyø thi
Olympic,ñeà thi hoïc sinh gioûi caáp quoác gia vaø quoác teá.
IV. Phöông phaùp nghieân cöùu :
-Tham khaûo taøi lieäu.
-Heä thoáng caùc baøi taäp vaø phaân loaïi.
-Höôùng daån phöông phaùp giaûi.
Trang1
- CHÖÔNG I : CÔ SÔ LYÙ LUAÄN CUÛA ÑEÀ TAØI
I/- HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC :
1/- Caùc ñònh nghóa:
a/- Haøm soá f(x) xaùc ñònh trong taäp A⊂ R ñöôïc goïi laø lieân tuïc taïi ñieåm a∈ A
neáu :
∀ε>0 , ∃δ=δ(a, ε) , ∀x∈A :⏐x – A ⏐< δ⇒ ⏐f(x) – f(a)⏐< ε
Nhö vaäy neáu a laø ñieåm tuï cuûa taäp A thì f(x) lieân tuïc taïi ñieåm A neáu : toàn taïi
lim f ( x) vaø lim f ( x) = f(a)
x→ a x→a
Neáu f(x) lieân tuïc taïi moïi ñieåm x∈A thì f(x) ñöôïc goïi laø lieân tuïc trong mieàn
A.
b/- Haøm soá f(x) ñöôïc goïi laø lieân tuïc beân traùi taïi x = a∈A neáu
( )
lim− f ( x) = f a − = f (a )
x →a
( )
vaø lieân tuïc beân phaûi taïi x = a neáu : lim+ f ( x) = f a + = f (a )
x →a
Haøm soá f(x) lieân tuïc taïi x = a∈A khi vaø chæ khi f(x) lieân tuïc beân traùi
vaø lieân tuïc beân phaûi taïi ñieåm a.
2/- Caùc ñònh lyù :
* Ñònh lyù 1 :
Neáu f(x) vaø g(x) laø nhöõng haøm lieân tuïc taïi ñieåm x = a, thì f(x) + g(x);
g(x) . f(x) laø nhöõng haøm lieân tuïc taïi a.
f ( x)
Hôn nöõa g(x) ≠0 thì cuõng laø haøm lieân tuïc taïi a.
g ( x)
* Ñòng lyù 2 :
Neáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [a,b] thì noù bò chaën treân ñoaïn ñoù. Töùc laø
toàn taïi k > 0 sao cho :
⏐f(x)⏐ ≤ k ∀x ∈ [a,b]
* Ñònh lyù 3 : (ñònh lyù Vaâyestras)
Neáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [a,b] thì noù ñaït giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû
nhaát treân ñoaïn ñoù. Töùc laø :
∃ m= f ( x1) = min f(x) ( x1 ∈ [a;b])
a≤x≤b
∃ M = f ( x2) = max f(x) ( x2 ∈ [a;b])
a≤x≤b
-Trang 2 -
- * Ñònh lyù : (Boânxano – cauchy thöù nhaát )
Neáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [a;b] va f(a) . f(b) < 0 thì ∃ c ∈(a;b) sao
cho f(c) = 0.
* Ñònh lyù 5 :
Neáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [a;b], f(a) = A, f(b) = B thì haøm soá
nhaän moïi giaù trò trung gian giöõa A vaø B.
Heä quaû :
Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a;b] thì noù nhaän moïi giaù trò trung
gian giöõa giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát.
II/- ÑAÏO HAØM :
1/- Caùc ñònh nghóa :
a/- Giaû söû f(x) laø haøm soá xaùc ñònh trong khoaûng (a,b), x0 laø moät ñieåm
thuoäc khoaûng ñoù.
Kyù hieäu : ∆x=x – x0 , x∈(a,b) laø soá gia cuûa ñoái soá taïi ñieåm x0 .
∆y = f(x) – f (x0) laø soá gia cuûa haøm soá öùng vôùi soá gia ∆x cuûa ñoái soá. Xeùt tyû
∆y
soá .
