Xem mẫu
- ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Học viên: Đinh Xuân Nhân
Mã số: 02 09 4601 12
DẠNG XẤP XỈ SINC CỦA
HÀM PHÂN BỐ NHIỆT TRÊN BIÊN
CỦA SLAB HỮU HẠN BA CHIỀU
Người hướng dẫn khoa học
TS. Phạm Hoàng Quân
- Xét bài toán tìm hàm phân bố nhiệt độ
v ( x, y, t ) = u ( x, y,0,ới , trong đó
v t ) x, y ∈ , t > 0
t ) ả
u ( x, y, z , tho
∂u (1)
∆u − = 0, x, y ∈ , 0 < z < 2, t > 0
∂t
u ( x, y,1, t ) = f ( x, y, t ) , (2)
x, y ∈ , t > 0
u ( x, y, 2, t ) = g ( x, y, t ) , (3)
x, y ∈ , t > 0
u ( x, y, z , 0 ) = 0, (4)
x, y ∈ , 0 < z < 2
trong đó, là các hàm cho trước.
f,g
- Đặt
G ( x , y , z , t , ξ , η , θ , τ ) = Γ ( x , y , z , t , ξ , η , θ , τ ) − Γ 1 ( x, y , z , t , ξ , η , θ , τ )
với
( x − ξ ) 2 + ( y −η ) 2 + ( z −θ ) 2
1 (5)
Γ ( x, y , z , t , ξ ,η , θ , τ ) = exp −
4( t − τ )
3
4π ( t − τ ) 2
( x− ξ ) 2 + ( y −η ) 2 + ( 4− z −θ ) 2
1
. (6)
Γ 1 ( x, y , z , t , ξ , η , θ , τ ) = exp −
4( t − τ )
3
4π ( t − τ ) 2
Ta có
∂ (7)
div ( G∇u − u∇G ) − ( uG ) = 0 .
∂τ
- ( τ , ξ ,η , θ )
Lấy tích phân hai vế của (7) theo trên
,v− n cho − n, n ) × ( 1, 2 )
( 0, t − ε ) × ( à , n ) × ( n → +∞ , ε → 0
t +∞ +∞ t +∞ +∞
∫ ∫ ∫ u ( ξ ,η ,1,τ ) G ( x, y, z, t, ξ ,η ,1,τ ) dξ dη dτ = ∫ ∫ ∫ f ( ξ ,η ,τ ) G ( x, y, z, t, ξ ,η ,1,τ ) dξ dη dτ
θ θ
0 −∞ −∞ 0 −∞ −∞
t +∞ +∞
∫ ∫ g ( ξ ,η ,τ ) Gθ ( x, y, z, t , ξ ,η , 2,τ ) dξ dη dτ − u ( x, y, z, t ) . (8)
−∫
0 −∞ −∞
Cho trong (8), ta có
+
z →1
− ( x −ξ ) +( y −η )
( x −ξ ) + ( y −η )
2 2 2 2
+4
t +∞ +∞ −
1
uθ ( ξ ,η ,1,τ ) e 4( t −τ ) 4( t −τ ) d ξ dη dτ
∫ ∫ ∫ 4π ( t − τ ) −e
3
3 2
2
0 −∞ −∞
( x −ξ ) 2 + ( y −η ) 2 +1
t +∞ +∞ −
1
g ( ξ ,η , τ ) e 4( t −τ )
=∫ ∫ ∫ 4π ( t − τ ) d ξ dη dτ
5
3 2
2
0 −∞ −∞
( x −ξ ) 2 + ( y −η ) 2 + 4
t +∞ +∞ −
1
(9)
f ( ξ ,η ,τ ) e d ξ dη dτ − f ( x, y , t ) .
4( t −τ )
−∫ ∫ ∫ 4π ( t − τ ) 5
3
2
2
0 −∞ −∞
- Đặt
N ( x, y, z, t , ξ ,η , θ ,τ ) = Γ ( x, y, z, t , ξ ,η ,θ ,τ ) − Γ 2 ( x, y, z , t , ξ ,η ,θ ,τ )
với
( x − ξ ) 2 + ( y −η ) 2 + ( z −θ ) 2
1
Γ ( x , y , z , t , ξ ,η , θ , τ ) = (10)
exp −
4( t −τ )
3
4π ( t − τ ) 2
( x− ξ ) 2 + ( y −η ) 2 + ( z + θ ) 2
1
Γ 2 ( x, y , z , t , ξ , η , θ , τ ) = exp − . (11)
4( t − τ )
3
4π ( t − τ ) 2
Ta có
∂
div ( N ∇u − u∇N ) − ( uN ) = 0. (12)
∂τ
- ( τ ,ξ , ê θ )
Lấy tích phân hai vế của (12) theo trη ,n
, vn, cho , n ) × ( 0,1)
( 0, t − ε ) × ( − àn ) × ( − n n → +∞, ε → 0
t +∞ +∞ t +∞ +∞
∫ ∫ ∫ u ( ξ ,η ,1,τ ) N ( x, y, z, t, ξ ,η ,1,τ ) dξ dη dτ = ∫ ∫ ∫ f ( ξ ,η ,τ ) N ( x, y, z, t, ξ ,η ,1,τ ) dξ dη dτ
θ θ
0 −∞ −∞ 0 −∞ −∞
t +∞ +∞
∫ ∫ v ( ξ ,η ,τ ) N ( x, y, z, t, ξ ,η ,0,τ ) dξ dη dτ + u ( x, y, z, t ) . (13)
−∫ θ
0 −∞ −∞
Cho trong (13), ta có
z → 1−
− ( y −η ) +( x −ξ )
( y −η ) + ( x −ξ )