∆x
Neáu toàn taïi giôùi haïn höõu haïn :
∆y f ( x) − f ( x0
lim = lim (1) thì giôùi haïn ñoù ñöôïc goïi laø ñaïo haøm cuûa soá
∆x → 0 ∆x x → x0 x − x0
dt
f(x) taïi ñieåm x0. Ñaïo haøm cuûa f(x) taïi x0 thöôøng ñöôïc kyù hieäu : f’(x0) hay (x0).
dx
Trong tröôøng hôïp giôùi haïn (1) toàn taïi vaø baèng + ∞ hay - ∞ thì ngöôøi ta noùi haøm
f(x) coù ñaïo haøm voâ haïn taïi x0.
b/- Caùc giôùi haïn moät phía :
∆y f ( x) − f ( x0 )
lim− = lim−
∆x → 0 ∆x x→0 x − x0
vaø
∆y f ( x) − f ( x0 )
lim+ = lim
∆x → 0 ∆x x → 0 +
x − x0
Töông öùng ñöôïc goïi laø ñaïo haøm beân traùi vaø ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm f(x)
taïi x0 vaø laàn löôït ñöôïc kyù hieäu laø f+’(x0) vaø f+’(x0). Caùc ñaïo haøm naøy goïi laø ñaïo
haøm moät phía cuûa f(x) taïi x0 .
c/- Ta coù keát quaû sau ñaây :
Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå haøm f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 laø caùc ñaïo haøm moät phía
cuûa haøm f(x) taïi x0 toàn taïi vaø baèng nhau. Khi ñoù :
-Trang 3 -
- f’(x0) = f-‘(x0) = f+’(x0)
d/- Haøm soá y= f(x) goïi laø coù ñaïo haøm treân (a,b) neáu nhö noù coù ñaïo haøm taïi moïi
ñieåm x ∈ (a,b).
Haøm soá y = f(x) goïi laø coù ñaïo haøm treân (a,b) neáu nhö noù coù ñaïo haøm taïi moïi
ñieåm x ∈ (a,b); coù ñaïo haøm phaûi f+’(a) vaø ñaïo haøm traùi f-‘(b).
2/- Caùc ñònh lyù: Roân, Lagrange, cauchy:
a/- Ñònh lyù Roân :
Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a;b], khaû vi trong (a,b) vaø f(a)=f(b)
thì toàn taïi c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0.
b/- Ñònh lyù Lagrange :
Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a;b] khaû vi trong (a,b) thì toàn taïi c ∈ (a;b)
f ' (b) − f (a)
sao cho: f’(c) =
b−a
hay f(b) -f(a) = f’(c).(b – a) ( c ∈ (a, b) )
c/- Ñònh lyù Cauchy :
Neáu caùc haøm y = f(x) , y = g(x) lieân tuïc treân [a,b] khaû vi trong (a,b) ;
g(x) ≠ 0 ∀x ∈ [a, b] thì toàn taïi c ∈ (a, b) sao cho :
f ' (c) f (b) − f (a)
=
g ' (c) g (b) − g (a )
CHÖÔNG II : ÖÙNG DUÏNG ÑÒNH LYÙ BOÂNXANOÂ – CAUCHY CHÖÙNG
MINH PHÖÔNG TRÌNH COÙ NGHIEÄM
I/- PHÖÔNG PHAÙP CHUNG :
-Trang 4 -
- Cho phöông trình f(x) = 0 , ñeå chöùng minh phöông trình coù k nghieäm phaân
bieät trong [a,b], ta thöïc hieân theo caùc böôùc sau :
Böôùc 1 : Choïn caùc soá a < T1 < T2 < … < Tk-1 < b chia ñoaïn [a,b] thaønh k
khoaûng thoõa maõn :
⎧
⎪
f ( a ). f ( T 1 ) < 0
⎨
⎪
⎩ f (T k − 1 ). f ( b ) < 0
Böôùc 2 : Keát luaän .
II/- CAÙC VÍ DUÏ :
Ví duï 1 : Giaû söû f : [a,b] → [a,b] laø moät haøm soá lieân tuïc. Chöùng minh :
a)- Phöông trình f(x) = x coù ít nhaát moät nghieäm .
b)- ∃ c ∈ [a, b] sao cho α f(a) + β f(b) = ( α + β ).f(c) ( α , β > 0)
(Ñeà thi choïn ñoäi tuyeån Olympic ÑHAG 2003)
Giaûi :a/- Ta coù f(x) = x ⇔ f(x) – x = 0 .
Töø ñoù ñaët h(x) = f(x) – x thì h(x) lieân tuïc treân [a,b]
Ta coù h(a) = f(a) – a ≥ 0
h(b) = f(b) – b ≤ 0
Suy ra h(a).h(b) ≤ 0
Do h(x) lieân tuïc treân [a,b] neân ∃ x0∈ [a,b] sao cho h(x0) = 0 hay f(x0) = x0 .
Vaäy phöông trình f(x) = x coù ít nhaát 1 nghieäm x ∈ [a,b].
b/- Theo ñònh lyù Vaâyestras : ∃ x1, x2 ∈ [a,b] sao cho :
Max f ( x) = f ( x1 ) = N Min f ( x) = f ( x 2 ) = m
k∈[ a ,b ] x∈[ a ,b ]
Do α < 0, β > 0 neân ( α + β ).m ≤ α . f (a ) + β + (b) ≤ (α + β ) M
Xeùt haøm soá g ( x) = (α + β ) f ( x) − αf (a) − βf (b)
Do f(x) lieân tuïc treân [a,b] neân g(x) lieân tuïc treân [a,b].
Khoâng maát tính toång quaùt. Giaû söû x1< x2 vaø [x1,x2] ⊂ [a,b].
Ta coù :
⎧ g(x1)=(α+β ) f (x1)−α. f (a)−β. f (b)=(α+β )M−α. f (a)−β (b)
⎪
⎨
⎪g(x2 )=(α+β) f (x2 )−α. f (a)−β. f (b)=(α+β)m−α. f (a)−β. f (b)
⎩
suy ra g(x1).g(x2) ≤ 0 neân ∃ c ∈ [x1,x2] sao cho g(c) = 0
⇔ (α+β).f(c) – α.f(a) - βf(b) = 0
⇔ (α+β).f(c) = α.f(a) – β.f(b)
-Trang 5 -
- Ví duï 2 :
Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân [0,1] vaø f(0) = f(1)
⎛ cn + 1 ⎞
CMR : vôùi moïi soá töï nhieân n luoân ∃ c ∈ [0,1] sao cho f(c) = f ⎜ ⎟
⎝ n ⎠
Baøi giaûi :
⎛ cn + 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
Ta coù f(c) = f ⎜ ⎟ ⇒ f (c ) = f ⎜ c + ⎟ ⇒ f (c ) − f ⎜ c + ⎟
⎝ n⎠ ⎝ n⎠
=0
⎝ n ⎠
⎛ 1⎞
Do ñoù ta ñaït : g(x) = f ( x) − f ⎜ x + ⎟
⎝ n⎠
⎡ n − 1⎤
Töø giaû thieát suy ra g(x) lieân tuïc treân ⎢0, n ⎥
⎣ ⎦
⎛1 ⎞
g ( x ) = f (0 ) − f ⎜ ⎟
⎝ n ⎠
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
g⎜ ⎟ = f ⎜ ⎟ − f ⎜ ⎟
⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠
⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞
g⎜ ⎟ = f ⎜ ⎟ − f ⎜ ⎟
⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠
− − − − − − − − − − − − −
⎛ n −1⎞ ⎛ n −1⎞
g⎜ ⎟ = f⎜ ⎟ − f (1 )
⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠
⎛1⎞ ⎛ n −1⎞
Vaäy g (0) + g ⎜ ⎟ + ... + g ⎜
⎟ = f (0) − f (1) = 0
⎝n⎠ ⎝ n ⎠
i j ⎡ n − 1⎤ ⎛ i ⎞ ⎛ j⎞
Suy ra ∃ , ∈ ⎢0, ⎥ sao cho g ⎜ n ⎟.g ⎜ n ⎟ ≤ 0
n n ⎣ n ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i j
Giaû söû <
n n
⎡ i j⎤
Vaäy ∃c ∈ ⎢ , ⎥ sao cho g(c)=0
⎣n n⎦
⎛ 1⎞
Hay ∃ c ∈ [0,1] sao cho f (c) = f ⎜ c + ⎟ (ñpcm)
⎝ n⎠
Ví duï 3 :
Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân [a,b] vaø n ñieåm x1,x2,…,xn ∈ [a,b], Chöùng minh
raèng
-Trang 6 -
- ∃ c ∈ (a,b) sao cho : f (c) =
1
n
[
f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) ]
Giaûi:
Caùch 1 :
Ñaët g ( x) = f ( x) −
1
[ f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn )] ta coù
n
⎧
g ( x1 ) = f ( x1 ) − [ f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n )]
1
⎪ n
⎪
⎪ g ( x ) = f ( x ) − 1 [ f ( x ) + f ( x ) + ... + f ( x )]
⎪ 2 2 1 2 n
⎨ n
⎪− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
⎪
⎪ g ( x ) = f ( x ) − 1 [ f ( x ) + f ( x ) + ... + f ( x )]
⎪
⎩
n n
n
1 2 n
n n
Suy ra g(x1)+g(x2)+…+g(xn) = ∑i =1
f ( xi ) − ∑ f ( xi ) = 0
n −1
Do ñoù ∃ k, l ∈ { ,2,..., n} sao cho k< l vaø g(xk).g(xl) ≤ 0
1
Maø g(x) lieân tuïc treân [a,b] neân lieân tuïc treân [xk , xl ].
⇒ ∃ c ∈ [xk , xl ] sao cho g(c) = 0 ⇒ ∃ c ∈ [a,b] ñeå :
1
f(c) = [ f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]
n
Caùch 2 :
Goïi ∆ laø ñoaïn chöùa caùc ñieåm x1,x2,……,xn vaø ∆ ≤ [a,b]. Haøm f(x)
lieân tuïc treân [a,b]
⇒ lieân tuïc treân ∆ .
Vaäy ∃ m = min f ( x)
x∈∆
∃ M = max f ( x)
x∈∆
ta coù :
1
m≤ [f(x1) + f(x2) +….+ f(xn)] ≤ M
n
1
Vaäy ∃ c ∈ ∆ ⇒ c ∈ [a,b] sao cho f(c) = [ f(x1) + f(x2) +….+ f(xn)]
n
Ví duï 4 :
Chöùng minh vôùi moïi tham soá thì phöông trình :
a)- acosx + bsin2x + cos3x – x = 0 coù nghieäm.
1 3
b)- + =m coù nghieäm.
sin x cos x
-Trang 7 -
- c)- asin 3x + 6cos 2x + sinx = 0 coù nghieäm x ∈ [0,2 π ]
(Ñaïi hoïc quoác gia Haø Noäi)
Giaûi :
a)- Ñaët f(x) = acosx + bsin2x + c cos 3x – x thì f(x) lieân tuïc treân D = R.
π π π π π π
Ta coù f( − )= vaø f( )=- ⇒ f(- ).f( ) < 0
2 2 2 2 2 2
Vaäy phöông trình coù nghieäm.
1 3 π
b)- ta coù f(x) = + −m lieân tuïc treân ( ,π )
sin x cos x 2
π π
vì lim f ( x) = −∞ neân ∃ a ∈ ( , + ℰ ) ñeå f(a) < 0
π+ 2 2
x→
2
lim− f ( x) = +∞ neân ∃ b ∈ ( π - ℰ’, π ) ñeå f(b) < 0
π
x→
2
do ñoù f(a).f(b) < 0 ⇒ phöông trình coù nghieäm .
c)- Xeùt f(x) = acos 3x + bcos 2x + c cosx + sinx thì f lieân tuïc treân [0,2 π ]
Ta coù : f(0) = a + b + c
π
f( ) = -b + 1
2
f( π ) = -a + b – c
3π
f( ) = -b –1
2
π 3π
⇒ f(0) + f( ) + f( π ) + f( )=0
2 2
⎧ π 3π ⎫
Do ñoù ∃ α 1 β ∈ ⎨ 0 , ,π , ⎬ ñeå f( α ).f( β ) ≤ 0.