2 2 2 2
uθ ( ξ ,η ,1,τ )
+4
t +∞ +∞ −
4( t −τ ) 4( t −τ )
e d ξ dη dτ
∫ ∫ ∫ 4π −e
π ( t −τ )
3
2
0 −∞ −∞
( y −η ) 2 +( x −ξ ) 2 + 4
f ( ξ ,η ,τ )
t +∞ +∞ −
4( t −τ )
=∫ ∫ ∫ 4π d ξ dη dτ
e
π ( t −τ )
5
2
0 −∞ −∞
( y −η ) 2 + ( x −ξ ) 2 +1
v ( ξ ,η ,τ )
t +∞ +∞ −
d ξ dη dτ + f ( x, y , t ) . (14)
4( t −τ )
−∫ ∫ ∫ 4π e
π ( t −τ )
5
2
0 −∞ −∞
- Từ (9) và (14), ta có
( y −η ) 2 + ( x − ξ ) 2 + 1 ( y −η ) 2 + ( x − ξ ) 2 + 4
v ( ξ ,η ,τ ) f ( ξ ,η ,τ )
t +∞ +∞ t +∞ +∞
− −
1 2
4( t − τ ) 4( t − τ )
∫ ∫ ∫ ( t −τ ) ∫ ∫ ∫ ( t −τ )
dξ dη dτ = d ξ dη dτ
e e
( 2π ) ( 2π )
3 5 3 5
2 2 2 2
0 −∞ −∞ 0 −∞ −∞
( x −ξ ) 2 + ( y −η ) 2 +1
g ( ξ ,η , τ )
t +∞ +∞ −
1
d ξ dη dτ + 2 2 f ( x, y, t ) . (15)
4( t −τ )
∫ ∫ ∫ ( t −τ )
− e
( 2π )
3 5
2 2
0 −∞ −∞
Đặt
1 −x
2
+ y2 +4
( x, y , t ) ∈ × ( 0, +∞ ) ,
2
52 e 4t
R ( x, y , t ) = t
0 × ( −∞, 0] ,
( x, y , t ) ∈ 2
1 −x
2
+ y 2 +1
( x, y , t ) ∈ × ( 0, +∞ ) ,
2
52 e 4t
S ( x, y , t ) = t
0 × ( −∞, 0 ] ,
( x, y, t ) ∈ 2
- v ( x, y , t ) = f ( x, y , t ) = g ( x , y , t ) = 0
và định nghĩa khi . t
- 0, e − 3 γ
γ ∈( 0, 2 )
Định lí 1. Cho và . Giả sử
ε ∈
()
v0 ∈ L2 3là nghiệm duy nhất của (16) ứng với dữ liệu
()
chính xác . Đồng thời, cho
f 0 , g 0 ∈ L2 3
l3 ) các dữ liệu đo được thoả
f , g ∈ L2 ( à
L2 ( 3 )
, với là chuẩn trong . Khi đó, ta
f − f0 2 ≤ ε , g − g0 2 ≤ ε .2
xây dựng được hàm thoả vε ∈ L2 ( )
3
≤ Cε 2 − γ + η ( ε ) (19)
vε − v0 2
trong đó là hằng số và . ) = 0
limη ( ε
C ε →0
v0 ∈ H 1 ( 3 ) ∩ L1 ( )
Nếu giả sử thêm và 3
{ }
0 0
- Định lí 2. Vớvε
i như trong định lí 1, ta có
mπ nπ kπ π π π
vε ( x, y, t ) = ∑ ∑k m∑n vε a , a , a S m, a ( x ) S n, a ( y ) S k , a ( t )
ε ε ε ε ε ε
k∈ n≤ ≤
trong đó
sin π ( z − pd ) d
, p ∈ , d > 0.
S ( p, d ) ( z ) =
π ( z − pd ) d
- Ví dụ số. Xét bài toán tìm hàm phân bố nhiệt độ
v ( x, , trong đó tho)
u ( x, y , z , t ả
y, t ) = u ( x, y, 0, t )
∂u
(21)
∆u − = 0, x, y ∈ , 0 < z < 2, t > 0
∂t
x2 + y 2 + 4
1 −
u ( x, y,1, t ) = f ( x, y, t ) = 3 e x, y ∈ , t > 0 (22)
,
4t
t2
x 2 + y 2 +1
1 −
u ( x, y, 2, t ) = g ( x, y, t ) = 3 e (23)
x, y ∈ , t > 0
,
4t
t2
u ( x, y , z , 0 ) = 0, (24)
x, y ∈ , 0 < z < 2
Bài toán (21) – (24) có nghiệm chính xác là
x2 + y 2 +9
1 −
v0 ( x, y , t ) = 3 e 4t
(25)
t2
- Giả sử dữ liệu bị nhiễu
x2 + y2 + 4
1+ ε −
(26)
fε ( x, y, t ) = ( 1 + ε ) f ( x, y, t ) = , x, y ∈ , t > 0
e 4t
3
t 2
x 2 + y 2 +1
1+ ε −
g ε ( x , y , t ) = ( 1 + ε ) g ( x , y , t ) = 3 e 4 t , x, y ∈ , t > 0 (27)
t2
Bảng đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và
nghiệm xấp xỉ
ε v0 − vε 2
ε = 10− 5 1,744496 × 10− 2
−3
−8
ε = 10 3,858909 × 10
− 10
ε = 10 1, 274943 × 10− 3
ε = 10− 15 9,149228 × 10− 6
- 00:39:54
nguon tai.lieu . vn