⎩ 2 2 ⎭
3π
Vaäy phöông trình coù nghieäm x ∈ [0, ] hay coù nghieäm x ∈ [0,2 π ]
2
-Trang 8 -
- Ví duï 5 :
Cho a,b döông . Chöùng minh phöông trình :
1 1 1
+ + =0
x x−a x+b
⎛a 2a − 2b −b⎞
Coù 2 nghieäm x1,x2 vaø ⎜ < x1 < ; < x2 < ⎟
⎝3 3 3 3 ⎠
(Voâ ñòch Hungary)
Giaûi :
Vôùi ñieàu kieän x ≠ 0 , x ≠ a , x ≠ -b phöông trình :
1 1 1
+ + =0
x x−a x+b
⇔ x(x – a) + x(x + b) + (x-a)(x-b) = 0
Ñaët f(x) = x(x – a) + x(x + b) + (x – a)(x + b)
f lieân tuïc treân D = R
Ta coù f(-b) = b(a+b) > 0
f(0) = -ab < 0
f(a) = a(a+b) > 0
neân phöông trình f(x) = 0 coù 2 nghieäm –b < x1 < 0 < x2 < a.
Hai nghieäm naøy cuõng thoõa ñieàu kieän ban ñaàu vì :
1 1 1 1 1 a a
+ = ⇒ < neân x1 > >
x1 x1 + b a − x1 x1 a − x1 2 3
1 1 2a
vì < neân x1<
x1 + b a − x1 3
-Trang 9 -
- − 2b −b
Töông töï cho x2 thì f(x0)
-Trang 10 -
- suy ra daõy {x n } hoäi tuï khi n → ∞
ñaët lim x n = a , a ∈ [0,1]
n→∞
Baèng qui naïp theo n ta seõ chöùng minh g(xn) = xn ∀n≥1
Thaät vaäy : n = 1 ta coù x1 = f(x0)
⇒ g(x1) = g(f(x0)) = f(g(x0)) = f(x0) = x1
giaû söû g(xk) = xk vôùi k ≥ 1 , k ∈ N
Khi ñoù : xk+1 = f(xk) = f(g(xk)) = g(f(xk)) = g(xk + 1)
Theo nguyeân lyù qui naïp ta coù g(xn) = xn ∀ n≥1
Ta coù : f(a) =f( lim x n ) = lim f(xn) = lim x n +1 = a
n→∞ n →∞ n→∞
g(a) = g( lim x n ) = lim g ( x n ) = lim x n = a
n→∞ n →∞ n→∞
⎧ f (a) = a
Vaäy coù a ∈ [0,1] sao cho ⎨
⎩ g (a) = a
⎧ f ( x) = x
Hay heä phöông trình ⎨ coù nghieäm thuoäc [0,1]
⎩ g ( x) = x
Ví duï 7 :
Cho haøm soá f : [a,b] → [a,b] , a f ( x 0 ) − x o
suy ra g( f ( x0 ) ) < g(x0)
-Trang 11 -
- maâu thuaãn vôùi (1) , nghóa laø f ( x0 ) = x0
giaû söû phöông trình f(x) = x coù nghieäm x1 , x1 ≠ x0 , x1 ∈ [a,b]
khi ñoù : f ( x1 ) − f ( x0 ) = x1 − x 0
maâu thuaãn vôùi giaû thieát .
Toùm laïi : phöông trình f(x) = x coù duy nhaát nghieäm treân [a,b].
Ví duï 8 :
π
π
Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân[0, ] sao cho f(0) > 0 vaø ∫2 f ( x)dx < 1
2 0
Chöùng minh raèng phöông trình f(x) = sinx coù ít nhaát moät nghieäm trong
π
khoaûng (0, )
2
(Olympic sinh vieân 2003)
Giaûi :
Ta coù : f(x) = sinx ⇔ f(x) – sinx = 0
π
Do ñoù : ñaët g(x) = f(x) – sinx ∀ x ∈ [0, ]
2
π
Töø giaû thieát thì g(x) lieân tuïc treân ñoaïn [0, ] vaø g(0) = f(0) >0 .
2
π π π
Ta coù : ∫2 g ( x)dx = ∫ 2 [ f ( x) − sin x]dx = ∫ 2 f ( x)dx − 1
0 0 0
π
Bôûi vaäy do giaû thieát cuûa ñeà baøi nhaân ñöôïc ∫ 2 g ( x)dx < 0
0
π
Suy ra ∃ x0 ∈ (0, ] sao cho g(x0) < 0 (do g(0)= f(0) –sin0 > 0 )
2
Treân [0,x0] haøm g(x) lieân tuïc vaø g(0)g(x0) < 0
1
Do ñoù ∃ c ∈ (0, ] sao cho g(c) = 0
2
π
Hay ∃ c ∈ (0, ] sao cho f(c) =sinc
2
π
Vaäy phöông trình coù nghieäm treân (0, )
2
Ví duï 9 :
Tìm d∈ (0,1) sao cho vôùi haøm f xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân [0,1] . f(0) =
f(1) thì toàn taïi x0 ∈ [0,1 – d] sao cho f(x0) = f(x0 + d) . ( Voâ ñòch Aùo)
Giaûi :
, k nguyeân döông, k >1 ⇒ d ∈ (0,1) .
1
_ Xeùt d =
k
-Trang 12 -
- 1 k −1
Ñaët g(x) = f(x + ) – f(x) , 0 ≤ x ≤
k k
1 k −1 1 2 1 k −1
Vì g(0) + g( ) + … + g( ) = f( ) – f(0) + f( ) – f( ) + … + f(1) – f( )=0
k k k k k k
⎧1 2 k − 1⎫
Neân toàn taïi g( α ) 0 trong ñoù α , β ∈ ⎨ , ,...., ⎬
⎩k k k ⎭
Suy ra g( α ).g( β ) < 0 ⇒ ∃ x0 ñeå g(x0) = 0
1
_ Xeùt d ≠ , m nguyeân döông , choïn k nguyeân döông sao cho k.d < 1< (k +1).d
m
giaû söû f lieân tuïc thoõa yeâu caàu thì chon f treân [0. d]
f(0) = 0 , f(1 – k.d) = -k , f(d) = 1
tieáp tuïc treân [d, 1] maø f(x) = f(x – d) + 1 thì f lieân tuïc caû [0,1]
⇒ f(1) = f(1 - d) + 1 = f(1 - 2d) +2 = . . . . . = f(1 – kd) + k = 0 = f(0)
vaø ∀ x ∈ [1, 1 – d] thì f(x + d) = f(x) + 1 ≠ f(x)
1
vaäy giaù trò caàn tìm laø d = , k nguyeân döông k >1
k
Ví duï 10 :
Cho f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [0;1] , f(0) > 0 vaø
1 1
∫0
f ( x)dx <
1998
Chöùng minh raèng phöông trình x1997= f(x) coù ít nhaát moät nghieäm
thuoäc (0,1)
(Olympic sinh vieân 1998)
Giaûi :
Ñaët g(x) = f(x) – x1997 lieân tuïc treân [0,1]
g(0) = f(0) > 0
1 1 1 1
∫0
g ( x)dx = ∫ ( f ( x) − x1997 )dx = ∫ f ( x)dx −
0 0 1998
- Cho f(x), g(x) laø caùc haøm soá lieân tuïc treân R sao cho f(g(x)) = g(f(x))
∀ x∈ R
Chöùng minh raèng : neáu phöông trình f(x) = g(x) voâ nghieäm thì phöông
trình f(f(x)) = g(g(x) voâ nghieäm .
(Voâ ñòch Canada)
Giaûi :
Vì phöông trình f(x) = g(x) voâ nghieäm vaø f , g lieân tuïc neân ta coù :
Hoaëc f(x) – g(x) > 0 , ∀ x ∈ R hoaëc f(x) – g(x) < 0 , ∀ x ∈ R
* Neáu f(x) – g(x) > 0 , ∀ x ∈ R
⇒ f(x) > g(x) , ∀ x∈ R
⇒ f(f(x)) > g(f(x)) = f(g(x)) > g(g(x))
⇒ phöông trình f(f(x)) = g(g(x)) voâ nghieäm
* Neáu f(x) – g(x) < 0 , ∀ x ∈ R
⇒ f(x) < g(x) ∀ x∈ R
⇒ f(f(x)) < g(f(x)) = f(g(x)) < g(g(x))
⇒ phöông trình f(f(x)) = g(g(x)) voâ nghieäm
Vaäy phöông trình f(x) = g(x) voâ nghieäm thì phöông trình f(f(x))
= g(g(x)) voâ nghieäm .
Ví duï 12 :
Giaûi phöông trình : 8x3 – 4x2 – 4x + 1 = 0
Giaûi :
Xeùt ña thöùc f(x) = 8x3 – 4x2 – 4x + 1 = 0 baäc 3 neân ta coù toái ña 3
nghieäm
1
Ta coù : f(-1) = -7 < 0 ; f(0) =1 >0 ; f( ) = -1 < 0 , f(1) = 1 >0
2
Vìø f lieân tuïc vaø coù 3 nghieäm trong khoaûng (-1 , 1)
Ta chæ caàn xeùt x trong khoaûng (-1 , 1)
Ñaët x = cos α vôùi 0 < α < π
Thay vaøo phöông trình ñaõ cho , ta ñöôïc :
8.cos3 α – 4.cos2 α – 4.cos α + 1 = 0
⇔ 4.cos α (2.cos2 α – 1) = 4(1 – sin2 α ) – 1
⇔ 4.cos α cos2 α = 3 – 4sin2 α
⇔ 4.sin α cos α cos2 α = sin α (3 – 4sin2 α ) (do sin α >0)
⇔ sin4 α = sin3 α
π 3π 5π
Do ñoù : α 1 = ; α 2= ; α 3=
7 7 7
-Trang 14 -
- π 3π
Vaäy phöông trình coù 3 nghieäm :x1 = cos ( ) ; x2 = cos( ) ; x3 =
7 7
5π
cox( )
7
Ví duï 13 : Giaûi phöông trình :
Sin3x + 4.cosx = 3.cosx
Giaûi :
Do sinx = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình , chia 2 veá cho
sin3x .
1
Ta coù : 1 + 4.cotg3x = 3 cotgx.
sin 3 x
⇔ 1 + 4.cotg3x = 3.cotgx(cotg2x +1)
⇔ cotg3x – 3.cotgx + 1 = 0
Ñaët cotgx = t ; xeùt haøm f(t) = t3 – 3t +1 lieân tuïc treân R
Ta coù : f(-2) = -1 ; f(-1) = 1 ; f(1) = -1 ; f(2) = 3
⇒ f(x) coù 3 nghieäm trong khoaûng (-2 , 2) . Ta xeùt trong
khoaûng (-2 , 2)
Ñaët t = 2 cos α ⇒ 8 cos3 α - 6 cos α + 1 = 0
−1
⇒ 2 cos3 α + 1 = 0 ⇒ cos3 α =
2
4π 8π 2π
vì α ∈ [0, π ] ⇒ α 1= ;α 2 = ;α 3 =
9 9 9
4π 8π 2π
⇒ t1= 2cos ; t 2 = 2 cos ; t 3 = 2 cos
9 9 9
Vaäy 3 nghieäm : x1= arccotg t1 ; x2= arccotg t2 ; x3= arccotg t3.
-Trang 15 -
- Chöông III : DUØNG ÑÒNH LYÙ LAGRANGE – ROLL – CAUCHY – CHÖÙNG
MINH PHÖÔNG TRÌNH COÙ NGHIEÄM
I/-PHÖÔNG PHAÙP CHUNG :
_ Baøi toaùn : Chöùng minh phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm trong (a,b) vôùi f(x) lieân
tuïc trong [a,b] vaø khaû vi (a,b).
_ Phöông phaùp giaûi :
Ñeå aùp duïng ñònh lyù Roll , Lagrange , Cauchy vaøo vieäc giaûi baøi toaùn naøy, ñeàu
quan troïng nhaát laø nhaän ra ñöôïc haøm F(x) ( thöïc chaát ñoù laø nguyeân haøm cuûa haøm
f(x)) . Cuï theå ñöôïc thöïc hieän theo caùc böôùc sau :
_ Böôùc 1 : Xaùc ñònh haøm soá F(x) khaû vi vaø lieân tuïc treân [a,b] vaø thoõa maõn :
i)- F’(x) = f(x) ( töùc laø F(x) = ∫ f ( x)dx )
ii)- F(b) – F(a) = 0.
_ Böôùc 2 : khi ñoù ∃ x0 ∈ (a,b) sao cho :
F (b) − F (a)
F’(x0) = ⇔ f ( x0 ) = 0
b−a
⇔ Phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm x0 ∈ (a,b)
* Löu yù :
_ Neáu f coù n nghieäm phaân bieät vaø thoõa maõn ñònh lyù Lagrange thì f’ coù n –
1 nghieäm , f” coù n – 2 nghieäm , . . . ., fk coù n – k nghieäm k < n .
_ Deå chöùng minh f(x) coù khoâng quaù m nghieäm thì ta phaûi
chöùng minh f’(x) coù khoâng quaù m – 1 nghieäm .
II/- CAÙC VÍ DUÏ MINH HOAÏ :
Ví duï 1 :
Cho n nghuyeân döông , cho ak,bk ∈ R(k = 1,2, . . . , n) . Chöùng minh raèng :
n
x + ∑ (a k sin kx + bk cos kx) = 0
k =1
coù nghieäm trong khoaûng (- π , π ) .
(Olympic sinh vieân 1994)
Giaûi :
x2 n
−a b
Xeùt haøm F(x) = + ∑ ( k cos kx + k sin kx); x ∈ R
2 k =1 k k
Roõ raøng F(x) lieân tuïc [- π , π ] , khaû vi treân R vaø :
n
f’(x) = x + ∑ (a k sin kx + bk cos kx)
k =1
π2 n
⎛−a ⎞
Ngoaøi ra : F(- π ) = F( π ) = + ∑ ⎜ k (−1) k ⎟
2 k =1 ⎝ k ⎠
-Trang 16 -
- AÙp duïng ñònh lyù Roll :
∃ c ∈ (- π , π ) sao cho F’(c) = 0
n
⇔c + ∑ (a
k =1
k sin kc + bk cos kc) = 0
n
⇔ phöông trình x + ∑ (a k sin kx + bk cos kx) = 0 coù nghieäm thuoäc (- π , π )
k =1
.Ví duï 2 :
Cho haøm soá f(x) khaû vi treân ñoaïn [a,b] vaø thoõa maõn :
1
a)- f(a) = (a – b)
2
1
b)- f(b) = (b – a)
2
⎛a+b⎞
c)- f ⎜ ⎟≠0
⎝ 2 ⎠
Chöùng minh raèng toàn taïi caùc soá ñoâi moät khaùc nhau c1,c2,c3 ∈ (a,b) sao cho :
f’(c1).f’(c2).f’(c3) = 1 .
Giaûi :
Theo Lagrange , toàn taïi c1 ∈ (a,b) sao cho :
f (b) − f (a)
f ' (c1 ) = =1
b−a
a+b
Ñaët :h(x) = f(x) + x - Khi ñoù :
2
h(a).h(b) = - (a – b)2 < 0
a+b
Do ñoù toàn taïi x0 ∈ (a,b) ñeå cho h(x0) = 0 hay :f(x0) = − x0
2
Theo Lagrange , toàn taïi c2 ∈ (a,x0) , c2 ≠ c1 sao cho :
f ( x0 ) − f (a) b − x0
f ' (c 2 ) = =
x0 − a x0 − a
Neáu c 2 = c1 ⇒ f ' (c2 ) = 1 ⇒ f ( x0 ) = x0 − 1 (a + b) maø
2
⎛a+b⎞ ⎛a+b⎞
f ( x0 ) = 0 ⇒ x0 = ⎜ ⎟ ⇒ f ( x0 ) = f⎜ ⎟ ≠ 0 voâ lyù.
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Töông töï nhö vaäy , toàn taïi c3 ∈ (x0,b) , c1 ≠ c3 ñeå cho :
f (b) − f ( x0 ) x0 − a
f ' (c 3 ) = =
b − x0 b − x0
-Trang 17 -
nguon tai.lieu . vn
